Conjuntos. Se puede establecer la relación de pertenencia entre un elemento y un conjunto.

Transcripción

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2 Semro Uverstro de Igreso 09 Cojutos Se deom cojuto u coleccó de elemetos que posee u crcterístc comú. Se llm elemeto cd uo de los objetos que form prte de u cojuto. Estos tee crácter dvdul, tee culddes que permte dferecrlos y cd uo de ellos es úco, o hbedo elemetos repetdos. Se puede estblecer l relcó de perteec etre u elemeto y u cojuto. S u elemeto se ecuetr detro de u cojuto se dce que perteece dcho cojuto, smbólcmete S u elemeto o se ecuetr e u cojuto se dce que o perteece dcho cojuto, smbólcmete Determcó de u cojuto U cojuto se puede expresr de dos mers: por extesó y por compresó. Por extesó: U cojuto es expresdo por extesó cudo se eumer todos sus elemetos que lo coform. Por ejemplo: El cojuto de los colores prmros: A { zul, rojo, mrllo } B, e,, o, u El cojuto de ls vocles: Por compresó: U cojuto es expresdo por compresó cudo se euc u propedd que verfc todos sus elemetos Por ejemplo: B = {x/x es u vocl del becedro} D = {x/x so los dís de l sem} Dgrm de Ve Los dgrms de Ve, que se debe l flósofo glés Joh Ve (84-88), srve pr represetr cojutos de mer gráfc usdo curv cerrds.

3 Semro Uverstro de Igreso 09 Iclusó: Relcoes etre cojutos U cojuto A est cludo e otro B, s y solo sí, todo elemeto de A perteece B. Notcó: A B A está cludo e B. A es subcojuto de B. A está cotedo e B. Ejemplo: El cojuto de los polígoos regulres está cludo e el cojuto de los polígoos. Iguldd de cojutos: Dos cojutos A y B so gules s todo elemeto de A tmbé perteece B y recíprocmete. Smbólcmete: A = B (A B) (B A) Cojutos Dsjutos: Dos cojutos so dsjutos cudo o tee elemetos comues. Defcoes Cojuto Vcío: Es u cojuto que o tee elemeto. Tmbé se lo llm cojuto ulo. Ngú elemeto le perteece. Se lo represet smbólcmete co o. Cojuto uversl: Es u cojuto o vcío tl que todos los cojutos so subcojutos de él. Smbólcmete U. Observcó: Todo cojuto cluye l como subcojuto

4 Semro Uverstro de Igreso 09 Complemeto de u cojuto: Ddo u cojuto uversl U y u cojuto A, se llm complemeto de A l cojuto formdo por todos los elemetos de U que o perteece l cojuto A. Smbólcmete: A o A = {x/x U x A} c A Observcó: c U c U Opercoes etre cojutos Uó de cojutos: El cojuto A uó B que se represet A U B es el cojuto formdo por todos los elemetos que perteece A, o B o mbos cojutos. A U B = {x/x A x B} Iterseccó de cojutos: El cojuto A terseccó B que se represet A B es el cojuto formdo por todos los elemetos que perteece smultáemete A y B. A B = {x/x B x A} Dferec de Cojutos: El cojuto A meos B que se represet A - B es el cojuto formdo por todos los elemetos que perteece A y o perteece B. A B = {x/x A x B}

5 Semro Uverstro de Igreso 09 El cojuto B meos A que se represet B - A es el cojuto formdo por todos los elemetos que perteece B y o perteece A. B A = {x/x B x A} Dferec smétrc: El cojuto A dferec smétrc B que se represet A Δ B es el cojuto formdo por todos los elemetos que perteece A o B pero o mbos smultáemete. A Δ B = {x/x (A-B) x (B-A)} Ejemplo: A= {x/x es prmo y meor que 0} B= {,,,4,5} AUB= {,,,4,5,7} A B= {,,5} A-B={7} B-A={,4} AΔB={,4,7}

6 Semro Uverstro de Igreso 09 Números turles El ombre surge por el proceso turl del hombre de cotr o eumerr elemetos u objetos de u cojuto. El cojuto de los úmeros turles se deot N. Se crcterz por teer prmer elemeto () y o teer últmo elemeto. N cuet co ftos elemetos, por lo que o result posble expresrlo por extesó. Hcedo buso de l otcó se puede escrbr: N,,,4,5,... S l cojuto de los úmeros turles se le greg el úmero cero (0), este uevo cojuto recbe el ombre de Nturles Ampldo y se deot co el símbolo N O. N O N 0 0,,,,4,5,... Se puede estblecer u correspodec buívoc etre los úmeros turles y los putos de u rect umérc. Pr ello se debe defr: Orge Setdo Segmeto udd U represetcó gráfc de N O e l rect umérc, se muestr e l Fg.(). Segmeto udd Observcó: E los úmeros turles ls opercoes de dcó y producto cumple l Ley ter, y que el resultdo de ests opercoes etre úmeros turles es tmbé u úmero turl. Opercoes y propeddes e N 0 Adcó e N 0 Ley de cerre: S b N : b N 0 0 Propedd soctv: Elemeto Neutro: 0 0 Cceltv: c b c b Uforme: S b c d c b d Propedd comuttv:

7 Semro Uverstro de Igreso 09 Sustrccó e N 0 L sustrccó o cumple l ley ter de N 0, pues l dferec de dos úmeros turles puede o ser u úmero turl (o lo es cudo el sustredo es myor que el muedo). Ejemplo. 5 N0 Cceltv: c b c b Uforme: S b c d c b d Producto e N 0 Ley de cerre: S b N0 :. b N0 Propedd soctv: Elemeto Neutro:.. Cceltv:. c b. c b Uforme: S b c d. c b. d Propedd comuttv: Propedd dstrbutv:.( b c). b. c Cocete e N 0 L dvsó, o es u opercó ter e N 0, pues el cocete de dos úmeros turles puede o ser u úmero turl (o lo es cudo el dvdedo o es múltplo del dvsor). Ejemplo: : 5 N0 Uforme: S b c d : c b : d Cceltv: : c b : c b Propedd dstrbutv: ( b) : c : c b : c ( b) : c : c b : c Números prmos E el cojuto de los úmeros turles, u úmero prmo (dstto de ) es quel que tee sólo dos dvsores: el msmo úmero y el. El cojuto de los úmeros prmos tee ftos elemetos. {,,5,7,,, } Máxmo comú dvsor (MCD) El MCD de dos o más úmeros turles es el myor úmero turl que los dvde. Pr clculrlo, fctorzmos los úmeros es decr, se geer l descomposcó como producto de fctores prmos. El MCD es el producto de los fctores comues co el meor expoete. S el MCD etre los úmeros es, los msmos so úmeros coprmos.

