Unidad 3: Programación lineal

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1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 gr. de oro y 1,5 gr. de plata, obteniendo un beneficio en la venta de cada una de 40 euros. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 gr. de oro y 1 gr. de plata y obtiene un beneficio en la venta de cada una de 50 euros. El orfebre tiene sólo en el taller 750 gr. de cada uno de los metales. Cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo? Sea x es el número de joyas de clase A e y el número de clase B. La función objetivo que hay que maximizar es B(x, y)=40x+50y Las restricciones son el sistema de inecuaciones: x 0; y 0; x+1,5y 750; 1,5x+y 750 Obtenemos la región factible, de vértices A(0, 500), B(300, 300) y C(500, 0); donde B es la intersección de las rectas +1,5 = 750 1,5+ = 750 Sustituyendo los valores obtenidos en la función a maximizar: B(A)=B(0, 500)= =25000 B(B)=B(300, 300)= =27000 valor máximo B(C)=B(500, 0)= =20000 Se tiene que la función alcanza el beneficio máximo de si se fabrican 300 joyas de cada tipo. 2. Sea T=, +,+,, a) Represente gráficamente el conjunto T. b) Consideramos la función f(x, y)=3x+3y. Calcular, si existen, los puntos del conjunto T que dan el valor máximo y el valor mínimo de la función. c) Cuál sería la respuesta al apartado anterior si eliminamos en el conjunto T la restricción y 0? a) La región T del enunciado es Los vértices son: +2 = 9 = 0 A(0, 9/2) +2 = 9 2+ = 8 B(10/3, 10/3) = 0 2+ = 8 C(4, 0) b) Sustituimos los valores obtenidos f(a)=f(0, 9/2)= /2=27/2 f(b)=f(10/3, 10/3)=3 10/3+3 10/3=20 valor máximo f(c)=f(4, 0)= =12 valor mínimo Por lo tanto, la función alcanza el valor máximo de 20 en el punto B(10/3,10/3) y el valor mínimo de 12 en C(4,0). Matemáticas CCSS II Página 1 de 8

2 c) La región factible ahora es Es una región no acotada y no tendrá mínimo, el máximo sigue siendo el punto B(10/3, 10/3) 3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 y el de uno pequeño 60. Cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible? Sean x es el número de autocares de 40 plazas e y el números de autocares de 50 plazas, dichas variables deben ser números enteros. La función coste que hay que minimizar es F(x, y)=60x+80y. Las restricciones vienen dadas por el sistema de inecuaciones: x 0; y 0; 40x+50y 400; x 8; y 10; x+y 9 Representamos la región factible dibujando las rectas: 40x+50y=400; x=8; y=10; x+y=9 en el primer cuadrante. Los vértices de la región factible A(0, 8), B(0, 9) y C(5, 4) se obtienen resolviendo el sistema for- 4+5 = 40 mado por las rectas + = 9 y hallando los puntos de corte de dichas rectas con el eje Y. Para calcular el valor mínimo de la función, se sustituye en esta los valores hallados: F(A)=F(0, 8)= =640 F(B)=F(0, 9)= =720 F(C)=F(5, 4)= =620 Con lo que el coste mínimo de la excursión es 620 que se alcanza alquilando 5 autocares pequeños y 4 grandes. Matemáticas CCSS II Página 2 de 8

3 Unidad 3: Programación lineal x y x y 4. Sea T = {( x,y) + 5, + 5, 2x + 5y 110, y 0} a) Represente gráficamente la región T. b) Se considera la función f(x, y)=3x+5y. Calcular, si existen, los puntos (x, y) que dan el valor máximo de f(x, y) y los que dan el valor mínimo de f(x, y) en T c) Cuál sería la respuesta del apartado anterior si se elimina la desigualdad y 0? a) Dibujamos las rectas y comprobando que semiplano es solución de cada inecuación: + =5 8+5=200 + = 5 3x+5= =110 Se obtiene la región que cumple el sistema de inecuaciones y donde y 0. Los vértices de dicha región se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes: 8+5 = 200 = = 200 A(25, 0) 2+5 = 110 B(15, 16) 3+5 = = = 150 C(40,6) = 0 D(50, 0) fa= =75 valor mínimo fb= =144 b) Sustituimos los valores obtenidos en la función: fc= =150 valor máximo fd= =150 valor máximo Luego la función alcanza su valor mínimo 75 en el vértice A(25, 0) y el valor máximo 150 en todos los puntos del segmento de extremos C(40, 6) y D(50, 0). c) En este caso la región factible es no acotada y no existe un valor mínimo; si trazamos las rectas de nivel paralelas a 3x+5y=0 se observa que la recta 3x+5y=150 es paralela a las anteriores y se alcanzará el valor máximo de 150 en cualquier punto de esa semirrecta límite de la región factible. Matemáticas CCSS II Página 3 de 8

