DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I. GRUPO: A B C

Transcripción

1 DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA Análisis Matmático I EXAMEN FINAL APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I. GRUPO: A B C CUESTIONARIO DE RESPUESTA MÚLTIPLE (50%) La función y : a) Tin una asíntota horizontal. b) Es dcrcint n todo su dominio. La función f ( ) tin: 6 a) Una asíntota vrtical y una discontinuidad vitabl. b) Dos asíntotas vrticals. + a + b si < La función f ( ) s si drivabl n si: a) b a b) Sólo si a y b 4 sn La función f ( ) cos tin: a) Un mínimo n π/3. b) Un máimo n π/. La función f ( ) a + tin un punto d inflión n si: a) a /8. b) a 8 c) Nunca tin puntos d inflión. La intgral d : a) Convrg a b) Convrg a c) Es divrgnt La función f ( ) + corta al j OX: a) Sólo una vz. b) Dos vcs. c) No corta al j OX. La sri : 8 64 a) Es divrgnt. b) Su suma s La cuación d la rcta tangnt a 3 f ( ) + 3 n su punto d inflión s: a) y 3 + b) y 3 c) Ninguna d las antriors Los infinitésimos n 3, f ( ) p y g( ) + ( p) p, son dl mismo ordn: a) Si p 3 b) Si p PROBLEMAS:. S considra la función f ( ). S pid: a) Sus asíntotas. (0,5 p) b) Sus intrvalos d crciminto y d dcrciminto; máimos, mínimos y puntos d inflión. (0,75 p) c) Rprsntar su gráfica. (0,5 p) d) El ára ncrrada ntr la curva d la función y l j OX, n l intrvalo [, 0]. ( p). ( p) Hallar l polinomio d Taylor d grado 4, n l orign, d la función f ( ) cos. Utilizar dicho polinomio para calcular cos0,. Pud asgurars qu l rror comtido s mnor qu 0 6? 3. Calcular las intgrals: 4 a) d (0,75 puntos) ( + )( ) b) ( + ) d (0,5 puntos)

2 UNIVERSIDAD DE ALCALÁ DE HENARES DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I fbrro-04. La función y : a) Tin una asíntota horizontal b) Es dcrcint n todo su dominio. c) Ninguna d las antriors. Dominio d dfinición: intrvalo (0, ]. Crciminto y dcrciminto. y y Como la drivada s simpr ngativa, la función s dcrcint n todo su dominio. La función f ( ) tin: 6 a) Una asíntota vrtical y una discontinuidad vitabl. b) Dos asíntotas vrticals.. a) La función s discontinua cuando 6 0 o. La discontinuidad pud vitars si ist límit. En, como lím, la función tin una asíntota vrtical:. 6 0 En, como ( L H ) lím lím 6 6 la discontinuidad pud vitars, dfinindo f ( ) + a + b si < 3. La función f ( ) s drivabl n si: si a) b a b) Sólo si a y b 4 3. Continuidad. Si, f() 4 + a + b Si +, f() a + b 4 a + b 0 Drivabilidad. + a si < f ( ) si

3 Si, f () 4 + a Si +, f () 4 + a a b 4 sn 4. La función f ( ) cos tin: a) Un mínimo n π/3. b) Un máimo n π/. cos 4. Hacmos su drivada: f ( ) ( cos ) S anula n π/3 y n 5π/3. sn( + cos ) Drivada sgunda: f ( ) 3 ( cos ) Como f ( π / 3) < 0, n π/3 s da un máimo. Como f ( 5π / 3) > 0, n 5π/3 s da un mínimo. 5. La función f ( ) a + tin un punto d inflión n si: a) a /8. b) a 8 c) Nunca tin puntos d inflión. 5. f ( ) a + f ( ) a f ( ) a + 3 Para qu s tnga un punto d inflión n db cumplirs qu f ( ) a a 8 La función srá f ( ) La intgral d : a) Convrg a b) Convrg a c) Es divrgnt 6. t d lím d lím( ) lím( ( )) t t t t t 7. La función f ( ) + corta al j OX: a) Sólo una vz. b) Dos vcs.

4 c) No corta al j OX. 7. f ( ) + f ( ) + > 0, lugo s simpr crcint. Como f ( ) < 0 y f ( 0), la función corta una sola vz. 8. La sri : 8 64 a) Es divrgnt. b) Su suma s Es una sri gométrica d razón /8, lugo: La cuación d la rcta tangnt a f ( ) + 3 n su punto d inflión s: a) y 3 + b) y 3 c) Ninguna d las antriors f ( ) + 3 f ( ) 3 6 f ( ) La tangnt s: y f( ) f ( )( ) y 3( + ) 3 0. Los infinitésimos n 3, f ( ) p y g( ) + ( p) p, son dl mismo ordn: a) Si p 3 b) Si p 0. f() y g() son infinitésimos n 3 si f() 0 y g() 0 cuando 3 9 p 0 p 3 o p ( p)3 p 0 p 3 Por tanto, p 3

5 Problma. S considra la función f ( ). S pid: a) Sus asíntotas. (0,5 p) b) Sus intrvalos d crciminto y d dcrciminto; máimos, mínimos y puntos d inflión. (0,75 p) c) Rprsntar su gráfica. (0,5 p) d) El ára ncrrada ntr la curva d la función y l j OX, n l intrvalo [, 0]. ( p) Solución: a) Lím f () [( ) 0] Lo harmos por L Hôpital. Lím f () Lím ( ) 0 L H Lím y 0 s una asíntota horizontal (hacia mnos infinito) f () Lím [ ] Lím + + b) f ( ) f ( ) + ( + ) f ( ) + + ( + ) La drivada s anula n. Si <, f () < 0 f() dcrc. Si >, f () > 0 f() crc. La función dcrc dsd hasta ; s crcint dsd hasta +. En hay un mínimo. La drivada sgunda s anula n P.I. c) Su gráfica aproimada s la siguint. d) A 0 d La intgral d la harmos por parts. Tomando: u du d d dv v S tin: d d Lugo: A 0 d [ ] 0 3

6 Problma ( punto) Hallar l polinomio d Taylor d grado 4, n l orign, d la función f ( ) cos. Utilizar dicho polinomio para calcular cos 0,. Pud asgurars qu l rror comtido s mnor qu 0 6? Solución: f() cos ; f () sn ; f () cos ; f () sn ; f (4 () cos ; f (5 () sn P ( ) + 4 4! (5 R ( ) f ( c) 5! 5 0, 0, P (0,) + 0, ; 4! 4 5 (5 R ( ) 0 f ( c) < 0 5! 6 Problma 3 Calcular: 4 a) d (0,75 puntos) ( + )( ) b) ( + ) d (0,5 puntos) Solución: 4 a) ( + )( ) A B + ( + ) ( ) A( ) + B( + ) ( + )( ) 4 A( ) + B( + ) si : 3B B /3 si : 5 3A A 5/3 4 5/ 3 / 3 5 d d d + + c ( + )( ) + ln( ) ln( ) 3 3 b) ( 5/ / 7 / 3 3/ + ) d ( + ) d + + c 7