Tema 7 Integral definida

Transcripción

1 Tem 7 Integrl definid 1. INTEGRAL E RIEMANN efinición 1.1: Prtición Llmremos prtición de un intervlo [, b] culquier conjunto ordendo de puntos P = {x, x 1, x,..., x n } tl que = x < x 1 < x <... < x n = b. efinición 1.: ums de Riemnn e f : [, b] R un función y P = {x, x 1, x,..., x n } un prtición de [, b]: (1 e denomin sum superior de Riemnn de f en P, (f, P n (f, P = M i (x i x i 1 donde M i = sup{f(x : x [x i 1, x i ]} i=1 ( e denomin sum inferior de Riemnn de f en P, s(f, P n s(f, P = m i (x i x i 1 donde m i = ínf{f(x : x [x i 1, x i ]} i=1 Los M i (m i son los máximos"( mínimos" vlores que tom l función en cd intervlo [x i 1, x i ]. Cd sumndo M i (x i x i 1 (m i (x i x i 1 represent el áre, con signo, de un rectángulo de bse l longitud del intervlo [x i, x i 1 ] y de ltur M i (m i, por lo cul ls sums de Riemnn son l sum del áre de n rectángulos. Como m i M i, se tiene que (f, p s(f, P, es más, pr dos prticiones del intervlo [, b] culesquier se cumple que s(f, P (f, Q. efinición 1.3: Integrl superior e inferior e f : [, b] R un función cotd: (1 Llmremos integrl inferior de f en el intervlo [, b] f = sup{s(f, P : P es un prtición de [, b]} ( Llmremos integrl superior de f en el intervlo [, b] f = ínf{(f, P : P es un prtición de [, b]} Teniendo en cuent l últim conclusión de l observción podemos deducir que f f. 1

2 efinición 1.4: Función integrble e f : [, b] R cotd en [, b]. iremos que f es integrble, en el sentido de Riemnn, en [, b] si coinciden el vlor de ls dos integrles (superior e inferior, f = f. En este cso, l vlor que tomn ls dos integrles se le denomin integrl de f en [, b] y lo denotremos como: f = 1.1. Propieddes de ls funciones integrbles. Proposición 1.5 f(x dx en f, g : [, b] R dos funciones integrbles en [, b], entonces: (1 (λ f(x + µ g(x dx = λ f(x dx + µ g(x dx ( i < b < c f(x dx = c f(x dx + c f(x dx (3 i f(x = g(x slvo en un cntidd finit de puntos, se tiene que f(x dx = g(x dx (4 i f(x > (< x [, b] f(x dx > (< (5 i f(x g(x x [, b] f(x dx g(x dx (6 b f(x dx f(x dx Teorem 1.6: Teorem fundmentl del cálculo integrl e f : [, b] R integrble y F (x = x f(t dt. si f es continu en el punto x [, b], entonces F es derivble en x y F (x = f(x. efinición 1.7: Primitiv en f, G : [, b] R, diremos que G es un primitiv de f en [, b] si G (x = f(x x [, b]. Teorem 1.8: Regl de Brrow i f es un función integrble en [, b] y G un primitiv de ést en dicho intervlo, entonces: f(x dx = [G(x] b = G(b G( 1.. Aplicciones geométrics de l integrl Cálculo de áres limitds por curvs. (1 El áre comprendid entre l gráfic de un función y = f(x y el eje OX en el intervlo [, b]: A = f(x dx

