Tópicos de Álgebra Enero 2016

Laboratorio # 1 Algebra de Matrices I.- Calcular las operaciones indicadas, dadas las siguientes matrices. 4 3 5 2 4 0 0 A = ( 2 4 1 ) B = ( 1 5 8) C = ( 4 0 6 7 6 3 1 2 2 1 ) 1 D = ( 3 2 1 5 4 ) E = ( 3 1 1 ) F = ( 5 2 ) 2 1) 2B + 3A 2) CD 3) BE + F 5) F D 6) ( C t + B t )A 7) 3F t - B t 4)A t B t II.- Hallar la matriz X tal que: 1) X 4 A = B 2) 3 A + 5 X = B Siendo 2 3 2 1 4 0 A = ( 2 1 1), B = ( 0 2 6) 1 1 0 3 0 2 III.- Hallar la inversa de la siguiente matriz mediante la definición. A = ( 1 1 3 2 ) Página 1 de 13

Laboratorio # 2 Formas Reducidas I.- Obtener la Forma Reducida Inferior y Forma Reducida en Escalón de las siguientes matrices. 1 7 3 0 6 1. A = ( 5 2 2 14 10) 2. 6 4 9 8 1 2 1 3 6. B = ( 4 2 5 ) 3 2 7 3. D = ( 4. 5. 7. E = ( 8. 6 2 1 4 3 3 1 5) 4 6 3 5 2 1 3 2 ) 3 1 3 7 2 3 5 2 3 2 5 2 7 3 4 1 9. C = ( ) 10. F = ( ) 4 3 6 5 1 2 3 2 2 4 1 3 11. II.- Hallar la inversa, si existe, de la matriz dada, utilizando transformaciones elementales. 3 6 9 1. A = ( 2 4 6) 7 9 5 2 3 1 2. B = ( 8 4 3 ) 2 5 1 2 1 1 3. C = ( 3 2 5 ) 4 3 6 2 3 2 3 3 6 1 5 4. D = ( ) 7 14 3 5 6 12 5 4 Página 2 de 13

Laboratorio # 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales I.- Resolver el sistema de ecuaciones lineales dado, mediante el método indicado. 1) 3x y = 5 2x + 3y = 6 ; Inversa de la matriz de coeficientes 2) 2x + 3y + z = 0 x + 5y + 2z = 6 3x y + z = 2 ; Elegir el método 3) 7x + 3y + 4z = 1 5x + y + 2z = 1 9x + 4y + 3z = 1 ; Gauss 4) 7x + y + 2z = 0 9x y 3z = 0 2x + 4y 7z = 0 ; Gauss 5) w x + 3y 3z = 3 2w + 3x + y 11z = 1 5w 2x + 5y 4z = 5 3w + 4x 7y + 2z = 7 ; Gauss-Jordan 6) 5w + 7x y + 8z = 1 7w + x + y 3z = 11 w 2x + 3y z = 11 w + x y + 3z = 3 ; elegir el método 7) 10x + y = 0 3x + 2y = 17 ; Inversa de la matriz de coeficientes. Página 3 de 13

Laboratorio # 4 Determinantes 3 1 4 3 4 2 2 1 I.- Considere el siguiente determinante y calcule: 2 1 1 2 1 3 1 4 1) Los menores M 13, M 22, M 23, M 44. 2) Los cofactores C 12, C 33, C 32, C 22. II.- Resolver para x. 3x 2 1 1) I = 3 2x 2 = 8 x 3 1 4x 2x 3 2) I = x 5x 2 = 10x 2 4 2x III.- Hallar la inversa de la matriz dada, si existe, utilizando determinantes. 3 2 1 1) ( 4 3 2) 1 2 3 3 1 4 0 2 2 2 3 2) ( ) 0 1 1 1 1 3 2 3 III.- Calcular las siguientes determinantes, utilizando propiedades y el desarrollo por menores. 4 3 2 A = 0 2 1 1 1 3 4 2 3 B = 3 1 2 6 5 1 4 2 0 1 1 3 1 2 C = 4 3 1 2 1 3 1 2 0 2 2 3 1 1 1 1 D = 3 3 1 0 1 0 0 2 Página 4 de 13

