Universia Metropolitana Dpto. e Matemáticas Para Ingeniería Cálculo I (FBMI0) Proesora Aia Montezuma Revisión: Proesora Ana María Roríguez Semestre 08-09A DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
DERIVADAS DERIVADA EN UN PUNTO Sea una unción real e variable real einia en un intervalo abierto que contenga a c, la erivaa e en c se enota por (c) y se eine como: (c) ( c + ) ( c) lim 0 siempre que el límite eista y sea inito. Si el límite eiste y es inito ecimos que es erivable (erivable) en c. Si acemos c la einición se puee escribir así: ( ) ( c) ( c) lim c c Ejemplo: Daa la unción real e variable real einia por ( ), se tiene que ( + ) () ( + ) 7 () lim lim 0 0 0 + lim lim ( + ) 0 o también ( ) () () lim lim 7 lim 8 ( )( + ) lim lim ( + ) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA (c) es la peniente e la recta tangente e la gráica e la unción en el punto e coorenaas (, ( c) ) coorenaas (, ( c) ) c. Luego, la ecuación e la recta tangente a la gráica e la unción en el punto e c es: y c ( c) ( c)
Ejemplo: Daa la unción real e variable real einia por ( ), se tiene que la ecuación e la recta tangente a la gráica e en el punto (, 7) Es ecir, es: ( ) y 7 () ( ) y 7 o y + 9 0 FUNCIÓN DERIVADA Daa la unción real e variable real, la erivaa e la unción con respecto a la variable es la unción que le asigna su erivaa a caa elemento el ominio e para el cual () eiste. Ejemplo: Daa la unción real e variable real einia por ( ), se tiene que ( + ) ( ) ( ) lim 0 ( + ) lim 0 ( ) ( 6 + ) lim lim ( 6 + ) 6 0 0 Luego, la erivaa e la unción es la unción einia por ( ) 6, es ecir, ': R R '( ) 6 Otras notaciones Aemás e () las otras notaciones para la erivaa son: y y (),,, ( () ) Teorema: Si una unción real e variable real es erivable en c, entonces es continua en c.
Derivaa en un intervalo Se ice que una unción es erivable en un intervalo abierto si tiene erivaa en caa punto el intervalo. Se ice que una unción es erivable en un intervalo e la orma [ a, b) o e la orma [ a, + ) erivable en el intervalo ( a, b) o ( a, + ) y si el límite eiste y es inito. ( a + ) ( a) + ( a) lim (erivaa por la ereca) + 0 Se ice que una unción es erivable en un intervalo e la orma ( a, b] o e la orma (, b] erivable en el intervalo ( a, b) o (, b) y si el límite eiste y es inito. ( b + ) ( b) ( b) lim (erivaa por la izquiera) 0 Se ice que una unción es erivable en un intervalo e la orma [ a, b] si es erivable en el intervalo ( a, b) y si los límites eisten y son initos. lim + 0 ( a + ) ( a) y lim 0 ( b + ) ( b) si es si es REGLAS DE DERIVACIÓN Sean y g unciones erivables en y c una constante. Entonces las unciones c, g y con g ( ) 0, son erivables en, y se veriica: g + g, g, g ( c ) ( ) c ( ) ( + g) ( ) ( ) + g ( ) ( g) ( ) ( ) g ( ) ( g ) ( ) ( ) g ( ) + ( ) g( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) g( ), g ( ) 0 [ g( ) ]
DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES DERIVADAS DE LAS FUNCIONES POLINÓMICAS CASOS PARTICULARES Derivaa e la unción constante: Daa la unción real e variable real einia por ( ) b, one b es un número real se tiene que: ( + ) ( ) b b ( ) lim lim lim 0 0. 0 0 0 ( b) 0, para too número real. Ejemplo Sea la unción real e variable real einia por ( ). Entonces ( ) 0 para too número real. Esto signiica que la recta tangente en cualquier punto e la gráica e tiene peniente cero, es ecir, la recta tangente en cualquier punto e la gráica e es paralela al eje. Derivaa e la unción ientia Daa la unción real e variable real einia por ( ) se tiene que: ( + ) ( ) + ( ) lim lim lim lim. 0 0 0 0 ( ), para too número real. Esto signiica que la recta tangente en cualquier punto e la gráica e es la recta es la misma recta. y, es ecir,
