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1 SEMESTRE 00- TIPO DURACIÓN MÁIMA.5 HORAS DICIEMBRE DE 00 NOMBRE. El índce de clardad se determnó en los celos de Morelos, para cada uno de los 365 días de un año, obtenéndose los sguentes datos. Límtes aparentes Frecuenca absoluta ( f a Determnar las frecuencas relatvas y trazar el hstograma correspondente. b Los días despejados son aquellos para los que el índce de clardad es por lo menos Qué porcentaje de días está despejado? 0 Puntos Resolucón a La frecuenca relatva y las marcas de clase, se defnen como: límtes aparentes, respectvamente, susttuyendo se tene: Límtes aparentes UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PRIMER EAMEN FINAL RESOLUCIÓN Frecuenca absoluta ( f Frecuenca relatva ( f * f = f y el punto medo de los n * Marcas de clase ( n=365 El hstograma correspondente es: PyE_ EF_TIPO_00-

2 Hstograma de frecuencas relatvas Frecuenca relatva Marcas de clase b Los días despejados son aquellos para los que el índce de clardad es por lo menos 0.65, entonces de la tabla de dstrbucón de frecuencas el porcentaje es: ( *00=6.0% Límtes aparentes Frecuenca absoluta ( f Frecuenca relatva ( f PyE_ EF_TIPO_00- * Marcas de clase ( n=365. Con base en varos estudos, una compañía ha clasfcado de acuerdo con la posbldad de encontrar petróleo, las formacones geológcas en tres tpos. La compañía pretende perforar un pozo en un determnado sto, al que se le asgnan las probabldades de 0.35, 0.4 y 0.5 para los tres tpos de perforacón respectvamente. De acuerdo con la eperenca, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de formacones de tpo I, en un 0% de formacones de tpo II y en un 30% del tpo III. a S la compañía descubre petróleo en ese sto, determnar la probabldad de que esta una formacón de tpo III. b Determnar la probabldad de la estenca de una formacón del tpo II, s la compañía no encuentra petróleo en ese sto. 5 Puntos Resolucón Sean: I el evento que representa una formacón geológca del tpo I. II el evento que representa una formacón geológca del tpo II. III el evento que representa una formacón geológca del tpo III. A el evento que representa encontrar petróleo. a La probabldad de encontrar petróleo es la probabldad total, entonces: P A = P A I + P A II + P A III ( ( ( ( P ( A = P ( I P ( A I + P ( II P( A II + P ( III P( A III P( A = ( 0.35( ( 0.4( 0. + ( 0.5( 0.3 = 0.5

3 Para determnar la probabldad de que haya una formacón geológca de tpo III, dado que la compañía encuentra petróleo en ese sto, se utlza el Teorema de Bayes, entonces: P ( A III P( III A = P( A esto es: P ( III P ( A III P( III A = P ( I P( A I + P ( II P( A II + P ( III P( A III susttuyendo: ( 0.5( 0.3 P( III A = = ( ( ( ( ( ( b Se calcula la probabldad de la estenca de una formacón del tpo II, s se sabe que la compañía no encuentra petróleo en ese sto, del Teorema de Bayes, esto es: P ( A II P ( A II P( II A = = P( A P( A utlzando la regla de la multplcacón: ( II P( A II ( 0.4( 0.8 P P( II A = = = Dada la funcón de densdad de la gráfca sguente: f 3k k k O Determnar: el valor de k, la forma analítca de f ( comportamento acumulado F ( y la medana. 5 Puntos Resolucón El valor de k se obtene por la propedad: = f d - el valor de k en este caso, se puede obtener de forma geométrca, entonces: bh bh k ( k = bh + + = k + + = k por lo tanto:, la funcón de dstrbucón que muestra el PyE_ EF_TIPO_00-3

4 k = Para determnar la forma analítca de la funcón de densdad, se utlza la forma de la recta dados dos puntos, la funcón constante y otra vez, la forma de la recta dados dos puntos, entonces: 5 + ; ; 3 8 f = 7 ; ; en otro caso La funcón de dstrbucón que muestra el comportamento acumulado, está defnda por: F = P( = P( < = f( t dt - susttuyendo por ntervalos: en F = t + dt = en 3 8 F = + dt = 4 3 en F = + t - dt = por lo tanto, la funcón acumulatva está dada por: 0 ; ; F = ; ; ; 0 Para determnar la medana, se sabe que P( = P( < =, susttuyendo e gualando en la funcón de dstrbucón, en el tercer ntervalo: = despejando: = = 6 PyE_ EF_TIPO_00-4