3 ( El áre comprendid entre ls gráfics de dos funciones y = f(x e y = g(x en el intervlo [, b]: Ejemplo 1.9 A = f(x g(x dx Clculr el áre de l región delimitd por l prábol y = x + 1 y l rect y = x + 3. Lo primero que debemos de hcer es conocer cules serán los límites de integrción, los cules resultn de resolver l ecución x + 1 = x + 3 cuy solución es x = 1 y x =. Ahor nos qued por sber que curv est por encim y cul por debjo". Vemos que y = x + 3 está por encim de y = x + 1, por tnto nuestr áre será: A = 1 (x + 3 (x + 1 dx = 3 1 ( x + x + dx = [ x3 3 + x + x] 1 = ( = Cálculo de volúmenes de revolución. Volumen del solido generdo por l rotción lrededor del eje OX, de l región comprendid entre l gráfic de un función y = f(x, en el intervlo [, b] y el eje OX: V = π f(x dx i es l región comprendid entre dos gráfics y = f(x e y = g(x en [, b] (mbs positivs o negtivs en dicho intervlo: V = π f(x g(x dx Volumen del solido generdo por l rotción lrededor del eje OY, de l región comprendid entre l gráfic de un función y = f(x, en el intervlo [, b], con > ó b <, y el eje OX: V = π xf(x dx i es l región comprendid entre dos gráfics y = f(x e y = g(x en [, b] con > ó b < : V = π x f(x g(x dx Cálculo de longitudes de curvs. Longitud de l curv y = f(x entre los puntos x = y x = b: L = 1 + f (x dx Ejemplo 1.1 Clculr l longitud de l circunferenci x + y = 1. x + y = 1 y = ± 1 x por lo que l función que nos determin l circunferenci es f(x = 1 x, en relidd un semicircunferenci, con x vrindo entre 1 y 1, por tnto nuestr longitud será: L = 1 1 = π. 1 + f (x dx = x 1 x dx = x dx = [rc sen x]1 1 =

4 Cálculo de áres de superficies de revolución. Áre de l superficie generd l hcer girr lrededor del eje OX l curv y = f(x en el intervlo [, b]: Ejemplo 1.11 A = π f(x 1 + f (x Clculr el áre de superficie de l porción del prboloide generdo l girr l prábol y = x lrededor del eje OX, entre los puntos de bscis x = y x = 1. y = x y = ± x, por tnto nuestr superficie será l revolución, lrededor de OX, de l función f(x = x, por lo que su áre será: A = π 1 = π[ (4x x 1 + ( 1 x dx = π 1 ] 1 = π. x 4x+1 4x dx = π 1 (4x dx = Áre de l superficie generd l hcer girr lrededor del eje OY l curv y = f(x en el intervlo [, b]: Ejemplo 1.1 A = π x 1 + f (x Clculr el áre de l superficie del ejemplo 1..4, considerándol como l rotción de y = x lrededor del eje OY, entre x = e x = 1. A = π 1 x 1 + (x dx = π 1 x 1 + 4x dx = π x(1 + 4x 1 dx = = π 4 [ (1+4x 3 3 ] 1 = π.

5 5. INTEGRAL OBLE.1. Integrl doble sobre rectángulos. e I = [, b] [c, d], un rectángulo de R, y f : I R un función cotd. e define l integrl de f en I como: I f(x, y dx dy = ( d c f(x, y dy dx = d c ( f(x, y dx dy Esto nos indic que primero integrmos l función respecto de y, considerndo x constnte, y después el resultdo obtenido lo integrmos respecto de x. Tmbién puede relizrse de form contrri, primero respecto de x y luego respecto de y, es decir, el orden de integrción no influye en el resultdo. Ejemplo.1 e f(x, y = cos x sen y, Clculr l integrl de f en el rectángulo I = [, π ] [, π]. Comprobr que el orden de integrción no lter el resultdo. I cos x sen y dx dy = π ( π cos x sen y dy dx = π [cos x( cos y]π dx = = π (cos x 1 cos x ( 1dx = π cos x dx = [ sen x] π = =. Ahor vmos clculr l integrl l revés. cos x sen y dx dy = ( π π cos x sen y dx dy = π [sen x sen y] π dy = I = π (1 sen y sen ydy = π sen y dy = [ cos y]π = 1 ( 1 =... Integrl doble sobre recintos cotdos. Ahor vmos ver como podemos clculr un integrl doble, no sobre un rectángulo, si no sobre un recinto cotdo más generl R. e f : R un función cotd, donde es un recinto cotdo de R con interior no vcío, donde viene definido como: (1 = {(x, y R : x b, ϕ(x y φ(x} o ( = {(x, y R : c y d, α(y x β(y} con ϕ(x y φ(x, α(y y β(y, funciones continus. Entonces l integrl doble de f en es: f(x, y dx dy = ( b φ(x ϕ(x f(x, y dy dx (1 o ( f(x, y dx dy = ( d β(y c α(y f(x, y dx dy En este cso tenemos que integrr primero respecto l vrible cuyo intervlo de integrción depende de l otr. Así, en ((1 integrmos primero respecto y y que ϕ(x y φ(x, y en (( respecto x (α(y x β(y.

