Curso de nivelación Estadística y Matemática

Transcripción

1 Curso de nivelación Estadística y Matemática Tercera clase: Introducción al concepto de probabilidad y Distribuciones de probablidad discretas Programa Técnico en Riesgo, 2017

2 Agenda 1 Concepto de probabilidad 2 discreta 3 Negativa

3 ¾Qué es el concepto de probabilidad? Concepto de probabilidad Ejemplo Es una especicación de con qué frecuencia ocurre un evento de interés particular entre un gran número de observaciones. Cuando el evento no ha ocurrido, se recurre al criterio experto (modelo subjetivo). Al mejorar la habilidad para juzgar la ocurrencia de eventos futuros, se puede minimizar el riesgo relacionadas con el proceso de toma de decisiones. Si queremos cuanticar la probabilidad de tener una pérdida futura.

4 Enfoque clásico Concepto de probabilidad Un experimento puede dar como resultado cualquiera de N diferentes resultados que tienen las mismas probabilidades de ocurrir, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad del evento A es P(A) = n N

5 Ejemplo Ejemplo A una clase de estadística para ingenieros asisten 25 estudiantes de ingeniería industrial, 10 de ingeniería mecánica, 10 de ingeniería eléctrica y 8 de ingeniería civil. Si el profesor elige al azar a un estudiante para que conteste una pregunta. ¾qué probabilidad hay que el elegido sea a) estudiante de ingeniería industrial, b) estudiante de ingeniería civil o estudiante de ingeniería eléctrica? P(Industrial) = P(Civil o Eléctrica) =

6 Métodos de conteo Permutación Número de maneras en que se pueden ordenar n objetos tomando r a la vez se denota por el símbolo npr. Donde npr = n! (n r)! n! = n (n 1) (n 2)

7 Métodos de conteo Combinaciones Número de combinaciones de n objetos distintos, tomando r a la vez es:. ( ) n n! ncr = = r r!(n r)!

8 Ejemplo Un capataz en una fábrica tiene tres hombres y tres mujeres a su cargo y desea elegir aleatoriamente a dos de sus trabajadores para una labor especial. Cuál es la probabilidad de se escojan un hombre y una mujer? Respuestas ( 3 )( 3 ) P(2Mujeres) = 1 1 ( ) =

9 Proceso de un experimento Si queremos cuanticar la probabilidad de una pérdida futura Primero, debemos revisar observaciones historicas del evento de interés. Luego, intentamos modelar el comportamiento de este evento = Para esto utilizamos las Distribuciones de probabilidad. Por último, estimamos la probabilidad de tener una pérdida futura.

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11 Concepto de probabilidad discreta ¾Qué es una variable aleatoria? Ejemplo Es una variable cuyo valor es el resultado de un evento aleatorio. Transforma eventos de un espacio muestral en eventos númericos. Esta puede ser discreta o continua. Experimento de créditos formalizados entre el 2000 y el 2013, donde podemos ver entre otras variables aleatorias morosos, proceso judicial, etc.

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13 Concepto de probabilidad discreta ¾Qué es una variable aleatoria discreta? Ejemplo Es una variable aleatoria que puede asumir sólo ciertos valores, con frecuencia número enteros, y resulta principalmente del conteo. El número de resultados posibles es limitado o nito. que un banco quiebre dada la situación internacional actual.

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15 Concepto de probabilidad discreta ¾Qué es una función de probabilidad? Es una lista de todos los posibles resultados posibles de algún experimento y de la probabilidad relacionada con cada resultado.

16 discreta Ejemplo distribución de probabilidad discreta Ejemplo Imaginemos que lanzamos dos veces un dado perfectamente equilibrado y sumamos los valores de las caras de ambos lanzamientos. En este caso la variable de interés (variable aleatoria), es la suma de las caras.

