PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDADES DE BALEARES JUNIO (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Transcripción

1 IES CASTELAR DE BADAJOZ PRUEBA DE ACCESO (LOGSE UNIVERSIDADES DE BALEARES JUNIO 2015 (RESUELTOS por Antonio Mnguiano MATEMÁTICAS II Timpo máximo: 1 horas y 30 minutos Contsta d manra cara y razonada a una d as dos opcions propustas. S vaorará a corrcción y a caridad n nguaj (matmático y no matmático utiizado por aumno. S vaorarán ngativamnt os rrors d cácuo. Pud utiizar cacuadora d cuaquir tipo, cintífica, gráfica o programab, pro no s autorizarán as qu traigan información amacnada o pudan transmitira. OPCIÓN A º Discuta para qu vaors d sistma s compatib Rsuévao n caso (o casos n qu sa compatib. Las matrics d coficints y ampiada son as siguints: Considrando qu ! ! "#$%&' 3 (&%*%+$á Antonio Mnguiano

2 ! ! >? 2 3, 4 "A(+$ AB&$C(A*+. >? 2 3º ABó. ".'.G Para 2 sistma s. Dsprciando a útima cuación (qu s combinación d as dmás: su suma y rsovindo por Cramr: H I4 4 4 I4 I I4 4 J I4 I4 H J 4 I4 4L 4 H 4 I4 4 J I4 4 4L HI4K4K4KHK4 I4KJKJKK4 4L 4L 1. IK4K4IJIKH 4L IIHKJK4KI4 4L 4L 4L 1. 4L 4L 1. "&*#BAó:1,1,1. 1 ( 2º Estudia a posición rativa d as rctas? OI PIJ y R 2( y, n IJ Q 5

3 caso d qu s cortn, cacuar punto d cort. Un punto y un vctor d cada una d as rctas son os siguints: Rcta r: S82,3,0 TVVVW8 3,5,1. U Rcta s: X81,0,5 TVVVW8 1,2,0. Y Los vctors VVVW T U TVVVW Y son inamnt indpndints por no sr proporcionas sus componnts; sto supon qu as rctas s cortan o s cruzan. Para difrnciar caso s dtrmina un vctor ZVVW qu tin como orign punto A d r y como xtrmo punto B d s; s siguint: ZVVWSX VVVVVW 7S X9782,3,0 81,0,5981,3, 5. Sgún qu os vctors TVVVW U,TVVVW Y ZVVW san copanarios o no, as rctas r y s s cortan o s cruzan, rspctivamnt. Los vctors 1T VVVW U,TVVVW,ZVVW5 Y son copanarios cuando su rango s mnor qu trs, s dcir, cuando s cro dtrminant d a matriz qu forman: T VVVW U,TVVVW,ZVVW5 Y T VVVW U,TVVVW,ZVVW5<3 Y \?+B(? + B&?( + # C#(&. 2 3] La xprsión d r por unas cuacions paramétricas s:? R3+5]. ] E punto P d cort s siguint: 2 3]1 ( ]2( ^ R ]5 5 ^ >8 13,28,5.

4 3º Dtrminar os vaors d, b y c para qu a función _8 J + ++B pas por punto >81,0, tnga un máximo rativo n x -1 y un mínimo rativo para x 0. Por contnr _8 a punto P: _810: _810 1 J B 0 +`+a.. (1 Por tnr _8 un máximo rativo para x -1: _ 8 10: _ _ 8 10 _ `. (2 Por tnr _8 un mínimo rativo para x 0: _ 800: _ 800 _ Sustituyndo n (2 vaor d b obtnido: 2 3 J. Sustituyndo n (1 os vaors obtnidos d y b: J +0+B 1; B 1 J B Q.

5 4º Cacua a siguint intgra indfinida: cd OKQ 8OKJ %. cd OKQ 8OKJ ( 3 % f+3( %%( g d 8hIJKQ h %(d hiikq h %( d hi4 IJ %(2 hj %(2 d( I %( d( hj +' h I4 I + 4 h h +' + 4 IH 8OKJK4 OKJ 8OKJ +' +' IHOI4K4 +'. 8OKJ 8OKJ cd OKQ HOK44 8OKJ % 8OKJ +'.