8 Semro Uverstro de Igreso 09 Mímo comú múltplo (mcm) El mcm de dos o más úmeros turles es el meor úmero turl que es múltplo de todos ellos. Pr clculrlo, fctorzmos los úmeros (descomposcó e fctores prmos). El mcm es el producto de los fctores comues y o comues co el myor expoete. Ejemplos: Clculr el MCD y el mcm etre 7 y 50: MCD (7;50) mcm (7;50) Clculr el MCD y el mcm etre 8 y 5: MCD (8;5) 4 mcm (8;5) 04

9 Semro Uverstro de Igreso 09 Números eteros L ecesdd de resolver opercoes de sustrccó e el cojuto N 0, e ls cules el muedo es meor que el sustredo, do orge l crecó de u uevo cojuto umérco, el cojuto de los úmeros eteros (Z). Este cojuto crece de prmer y últmo elemeto. Tee elemetos. Pr formr el cojuto Z se defe pr cd N, - cosderdo el opuesto de. Hcedo u buso de l otcó se puede escrbr l cojuto Z de l sguete mer: Z Z Z Z...,,,,0,,,,... N Z Z 0 0 Z 0 N Z Dode Z N / N Se represet e l rect umérc como dc el sguete gráfco: Observcó: Etre dos úmeros eteros exste u ctdd ft de úmeros eteros. Opercoes y propeddes de los úmeros eteros Se defe ls msms opercoes pr el cojuto de úmeros eteros vsts e N 0 y se coserv ls propeddes estblecds e dcho cojuto. Debemos teer e cuet lgus regls opertors, como ser: Regls de los sgos: : : : : L dvsó, o sempre es posble etre elemetos del cojuto Z, esto hce tereste estudr l ocó y cosecuec de l dvsbldd. Se, d Є Z co d 0. Se dce que d dvde (o que es dvsble por d, o que es múltplo de d) s exste u elemeto k Є Z tl que úmero etero). kd, (o se que el cocete /d es u

10 Semro Uverstro de Igreso 09 k K. d d Se debe teer u especl cuddo el ppel que desempeñ el cero e l dvsbldd: S el vlor de d=0, l expresó, cudo 0, crece de setdo, porque gú 0 úmero multplcdo por 0 podrí dr como resultdo. 0 Tmpoco tee setdo, y que culquer úmero d como resultdo 0 l ser 0 multplcdo por 0. Flt de ucdd e el resultdo, por lo tto es determdo. Potec e Z Bse Expoete Sgo del resultdo Pr + + Impr + - Pr + Impr - Rdccó e Z Ídce Rdcdo Sgo del resultdo + ± Pr - No tee solucó Impr Co ídce mpr, l ríz resultrá u úmero postvo o egtvo, cudo el rdcdo se postvo o egtvo, respectvmete: 7 7 Co ídce pr, s el rdcdo es postvo, l opercó tee doble solucó. Ejemplo: 4 y que 4 y ( ) 4

11 Semro Uverstro de Igreso 09 Ls ríces de bse egtv e ídce pr, o tee solucó e Z, y que gú úmero etero elevdo u expoete pr d por resultdo u úmero egtvo. Vlor bsoluto El vlor bsoluto de u úmero etero k se defe: k k s k 0 k s k 0 Ejemplos: El resultdo es u úmero postvo. Propeddes del vlor bsoluto 4 b b b b b b Números rcoles Es el cojuto cuyos elemetos se puede expresr como cocete de dos úmeros eteros. El cojuto de los úmeros rcoles se desg co Q. Q se expres smbólcmete de l sguete mer: Q / Z b Z 0 b Es frecuete utlzr los úmeros frccoros expresdos como úmeros decmles: 4 0,8 5, , E los úmeros rcoles, s e l expresó como úmero decml se observ l presec, e l prte decml, de cfrs que se repte defdmete prtr de certo orde, ests cfrs recbe el ombre de período.

12 Semro Uverstro de Igreso 09 0,... 0, Peródco puro 0,... 0, 5 Peródco mxto U úmero decml peródco puede escrbrse como cocete etre úmeros eteros. Esto tee mportc pr l represetcó de los úmeros rcoles sobre l rect umérc, y que l ubccó de u úmero rcol sobre l msm podrá efecturse co myor fcldd y precsó. Por ejemplo: Peródco puro, Peródco Mxto 5, Observcoes: X=,.. 0.X=, Restmos membro membro -9.X = - X=-/(-9) X= 4/ Luego:, = 4/ X= 5,.. 00.X=5, 0.X= 5, Restmos membro membro 90.X = 78 X=78/90 X= 689/45 Luego: 5, = 689/45 E Q exste el verso multplctvo: ddo u úmero rcol, 0, exste otro rcol que l multplcrlos d como resultdo el eutro del producto, el.. es el recíproco de. Etre dos úmeros rcoles exste ftos úmeros rcoles. Por tl motvo, Q es u cojuto deso.

13 Semro Uverstro de Igreso 09 Números reles S u úmero posee fts cfrs decmles o peródcs, o puede escrbrse como u cocete etre úmeros eteros, es decr, o es u Número Rcol. Estos úmeros recbe el ombre de Números Irrcoles (I) Exste ftos úmeros rrcoles, lguos de ellos so: L dgol del cudrdo de ldo : El úmero e, presete e muchos modelos mtemátcos de procesos turles. L relcó etre l logtud de u crcuferec y su rdo: π S u úmero rrcol es rdcl cudrátco o u combcó de ellos, se puede represetr costruyedo trágulos rectágulos (se utlz el teorem de Ptágors dode l hpoteus es el úmero represetr). Por ejemplo, represetmos: El cojuto, formdo por l uó de los úmeros rcoles (Q) y los rrcoles (I), se llm cojuto de los Números Reles y se desg por R. Se estblece u relcó buívoc etre el cojuto R y los putos de l rect umérc. Es decr, cd puto de l rect le correspode u úco úmero rel y recíprocmete.

14 Semro Uverstro de Igreso 09 Opercoes y propeddes e R Poteccó e R E l opercó = b, e el cul es l bse, el expoete y b l potec, co l codcó de que l bse y el expoete o se smultáemete ulos, se verfc:. Propedd uforme: b b. Propedd dstrbutv co respecto l producto y l cocete: b b ) ( b b : ) : (. Producto de potecs de gul bse: m m 4. Cocete de potecs gul bse: m m m : 5. Potec de expoete ulo: : 0 co 0 6. Potec de u potec: m m 7. Potec egtv: 8. Expoete frccoro: c b c b 9. Cudrdo de l sum o de l dferec: b b b 0. Cubo de l sum o de l dferec: b b b b Rdccó e R b b Se verfc ls sguetes propeddes:. Propedd uforme: b b. Propedd dstrbutv respecto del producto y el cocete: b b ) ( b b : ) : (. Ley de smplfccó: es el rdcdo es el ídce, y ЄN b es l ríz

15 Semro Uverstro de Igreso Ríz de ríz. S es mpr: S es pr: m m 5 5 Ejemplo: m m m 5. Amplfccó m. r m. r Ejemplo: Opercoes co rdcles: Extrccó e troduccó de fctores de u rdcl: Extrccó: Teemos que teer e cuet que sólo se podrá extrer del rdcl quellos fctores cuyo expoete se gul o myor que el ídce de l ríz x. y. x. y.. x. y. y. x. y. y Itroduccó: Es el proceso verso l extrccó y pr ello bst co hllr fctores equvletes que coteg el msmo ídce del rdcl Adcó y sustrccó Sólo puede operrse térmos que teg rdcles semejtes. Dos rdcles so semejtes s tee el msmo ídce y el msmo rdcdo b b Producto y cocete : 5: Ejemplos de opercoes combds plcdo propedd dstrbutv: ( 5 )

