1. En cada caso, usa variables proposicionales para denotar las proposiciones atómicas y escribe simbólicamente la proposición molecular dada.

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1 GUÍA PRÁCTICA N 1 1. En cada caso, usa variables proposicionales para denotar las proposiciones atómicas y escribe simbólicamente la proposición molecular dada. (a) Paula está comiendo, bebiendo y divirtiéndose. (b) Julián no aceptará el cargo. (c) No irás al cine hoy en la noche y no irás mañana. (d) Trabajo mucho, pero no recibo un buen sueldo. (e) Mañana o estaré en Caracas o estaré en Valencia. (f) Miguel venderá su apartamento y comprará una casa siempre que gane el premio mayor del KINO. (g) La decisión dependerá del juicio o de la intuición, no de quién pagó más. (h) Si 3 es un número natural, entonces 7 es irracional o π es racional. (i) = 8 es condición necesaria para que 8 > 5. (j) Cuando un número entero es par, es múltiplo de 4. (k) Si tu carro no tiene aire acondicionado, entonces no sentirás frío. (l) Ni 27 ni 30 son múltiplos de 4. (m) No es cierto que Carlos estudia Informática y que Mariana estudia Matemática. (n) Es suficiente que suban los precios para que los sueldos aumenten. (ñ) La presencia del oxígeno en el ambiente es suficiente para que se produzca la combustión. (o) Siempre que tengo hambre y no tengo tiempo para comer, no me siento bien y no puedo estudiar. (p) Si quebrantas la ley, entonces irás a la cárcel. (q) El sol brilla solo si estás feliz. (r) Iré el sábado al automercado, si me pagan el viernes. (s) Si te cepillas los dientes con una crema dental, tendrás menos caries. (t) Tus nietos no sobrevivirán en este planeta si no detenemos la contaminación del ambiente. (u) Podrás haces este ejercicio solamente si entiendes el material anterior y lo has estudiado. (v) Una condición suficiente para que = 3 es que = 4. (w) Para que un polígono sea un cuadrado, es necesario que sea un rectángulo. (x) Solo descanso si duermo.

2 2. Sean p : Está nublado y q : Está lloviendo. Simboliza las siguientes proposiciones: (a) Está nublado o está lloviendo (b) Está nublado y no está lloviendo (c) No es cierto que está lloviendo o está nublado (d) O no está nublado o no está lloviendo (e) Ni está lloviendo ni está nublado (f) Solo está nublado si está lloviendo (g) No está nublado, pero está lloviendo (h) Que esté lloviendo es necesario para que esté nublado 3. Sean las proposiciones: p: Los intereses suben q: El dinero escasea r: La inflación baja Escribe, en símbolos, cada una de las siguientes proposiciones: (a) Si el dinero escasea, entonces los interes suben y la inflación baja. (b) Los intereses no suben o el dinero no escasea. (c) No es cierto que si la inflación no baja, entonces el dinero escasea. (d) O los interesen suben o la inflación no baja. (e) No es verdad que: el dinero no escasea si y solo si los intereses suben y la inflación no baja. 4. Dadas las proposiciones: p: Mónica estudia en la UCAB q: Mónica trabaja r: Mónica tiene una beca Escribe, en símbolos, cada una de las siguientes proposiciones: (a) Una condición necesaria para que Mónica estudie en la UCAB es que no trabaje y tenga una beca. (b) Mónica estudia en la UCAB o trabaja, pero no tiene una beca. 5. Sean p y q proposiciones para las que el condicional p q es falso. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: (a) p q (b) (p q) (c) p q (d) p (p q) (e) (p q) p (f) ( p q) q 2

3 6. Construye un arbol semántico para cada una de las siguientes proposiciones compuestas (donde p, q y r denotan proposiciones simples): (a) (p q) p (b) p (q r) (c) (p q) (q p) (d) (p q) p q (e) p q p (f) q p q (g) (p q) (q r) (p r) (h) (p q) r (i) p q r (j) p q (p q) (p q) (k) p (p q) q (l) [(p q) p q] 7. Cuáles de las proposiciones anteriores son tautologías? Cuáles son contradicciones? Cuáles son satisfactorias? 8. Simplifica las siguientes proposiciones: (a) ( p q) (b) (p q) ( p q) 9. Si se sabe que p y q son proposiciones tales que p q es verdadera y q es verdadera, determina el valor de verdad de (p q) q q 10. Los valores de verdad de las proposiciones p, q, r y s son, respectivamente, V, F, F y V. Determina los valores de verdad de (a) [(p q) r] s (b) r s p (c) p r r s 11. Determina, en cada caso, si la información indicada a la derecha del punto y coma es suficiente para conocer el valor de verdad de las proposiciones que se encuentran a la izquierda del punto y coma. (a) (p q) r ; r es V. (b) p q p q ; q es V. (c) p q p r ; p es V y r es F. (d) p (q r) ; r es V. (e) p [q r ( p r)] ; p y q son V. (f) (p q q r) ; p es V y q es F. (g) p q r p (q r) ; q es F y r es V. (h) p (p r) (r p) ; p q es F. (i) ( q p) r ; q r es V. (j) p ; p q p es V. (k) p ; p q y r q son V. (l) p ; (p q) [ t (q t)] es V. 12. Utilizando las leyes lógicas demuestra las siguientes equivalencias lógicas (a) p q r p (q r) (b) p q r (p q) (p r) (c) p q r (p r) (p r) 3