6 6 Ejemplo. Clculr xy dx dy donde = {(x, y R : x + y 1}. Pr clculr est integrl lo primero que debemos de hcer es determinr el conjunto como en ((1 o en ((, quí es el círculo de centro (, y rdio 1. Pr determinrlo fijmos l vrible x, entonces pr un vlor fijo de x tenemos que ver los vlores que tom y. El vlor de y oscil desde l prte inferior de l circunferenci hst l prte superior de ést, luego pr un vlor fijo de x tenemos que 1 x y 1 x. Fijros tmbién que x tom vlores comprendidos entre 1 y 1, luego 1 x 1, sí qued definido como: = {(x, y R : 1 x 1, 1 x y } 1 x Ahor y estmos en disposición de clculr l integrl. xy dx dy = ( 1 1 x 1 xy dy dx = 1 1 x 1 [xy ] 1 x 1 x dx = = 1 1 (x( 1 x x( 1 x dx = 1 1 (x(1 x x(1 x dx = 1 1 dx =.3. Propieddes de l integrl doble. ds dos funciones f, g : R definids sobre un recinto cotdo R, se verificn: (1 (α f(x, y + β g(x, ydx dy = α f(x, y dx dy + β g(x, y dx dy, donde α, β R. ( i f(x, y (x, y f(x, y dx dy. (3 i f(x, y g(x, y (x, y f(x, y dx dy g(x, y dx dy. (4 i se puede descomponer en l unión disjunt de dos recintos 1 y, entonces: f(x, y dx dy = f(x, y dx dy + f(x, y dx dy 1 (5 f(x, y dx dy f(x, y dx dy

7 7 Ejemplo.3 Clculr (x + y dx dy donde es l región cotd por l prábol y = x y ls rects y + x = 6, x y = 3 y x =. Primero vmos dibujr l prábol y ls rects pr determinr gráficmente. L región se divide en dos prtes, 1 y y ests vienen definids por: 1 = {(x, y R : x 1, x y x+3}, = {(x, y R : 1 x, x y 6 x} (x + y dx dy = (x + y dx dy + (x + y dx dy = 1 = ( 1 x+3 x (x + ydy dx + ( 6 x 1 x (x + ydy dx = = 1 y [xy + ]x+3 dx + y x 1 [xy + ]6 x dx = 1 x (x(x (x+3 x 3 x4 dx (x(6 x + (6 x x 3 x4 dx = 1 ( x4 x 3 + 4x + 9x + 9 dx ( x4 x 3 x x5 + 18dx = [ 1 x x3 + 9 x + 9 x]1 + [ x5 1 x4 4 x x] 1 = = ( ( = 3.4. Cmbio de vrible en un integrl doble. e f : R R, f(x, y, un función cotd y T : Ω R un función biyectiv de clse C 1 tl que det(jt (u, v (u, v Ω, entonces: f(x, y dx dy = Ω f(t (u, v det(jt (u, v du dv.4.1. { Aplicción: i tenemos f : R R, f(x, y, y efectumos un cmbio de vrible x = x(u, v, entonces podemos expresr f en función de u y v (f(u, v = f(x(u, v, y(u, v y = y(u, v y el recinto se trnsform en el recinto Ω. Ω = {(u, v R : (x(u, v, y(u, v } Entonces podemos clculr l integrl doble en est nuevs vribles, pudiendo reducirse sí el cálculo de l integrl. L relción existente entre mbs integrles es l siguiente: f(x, y dx dy = f(u, v det(jt (u, v du dv donde J(u, v es l mtriz jcobin del cmbio de vrible Ω J(u, v = x u y u x v y v

