TEMA 5 : Límits de funcions. Continuïtat

Transcripción

1 TEMA : Límits de uncions. Continuïtat.. LÍMIT D UNA FUNCIÓ EN UN PUNT... Conceptes bàsics a c signiica que pren valors cada vegada més pròims a c. Es llegei tendei a c : ;.9;.8;..., ;.9;.99; c - signiica que pren valors cada vegada més pròims a c, però tots menors que c. Es llegei tendei a c per l esquerra - : ;.;.;.9;.99; c signiica que pren valors cada vegada més pròims a c, però tots majors que c. Es llegei tendei a c per la dreta : ;.9;.8;..., ;... b Signiicat de : és el comportament de la unció quan c - i es c llegei límit de quan tendei a c per l esquerra Quan tendei a - la unció tendei a Signiicat de : és el comportament de la unció quan c i es c llegei límit de quan tendei a c per la dreta.

2 Quan tendei a la unció tendei a Els límits c i, s anomenen límits laterals de la unció c Signiicat de és el comportament de la unció quan s aproima a c c sense importar si és per la dreta o per l esquerra. Es llegei límit de quan tendei a c. Si c c l l c Si c c c.. CÀLCUL DE LÍMITS... Límit de uncions si a a Funcions polinòmiques Com que les uncions polinòmiques són sempre contínues a, per calcular el límit, trobem el valor de la unció en el punt. S a

3 b Funcions racionals: a P, pot passar: Q P P a a Qa a Q Q a a Qa, llavors poden presentar-se dos casos: P a Pa ± a Q P a Pa Indeterminació Q a Aiò vol dir que els dos polinomis són divisibles per a cal actoritzar per Ruinni i simpliicar, i tornar a calcular el límit. S ±. Indeterminació, cal actoritzar els polinomis - - -

4 c Funcions irracionals Atesa que una unció en que aparei un radical, podem tenir una indeterminacions del tipus,que resoldrem multiplicant i dividint per l epressió conjugada Límit de uncions si ± a Funcions polinòmiques Calcular aquest límit és equivalent a calcular el límit del terme de major grau, ja que comparativament en el ininit la resta de termes són molt més petits i els podem depreciar. S.. b Funcions racionals: P Q P Q ± Indeterminació, que es resol aplicant el següent criteri: P Q... a a n n m ± ± bm... b b a ± si n > m ± depèn dels coeicients an bm si n m si n < m

5 S., ja que grau P > grau Q, i., ja que grau P > grau Q, i., ja que grau P grau Q 4. ja que grau P < grau Q NOTA Si la unció ve epressada com una suma dierència de raccions algebraiques, podem tenir una indeterminació de la orma - que resoldrem operant i aplicant el criteri anterior.. Indeterminació ja que grau P grau Q, c Funcions irracionals En aquest cas podem trobar una indeterminació del tipus que en el cas anterior., que resoldrem igual ja que grau P < grau Q

6 g... Límit de uncions del tipus Tan si a, com si ± es poden presentar dierents casos: La base tendei a qualsevol nombre no nul i l eponent a un altre nombre a ± g g a a g g ± ± a 6 6 b 7 La base tendei a un nombre major que i l eponent a. En aquest cas el límit es també 6 6 La base tendei a un nombre entre - i i l eponent a. En aquest cas el límit es també La base tendei a un nombre menor que - i l eponent a. En aquest cas el límit no eistei, ja que el signe del resultat alternarà en unció de que el eponent sigui parell o senar

7 6 6 La base tendei i l eponent a. En aquest cas tindrem una indeterminació que resoldrem mitjançant la següent órmula: g g a a e ± ± Indeterminació e e e e.. Relació de la continuïtat i el límit d una unció en un punt. Una unció és continua en un punt c sí c c Es a dir: és continua en c si es compleien les tres condicions següents: a c b c c c c Una unció és continua si ho és en tots els punts del seu domini. En cas contrari la unció és discontinua.

8 Tipus de discontinuïtat: a Evitable: si c c però c c b Salt: si c c c Asimptòtica : Alguns o els dos límits laterals tendei a ± :. Estudieu la continuïtat de la unció següent en si si > 8 y -y; < -y; > Serie Serie

9 En discontinuïtat de salt. Estudieu la continuïtat de la unció en y /^ ? Discontinuïtat asimptòtica en

10 . Estudieu la continuïtat de la unció següent en 8 y ^ Serie Serie En discontinuïtat evitable