4 (d) p q r r (p q) (e) p q r p q r (f) [(p q) (p q)] q p q (g) (p q) [( p q) q] (p q) (h) (p q) [ q (r q)] (p q) (i) [ [(p q) r] q] q r 13. Construye un arbol semántico para cada una de las siguientes proposiciones, indicando si la fórmula es satisfactoria, contradictoria o tautológica: (a) ( p q) (q r) r p q (b) (r p q) ( s t u) (s r) (t s u) ( t s r) (c) ( (a b) (b c) (c d) (d e)) (a c) (d) (p q r m) (r t s) (n s) m ( r n) ( p ( (q r) t s)) (e) (p q) (q r) p (r s p) (f) (a b) (b c) (a b c) (c d) (g) ( a e p q) ( e d b p) ( b p c q) (c d b a) 14. Sean p, q, r variables proposicionales. Indica cuáles de las siguientes fórmulas son tautologías, cuáles son satisfactorias y cuáles son contradictorias. En caso de que sea satisfactoria, halla la FNC y FND para la fórmula. Utiliza el método de Quine (árboles semánticos) y/o tablas de verdad para justificar tus respuestas. (a) (p (q r)) ((p q) r)) (b) r q ((r q) q) (c) (r ((q r) (q r))) (r q) (d) q r ( r q) (e) (p q) ( p r) ( q r) r (f) (p q) (q r) (r p) (g) ((p q) r) (p q) r 15. Verifica si cada uno de los siguientes razonamientos es válido o no, por demostración por contradicción. Realiza además su árbol semántico. En caso de que un razonamiento sea válido, realiza la derivación correspondiente justificando cada paso. En caso de no serlo, determina los valores de p, q, r y s, que hacen al razonamiento inválido. (a) ( p q) (q r) (r s) p ( q s) (b) (p q r s) ( q p) 16. Demuestra, por contradicción, la validez del siguiente razonamiento: ( r p q) ( p q) ( ( p r) s) s r 4

5 17. Para los siguientes razonamientos, verifica si son satisfactorios, contradictorios o tautológicos con ayuda de un árbol semántico (método de Quine). En caso de resultar válido un razonamiento, deriva, justificando cada uno de los pasos. En caso de no serlo, determina los valores de las variables que hacen inválido al razonamiento y da su expresión mínima equivalente en FNC y FND. (a) (r (p r)) r (s p s) (b) (a b c) ( a d) (b c d) (c) (p ( r q)) ( p s) (p r q) (s q) (d) (p q r) ((p r) s) ( q t) (q s t) (e) (( p r) p) (( s r) s) (f) ( p s) (p s) (q s) 18. Deriva los siguientes razonamientos justificando cada paso en forma precisa. (a) P Q R A (B C) D S R P (b) E B D P S Q B E F G S (P Q) ( R Q) G ((A C) ( B F )) 19. Deriva los siguientes razonamientos, justificando cada paso: r (p t) (p q t) ( z p r) (q (y r)) (t (x t)) s p z t t m s n (p q) ( p r s) (t z) (t z) w t z (q p s) (m s p) p r s q w r ( t (x w)) ((a h) b) ((d m) c) (p x) (q (r s)) b ( c ( h k)) t ( q r) g d a f (p s) ( w ( r x)) (f m) g m ( d p) p (h k) 5