4 5. Un agricultor desea plantar 750 cerezos, 700 perales y 650 manzanos. En el vivero Agro ofrecen un lote de 15 cerezos, 30 perales y 10 manzanos por 700 euros y en el vivero Ceres el lote de 15 cerezos, 10 perales y 20 manzanos cuesta 650 euros. a) Plantee y resuelva un programa lineal para averiguar el número de lotes que ha de comprar en cada vivero para que pueda plantar los árboles que desea y para que el coste total de adquisición sea mínimo. b) Utiliza el agricultor todos los árboles que ha adquirido?, en caso negativo diga cuántos no ha plantado y de qué tipo son. Sean x el número de lotes del vivero Agro e y el del vivero Ceres. Utilizaremos una tabla para organizar los datos Nº Lotes Cerezos Perales Manzanos Agro x 15x 30x 10x Ceres y 15y 10y 20x Cantidad La función objetivo a minimizar es el coste: C(x, y)=700x+650y Las restricciones son el sistema de inecuaciones: x 0; y 0; 15x+15y 750; 30x+10y 700; 10x+20y 650 que es equivalente a: x 0; y 0; x+y 50; 3x+y 70; x+2y 65 Representamos el sistema de inecuaciones y obtenemos la región factible siguiente Los vértices de dicha región se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes: 3+ = 70 = 0 A(0,70) + = = 70 B(10,40) + = = 65 C(35,15) +2 = 65 = 0 D(65,0) Sustituimos los valores obtenidos en la función objetivo y veremos donde se alcanza el valor mínimo: C(A)=C(0, 70)= =45500 C(B)=C(10, 40)= =33000 valor mínimo C(C)=C(35, 15)= =34250 C(D)=C(65, 0)= =45500 El agricultor debe comprar 10 lotes al vivero Agro y 40 lotes al vivero Ceres y le cuestan lo mínimo posible, b) El agricultor compra: = 750 cerezos = 700 perales = 900 manzanos Planta todos los cerezos y perales y le sobran 250 manzanos. 6. Sea T la región del plano determinada por las siguientes inecuaciones: a) Represente gráficamente la región T. -2 y; y 2x +2; y + 2x 6 Matemáticas CCSS II Página 4 de 8

5 b) Se considera la función f(x, y)=(2x y)/2. Calcule, si existen, los puntos (x, y) que dan el valor máximo de f(x, y) y los que dan el valor mínimo de f(x, y) en T. c) Calcule las respuestas del apartado anterior si en T se cambia la desigualdad y 2x+2 por x 2. a) La región T del enunciado es: Los vértices son: = = 6 A(1, 4) = 2 +2 = 6 B(4, -2) = 2 = 2+2 C(-2, -2) b) Los valores de la función en los vértices son: f(a)=f(1,4)=(2 1-4)/2=-1 f(b)=f(4,-2)=(2 4-(-2))/2=5 f(c)=f(-2,-2)=(2 (-2)-(-2))/2=-1 Entonces el mínimo de la función se presenta en todos los puntos del segmento de extremos A(1, 4) y C(-2, -2) con un valor de -1; y el máximo lo toma en el punto (4, -2) con un valor de 5. c) Si se cambia la desigualdad y 2x +2 por x 2, se tiene la región factible siguiente Y los cambios producidos quedan de manifiesto en la tabla siguiente: Vértices f(x, y)=(2x-y)/2 D(2, 2) 1 E(4, -2) 5 F(2, -2) 3 La función f(x, y)=(2x-y)/2 alcanza ahora su mínimo en el punto D(2, 2). El máximo no se modifica. 7. Una empresa fabrica dos calidades de un bien, teniendo que producir en total un mínimo de 100 unidades y un máximo de 200. El coste de producción de una unidad de la primera calidad es de 15 euros y se obtiene un beneficio unitario de 100 euros. El coste de producción de una unidad de la segunda calidad es de 10 euros y se obtiene un beneficio unitario de 50 euros. a) Plantee y resuelva un programa lineal para averiguar el coste total mínimo para obtenerse un beneficio total de al menos euros. b) Plantee y resuelva un programa lineal para averiguar el beneficio total máximo con un coste total no superior a 2550 euros. Sean x el número de unidades de la 1ª calidad e y el de la 2ª. Nos ayudaremos de la siguiente tabla para plantear el problema Matemáticas CCSS II Página 5 de 8