6 OPCIÓN B 1º Dmostrar qu a cuación matricia S X S' no tin soución, n dond Xm n, ' o 1 2 p. (Indicación: tomad dtrminants. 3 4 Rsovr a cuación matricia antrior pro con Xm j n, ' o p. S X S'; S 8X c' X c S '. Mutipicando por a drcha os dos términos por I4 : S I4 ' I4 ; S c ' I4 qr I.. X cm n o pmi j n. t I j t u vw xyvz{x` v. H H }#+% %+$&(?%& ~#+ * +B#BAó S X S' no tin soución. X cm j n o pmi j j n. h m I j j n. ˆI j j ˆ 4 i + 4 i i 4 J. S%. %+ h m I j j n. I4 Š Œ. Ž Ž 4 m I j j n3 m I j j n... j S' I4 o p o p. j So p.

7 2º Encontrar a rcta r qu pasa por punto S81,0,2 y s paraa a os panos siguints: y Los vctors normas d os panos son VVVVW81, 2,3 4 y VVVVW82, 3,1, rspctivamnt. Los panos dados son scants por sr inamnt indpndints sus vctors normas, por o qu dtrminan a rcta s , cuyo vctor dirctor s cuaquira qu sa inamnt dpndint d producto vctoria d os vctors VVVVW81, 2,3 4 y VVVVW82, 3,1: A TVVVW U A A 7A yvvvvw8,,.. z La xprsión d a rcta r dada, por jmpo, por unas cuacions continuas s:? OI4 P Q I 4.

8 3º Dmostrar qu x 0 s a única raíz d a cuación 5 š +3 Q +70. Dmostrar qu x 0 s a única raíz d a cuación + O 1+. Considrando a función _85 š +3 Q +7 qu, por sr poinómica, s continua y drivab n R, por o cua s apicab torma d Ro a cuaquir intrvao finito qu s considr. E torma d Ro dic qu si una función _8 n continua n 7,9 y drivab n 8,, con, y <, y s cump qu _8_8, xist a mnos un vaor c, <B < ta qu _ 8B0. Dmostrar qu a cuación 5 š +3 Q +70 tin como raíz única x 0 s quivant a dmostrar qu a función _85 š +3 Q +7 tin como única raíz x 0. Si tuvira otra raíz œ, ta qu _8œ0, s podría apicar torma d Ro a a función _8 n intrvao 70,œ9: _ 845 H +15 H +7 _ 8B45B H +15B H +7>0, B. \& (+?A&? %+$#+(? ~#+ 0 + *?í úab %+ 5 š +3 Q +70. Otra forma d dmostrar qu a cuación tin una raíz única s tnindo n cunta dominio y a continuidad d _8 y qu s monótona crcint n R por sr _ 845 H +15 H +7>0,. S sigu un procso simiar a apartado antrior. Considrando a función 8+ O 1 qu s continua y drivab n R, por o cua s apicab torma d Ro a cuaquir intrvao finito qu s considr. Dmostrar qu a cuación + O +1 tin como raíz única x 0 s quivant a dmostrar qu a función 8+ O 1 tin como única raíz x 0. Si tuvira otra raíz œ, ta qu 8œ0, s podría apicar torma d Ro a a función 8 n intrvao 70,œ9, con œ>0: 8+ O 1 8B+ 10; + 1 B 0. \& (+?A&? %+$#+(? ~#+ 0 + *?í úab %+ + O +1. Otra forma d rsovr apartado s siguint:

9 8+ O >0, 8 vw auyv 8 v. Como s 8+ O 10 0 y 800, a función tin un mínimo absouto n punto 80,0, o qu justifica qu: \ +B#BAó + O +1 (A++ #?í úab C? 0.

10 4º Haga un dibujo aproximado d as curvas 6 2 indiqu os puntos d cort. Cacuar ára d rcinto imitado por as dos curvas antriors. Los puntos d cort d as dos paráboas son as soucions d a cuación qu rsuta d a iguaación d sus xprsions: 6 2; 2 80; , 4. Los puntos d cort son 80,0 S84,8. La paráboa 6 corta a j OX, admás d orign, n X86,0. Su vértic s siguint: ,9. La paráboa 2 corta a j OX, admás d orign, n '82,0. Su vértic s siguint: , 1. Y 8 V 1 A 6 2 S O -1 V 2 C 4 B 6 X En intrvao corrspondint a ára a cacuar, todas as ordnadas d a paráboa 6 son iguas o mayors qu as corrspondints ordnadas d a paráboa 2, por o cua ára a cacuar s a siguint: H "d % L H d % L O + O H J L H J J +64I4 K4š ih J J #.