8 8 Por ejemplo, si considermos el cmbio polres J(r, θ = x r y r x θ y θ ( cos θ r sen θ = sen θ r cos θ por lo que l integrl, en polres, qued: f(x, y dx dy = { x = r cos θ y = r sen θ det(j(r, θ = r cos θ + r sen θ = r Ω f(r, θ r dr dθ El cmbio coordends polres es útil pr recintos circulres o pr quellos que nos lo definn de form polr. Ejemplo.4 Clculr e x +y dx dy, donde = {(x, y R : x + y 4, y }. En este cso es conveniente hcer un cmbio polres por dos rzones; l primer porque en coordends (x, y tendrímos que clculr un primitiv del estilo e x dx, de l cul no se conoce form explícit, y l segund es debido que el recinto se nos trnsform en otro más simple. En definitiv cundo nuestro recinto de integrción se un círculo o un porción circulr, en l myorí de los csos es consejble hcer un cmbio polres. Nuestro recinto es el hemisferio norte del círculo de centro (, y rdio. En nuestro cso, clculr el recinto Ω en coordends polres es sencillo, todos los puntos del semicírculo tienen módulo menor o igul que dos, luego r, y el ángulo que recorren estos puntos oscil entre y π, por lo que θ π. Así Ω = {(r, θ R : r, θ π}, hor, teniendo en cuent que r = x + y y J(r, θ = r e x +y dx dy = e r dr dθ = ( π re r dr dθ = π [e r ] dθ = Ω = π (e 1 dθ = [(e 1θ] π = (e 1π.5. Aplicciones geométrics de l integrl doble Cálculo de áres. Recordr que si f es un función de un vrible, el áre de l región limitd por el eje OX y l gráfic y = f(x en un intervlo [, b] coincide con f(x dx. Pues esto último se generliz integrles dobles, esto es, si R es un recinto cotdo con interior no vcío entonces su áre es: A( = dx dy es decir, el áre de coincide con l integrl sobre él de l función constnte 1.

9 9 Ejemplo.5 Clculr el áre de l región pln cotd por l cúbic y = x 3 y ls rects y = x + 4 y x =. L región qued definid como = {(x, y R : x, x 3 y x + 4} A( = dx dy = ( x+4 x dy dx = 3 [y]x+4 dx = x 3 (x + 4 x3 dx = = [x + 4x x4 4 ] = = Ms totl, centro de grvedd (mss y momentos de inerci de objetos plnos. e R un región cotd (un lámin cuy densidd por unidd de áre (densidd superficil en el punto (x, y viene dd por un función ρ : [, +, que suponemos integrble en. e define l ms totl de, m( como: m( = ρ(x, y dx dy El cociente entre su ms totl y el áre se denomin densidd medi ρ( = m( ρ(x, y dx dy A( = dx dy Ls coordends del centro de grvedd ( x, ȳ de son: x = 1 x ρ(x, y dx dy x ρ(x, y dx dy = m( ρ(x, y dx dy ȳ = 1 y ρ(x, y dx dy y ρ(x, y dx dy = m( ρ(x, y dx dy i L R es un rect y d(x, y l distnci de un punto (x, y l rect L, se denmin momento de inerci de respecto L, l número: I L = (d(x, y ρ(x, y dx dy Los momentos de inerci respecto los ejes coordendos son: respecto l eje OX I x = y ρ(x, y dx dy respecto l eje OY I y = x ρ(x, y dx dy