Derivaa e la unciones potencias Daa la unción real e variable real einia por se tiene que n n ( ) one n es un número entero positivo ( ) n, para too número real. Ejemplo: Daa la unción polinómica real einia por einición: ( ) ( + ) ( ) + + + ( ) lim lim lim 0 0 0 ( ) se tiene que ( ). Veriiquémoslo por ( + ) lim 0 En particular, () 6 es: Es ecir,, luego, la ecuación e la recta tangente a la gráica e en el punto (, 9) ( ) y 9 () ( ) y 9 6 o y 6 + 9 0 En general, aplicano los teoremas e erivaa e una constante, erivaa e una suma, erivaa e una constante por una unción y erivaa e una potencia, tenemos que: Daa la unción real e variable real einia por ( ) a 0 + a + K+ a n one a 0, a, K, an son números reales se tiene que: ' n ( ) a + a K + na n, para too número real. n Ejemplos: ) Sea la unción real e variable real einia por ( ), se tiene que: ( ) En particular, (5) 8, ( ) 6, ( ), etc. ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) +, se tiene que 5
( ) + En particular, (0), ( ), () 0, etc. 5 ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) 7, se tiene que: En particular, (0) 0, 57 () ( ) 5, ( ) 7, etc. DERIVADAS DE FUNCIONES RACIONALES CASO PARTICULAR Derivaa e la unción recíproca Daa la unción real e variable real einia por ( ), con 0 se tiene que: ( + ) ( ) ( ) lim + ( + ) lim lim lim 0 0 0 0 ( ) + En general, aplicano el teorema e erivaa e un cociente, tenemos que: p( ) Daa la unción real e variable real einia por ( ) one p() y q () son polinomios q( ) con q( ) 0 se tiene que: q( ) p( ) p( ) q( ) ( ), para too número real con q ( ) 0. ( q( ) ) 6
Ejemplos: ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) 5 + 6, se tiene que: + ( + ) ( 5) ( ( ) ( + ) 5 + 6) () + 78 ( + ), para ) Sea la unción real e variable real einia por n negativo. Entonces ( ) con n Hemos emostrao: ( ) n Z n + n ( ), luego 0 ( n) n ( ), con 0 y n un número entero n n n Derivaa e potencias enteras negativas Daa la unción real e variable real einia por se tiene que n ( ) n, para too número real 0. n ( ) one n es un número entero negativo, Ejemplos: ) Sea la unción real e variable real einia por ( ), con 0, se tiene que: 5 ( ), para 0 ) Sea la unción real e variable real einia por Observa que ( ) 8 8, luego ( ) 8 9 8 9 ( ), con 0, 8, para 0 7
DERIVADA DE LA FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA Daa la unción real e variable real einia por ( ) se tiene que: ( + ) ( ) + ( + )( + + ) ( ) lim lim lim 0 0 0 + + lim lim, 0 0 + + ( + + ) para too número real > 0. ( ) DERIVADA DE n PARA TODO NÚMERO REAL NO NULO n. En general se puee emostrar que: Daa la unción real e variable real einia por ( ) one n es un número real no nulo tiene que: n ( ) n Para los valores e para los cuales la unción esté einia. n Ejemplo: Sea la unción real e variable real einia por ( ), se tiene que: ( ), para too número real 0. En particular: ( 8) () 8 8
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Derivaa e la unción seno Daa la unción real e variable real einia por ( ) sen ( ). Se tiene que ( ) ( + ) ( ) sen + sen sen cos + sen cos sen ( ) lim lim lim 0 0 0 lim sen 0 ( cos ) sen + cos cos. ( sen) cos, para too número real. Derivaa e la unción coseno Daa la unción real e variable real einia por ( ) cos ( ). Se tiene que ( ) ( + ) ( ) cos + cos cos cos sen sen cos ( ) lim lim lim 0 0 0 lim cos 0 ( cos ) ( cos) sen sen sen. sen, para too número real. Derivaa e la unción tangente Daa la unción real e variable real einia por ( ) tan ( ). Se tiene que () sen ( tan ) cos cos cos sen sen cos ( ) sec. cos ( tan π ) sec, para too número real ierente e + k π, k Z. 9
Derivaa e la unción secante Daa la unción real e variable real einia por ( ) sec ( ). Se tiene que ( ) () ( sec ) cos sen cos sen sec tan. Es ecir, cos π ( sec ) sec tan, para too número real ierente e + k π, k Z. Derivaa e la unción cosecante Daa la unción real e variable real einia por ( ) csc ( ). Se tiene que () ( csc ) sen ( csc ) csc cotan cos sen ( ) csc cotan., para too número real ierente e k π, k Z. Derivaa e la unción cotangente Daa la unción real e variable real einia por ( ) cotan ( ). Se tiene que () ( cot an ) sen cos sen ( sen ) sen cos cos csc. sen ( cotan ) csc, para too número real ierente e k π, k Z. 0