16 Semro Uverstro de Igreso 09 ( ).( ) 4 4 Pr multplcr o dvdr rdcles co dstto ídce, es ecesro covertrlos comú ídce. Ecotrr u comú ídce es ecotrr rdcles que, sedo equvletes los ddos, teg u ídce comú. Ejemplo : = Se reduce comú ídce: ; 5 ; 5 U ltertv es buscr el mcm etre los ídces 0, y 5: mcm ( 0,,5) = Ejemplo : Rcolzcó de deomdores: : 5 : 5 : 65 8 Se llm rcolzcó l procedmeto medte el cul se logr covertr u expresó co deomdor rrcol e otr equvlete co deomdor rcol. Se puede presetr dos csos: U térmo e el deomdor Dos térmos e el deomdor ( 5) ( 5).( 5)

17 Semro Uverstro de Igreso ( 5 )..( 5 ) Itervlos Los tervlos so subcojutos de R que se puede represetr gráfcmete e l rect umérc. INTERVALOS FINITOS. Defcó: Ddos dos úmeros reles y, llmmos tervlo de extremos y l cojuto formdo por todos quellos úmeros reles compreddos etre y. S los extremos perteece o o l tervlo se dstgue: ) Itervlo cerrdo: Es quel l cul perteece sus extremos. Smbólcmete: Su represetcó gráfc es: [ ] b b) Itervlo berto: Idétco l teror, pero él o perteece los extremos. Smbólcmete: Su represetcó gráfc es: ( ) b c) Itervlos sembertos o semcerrdos: Cotee solo uo de sus extremos. c) Aberto por zquerd y cerrdo por derech: Smbólcmete: Su represetcó gráfc es: ( ] b c) Cerrdo por zquerd y berto por derech: Smbólcmete: Su represetcó gráfc es:

18 Semro Uverstro de Igreso 09 INTERVALOS INFINITOS. [ ) b Ddo el tervlo, l msmo perteece todos los úmeros reles meores o gules que. se lee "meos fto" y o smbolz u úmero rel. Su represetcó gráfc es: L otcó de tervlo permte utlzr u uev smbologí pr el cojuto de los úmeros reles. ] Ejercco: Recorddo l defcó de vlor bsoluto x x 0 x x x 0 Hllr x 5 x 5 x 5 x 5 0 ( x 5) x 5 0 Altertv A Altertv B Exste dos ltertvs: A B Altertv A x 5 x 5 0 x 5 x 5 x 7 x 5 Altertv B ( x 5) x 5 0 x 5 5 x 5 x 5 x 5 x x 5 x x 5 t R :, 7,

19 Semro Uverstro de Igreso 09 Logrtmo: Logrtmo de u úmero es el expoete l que hy que elevr l bse pr obteer el rgumeto. Defcó: 0 b 0 b De l defcó de logrtmo podemos decr: No exste el logrtmo de u úmero co bse egtv No exste el logrtmo de u úmero egtvo No exste el logrtmo de cero El logrtmo de es cero log 0 El logrtmo e bse de es. log Propeddes de los logrtmos Producto El logrtmo de u producto e u bse dd, es gul l sum de los logrtmos de los fctores e es msm bse. log ( b c) log b log c Dvsó El logrtmo de u cocete e u bse dd, es gul l dferec etre el logrtmo del dvdedo y el del dvsor e es msm bse. log ( b : c) log b log c b log Potec El logrtmo de u potec e u bse dd es gul l producto etre el expoete de l potec y el logrtmo de l bse de l potec. c log b m mlog b Logrtmos decmles Se llm logrtmos decmles los logrtmos que tee por bse el úmero 0. log 0 x log x

20 Semro Uverstro de Igreso 09 Logrtmo Nepero o turl Se llm sí los logrtmos que tee por bse el umero e. log x l x Dode e es rrcol y proxmdmete gul e Cmbo de bses Se defe l logrtmo de x e bse (supoedo que, x y b so úmeros reles postvos y que tto como b so dsttos de ) de l sguete mer log log x log b b x Ejemplo: log 5 log 5 log

21 Semro Uverstro de Igreso 09 Números Complejos L resolucó de certs ecucoes e el cmpo de los úmeros reles do orge los úmeros complejos. ( x ) ( x ) x 4 L rdccó de ídce pr y rdcdo egtvo NO TIENEN SOLUCIÓN EN x 4. x. x. x x.. U úmero complejo e l form bómc se escrbe L prte rel de Z: L prte mgr de Z: Z b Represetcó gráfc Z b Potecs sucesvs de Desde 4 e delte se repte los vlores 4 r q S el expoete es efectudo l dvsó por 4

22 Semro Uverstro de Igreso 09 Ejemplo: ) ( Adcó Se Ejemplo: Z Z 4 5 Z Z Sustrccó Se Ejemplo: Z Z 4 5 Z Z 7 4 ) (5 Producto Se ).( Ejemplo: Z Z 4 5 Z Z ) 4 ).(5 (. Cojugdo Se, se defe l úmero complejo que coserv l msm compoete rel y posee l opuest de l compoete mgr, o se, Cocete Se = d c bc d d c bd c Ejemplo: Se Z 4 y Z. Clculr Z Z Z Z

23 Semro Uverstro de Igreso 09 Polomo de u sol vrble Se 0; ; ;...; úmeros reles y N 0, llmremos polomo de l vrble x tod expresó lgebrc eter de l form: 0 x x... x Los polomos se ombr co letrs myúsculs dcdo l vrble etre prétess. Ejemplo: P(x). P x x... x 0 El polomo será de grdo s el termo de myor grdo es A se lo llm termo depedete y su grdo es 0. 0 A se lo llm coefcete prcpl del polomo de grdo. Ejemplos: P x x x co 0. es u polomo de grdo 4 y su coefcete prcpl es 6. es u polomo de grdo y su coefcete prcpl es Q x T es u polomo de grdo 0 y su coefcete prcpl es 4. 4 El polomo 0 x 0 x... 0x 0 se lo llm polomo ulo.. Adcó y sustrccó de polomos Opercoes co polomos L dcó o sustrccó etre polomos d como resultdo u uevo polomo. Se P y Q dos polomos, e ests opercoes el resultdo se obtee operdo térmos que comprt el msmo grdo. Ejemplo: Se: 4 4 P x x x Q x x x Hllr P Q P Q 4 x x x 4 x x x 4 x x 0x 4 x x x 4 x x x 4 x x x 4 4

