TEMA 2: MAGNITUDES ALEATORIAS

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1 MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA EMPRESA TEMA : MAGNITUDES ALEATORIAS..- Varable aleatora. Varables dscretas y contnuas..- Dstrbucón de probabldad de una varable aleatora.3.- Característcas de las varables aleatoras. Valor esperado y dspersón.4.- Desgualdad de Chebyshev TEMA. COMPETENCIAS Entender ntutvamente el concepto de varable aleatora, justfcando la presenca de ncertdumbre en el ámbto económco. Saber dstngur entre varables dscretas y contnuas. Saber calcular probabldades acumuladas y de ntervalos en el caso de varables dscretas y contnuas. Interpretar adecuadamente el valor esperado y la varanza de una varable aleatora. Comprender la utldad de la desgualdad de Chebyshev y sus lmtacones.

2 MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA EMPRESA TEMA : MAGNITUDES ALEATORIAS..- Varable aleatora. Varables dscretas y contnuas ESTUDIOS EMPÍRICOS Sn ncertdumbre Con ncertdumbre Nº de sucursales Benefcos obtendos el año pasado Generacón de empleo Inflacón prevsta Varables estadístcas Hechos futuros Análss no exhaustvos Varables aleatoras

3 MAGNITUDES ALEATORIAS Descrpcón de una varable aleatora y su dstrbucón de probabldad X Demanda dara de combustble en las gasolneras de una cudad (mles de ltros) Cálculo de probabldades: P(X ), P(6<X 5) Meddas de resumen de X Descrpcón de la dstrbucón de probabldad de X: modelos habtuales Varables aleatoras Actvo P(A) v.a. P () P(NA) Inactvo 0 P (0) 0 Probabldad Expermento aleatoro Resultados Probabldad nducda 0

4 Tpos de magntudes aleatoras Trabajadores de una empresa Clentes de una entdad bancara Poblacón ocupada de un sector DISCRETAS [Recorrdo fnto o nfnto numerable] Renta Naconal de un país Nvel de Inflacón Consumo de combustble Tempo de espera ante un semáforo Ganancas de un juego de azar Tarfa de un servco CONTINUAS [Recorrdo nfnto no numerable] ( ) MIXTAS ( VARIABLES ESTADÍSTICAS VARIABLES VARIABLES ALEATORIAS ALEATORIAS Dscretas Contnuas Mxtas TIPO Dscretas Contnuas Mxtas Valores + Frecuencas DESCRIPCIÓN Valores + Probabldades Meda Varanza CARACTERÍSTICAS Esperanza Varanza

5 MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA EMPRESA TEMA : MAGNITUDES ALEATORIAS..- Dstrbucón de probabldad de una varable aleatora Varable aleatora dscreta Stuacón laboral X v.a. dscreta Inactvo X = 0 P(X=0)=0,4 ) ) ) Actvo X = P : x R P(x) 0 P(x ) = Funcón de probabldad P(x) [ 0,] 0,6 P(X=)=0,6 0 0,4

6 Varable aleatora contnua contnua X Benefcos de una sucursal bancara p p L 0 L L L 3 L 4 L 5... L k X contnua Densdad de probabldad Densdad de probabldad p p L0 L L L3 L4 L 5... Lk Intervalos de menor ampltud Densdad Probabldad ntervalo Ampltud L 0 L... L k Funcón de densdad f(x) x

7 FUNCIÓN DE DENSIDAD Funcón de densdad + f : x R R ) ) f(x) + 0 f(x) dx = Área untara FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Defncón F : x R F( x) = P( X F( x) x) [ 0,] Sgnfcado Probabldad acumulada hasta certo valor x

8 Probabldad acumulada V.A. DISCRETA F(X) Inactvo X=0 Actvo X= P(X=0)=0,4 P(X=)=0,6 0,4 0 X F(x)= 0 s x<0 0,4 s 0 x< s x> Funcón de dstrbucón F( x ) = x j j= P( ) P(x) 0,5 0, 0, X Nº medallas obtendas por un atleta Funcón de probabldad Nº MEDALLAS OBTENIDAS POR UN ATLETA Probabldad puntual F(x) 0,9 0,7 0,5 0 3 Funcón de dstrbucón Probabldad acumulada 0 3

9 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE CONTINUA F(x) = x f(t) dt Área = Probabldad acumulada por x x Representacón gráfca F(x) F(x) 0 X Dscreta X Contnua

10 Funcón de dstrbucón Propedades ) F es monótona no decrecente: x < x F ( x ) F ( ) ) ) v) Lm x - F(x) = 0 Lm x + F(x) = F es contnua a la derecha: x Lm h 0 + F(x + h) = F(x) Funcón de dstrbucón Funcón de probabldad Funcón de densdad DISCRETA CONTINUA Varable aleatora

11 Conexón entre funcón de probabldad y funcón de dstrbucón F ( x ) = P(X P( x j j= = x ) = F x F(x) = x f(t) dt f (x) = F'(x) ) ( ) F( x ) Conexón entre funcón de densdad y funcón de dstrbucón P(x) 0,5 Funcón Ilustracón de probabldad P(x) 0,5 P(X = x ) = F ( x ) F( x ) 0, 0, 0 3 F ( x ) = P( x j j= ) Funcón de dstrbucón F(x) F(x) 0, 0, 0 3 0,9 0,7 0,5 0,9 0,7 0,

12 Probabldades de ntervalos PROBABILIDADES P ( a < X b) = P( X b) P( X a) = F( b) F( a) Caso contnuo P(a < X b) = b a f(x) dx Área = Probabldad del ntervalo a b MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA EMPRESA TEMA : MAGNITUDES ALEATORIAS.3.- Característcas de las varables aleatoras. Valor esperado y dspersón

13 Característcas de una varable aleatora ESTADISTICAS Valor Frecuenca x f VARIABLES ALEATORIAS X P(x) f(x) x f... k x = x f = Síntess E(X) = µ x k f k S = (X x) [ ] Dspersón = E X E(X) σ Esperanza Desvacón Magntud aleatora X Error aleatoro X-E(X) Valor esperado E(X)=µ E[X-E(X)]=0

14 X dscreta E(X) = x p Valor Esperado E(X) = x df(x) R Propedades ) E(c) = c ) E(aX) = a E(X) ) E(X+c) = E(X) + c v) E(X+Y) = E(X)+E(Y) X contnua + E(X) = x f(x) dx a, c R X DISCRETA Varanza [( ) ] Var( X ) = E X µ ( ) Var(X) = x µ p X CONTINUA Var(X) + ( x µ ) = f(x) dx

15 Propedades de la varanza Expresón alternatva Var ( X) = E( X ) µ ) σ 0 ) Var(X+c) = Var(X) ) Var(aX) = a Var(X) a, R MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA EMPRESA TEMA : MAGNITUDES ALEATORIAS.4.- Desgualdad de Chebyshev

16 DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV X µ ε µ ε µ µ + ε X µ < ε Sea X una v.a. Con esperanza y varanza fntas. Entonces para cualquer número real ε postvo se verfca: σ P( X µ ε ) ε σ P( X µ < ε) ε Acotacón de Chebyshev Valor k Cota nferor para P( X-E(X) <kσ) Cota superor para P( X-E(X) kσ) 0 0,75 0,5 3 0,89 0, 4 0,9375 0, ,96 0,04 0 0,99 0,0

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