5 4. A un Centro de llamadas telefóncas de una empresa eléctrca, llegan en promedo tres llamadas por mnuto. Supóngase que dchas llamadas sguen un proceso de Posson. a Calcular la probabldad de recbr menos de tres llamadas en dos mnutos. b Obtener la probabldad de que el tempo entre dos llamadas consecutvas sea mayor a dos mnutos. c Determnar el tempo promedo entre llamadas y su desvacón estándar. d Calcular la probabldad de recbr al menos dos llamadas en un mnuto. 5 Puntos Resolucón Sea la varable aleatora que representa el número de llamadas por mnuto que llegan al Centro de llamadas. llamadas Posson λ = 3 mnuto a En dos mnutos se tene: Posson λ = 6 ( Se pde calcular la probabldad de recbr menos de tres llamadas en dos mnutos, P( < 3, esto es: P < 3 = P = 0 + P = + P = susttuyendo: ( ( ( ( ( 0 6 ( 6 ( 6 6 e 6 e 6 e ( < 3 = + + 0!!! ( ( P P < = e + e + e = e + + = e b Sea Y la varable aleatora que representa el tempo entre dos llamadas consecutvas que llegan un Centro de llamadas. llamadas Y Eponencal λ = 3 mnuto Se pde calcular la probabldad de que el tempo entre dos llamada consecutvas sea mayor de dos mnutos, PY> (, esto es: 3( 6 PY ( > = FY ( Y= = e = e c El tempo promedo entre dos llamadas es la meda (valor esperado de la varable aleatora con dstrbucón eponencal, esto es: E( Y = = λ 3 La varanca de la varable aleatora con dstrbucón eponencal, es: Var ( Y = = = λ 3 Entonces la desvacón estándar, es: σ = Var ( Y = = = λ 3 3 d En un mnuto se tene: Posson λ = 3 ( Se pde calcular la probabldad de recbr al menos dos llamadas en un mnutos, P(, esto es: P( = P( = + P( = 3 + P( = susttuyendo: PyE_ EF_TIPO_00-5

6 ( 3 e ( e P( = P( = + 0!! P( = e + 3e = e [ + 3] = 4e Sean las varables aleatoras conjuntas y Y con funcón de probabldad: f Y ( y, 0 y a Obtener E ( Y, E ( y E ( Y b Calcular Cov(, Y 5 Puntos Resolucón c Son y Y varables aleatoras ndependentes? a E( Y y f (, y = y Y susttuyendo: E( Y = ( ( + (( + ( ( 3 + ( ( 3 = El valor esperado de, se defne por: E( = f susttuyendo: E( = ( ( ( ( 0.5 = 5 El valor esperado de Y, se defne de forma análoga: E( Y = y f Y ( y y susttuyendo: E Y = = 0 ( ( ( ( ( ( ( ( ( b La covaranca se defne como: Cov(, Y = E ( Y E ( E ( Y Susttuyendo los resultados del ncso a: Cov(, Y = 0 ( 5( 0 = 0 c Las varables aleatoras conjuntas son ndependentes s: f y, = f f y ( ( ( Y Y PyE_ EF_TIPO_00-6

7 Para ello, se calculan las funcones margnales, entonces: ( = (, y f ( y f (, y f f y y Y Y = f ( Y y -3-3 f y Y ( susttuyendo: = = = = = = = = 4 8 fy (, Y 3 0 f ( fy ( Y 3 y observa que f ( y, f f ( y Y Y Por lo que se concluye que las varables aleatoras son dependentes. 6. Dados los sguentes números aleatoros con dstrbucón unforme entre 0 y, generar un número aleatoro con dstrbucón normal con parámetros μ = y σ = Puntos Resolucón Utlzando el TLC se tene que: = μ + σ R 6 = susttuyendo: r = 6.4 = 4( = + = 7. La sguente tabla muestra datos sobre el desgaste de acero dulce y y la vscosdad del acete. y [0-4 mm 3 ] Las sumas relevantes, se muestran a contnuacón: Sumas y y y 054 PyE_ EF_TIPO_00-7

8 a Trazar la gráfca de la dspersón de los datos. Parece convenente el uso de un modelo de regresón lneal? b Ajustar un modelo de regresón lneal smple. c Determnar el valor que se espera del desgaste cuando la vscosdad es 30 d Puede consderarse váldo el modelo? Justfcar su respuesta. 5 Puntos Resolucón a b El modelo es: ŷ = ˆ β + ˆ β 0 y ( 0.5( 333 = = y = ˆ β = = ( = = y ˆ β = y ˆ β 0 ˆ β0 = ( El modelo queda: yˆ = c Para el valor que se espera del desgaste cuando la vscosdad es 30, susttuyendo en el modelo: y ˆ(30 = ( d Para determnar s el modelo es váldo debe obtenerse el coefcente de determnacón. El coefcente de correlacón, está defndo por: SSy r = SS SS yy PyE_ EF_TIPO_00-8

9 SS SS yy = ( 0.5 = y = ( 333 y = = = = 65.4 = = y = y ( 0.5( 333 = = SS = y = = 574. susttuyendo: r = SSy 574. = SS SS yy ( 65.4( Entonces el coefcente de determnacón será: r ( ( 65.4( SS = R = = SS SS y 574. yy El ajuste es regular y puede consderarse váldo el modelo dependendo del error que se esté dspuesto a cometer. PyE_ EF_TIPO_00-