24 Semro Uverstro de Igreso 09 Polomos gules y opuestos Se P y Q S l sumrlos se obtee el polomo ulo, etoces so polomos opuestos S l restrlos se obtee el polomo ulo, etoces so polomos gules. Productos de polomos Cudo se multplc dos polomos, el resultdo es u polomo y su grdo es gul l sum de los grdos de los polomos fctores. Pr clculr el producto multplcmos cd uo de los térmos (moomos) de u polomo por cd uo de los térmos del otro polomo y opermos flmete etre los térmos de gul grdo (moomos semejtes). Ejemplo: Se P x x Q x P( x). Q( x) ( x x ).( x ) x 4 x x 6x x 6 x 4 x x 8x 6 Dvsó de polomos Ddos dos polomos R tles que: Sedo el grdo de P y Q, co P Q C R Q 0, exste úcos polomos Q. Q el dvsor, R meor que el grdo de P recbe el ombre de dvdedo, resto o resduo. Los polomos C y medte el sguete procedmeto: ) Order y completr los polomos C el de cocete y R se obtee l efectur l dvsó de P y Q. C y R es de P por Q b) Se dvde el térmo de myor grdo del dvdedo por el térmo de myor grdo del dvsor, el resultdo es u sumdo del cocete. c) Se multplc el sumdo del cocete obtedo e el pso teror por el dvsor, y el resultdo se rest del dvdedo, obteedo u resto prcl. d) S el grdo del resto obtedo e el pso teror es meor que el grdo del dvsor, se term el procedmeto, e cso cotrro, se repte los psos (b), (c) y (d), pero tomdo como dvdedo el resto obtedo e el pso teror. Ejemplo: Se 4 P x x x 6x Q x x

25 Semro Uverstro de Igreso 09 Hllr P : Q El cocete es C x 5 y el resto es R 8x 4 Se observ que el grdo del cocete es l dferec etre el grdo del polomo dvdedo y el grdo del polomo dvsor. Cudo el resto es gul cero (polomo ulo) el cocete result excto y e ess codcoes decmos que P es dvsble por Q, Q es dvsor de P o P es múltplo de Q. Ríces de u polomos U úmero rel es ríz de u polomo P, s P se ul pr E símbolos: x es ríz de P P( ) 0 x. Ejemplo: P( x) x P() 4x 4. 0 es ríz de P(x) Regl de Ruff L regl de Ruff es u procedmeto brevdo pr determr el cocete y el resto que se obtee l dvdr u polomo P por u polomo de l form x, co R, prtr de los coefcetes de P y el cero o ríz de x. A trvés de u ejemplo se plc l regl de Ruff. Se P 4x x 5x y Q x ) Colocmos los coefcetes de P (dvsor), ordedo y completo, e u fl. 4 5 b) Se determ l ríz o cero de sguetes estructur: Q (dvsor). Co est formcó geermos l

26 Semro Uverstro de Igreso x c) Se repte el proceso y el últmo vlor que se obtee es el resto de l dvsó. Cero de Q 4 5 coef. de P Coef de C resto C 4x 5x 40 R Como P Q C R, etoces (4x x 5x ) ( x ).( 4x 5x 40) Teorem del resto S se relz l dvsó de u polomo se ulo o de grdo cero. P por x, puede ocurrr que el resto Por lo tto: P Q C R S R r y Q x. S x, reemplzdo e l guldd teror. P ( ) C r P r ( ) ( ) ( )

27 Semro Uverstro de Igreso 09 Se puede hllr el resto de l dvsó, s hcer el lgortmo de l opercó, bst co hllr el vlor de P e x. Ejemplo: Determr el resto de dvdr P(x) y Q(x) P 4x 5x 4 Q x P ( ) 4( ) 5.( ) Por lo tto, es el resto de dvdr P(x) y Q(x) Fctorzcó de polomos Represet expresr u polomo como u producto. ) Fctor comú: Procedmeto Buscmos el fctor o los fctores comues que se ecuetre e todos los térmos del polomo. Se expres el polomo ddo como el producto del fctor comú por el polomo que result de dvdr cd térmo del polomo orgl por el fctor comú. Ejemplos: 6 4 4x 8x x x.(x 4x ) 5xy 0xy 5xy.(y 4) b) Fctor comú e grupo: Procedmeto: Se form grupos de gul ctdd de térmos que teg fctor comú, se sustre dcho fctor comú e cd u de los grupos. Debe quedr térmos co u prétess (fctor) comú. Se extre dcho prétess como fctor comú. Ejemplos: P 7x 5x 4x 0 7x 5x 4x x x x x x m r tm tr.( m r) t.( m r) ( m r).( t) c) Dferec de cudrdos: Procedmeto: Se preset l rest de dos térmos y cd uo de ellos está elevdo u potec pr. Se debe detfcr l rest (debe hber u solo sgo egtvo) y los cudrdos perfectos.

28 Semro Uverstro de Igreso 09 Clculo ls bses de los cudrdos perfectos (hcedo l ríz cudrd de cd uo) Trsformo l dferec de cudrdos e u producto de bomos cojugdos, formdo por dchs bses. Ejemplos : 9x 5 Ejemplos : 9x x etoces x x x x 8 ( x 9).( x 9) d) Tromo cudrdo perfecto: Recorddo que: x x x Procedmeto: Se recooce los cudrdos perfectos, los cules o puede ser egtvos. Se clcul el doble producto de ls bses y se verfc que ese resultdo se ecuetre e el tromo ddo. S el doble producto fgur e el tromo ddo, etoces es u tromo cudrdo perfecto. Se expres como el cudrdo de u bomo. Ejemplos: P 4x x 6 6 4x x x x 4 es u tromo cudrdo perfecto x 4 6 Etoces : P 4x x x 6 4 x ( x ) e) Cutromo cubo perfecto Recorddo que: x x x x Procedmeto: Se recooce los cubos perfectos Clculr:

29 Semro Uverstro de Igreso 09 El trple producto del cudrdo de l prmer bse por l segud. El trple producto de l prmer bse por el cudrdo de l segud. S estos cálculos so prte del cutromo ddo, etoces decmos que u cutromo cubo perfecto, y luego se expres como el cubo de u bomo. Ejemplo: P 8x 6x 54 x 7 8x x 7 es u cutromo cubo perfecto x 6x x 54x Etoces : P 8x 6x 54 x 7 x f) Sum o rest de potecs de gul grdo Se busc u ríz del polomo y se fctorz utlzdo l regl de Ruff Ejemplo: P 5 5 x Es ríz del polomo P(x) Ejemplo: x 8 x 4 4 P x x x x x x 8 ( x ).( x x 4) Dvsbldd: E este cso cosste e hllr los dvsores del polomo ddo. Esto lo efectumos medte l sguete propedd: S u úmero es ríz de u polomo P, dcho polomo es dvsble por ( x ), es decr, l dvdr P por x, el resto de l dvsó es cero

30 Semro Uverstro de Igreso 09 Por el teorem del resto teemos que: P( ) 0 P 0 ( x ) C P ( x ) C Este tpo de dvsó l podemos relzr co l regl de Ruff. Cálculo de ls ríces de u polomo: Pr clculr ls ríces de u polomo se gul 0 l expresó y se resuelve l ecucó. Ejemplos: Se P x es ríz de P(x) x ( x ). Se P x 7x x 7x 0 x 7x ( x ).( x ). x 4 x 4 Expresoes lgebrcs frccors Ddos dos polomos P y Q, tl que Q se dstto del ulo, se deom expresó lgebrc frccor tod expresó de l form: P Q Ejemplo: U expresó lgebrc es rreducble s o exste e ell fctores comues e el umerdor y el deomdor.