17 discreta Ejemplo distribución de probabilidad discreta Espacio muestral (Posibilidades) Suma de las caras (X ) # de ocurrencias P(X = x) (1,1) 2 1 1/36 (1,2),(2,1) 3 2 2/36 (1,3),(2,2),(3,1) 4 3 3/36 (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 5 4 4/36 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 6 5 5/36 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 7 6 6/36 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 8 5 5/36 (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) 9 4 4/36 (4,6),(5,5),(6,4) /36 (5,6),(6,5) /36 (6,6) /36

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19 Propiedades Concepto de probabilidad discreta La probabilidad de cada evento o combinación de eventos debe variar entre 0 a 1. 0 p(x) 1 La suma de las probabilidades de todos los posibles eventos dabe ser igual a 1. x p(x) = 1

20 Pmf vs cdf Concepto de probabilidad discreta Probability Mass Function Es la probabilidad en el punto de una variable aleatoria. f X (x) = P (X = x) Cumulative Distribution Function Es la probabilidad acumulada hasta un punto de una variable aleatoria. F (x) = P (X x)

21 discreta Ejemplo distribución de probabilidad discreta Espacio muestral (Posibilidades) Suma de las caras (X ) # de ocurrencias P(X = x) P(X x) (1,1) 2 1 1/36 1/36 (1,2),(2,1) 3 2 2/36 3/36 (1,3),(2,2),(3,1) 4 3 3/36 6/36 (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 5 4 4/36 10/36 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 6 5 5/36 15/36 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 7 6 6/36 21/36 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 8 5 5/36 26/36 (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) 9 4 4/36 30/36 (4,6),(5,5),(6,4) /36 33/36 (5,6),(6,5) /36 35/36 (6,6) /36 1

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23 Propiedades Concepto de probabilidad discreta Valor esperado Fórmula Es un promedio ponderado de los resultados posibles, mientras que los pesos que utilizamos son las probabilidades. µ = E(X ) = Pr 1 x 1 + Pr 2 x 2 + Pr 3 x Pr n x n = n i=1 Pr i x i

24 Ejemplo Concepto de probabilidad discreta Ejemplo Cuadro: Tasa de rendimiento de las acciones de las compañias X y Y Estado de la Economía Tasa de Rend. X Tasa de Rend. Y Auge % 20 % Normal % 16 % Recesión % 10 %

25 Ejemplo Valor Esperado discreta Ejemplo µ = E(X ) = Pr 1 x 1 + Pr 2 x 2 + Pr 3 x 3 = = 15% µ = E(X ) = Pr 1 x 1 + Pr 2 x 2 + Pr 3 x 3 = = 15%

26 Ilustración Concepto de probabilidad discreta

27 discreta Agenda 1 Concepto de probabilidad 2 discreta 3 Negativa

28 Concepto de probabilidad discreta Desviación Estándar de una variable aleatoria Fórmula Se puede denir el riesgo como la variabilidad de los rendimientos. Por lo tanto, se puede examinar este mediante el estudio de la dispersión o estrechez de la distribución de probabilidad asociada con los resultados posibles. n σ = σ 2 = Pr 1 (x 1 µ) 2 + Pr 2 (x 2 µ) 2 + Pr 3 (x 3 µ) Pr n(x n µ) 2 = Pr i (x i µ) 2 i=1

29 Ejemplo Desviación Estándar discreta Ejemplo σ = σ 2 = 0.2(110 15) (22 15) ( 60 15) 2 = 59.3 σ = σ 2 = 0.2(20 15) 2 + 0, 5(16 15) + 0.3(10 15) 2 = 3.6

30 Negativa Agenda 1 Concepto de probabilidad 2 discreta 3 Negativa

31 Negativa Ejemplo Se basan en un proceso de Bernoulli ( ), donde cada ensayo en una distribución binomial termina en sólo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, uno de los cuales se identica como un éxito y el otro como un fracaso. La probabildad de cada resultado permanece constante de un ensayo al siguiente. Si la probabilidad de quiebra se asume ja, un proceso binomial corresponde a la probabilidad de que 5 empresas quiebren de una muestra de 100 empresas.