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a Daa la unción real e variable real einia por ( ) a ln a, para too número real. ( ) a con a > 0 y a se tiene que: Ejemplos: ) Sea la unción real e variable real einia por ( ). Entonces ( ) ln ) Sea la unción real e variable real einia por ( ). Entonces ( ) ln ln ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) e. Entonces ( ) e ln e e Demostrémoslo por einición: ( + ) ( ) ( ) lim 0 + e ( e ) lim e lim 0 0 e Observa que: Luego, (0 + ) (0) (0) lim lim 0 e 0 ( e ) () e lim e (0) 0 Sabemos que las gráicas e toas las unciones e la orma a y pasan por el punto ( 0,) y aemás la peniente e la recta tangente a caa una e las gráicas en ese punto es (0). Como einimos el número e como el número real en el cual la peniente e la recta tangente a y a en el punto ( 0,) es uno, resulta que: ( e ) () e lim e ( 0) e e 0
DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Sea una unción erivable estrictamente creciente o ecreciente en un intervalo I. Si ( ) 0 entonces es erivable en el punto corresponiente y () el rango e y ( ) ( y) ( ) Ejemplo: La unción real e variable real einia por ( ) 8 + 5 Hallemos ( ) (5). Sabemos que one 0 es el punto el intervalo [,] ( ) tiene inversa en el intervalo [,] (5) ( cuya imagen es 5. 0 ). Determinemos primero a 0. Para ello allemos primero toos los valores el ominio cuya imagen es 5, es ecir, toos los valores que satisacen ( ) 5. ( )( + ) 0 ( ) 5 8 + 5 5 8 0 Las soluciones e la ecuación anterior son: 0, y. Luego, 0 0, ya que esta es la raíz e la ecuación que pertenece al intervalo ao. Aora allemos ' ( ). En consecuencia Por lo tanto, ( ) '( ) 6 8 ' (0) (5) 8 (0) 8
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE a Daa la unción logaritmo e base a einia por Luego: es la inversa e ( ( ) log para > 0 se tiene que g ( ) a, entonces y) g ( ) a ln a y ln a ( ) ( log a ), para too número real > 0. ln a ln a a Ejemplos: ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) log. Entonces ( ) ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) log. Entonces ( ) ln ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) ln. Entonces ( ) ln ln e ln
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Derivaa e la unción arco seno Daa la unción arco seno e enotaa por ( ) arcsen ( ) es la inversa e g ( ) sen, ( y) g ( ) cos sen y Luego: ( ) para (,) ( arcsen ), para too número real (,) se tiene que. Derivaa e la unción arco tangente Daa la unción arco tangente e enotaa por ( ) arctan ( ) para R se tiene que ( ) + ( arctan ), para too número real. + Derivaa e la unción arco coseno Daa la unción arco coseno e enotaa por ( ) arccos ( ) ( ) para (,) ( arccos ), para too número real (,) se tiene que.
Derivaa e la unción arco secante Daa la unción arco secante e enotaa por ( ) arcsec ( ) con > se tiene que También se escribe ( arcsec ) ( ), para too número real con >. Derivaa e la unción arco cosecante Daa la unción arco cosecante e enotaa por ( ) arccsc ( ) con > se tiene que También se escribe ( arccsc ) ( ), para too número real con >. Derivaa e la unción arco cotangente Daa la unción arco cotangente e enotaa por ( ) arccotan ( ) para R se tiene que ( arccotan ) ( ) +, para too número real. + 5
DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA Sea g erivable en y sea erivable en g (). Entonces la unción compuesta o g es erivable en, y se tiene que: ( o g) ( ) ( g( ) ) g ( ) Ejemplos: ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) ( ) 8. Entonces ( ) 8( )( ) ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) cos ( sen ( + ) '( ) cos ( sen ( + )( sen ( sen ( + ) cos ( + ) ' ( ) cos ( sen ( + ) sen ( sen ( + ) cos( + ). Entonces ) Sea g la unción real e variable real einia por 7 g ( ) + +. Entonces ( ) + 7 + + 6 g ( ) 8 6 + ) Sea w la unción real e variable real einia por ( ) ln ( sen ( + 8 ) ( + 8) w. Entonces ( + 8) cos ( 8) w ( ) sen + sen ( + 8) ( + 8) cos ( + 8) 8 w ( ) sen sen 6 5) Sea t la unción real e variable real einia por ( ) arcotan ( ) 5 t ( ) ( 6 ) 6 + ( ) t ( ) + 6 5 t. Entonces 6 ( ) 6