31 Semro Uverstro de Igreso 09 Smplfccó de expresoes lgebrcs frccors: Pr smplfcr u expresó lgebrc frccor se debe fctorzr el umerdor y deomdor y smplfcr los fctores comues presetes e mbos; de est mer se obtee u expresó rreducble equvlete l orgl. El objetvo de smplfcr, es reducr l expresó y poder efectur opercoes e form más secll. Ejemplo: x x x x x x x x x ( x ) Sum y rest de expresoes lgebrcs frccors: S ls expresoes tee gul deomdor, se sum o se rest sus umerdores, segú correspod. Pr expresoes de dstto deomdor, ests se debe trsformr e otrs, equvletes ls dds, que teg el msmo deomdor. Este deomdor (comú) es el mcm de los deomdores de ls expresoes. Ejemplo:.( x ) x ( x ).( x ).( x ).( x ).( x ) x x : x ^ x Multplccó de expresoes lgebrcs frccors: El resultdo de multplcr dos expresoes lgebrcs frccors es otr expresó lgebrc frccor cuyo umerdor y deomdor so el producto de los umerdores y deomdores de ls expresoes dds: P T P T Q S Q S Ejemplo: x 4 x ( x ).( x ) x.. x 4x 8.( x ) 4.( x ) x 8 Dvsó de expresoes lgebrcs frccors: El resultdo de dvdr dos expresoes lgebrcs frccors es otr expresó lgebrc frccor que se obtee multplcdo l prmer expresó por l recproc de l segud:

32 Semro Uverstro de Igreso 09 P T P S : Q S Q T Ejemplo: x x x : 5x 0 x x ( x ) x.( x ) ( x ) x.( x ).( x ).( x ) : : 8x 5.( x ) x.( x 4) 5.( x ) x.( x ).( x ) 5

33 Semro Uverstro de Igreso 09 Sstem de coordeds crtess El sstem de coordeds crtess (Reé Descrtes) cost de dos ejes perpedculres etre sí. L terseccó etre los ejes determ el orge de coordeds (O). El eje horzotl se deom eje de bscss y el eje vertcl se llm eje de ordeds. Estos ejes perpedculres dvde l plo e cutro cudrtes. Coocedo ls coordeds de u puto este puede ubcrse e el plo. P,. Ejemplo: Dstc etre dos putos del plo Se P x, y y P x, y

34 Semro Uverstro de Igreso 09 PP x x y y PP x x y y d PP x x y y Fórmul de dstc etre putos Ejemplo: Hllr l dstc etre los putos P(;-) y P(6;). d ( P, P ) (6 ) ( ) Puto medo de u segmeto Pr clculr ls coordeds del puto medo de u segmeto relzr el promedo etre ls coordeds de los extremos., se debe x y x x y y Ecucó de l rect Defcó: U lugr geométrco es u cojuto de putos del plo que stsfce determds propeddes geométrcs.

35 Semro Uverstro de Igreso 09 Defmos rect como el lugr geométrco de los putos del plo, tles que, tomdo dos putos dferetes culesquer P x, y y P x, y del lugr geométrco, el vlor de l pedete m clculd por medo de l expresó: y y m, x x I x x result costte. Exste dferetes forms de escrbr l ecucó de l rect. L ecucó geerl o mplíct de l rect tee l sguete estructur: L ecucó explíct es l orge, dode m es l pedete y b l orded Ejemplo: Represetcó gráfc de y=x-5 L pedete (m) dc l vrcó de l vrble depedete (y), por cd udd que vrí l vrble depedete (x), es decr, l ctdd de uddes que dsmuye o umet y por cd udd que se cremet x. L Orded l orge (b) es u vlor que dc dode l rect tersect l eje de ordeds. Ddo que l terseccó es u puto, este tedrá como coordeds (0,b).

36 Semro Uverstro de Igreso 09 Ecucó de l rect ddo u puto y l pedete Por u puto del plo ps fts rects. Cosdermos el hz de rects que ps por el puto P (x 0,y 0). L ecucó explíct de u rect del plo es: y = m. x + b () S l rect ps por P sus coordeds verfc l ecucó teror. y 0 = m. x 0 + b () Restdo membro membro () y () y scdo fctor comú m: y- y 0 = m. x + b ( m. x 0 + b) y- y 0 = m. x + b m. x 0 - b) y - y 0 = m. (x - x 0) Coclusó: Podemos ecotrr l ecucó de l rect teedo como dtos l pedete y u puto perteecete ell. Ejemplo: Hllr l ecucó de l rect de pedete ½ y ps por el puto P 0(;5). y - 5 = /. (x -) y - 5 = /.x - y = /.x +4

37 Semro Uverstro de Igreso 09 Ecucó de l rect que ps por dos putos Por dos putos ps u sol rect. Cosderemos los putos P 0 (x 0,y 0) y P (x,y ), perteecetes l rect. Ddo que cd puto perteece l rect, sus coordeds stsfce l ecucó de l rect. y 0 = m. x 0 + b y = m. x + b Restmos membro membro. y - y 0 = m. x + b (m. x 0 + b) y - y 0 = m. x + b m. x 0 - b y - y 0 = m. (x - x 0 ) y x y x 0 0 m Hbedo obtedo el vlor de l pedete de l rect y teedo e cuet que l rect ps por el puto P (x,y ), usmos l ecucó terormete obted. y - y0 = m.(x - x 0 ) Reemplzmos el vlor de m. Acomodmos l ecucó y y0 y - y 0 =.(x - x 0 ) x x 0 y - y 0 x - x 0 = y y x x 0 0 Ejemplo: Hllr l ecucó de l rect que ps por los putos P 0(;5) y P (;4) y - 5 x - = 4 5 y - 5 x - = y -5 = (x -).(-) y x 5 y x 6

38 Semro Uverstro de Igreso 09 Poscoes reltvs de l rect Dos rects so prlels s tee l msm pedete. Se l : y m x b Etoces l // l s y solo s m Ejemplo: m l : y m x b y =. x + y =. x y =. x - So rects prlels. Tee gul pedete m = Dos rects so perpedculres cudo el producto de sus pedetes es -. Se: Etoces l l s y solo s m m l : y m x b l : y m x b