10 1 El momento polr de inerci es: I = I x + I y = (x + y ρ(x, y dx dy Ejemplo.6 eterminr el centro de grvedd de un lámin delgd rectngulr = [, ] [, b], si l densidd en todos suspuntos es el producto de sus distncis los ejes de coordends. En este cso = {(x, y R : x, x b} y ρ(x, y = xy, por tnto: m( = ( xy dy dx = b 4 ( x = 4 b x y dy dx = 3 El centro de grvedd es C G = 3 (, b. ȳ = 4 b ( xy dy dx = b Cálculo de volúmenes. en f, g : R R dos funciones continus y cotds tl que f(x, y g(x, y (x, y, entonces el volumen de l región espcil comprendid entre ls gráfics z = g(x, y y z = f(x, y es: V (f, g, = (f(x, y g(x, y dx dy i f(x, y, el volumen de l región espcil comprendidd entre el plno OXY y l gráfic z = f(x, y es: V (f, OXY, = f(x, y dx dy Ejemplo.7 Clculr el volumen del sólido limitdo por el prboloide z = 1 (x + y y el plno OXY. El dominio donde tenemos que integrr serán quellos puntos (x, y pr los cules z, es decir, 1 (x + y, o lo que es lo mismo, x + y 1, por lo que nuestro dominio es el círculo de centro el origen y rdio 1; = {(x, y R : x + y 1}. V = (1 (x + y dx dy, si hcemos un cmbio polres el dominio se nos combierte en = {(r, θ : r 1, θ π}, entonces nos qued: V = (1 (x + y dx dy = (1 r r dr dθ = π ( 1 (r r3 drdθ = = π [ r r4 4 ]1 dθ = π 1 4 dθ = π.

11 11 FIGURA 1. Región espcil limitd por z = 1 (x + y y el plno OXY 3. INTEGRAL TRIPLE e f : I R 3 R un función cotd en I, donde I = [, b] [c, d] [e, f] (I es un prism de R 3, l integrl de f en I se define, de form nálog l integrl doble, como: I f(x, y, z dx dy dz = ( d ( f c e f(x, y, z dz dy dx Al igul que ocurre en ls dobles, el orden de integrción no influye en el resultdo, por tnto siempre podremos integrr en el orden que cremos más conveniente. Ejemplo 3.1 Clculr (x + y + z dx dy dz donde I = [, 1] [, ] [, 3]. I (x + y + z dx dy dz = 1 ( ( 3 (x + y + zdzdydx = I = 1 ( z [(x + yz + ]3 dydx = 1 ( = 1 (6x + 15dx = [3x + 15x] 1 = 18. (3x + 3y + 9 dydx = 1 [3xy + 3 y + 9 y] dx = 3.1. Integrl triple sobre recintos cotdos. e f : R 3 R un función cotd, donde es un recinto cotdo de R con interior no vcío, siendo definido como: (1 = {(x, y, z R 3 : x b, ϕ(x y φ(x, α(x, y z β(x, y} o ( = {(x, y, z R 3 : c y d, A(y x B(y, C(x, y z E(x, y} o (3 = {(x, y, z R 3 : e z f, Ψ(z y Φ(z, Γ(y, z z Λ(y, z} Es decir que viene ddo de l siguiente form: Un vrible vrí entre dos vlores reles, un segund vrí en función de l nterior y un tercer vrí en función de ls dos nteriores. L integrl triple de f en es:

12 1 (1 ( o (3 o f(x, y, z dx dy dz = f(x, y, z dx dy dz = f(x, y, z dx dy dz = d c f e ( ( φ(x β(x,y f(x, y, z dz dy dx ϕ(x α(x,y ( ( B(y E(x,y f(x, y, z dz dx dy A(y C(x,y ( ( Φ(x Λ(x,y f(x, y, z dx dy dz Ψ(z Γ(x,y Observción: e form nálog ls integrles dobles, quí tendremos que integrr primero respecto de l vrible que depende de ls otrs dos, luego respecto de l que depende de un vrible y finlmente respecto de l que vrí entre dos vlores reles. = Ejemplo 3. Clculr l integrl triple zy x + y dx dy dz donde M M = {(x, y, z R 3 : x, y x x, z x + y } zy x + y dx dy dz = ( ( x x x +y zy x + y dz dy dx = [ z y x + y ] x +y dy dx = ( x x 1 y(x + y 5 dy dx = ( M x x = [ 1 14 (x + y 7 ] x x dx = 1 = 1 14 [ 7 9 x x8 ] = 1 14 ( = (x + x x 7 (x 7 dx = 1 14 ( 7 x 7 x 7 dx = 3.. Cmbio de vrible en un integrl triple. e reliz de form nálog ls integrles dobles, sí: e f : R 3 R, f(x, y, z, un función cotd y T : Ω R 3 un función biyectiv de clse C 1 tl que det(jt (u, v, w (u, v, w Ω, entonces: f(x, y, z dx dy dz = f(t (u, v, w det(jt (u, v, w du dv dw Ω Ejemplos de cmbios de vribles. Cmbio coordends cilíndrics: es el mismo que el cmbio polres pero en tres dimensiones. x = r cos θ cos θ r sen θ y = r sen θ J(r, θ, z = sen θ r cos θ z = z 1 = r f(x, y, z dx dy dz = r f(r cos θ, r sen θ, z dr dθ dz Ω

13 Este cmbio de vrible es consejble cundo el dominio de integrción es un recinto cilíndrico, es decir quél cuy proyección sobre el plno OXY se un recinto circulr. Ejemplo 3.3 Clculr x + y dx dy dz siendo el sólido cotdo por l superficie del cono z = x + y y el plno z = 1. En el dominio de integrción, tl y como nos lo definen, x + y z 1. i lo proyectmos sobre el plno OXY obtenemos el círculo de centro el origen y rdio 1, que es el recinto en el que vrín ls coordends x e y. Esto último nos d pie h relizr un x = r cos θ cmbio coordends cilíndrics y = r sen θ, y en ests coordends tenemos que z = z = {(r, θ, z : r 1, θ π, r z 1} x + y dx dy dz = ( 1 ( π 1 r r r dz dθ dr = ( ( 1 1 r r dz dr = = π 1 r [z] 1 r dr = π 1 r (1 r dr = π[ r3 3 r4 4 ]1 = π 6 ( π dθ 13 FIGURA. Cono z = x + y, con z 1 Cmbio coordends esférics: es un generlizción de ls coordends polres tres dimensiones. x = r sen θ cos ϕ y = r sen θ sen ϕ z = r cos θ sen θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sen θ sen ϕ J(r, θ, ϕ = sen θ sen ϕ r cos θ sen ϕ r sen θ cos ϕ cos θ r sen θ = r sen θ f(x, y, z dx dy dz = Ω f(r, θ, ϕ r sen θ dr dθ dϕ El cmbio coordends esférics es útil pr dominios esféricos o de revolución.

14 14 Ejemplo 3.4 Clculr xyz dx dy dz siendo = {(x, y, z R 3 : x + y + z 1, x, y, z }. El recinto de integrción es un octnte de l esfer de centro el origen y rdio 1, por lo cul es conveniente hcer un cmbio coordends esférics. x = r sen θ cos ϕ y = r sen θ sen ϕ y en ests coordends el recinto se convierte en z = r cos θ = {(r, θ, ϕ : r 1, θ π, ϕ π }. xyz dx dy dz = = ( 1 π ( π r sen θ cos ϕ r sen θ sen ϕ r cos θ r sen θ dϕ dθ dr = ( ( 1 π ( = r5 π dr sen3 θ cos θ dθ sen ϕ cos ϕ dϕ = = [ r6 6 ]1 [ sen4 θ 4 ] π [ sen ϕ ] π = 1 48 FIGURA 3. Octnte de rdio Aplicciones geométrics de l integrl triple Cálculo de volúmenes. El método pr clculr áres con integrles dobles, se convierte hor en cálculo de volúmenes con integrles triples. Esto es, se R 3 un recinto cotdo con interior no vccío, entonces su volumen V ( es: V ( = dx dy dz