6 Nº unidades Coste Beneficio 1ª calidad x 15x 100x 2ª calidad y 10y 50y Total x+y 15x+10y 100x+50y Las restricciones comunes a ambos apartados son: x 0; y 0; 100 x+y 200 a) La función objetivo que hay que minimizar es la función coste C(x, y)=15x+10y El beneficio será la nueva restricción 100x+5y que es equivalente a 2x+y 250. La región factible es la siguiente. Sus vértices son: + = 200 la intersección de las rectas 2+ = 250 A(50, 150); y los puntos de corte de la recta x+y=200 con los eje X: B(200, 0) y de la recta 2x+y=250 con el eje Y: C(125, 0). El valor de la función objetivo: C(50, 150)= =2250 C(200, 0)= =3000 C(125, 0)= =1875 El coste mínimo, es de 1875 si la empresa fabrica 125 unidades de la 1ª calidad y ninguna de la otra. b) Ahora la función objetivo es el beneficio que debe ser máximo, B(x, y)=100x+50y; la restricción obtenida para el coste es 15x+10y 2550 equivalente a 3x+2y 510 Repitiendo el procedimiento, tenemos la siguiente región factible de vértices D(0, 100), E(0, 200), F(110, 90), G(170, 0) y H(100, 0) El valor de la función objetivo en dichos puntos es: B(0, 100)= =5000 B(0, 200)= =10000 B(110, 90)= =15500 B(170, 0)= =17000 B(100, 0)= =10000 El beneficio máximo es y se obtiene fabricando 175 unidades de la 1ª calidad y ninguna de la segunda. 8. Un agricultor dispone de 9 hectáreas para sembrar dos productos A y B. Para el producto A desea destinar como mucho 8 hectáreas. Por cada hectárea sembrada con A y B se obtiene respectivamente un beneficio de 150 y 100 euros. a) Si se quiere que la superficie correspondiente a B no sea mayor que la mitad que ocupará A, plantee y resuelva un problema de programación lineal que permita averiguar el número de hectáreas que se han de dedicar a cada producto para maximizar el beneficio total. b) Cuál es la solución si el beneficio por hectárea es de 125 independientemente de que esté sembrada con A o con B y no se tiene en cuenta la restricción del apartado a)? Matemáticas CCSS II Página 6 de 8

7 a) Sean x las hectáreas que destina al producto A e y las que destina al B. Se trata de maximizar la función B(x, y)=150 x+ 100y, sujeta a las siguientes restricciones: x+y 9; y x/2; 0 x 8; y 0 Obtenemos la región factible y los vértices de dicha región: O(0,0), A(6,3), B(8,1) y C(8,0). El punto A se obtiene resolviendo el sistema: + = 9 = /2 Sustituyendo en la función beneficio, se obtiene: B(6,3)= =1200 B(8,1)= =1300 B(8,0)= =1200 El agricultor debe sembrar 8 Ha del producto A y 1 Ha del producto B para maximizar los beneficios. b) Si el beneficio por hectárea es de 125 independientemente de que esté sembrada con A o con B, la función objetivo es F(x, y)=125x+125y; y si no se tiene en cuenta la restricción del apartado a) se obtiene la región factible siguiente Sustituyendo: F(0, 9)= =1125 F(8, 1)= = 1125 F(8, 0)= = 1000 Con lo que puede optar por múltiples soluciones con un beneficio de 1125, cualquier punto de la recta x+y=9 comprendido entre D(0, 9) y B(8, 1). 9. Un camionero transporta dos tipos de mercancías, X e Y, ganando 60 y 50 euros por tonelada respectivamente. Al menos debe de transportar 8 toneladas de X y como mucho el doble de cantidad que de Y A cuánto asciende su ganancia total máxima si dispone de un camión que puede transportar hasta 30 toneladas? Sean x las toneladas de mercancía X e y las toneladas de mercancía Y que quiere transportar. La función ganancia G(x, y)=60x+50y es la función objetivo a maximizar. Las restricciones: x 0; y 0; x 8; 2x y; x+y 30 Representamos la región factible. Los vértices son la solución de los sistemas siguientes: Matemáticas CCSS II Página 7 de 8

8 = 8 = 2 A(8, 16) = 8 + = 30 + = 20 B(8, 22) = 2 C(10, 20) Calculamos el valor de la función objetivo en dichos puntos: G(A)=G(8, 16) = = 1280 G(B)=G(8, 22) = = 1580 G(C)=G(10, 22) = = 1600 Luego, si se transportan 10 toneladas de mercancía A y 20 de B la ganancia es máxima y es de Sean T={(x, y) y+3x 6, y+1 0, 8x-3y 67} y f(x, y)=3y 8x a) Represente gráficamente la región T b) Calcule el valor máximo y el mínimo, si existen, de la función f(x, y) en T y diga en qué puntos se alcanzan. c) Represente gráficamente la región S={(x, y) y+3x 6, y+1 0} y calcule el valor máximo y el mínimo, si existen, de la función f(x, y) en S y diga en qué puntos se alcanzan. a) La región T del enunciado es Los vértices son: +3 = 6 = 1 A(7/3, -1) 8 3 = 67 = 1 B(8, -1) +3 = = 67 C(5, -9) b) Sustituimos los valores obtenidos f(a)=f(7/3, -1)=3 7/3-8 (-1)=15 valor mínimo f(b)=f(8, -1)=3 8-8 (-1)=32 f(c)=f(5, -9)=3 5-8 (-9)=107 valor máximo Por lo tanto, la función alcanza el valor máximo de 107 en el punto C(5, -9)y el valor mínimo de 15 en A(7/3, -1). c) La región factible S es la de la gráfica. El valor mínimo es el mismo que en el apartado anterior, pero no hay un valor máximo. Matemáticas CCSS II Página 8 de 8