39 Semro Uverstro de Igreso 09 Ejemplo: l : y = - ½. x - l : y =. x + 4 m.m = -. Ejercco: Hllr l ecucó de l rect perpedculr -4x+y+8=0 y pse por P 0(-,) Se escrbe l ecucó de l rect e form explíct -4x+y+8=0 y=4x-8 y=x-4 m.m.m m = = = y y x y x ( x ) Sstem de dos ecucoes leles co dos cógts U ecucó lel co dos cógts es u expresó de l form: x by c dode bc,, so vlores umércos (coefcetes) y ls cógts so x e y. Gráfcmete represet u rect e el plo. U sstem de dos ecucoes leles co dos cógts será de l form: x by c ' x b' y c' Resolver el sstem mplc ecotrr los vlores de ls vrbles que stsfce mbs ecucoes. Gráfcmete lo que teemos so dos rects e el msmo plo. E este tpo de sstem de ecucoes se puede presetrse los sguetes csos:

40 Semro Uverstro de Igreso 09 Sstem comptble: el sstem dmte solucó. Sstem comptble determdo (S.C.D.): El sstem tee úc solucó. L represetcó gráfc cost de dos rects que se cort e u puto; los vlores de x e y de este puto so l solucó l sstem. Sstem comptble determdo (S.C.I.): el sstem dmte fts solucoes. L represetcó gráfc so dos rects cocdetes. Todos los putos de ls rects so solucó del sstem. Sstem comptble: el sstem o dmte solucó. E este cso, su represetcó gráfc so dos rects prlels. Métodos lítcos de resolucó

41 Semro Uverstro de Igreso 09 Método de susttucó º Despejr u cógt e u de ls ecucoes. º Susttur e l otr ecucó l cógt despejd. º Resolver l ecucó resultte, que es de prmer grdo y obteemos el vlor de u de ls cógts. 4º Susttur el vlor obtedo e l ecucó despejd e el º pso y l resolvemos 5º Verfcr los resultdos obtedos Ejemplo: x y 7 I x y II De l ecucó I y7 x E l II x x y 7 y 7 x 0 : ( 5) x 6x x Verfccó x 5x 0 Solucó: x; y S (;) S. C. D.

42 Semro Uverstro de Igreso 09 Método de sums y rests Cosste e cosegur que l sumr o restr dos ecucoes del sstem resulte u ecucó co u sol cógt. Pr ello será ecesro multplcr u ecucó y e lguos csos ls dos ecucoes por úmeros coveetes pr que e ls dos ecucoes los coefcetes de u de ls cógts se úmeros opuestos o gules. Ejemplo: x y 9 I x y 0 II Multplcdo por l II x y 9 I 6x y 40 II Sumdo membro membro ls dos ecucoes xy9 6xy40 7x 49 x 7 Clculmos el vlor de l otr cógt susttuyedo l x e culquer de ls dos ecucoes. 7 y 9 E l I quedrí: y 9 7 y y Solucó: x7; y S (7;) S. C. D. Método de guldd º Despejr l msm vrble de ls dos ecucoes º Igulr ls dos expresoes

43 Semro Uverstro de Igreso 09 º Resolver l ecucó resultte y obteer el vlor de u de ls cógts. 4º Susttumos el vlor de l cógt obted e culquer de ls ecucoes despejds e el º pso. Ejemplo: S (4;) S. C. D. Método de Crmer Sstems de tres ecucoes leles co tres cógts E u sstem de x, el vlor de ls vrbles se obtee prtr del cocete etre determtes de l sguete mer: Se

44 Semro Uverstro de Igreso 09 Pr clculr los determtes plcmos l Regl de Srrus. Regl de Srrus A l sum del producto de los elemetos de ls dgoles que tee l dreccó de l prcpl, se le rest l sum del producto de los elemetos que se ecuetr sobre ls dgoles que posee l dreccó de l secudr. Dgol prcpl Dgol secudr ( ) Ejemplo. Resolver (-).(-)-[..+(-)..+.(-).]= S S. C. D. (; ; )

45 Semro Uverstro de Igreso 09 Trgoometrí L trgoometrí es u de ls rms de l mtemátc, cuyo sgfcdo etmológco es l medcó de los trágulos. Se derv del vocblo grego trgōo: "trágulo" y metro: "medd". L trgoometrí estud ls relcoes etre los águlos y los ldos de los trágulos. Pr esto se vle de ls rzoes trgoométrcs, ls cules so utlzds frecuetemete e cálculos téccos. Por lo tto, el objetvo de ést es estblecer ls relcoes mtemátcs etre ls medds de ls logtudes de los segmetos que form los ldos de u trgulo co ls medds de sus águlos, de mer que resulte posble clculr uos medte los otros. MEDIR u águlo, es sgrle u úmero de mer tl que, ese úmero, permt reproducrlo e culquer prte, s ecesdd de trsportrlo mterlmete de u lugr otro. Sstem de medcó de águlos Recordmos lguos coceptos relcodos co los sgos de los águlos y ls uddes e que se mde los msmos. Sgos de los águlos: Tomremos como águlo postvo quel que se obtee de hcer rotr u semrrect e setdo thorro. Y como águlo egtvo quel que se obtee de hcer grr u semrrect e setdo horro. Postvo Negtvo Sstem de medcó de águlos Alzremos dos sstems dferetes que se us pr expresr l medd de u águlo. Estos sstems so el Sstem Sexgesml y el Sstem Crculr. Sstem sexgesml S dvdmos u crcuferec de rdo culquer e 60 rcos gules y umos los putos de dvsó co el cetro, obtedremos 60 águlos gules cd uo de los cules se sg el vlor de u grdo sexgesml ( ). Este sstem utlz como udd de medd de los águlos, el grdo sexgesml ( o ). L revolucó complet correspode 60 o. El grdo sexgesml posee submúltplos (mutos y segudos), los cules verfc ls sguetes equvlecs:

46 Semro Uverstro de Igreso 09. Sstem crculr. o correspode 60 correspode 60 Este sstem utlz como udd de medd el rd. U águlo mde u rd ( rd) cudo descrbe u rco de crcuferec cuy logtud es gul l rdo de l msm. Pr sber cuátos rdes mde u águlo determdo, debemos sber cuáts veces cbe el rdo de l crcuferec e el rco de l msm recorrdo por dcho águlo. L medd de u águlo qued defd e este sstem, como el cocete etre l logtud del rco y l logtud del rdo (r). S desgmos co α l águlo de vértce cocdete co el cetro de l crcuferec: El águlo de u gro mde rdes. El águlo de medo gro mde rdes. El águlo recto mde rdes. L mtd de u águlo recto mde rdes. E el águlo llo (80º), s queremos sber cuts veces etr el rdo e med crcuferec veremos que lo hce veces. De est mer podemos completr l revolucó: L revolucó complet correspode π Rd. De est mer podemos estblecer equvlecs etre el sstem sexgesml y el crculr. Por ejemplo: π rd equvle 80 o E el sstem de medd e rdes, el águlo de u rdá (logtud del rco gul l medd del rdo) equvle u águlo del sstem sexgesml de ,80; e efecto: x= Ejemplo : S 0, expresrlo e rdes

47 Semro Uverstro de Igreso 09 80º 0º x rd 6 r Ejemplo : r S, expresrlo e el sstem sexgesml rd x Águlos de l fgur Exste tres tpos de águlos: gudo (meor de 90º) recto (gul 90º) obtuso (myor de 90º) Not: los águlos myores de 80 y meores de 60 se llm cócvos. ÁNGULOS CONSECUTIVOS. So quellos águlos que tee el vértce e comú y, como ldo comú, el fl de u águlo y el comezo del otro: Aquellos águlos cosecutvos cuyos ldos o comues form u águlo recto, se deom águlos complemetros. S los ldos o comues de dos águlos cosecutvos form u águlo llo, dchos águlos so suplemetros.