15 15 Ejemplo 3.5 Clculr el volumen del tetredro ddo por T = {(x, y, z R 3 : x 1, y 1 x, z 1 x y}. V (T = dx dy dz = ( 1 ( 1 x 1 x y dz dy dx = ( 1 1 x (1 x ydy dx = T = 1 y [(1 xy ]1 x dx = 1 (1 x dx = [ (1 x3 6 ] 1 = 1 6 FIGURA 4. Tetredro de vértices (,,, (1,,, (, 1, y (,, Ms totl, centro de grvedd (mss y momentos de inerci de cuerpos tridimensionles. Estos conceptos se definen igul que en el cso de ls regiones plns, pero utilzndo integrles triples y cmbindo áres por volúmenes. Esto es, se R 3 un región cotd (un sólido cuy densidd por unidd de volumen (densidd volumétric en el punto (x, y, z viene dd por un función ρ : [, +, que suponemos integrble en. e define l ms totl de, m( como: m( = ρ(x, y, z dx dy dz El cociente entre su ms totl y su volúmen se denomin densidd medi ρ( = m( V ( = ρ(x, y, z dx dy dz dx dy dz Ls coordends del centro de grvedd ( x, ȳ, z de son: x = 1 m( x ρ(x, y, z dx dy dz = x ρ(x, y, z dx dy dz ρ(x, y, z dx dy dz

16 16 ȳ = 1 m( y ρ(x, y, z dx dy dz = y ρ(x, y, z dx dy dz ρ(x, y, z dx dy dz z = 1 m( z ρ(x, y, z dx dy dz = z ρ(x, y, z dx dy dz ρ(x, y, z dx dy dz i L R 3 es un rect o un plno y d(x, y, z l distnci de un punto (x, y, z L, se denmin momento de inerci de respecto L, l número: I L = (d(x, y, z ρ(x, y, z dx dy dz Los momentos de inerci respecto los tres ejes coordendos son: respecto l eje OX I x = respecto l eje OY I y = respecto l eje OZ I z = (y + z ρ(x, y, z dx dy dz (x + z ρ(x, y, z dx dy dz (x + y ρ(x, y, z dx dy dz Los momentos de inerci respecto los tres plnos coordendos son: respecto l plno OXY I xy = respecto l plno OXZ I xz = respecto l plno OY Z I yz = z ρ(x, y, z dx dy dz y ρ(x, y, z dx dy dz x ρ(x, y, z dx dy dz Observr que I x = I xy + I xz, I y = I xy + I yz e I z = I xz + I yz

17 17 Ejemplo 3.6 Clculr l ms del sólido limitdo por dos esfers concéntrics, centrds en el origen, de rdios y b ( < < b, si l densidd en cd punto es igul l cudrdo de su distnci l centro. L distnci de un punto (x, y, z l origen es x + y + z por tnto nuestr densidd es ρ(x, y, z = x + y + z. Ls ecuciones de ls dos esfers son x + y + z = y x + y + z = b, por tnto nuestro sólido viene definido como: = {(x, y, z R 3 : x + y + z b }. Al trtrse de un dominio esférico nos conviene hcer un cmbio coordends esférics x = r sen θ cos ϕ y = r sen θ sen ϕ J(r, θ, ϕ = r sen θ z = r cos θ y con ests coordends qued = {(r, θ, ϕ : r b, θ π, ϕ π}. m( = (x + y + z dx dy dz = ( = r 4 dr ( π ( π ( π r r sen θ dϕ dθ dr = ( π sen θ dθ dϕ = [ r5 5 ]b [ cos θ] π π = b5 5 π = 4π(b FIGURA 5. Esfers concéntrics.