32 Negativa Caraterísticas de una Características El experimento consta de n pruebas idénticas. Cada prueba tiene dos resultados posibles. Se llamará a uno éxito y al otro fracaso. La probabilidad de tener éxito en una sola prueba es igual a p, y permanece constante de prueba en prueba. La probabilidad de un fracaso es igual a (1 p) = q. Las pruebas son independientes. La variable aleatoria bajo estudio es X, el número de éxitos observados en la n pruebas

33 Negativa Fórmula de cálculo Fórmula P(x) = n! x!(n x)! px (1 p) n x P(x) = n C x p x (1 p) n x

34 Negativa Media µ = n p Varianza σ 2 = n p (1 p) Coeciente de sesgo Curtosis 1 2p As = [np(1 p)] 1 /2 κ = 3 + [1 6p(1 p)] np(1 p)

35 Negativa Ejemplo Un gerente de crédito de American Express ha descubierto que p=10% de los usurios de tarjeta no paga el monto completo de la deuda durante un mes dado. Desea determinar la probabilidad que de n=20 cuentas seleccionadas de manera aleatoria, x=5 de las cuentas no sean pagadas. Respuestas P(x = 5 n = 20,p = 0.10) = 20 C (0.9) 20 5 =

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37 Negativa Negativa Es una distribución de probabilidad discreta que se utiliza cuando lo que interesa es encontrar la probabilidad de que el éxito número r, ocurra en el segundo, el tercero, el cuarto éxito o n ésimo ensayo. La variable aleatoria bajo estudio es X, el número de ensayos necesarios para tener el éxito número r.

38 Negativa Fórmula de cálculo Fórmula ( x 1 P(x) = r 1 ) p r (1 p) x r Donde r es el número de éxitos que necesito. x es el número de ensayo en la que ocurre el éxito.

39 Negativa Media y varianza Media µ = r p Varianza σ 2 = r(1 p) p 2

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41 Negativa Cuando interesa el número de ensayos hasta que ocurra el primer éxito.

42 Negativa Fórmula de cálculo Fórmula P(x) = p (1 p) x 1 Donde x es el número de la prueba en la que ocurre el primer éxito.

43 Negativa Media y varianza Media µ = 1 p Varianza σ 2 = (1 p) p 2

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45 Negativa Distribución hipergeométrica Esta distribución se utiliza cuando la probabilidad de un éxito denido, de un ensayo a otro no es ja. Esto ocurre si la muestra es pequeña o el muestreo se realiza sin reemplazo, por lo tanto la probabilidad de un éxito variará. Suponga que se tiene una población de N elementos de los cuales, r pertenecen a la categoría A y N r a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x (0 x r ) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.

46 Negativa Fórmula de cálculo Fórmula P(x) = ( r x )( N r n x ( ) N n ) Donde N es el tamaño de la población. r es el número de elementos en el subgrupo de interés. n es el tamaño de la muestra. x es el número de éxitos en el subgrupo de interés.

47 Negativa Media y varianza Media Varianza ( r σ 2 = n N µ = nr N ) ( N r N ) ( ) N n N 1

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49 Negativa Ejemplo Es una distribución que muestra la probabilidad de ocurrencia de un evento en un intervalo especíco de tiempo o espacio. Número de llegadas de clientes por hora.

50 Negativa Propiedades de una Propiedades La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos intervalos cualesquiera de tiempo o espacio. La ocurrencia o no en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.

51 Negativa Fórmula de cálculo Fórmula P(x) = λ x x! e λ Donde λ es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio. x es el número de veces que ocurre el evento.

52 Negativa Media µ = λ Varianza σ 2 = λ Coeciente de asimetría As = 1 λ Curtosis κ = λ

53 Negativa Ejemplo Supongamos que se está interesado en la probabilidad de que exactamente 5 clientes lleguen durante la siguiente hora (o en cualquier hora dada) laboral. La observación simple de las últimas 80 horas ha demostrado que 800 clientes han entrado al negocio. Por tanto, λ =10 por hora. Respuestas P(x = 5) = λ x x! e µ = 105 5! e 10 =

54 Negativa Bibliografía Barrantes G., Miguel Elementos de estadística descriptiva. EUNED, Kenneth N., Berk & Patrick, Carey Análisis de datos con Microsoft Excel Actualizado para Office 2000 Thomson Learning, Gitman, Lawrence. Principios de administración Financiera Pearson Education, Décima edición. Webster L., Allen Estadística aplicada a los negocios y la economía Irwin McGraw-Hill, Tercera edición.