48 Semro Uverstro de Igreso 09 Los ldos o comues de dos águlos cosecutvos culesquer determ u águlo llmdo águlo sum. Rects prlels cortds por u trsversl. L trsversl cort y e dos putos, formdo los águlos terores,, y los águlos exteros,,,. Los pres de águlos, y, se deom lteros teros. Los águlos lteros teros so cogruetes. Los pres de águlos, y, so lteros exteros. Los águlos lteros exteros so cogruetes. Los pres de águlos, ;, ;, y, so correspodetes. Los águlos correspodetes so gules. Los pres de águlos ; so cojugdos teros. Estos águlos so suplemetros. Los pres de águlos ; so cojugdos exteros. Estos águlos so suplemetros. Rzoes trgoométrcs Ls rzoes trgoométrcs de u águlo α so ls rzoes obteds etre los tres ldos de u trágulo rectágulo. se cteto opuesto hpoteus cos cteto dycete hpoteus cteto opuesto t cteto dycete L cosecte (cosec) de u águlo es l rzó recíproc del seo. hpoteus cos ec se ct. opuesto

49 Semro Uverstro de Igreso 09 L secte (sec) de u águlo es l rzó recíproc del coseo. hpoteus sec cos ct. dycete L cotgete (cotg) de u águlo es l rzó recíproc de l tgete ct. dycete cot g tg ct. opuesto Ejemplo : Resolver el trágulo rectágulo de l fgur coocdo u cteto y u águlo gudo. ) Cálculo de : Los águlos y so complemetros. B C 90 C 90 B b) Cálculo de l hpoteus ( ): cos B c c cos B b) Cálculo de b: tg B b c b c tg B Sgos de ls rzoes trgoométrcs e los cutro cudrtes

50 Semro Uverstro de Igreso 09 Relcoes etre ls rzoes trgoométrcs Ddo los ejes de coordedos xy y el orge de coordeds O, l trzr u crcuferec geérc co cetro e O, el puto de corte de l crcuferec co el semeje postvo de ls x, lo señlmos E. L rect r, que ps por O y form u águlo co el eje x, cort l crcuferec e el puto B. L vertcl que ps por E cort l rect r e el puto D. Por semejz trágulos: CB ED OC OE Los putos E y B está e l crcuferec de cetro O, por eso ls dstcs OB y OE so el rdo de crcuferec. S cosdermos l crcuferec de rdo, se verfc: CB CB se OB OC OC cos OB CB DE DE tg OC OE Reemplzdo () e (), teemos: se cos tg Cosderdo el trágulo rectágulo ABC CB OC OB (segú Fg. ), por el teorem de Ptágors: Reemplzdo () e (), y sbedo que OB rdo teemos: se cos Lo que llmremos relcó ptgórc de l trgoometrí.

51 Semro Uverstro de Igreso 09 Rzoes trgoométrcs de 0º, 45º, 60º Puede obteerse fáclmete relzdo lgus cosdercoes geométrcs: 0 ) 0 M Dbujmos los trágulos POM y MOQ, resultdo: 0 P O Q 60, lo que mplc que el trgulo POQ es equlátero, co: PQ r OP r OM OM OM r PM PM MQ r r r OM OM OM r se 0º se0º r r cos 0º cos 0º r r tg 0º tg0º tg0º r r 4 r r r

52 Semro Uverstro de Igreso 09 0 b) 45 El trgulo POM es sósceles x y por el teorem de Ptágors: r x y Y sedo x y, reemplzdo e l ecucó teror, teemos: r x x r x y r r x r Resultdo: 0 0 se45 cosec45 cos sec 0 0 cotg tg c) Pr obteer los ldos OM y PM; comprr co l fgur que correspode 0.

53 Semro Uverstro de Igreso se60 cosec cos60 sec60 tg cotg 60 Ls deduccoes precedetes puede resumrse e el sguete cudro: Observcó: se cos( 90 ) Idetddes trgoométrcs U detdd es u guldd que se cumple pr todos los vlores permsbles de l vrble. A cotucó, dremos u óm de detddes (s demostrr) que etedemos resultdo de coocmeto eludble pr u estudte de geerí. tg tg tg tg tg tg tg tg se se cos cos se se se cos cos se cos cos cos se se cos cos cos se se tg tg Resolucó de u trágulo rectágulo Resolver u trágulo rectágulo es hllr uo o más elemetos descoocdos prtr de los elemetos (ldos y águlos) coocdos.

54 Semro Uverstro de Igreso 09 Relcó etre los ldos. Teorem de Ptágors El cudrdo de l hpoteus es gul l sum de los cudrdos de los ctetos. S ABC es u trágulo rectágulo, el cudrdo de l logtud de l hpoteus es gul l sum de los cudrdos de ls logtudes de los ctetos. Ejemplo: Resolver el trágulo rectágulo de l fgur, coocedo dos de sus ctetos. Cálculo de l hpoteus ( ) plcmos el Teorem de Ptágors: Relcó etre los águlos. Sum de los águlos terores de u trágulo. B A C

55 Semro Uverstro de Igreso 09 S se cort los águlos y se dspoe como e l fgur sguete, se observ que: B A C A B C 80 º L sum de los águlos terores de u trágulo es gul 80 Observcoes: E u trágulo myor ldo se opoe myor águlo. U ldo de u trágulo es meor que l sum de los otros dos y myor que su dferec. S l sum de los águlos terores de u trágulo es 80º, puede demostrrse fáclmete que l mpltud de u águlo extero de u trágulo es gul l sum de los águlos terores o dycetes. Teorem del seo Los ldos de u trágulo so proporcoles los seos de sus águlos opuestos sea b seb c sec Demostrcó: Pr demostrrlo plcmos l estrteg de l ltur. Trzmos l ltur h desde el vértce C. Los trágulos AHC y BHC so rectágulos. Por tto: h se A h b se A b b b se A seb h se A se B seb h seb

56 Semro Uverstro de Igreso 09 Est es l prmer de ls gulddes buscds. S trzmos l ltur desde el vértce B, relcorímos los ldos y c co sus águlos opuestos, obteedo: sea c sec Se complet, sí, l cde de gulddes que querímos demostrr. Teorem del coseo El cudrdo de u ldo es gul l sum de los cudrdos de los otros dos ldos meos el doble producto de dchos dos ldos por el coseo del águlo compreddo etre ellos: b c bc cos A Demostrcó: Trzmos l ltur h, sobre el ldo b: H b c c cos B c b b cos C AH cos A AH c cos A c AH CH bb AH b b c c. cos cos( A) Aplcdo el teorem de Ptágors los trágulos AHB y BHC y teedo e cuet ls desgulddes terores, result: h HC h b c cos A h b c cos A bc cos A c h AH h c cos A h c cos A