Laboratorio # 5 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales por Determinantes I.-Resolver el sistema dado por el método indicado. 1) 2x y + z = 3 2y z = 1 x + y = 1 Cramer 2) x + 3y z = 0 2x y + z = 4 3x + 5y + 2z = 6 Cramer 3) 3x y = 4 2x + 3y z = 3 x y + z = 0 Inversa 4) x + 2y + z = 1 2x y 2z = 1 x + 5y + 3z = 2 Inversa 6) 5) x + y z + w = 0 2x y + 2z 5w = 3 3x + 2y + 3z + 6w = 1 2x + y z + w = 2 3x 4y z + 2w = 3 x + y + 2z + 3w = 1 2x 3y + z w = 0 2x + y + 9z w = 5 Elegir el método Elegir el método II.-Determina los valores de k tales que el sistema dado tenga: a) solución única, b) ninguna solución, c) una infinidad de soluciones. 1) x + y + kz = 2 3x + 4y + 2z = k 2x + 3y z = 1 2) kx + 2y + 6z = 0 2x + ky + 4z = 2 2x + ky + 6z = k 2 Página 5 de 13

Laboratorio # 6 Fracciones Parciales I.-Indicar la descomposición en fracciones parciales de las fracciones siguientes. 1) 3x+17 (x+3) 3 4) 5 3 +x+2 (x 2 1)(x 2 +1) 2) x 3 +8x 2 16 (x 2 +2x+1)(x 2 +1) 5) x 2 +5x+2 (x 7)(x+1) 2 3) 5x+1 (x 1) 2 (x+1) II.-Descomponer en sus fracciones parciales simples la fracción dada. 1) 6x 2 +15x+7 (x+2) 2 (x 2 2x+4) 4) x3 2x+1 (x 2 +1) 2 2) 4x3 +6x 2 2x+10 4x 4 +12x 2 +9 5) x 2 2x+2 x(x+1)(x 2 +1) 3) 1 (x 1)(x+2) 2 Página 6 de 13

Laboratorio # 7 Logaritmos I.-Expresar el logaritmo dado en términos de logaritmos más simples. 1) log b x 2 1 x 2 4 2) log b x(x+2) 2 (x 2) 4 3) log b x2 +1 x 2 +2 4) log b x 2 x 3 +1 5) log b x 2 +1 3x 2 II.-Expresar como un solo logaritmo. 1) 3 log b xy 4 log b z 2) log 5 (x + y + z) (log 5 3 + 2 log 5 x) 3) 2 log 10 3 + 3 log 10 2 2 4) 1 log 2 10 16 1 log 3 10 8 + 1 5) 2ln x ln(x + 1) ln(x + 1) 6) 3ln x + 2ln y 4ln z 7) log(x + 5) + log(2x + 8) + 4 log(3x + 1) 2log(x 3) 8) log 2 (x + y) log 2 (x 2 + 1) + 10 + 1 2 log 2(xy 2 ) III.-Expresa x en términos de y. 1) ln(25 x) = 2y + ln 30 2) y = 35x 35 x +2 3) log 3 (xy) = 2 log 3 y 4) ln(5 x) = 2y 5) ln(xy)3 ln z 4 Página 7 de 13

Laboratorio #8 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas I.-Resuelve las siguientes ecuaciones. 1) log 4 (x + 6) log 4 10 = log 4 (x 1) log 6 2 2) 1 2 log 5(x 2) = 3 log 5 2 3 2 log 5(x 2) 3) log 2 x + log 2 (x + 1) = 3 log 2 4 4) log 5 x + log 5 (x + 6) = 1 2 log 5 9 5) log 10 x 2 = log 10 x 6) log(x 2 + 4) log(x + 2) = 3 + log(x 2) 7) 4 2x+3 = 5 x 2 8) 3 6x+4 = 3 1 3x2 9) 3 x2 = 5 x+1 10) 2 x2. 4 = 8 3x 11) e 3x 3e 2x + 4e x 4 = 0 12) 3e 3x 7e 2x 19e x 5 + 4e x = 0 13) log 2 + log(11 x 2 ) = 2 log(5 x) 14) log 8 (x + 1) + log 8 (x + 3) = 1 15) log 5 (x 2 + 21x 10) log 5 (5x 1) = 1 16) log(16 x2 ) log(3x 4) = 2 17) log(x 3 1) log(x 2 + x + 1) = 1 18) log 3 x 2 log 27 x = 1 19) 2 x2 = 2 5x+6 20) 3 x+2 = 7 21) 5 2+3x = 8 4x 1 22) 4e 2x + 8e x 5 2e x + e 2x = 0 23) e 4x + e 3x + e 2x + e x + e x + 1 = 0 24) 4e 5x 4e 4x 5e 3x + e 2x + e x = 0 Página 8 de 13