6 20. Dado el siguiente párrafo: Si no hay tormenta, entonces, no es cierto que, Raquel no se quedará en su casa o que no dormirá temprano. No habrá tormenta, a menos que hayan muchas nubes negras. Es condición suficiente que Carlos vaya a casa de Raquel para que Raquel vaya al cine. Carlos irá a casa de Raquel cuando hayan muchas nubes negras. Raquel no va al cine, pero prepara un café. Demuestra que Raquel se quedará en su casa y se dormirá temprano. 21. Modela cada uno de los siguientes argumentos, haciendo uso de un lenguaje de primer orden o lógica proposicional. Luego, determina la validez del razonamiento usando el método de tu preferencia. (a) Javier se casa solamente si tiene que trabajar, pero no podrá trabajar a menos que no estudie. Es suficiente que Javier no se case para que pierda mucho tiempo visitando a su novia y si pierde tiempo, no podrá estudiar. Si Javier no estudia, sus padres se sentirán infelices. Por tanto, los padres de Javier se sentirán infelices. (b) Cuando se devalúa el bolívar, la inflación se acelera. Las divisas no bajarán siempre que el bolívar se mantenga estable. El bolívar se devalúa o se mantiene estable. Que las divisas bajen es condición necesaria para que el bolívar se devalúe. El bolívar se 6

7 mantiene estable solo si la inflación no se acelera. Por tanto, la inflación se acelera si y solo si las divisas bajan. (c) Es necesario no aprobar Cálculo para estudiar Lógica. Si no estudio Lógica, no me castigan y no voy a la fiesta. Me castigan y salgo a pasear. Por tanto, salir a pasear es condición suficiente y necesaria para no aprobar Cálculo. (d) Si estudio para ser ingeniero en Informática, ganaré mucho dinero. Conoceré mucha gente si estudio periodismo. Seré feliz siempre que gane mucho dinero o conozca mucha gente. Por tanto, soy feliz a menos que ni haya estudiado para ser ingeniero en Informática ni para ser periodista. 22. En el concurso de televisión Quién quiere ser millonario? quedaban 3 concursantes (Pedro, Ricardo y Daniel). Según las reglas del concurso pueden eliminarse uno o dos concursantes a la vez. Los espectadores han expresado diversas opiniones sobre quien(es) serían el/los siguientes en ser eliminados. Las declaraciones fueron las siguientes: No será eliminado Daniel. Si eliminan a Pedro además de Ricardo entonces no eliminarán a Daniel. No eliminarán a Ricardo a menos que eliminen a Pedro y a Daniel. Si eliminan a Ricardo o a Daniel entonces eliminarán a Pedro. Considerando que tres de las declaraciones de los espectadores fueron falsas, Quién(es) será(n) eliminado(s)? 23. Mis abuelos, Andrés y José, discuten acerca de la barbería del pueblo, atendida por tres barberos: Alberto, Benito y Carlos. Los abuelos aceptan las siguientes premisas: Si Carlos no está en la barbería, entonces ocurrirá que si tampoco está Alberto, Benito tendrá que estar para atender el establecimiento. Si Alberto no está, tampoco estará Benito. El abuelo Andrés concluye de todo esto que Carlos no puede estar ausente, mientras que el abuelo José afirma que solo puede concluirse que Carlos y Alberto no pueden estar ausentes a la vez. Decide usando lógica proposicional, cuál de mis dos abuelos tiene razón. 24. Bernardo tiene un dilema sentimental con tres muchachas que le gustan. Este dilema se puede resumir de la siguiente manera: No quiere a Carolina si quiere a Rosa. También sabe que no quiere a Ana a menos que quiera a Rosa y no quiera a Carolina. Además, quiere a Ana o no quiere a Carolina, solo si no quiere a Rosa. Por otro lado, si quiere a Carolina pero no a Rosa, entonces no quiere a Ana. Si se sabe que Bernardo quiere solo a una de las tres muchachas, ayúdale a descifrar cuál de ellas es la que quiere para que pueda pedirle que sea su novia. Explícale a Bernardo usando algún método de lógica proposicional. 25. Cuatro sospechosos de un crimen, que cometió solo uno de ellos, hicieron las siguientes declaraciones a la policía: 7

8 Alberto: Boris lo hizo. Boris: David lo hizo. Carlos: Yo no fui. David: Boris mintió cuando dijo que yo fui. (a) Si solamente una de esas afirmaciones es verdadera, quién es el culpable? (b) Si solamente una de esas afirmaciones es falsa, quién es el culpable? (c) Si David cambia su declaración y afirma que Boris no es el asesino a menos que Carlos lo sea o no lo sea Alberto. Si es posible que hayan dos criminales y asumiendo que todos dicen la verdad, se puede deducir quien o quienes son los culpables? Justifica claramente todas los cuestionamientos anteriores usando lógica proposicional. 8