57 Semro Uverstro de Igreso 09 Restdo: Despejdo: c b bc cos A b c bc cos A De form álog se llegrí ls otrs dos relcoes.

58 Semro Uverstro de Igreso 09 Fucoes Pr qué srve ls fucoes? ) E l Físc Sbemos que l suspeder u peso de u resorte, éste se lrg, podrímos determr l ley que rge este lrgmeto, l meos pr u determdo tervlo? Serí como trtr de expresr el lrgmeto del resorte e fucó del peso. b) E Químc E el lbortoro de Químc, podemos estudr l tempertur de u ms de gu co respecto l tempo e que es sometd l clor? Se trt de relcor l tempertur e fucó del tempo. c) E Ecoomí U vestgdor suele expresr: el cosumo e fucó del greso, tmbé l ofert e fucó del preco, o el costo totl de u empres e fucó de los cmbos de produccó, etre otros muchos ejemplos dode se lz cómo se comport u vrble e respuest los cmbos que se produce e otrs vrbles. L plbr fucó se us frecuetemete pr dcr u relcó o depedec de u ctdd respecto de otr. Por ejemplo: - El áre de u cudrdo depede de l logtud de su ldo. - El cosumo de eergí eléctrc depede de l époc del ño. U relcó que cd elemeto de A le sg uo y sólo u elemeto de B, lo llmremos fucó. Defcó U fucó f : A B es u relcó que sg cd elemeto x Auo y sólo u elemeto y B. Se deot y f (x) U relcó es fucó s cumple co ls codcoes de exstec y ucdd. Exstec: Pr todo elemeto del cojuto de prtd, exste por lo meos u elemeto del cojuto de llegd co el cul se relco. A: Cojuto de prtd (Domo) B: Cojuto de llegd (Codomo) f : A B A, b B / b f ()

59 Semro Uverstro de Igreso 09 Ucdd: Cd elemeto del cojuto de prtd se ecuetr relcodo co u úco elemeto del cojuto de llegd. b f () c f () b = c Ejemplo: Determr s ls sguetes relcoes so fucoes. A B A B No es fucó No cumple exstec ucdd Es fucó Ls fucoes se utlz como herrmet pr modelzr u stucó problemátc. No se trt de u tbl de vlores, o es u expresó smbólc, o es u gráfco. Es todo lo teror de mer tegrd. Iterpretcó gráfc U fucó es u relcó etre los elemetos de dos cojutos tles que todos los elemetos de u cojuto cl que llmremos Domo, le sg uo y solo uo de los elemetos del cojuto fl, que llmmos Codomo. U relcó etre dos vrbles es fucó s cd vlor de l vrble depedete le correspode u úco vlor de l vrble depedete. El domo de u fucó f es el cojuto de todos los vlores que puede tomr l vrble depedete x. Se lo smbolz Dom f.

60 Semro Uverstro de Igreso 09 L mge de u fucó f es el cojuto de todos los vlores que tom l vrble depedete y. L mge es u subcojuto del codomo. Se lo smbolz Im f. Itroduccó l álss de fucoes Ls crcterístcs de ls fucoes se utlz como herrmets pr resolver problems. Por ejemplo, lzr el crecmeto o decrecmeto de u gráfc, recoocer los extremos e terpretr estos coceptos e el cotexto de u problem es u mer efcete de lzr modelos mtemátcos. Revsremos lguos de estos coceptos pr poder plcrlos l resolucó de problems. Itervlo de crecmeto: U tervlo es crecete cudo l umetr el vlor de l vrble depedete, umet tmbé el vlor de l vrble depedete. Itervlo de decrecmeto: U tervlo es decrecete cudo l umetr el vlor de l vrble depedete, dsmuye el vlor de l vrble depedete. Itervlo costte: U tervlo es costte cudo l umetr el vlor de l vrble depedete, o se produce vrcoes e l vrble depedete. Máxmo: Es u puto de l fucó e el cul ést ps de ser crecete decrecete. Mímo: Es u puto de l fucó e el cul ést ps de ser decrecete crecete. Ríces o ceros: So los vlores del domo que tee por mge cero. Gráfcmete es l terseccó de l fucó co el eje de bscss. Fucó lel Es u fucó polómc de prmer grdo cuy represetcó e el plo crteso es u rect. Su form es:

61 Semro Uverstro de Igreso 09 m y b so úmeros reles. Pr obteer l terseccó de l gráfc co el eje de ordeds, el eje y, l vrble depedete x vle cero. f m. x b f (0) m.0 b f (0) b Por lo tto, el vlor b dc l orded l orge, es decr, l terseccó de l rect co el eje de ordeds. Co el dto de l orded l orge, etoces, teemos u puto de l rect. Pr grfcrl ecestmos otro más. Pr ecotrrlo, utlzmos el otro dto de l fucó lel, el úmero rel m, que represet l pedete de l rect, l cul está relcod co el águlo de clcó que tee l rect respecto l horzotl. f(x) = Domf R Im f R It. crec.: ( ; ) Ríz : x 4 Ejemplo Escrb l fucó lel que expres l relcó etre kg y lbrs. Recordr que. x: ctdd de Kg y: ctdd de lbrs.

62 Semro Uverstro de Igreso 09 Fucó cudrátc L curv que represet u fucó cudrátc es l prábol que modelz stucoes como: El lzmeto de u proyectl. Ls tes prbólcs steltles y de telefoí. Los techos de glpoes so prbólcos. Los puetes colgtes. L form polómc de u fucó cudrátc es: f x b. x c 0 Pr hllr ls ríces se gul l fucó 0 y se resuelve l ecucó cudrátc. Pr determr ls coordeds del vértce se utlz ls sguetes estructurs: Ejemplo: : Ls fucoes que se utlzro e l modelzcó de los problems terores está formdo por uo o más térmos; cd uo de los cules se los llm MONOMIOS. Cudo l fucó está formd por vros térmos, l expresó se l suele llmr POLINOMIO. El grdo de l fucó polómc es el myor expoete que fect l vrble. Fucoes rcoles U fucó rcol es u fucó que puede escrbrse como cocete de dos polomos.

63 Semro Uverstro de Igreso 09 S el deomdor es u úmero (u polomo de grdo 0), etoces l fucó es u polomo. Por lo tto, vmos cosderr solmete fucoes rcoles cuyo deomdor es u polomo de grdo myor que 0. Ejemplo:

64 Semro Uverstro de Igreso 09 Fucó expoecl L fucó expoecl prece co frecuec e modelos mtemátcos de dferetes procesos evolutvos. Por ejemplo, ls mebs so seres ucelulres que se reproduce dvdédose e dos. Supogmos que ls codcoes de u cultvo so tles que ls mebs se duplc proxmdmete cd hor y que, clmete solo hy u meb. L fucó que represet l stucó teror es Gráfc de fucoes expoecles

65 Semro Uverstro de Igreso 09 Fucó logrítmc Represetcó gráfc de l fucó logrítmc