I.- Simplifica la expresión dada. Tópicos de Álgebra Enero 2016 Laboratorio # 9 Permutaciones y Combinaciones 1) 13! 11! 7! 2) 10! 3) 4!7! 11! n! 4) (n 1)! II.- Halla n o y, si: 1) P(n, 2) = 72 2) P(n, 4) = 42P(n, 2) 5) (n+2)! n! 3) 2P(n, 2) + 50 = P(2n, 2) 4) P(n, r) = 120 y C(n, r) = 20 III.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Si no se permiten repeticiones a) Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los 6 dígitos 2,3,5,6,7,9? b) Cuántos de éstos son menores que 400? c) Cuántos son pares? d) Cuántos son impares? e) Cuántos son múltiplos de 5? 2) De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres? 3) De cuántas maneras se puede acomodar una reunión de 7 personas, a) En una fila de 7 sillas b) Alrededor de una mesa redonda c) 4) Una delegación de 4 estudiantes de un colegio se selecciona todos los años para asistir a la asamblea anual de la asociación de estudiantes. a) De cuántas maneras puede escogerse la delegación si hay 12 estudiantes elegibles? b) De cuántas maneras si dos de los estudiantes elegibles no asisten al mismo tiempo? c) De cuántas maneras si dos de los estudiantes elegibles son casados y sólo asistirán si van ambos? 5) De cuántas maneras 3 niños y 2 niñas pueden sentarse en una fila a) Si los niños se sientan juntos y las niñas también. b) Si justamente las niñas se sientan juntas. Página 9 de 13

6) De cuántas maneras se pueden repartir 7 juguetes entre 3 niños, si el menor recibe 3 y cada uno de los otros recibe 2? 7) Cuántas señales diferentes, cada una de 6 banderas colgadas en una línea vertical, pueden formarse con 4 banderas rojas idénticas y 2 azules idénticas? 8) En una clase hay 12 estudiantes de cuántas maneras los 12 estudiantes pueden presentar tres pruebas diferentes si a cada prueba le corresponden 4 estudiantes. 9) Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con todas las letras de c/u de las palabras. a) Tema b) Campana c) Estadísticas 10) Supóngase que una urna contiene 8 bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas de tamaño 3. a) Con sustitución b) Sin sustitución Página 10 de 13

Laboratorio # 10 Probabilidad I.- Resuelve los siguientes problemas. 1) Si tres esferas son tomadas aleatoriamente de una urna con 6 blancas y 5 negras, Cuál es la posibilidad de que una sea blanca y dos negras? 2) Un comité de cinco se selecciona de un grupo de seis hombres y nueve mujeres. Si la selección es hecha aleatoriamente, cuál es la probabilidad de que el comité consista de tres hombres y dos mujeres? 3) Una urna contiene ocho esferas rojas y cuatro esferas blancas, suponga que tenemos dos esferas sin reemplazo, cuál es la probabilidad de que las dos esferas sean rojas? 4) En un juego de cartas las cincuenta y dos se reparten en cuatro jugadores; M, S, E, O. Si M y S tienen ocho espadas entre sus veintiséis cartas. Cuál es la probabilidad de que el jugador E tenga tres de las cinco espadas restantes? 5) Cuantas señales distintas existen de nueve banderas que se acomodan en una línea de un conjunto de cuatro blancas, tres rojas, dos azules si todas las banderas del mismo color son idénticas. 6) Se saca una bola de una caja que contiene 4 bolas rojas y 5 verdes. Se devuelve la bola a la caja y se saca una segunda. Encuentra la probabilidad de que a) ambas sean rojas, b) ambas sean verdes, c) la primera sea roja y la segunda sea verde. 7) Se sacan dos naipes de una baraja de 52 cartas. Cuál es la probabilidad de que ambas sean a) reinas, b) corazones, c) del mismo palo? 8) Encuentra la probabilidad de que en 5 tiros de un dado salgan: a) ningún seis, b) dos seises, c) 4 o 5 seises. 9) Se toma una carta al azar de una baraja de 52 cartas, y enseguida se devuelve. Si está acción se efectúa 4 veces, encontrar la probabilidad de que las 4 cartas sean de los cuatro diferentes palos. 10) Una caja contiene 15 tornillos buenos y 3 defectuosos. Si se sacan 3 tornillos, calcula la probabilidad de que ninguno este defectuoso. Página 11 de 13

Laboratorio # 11 Sucesiones I.- Determine si la sucesión dada es monótona creciente o monótona decreciente. 1) Sea a 1 = 2 ; a n = 2 + a n 1 n = 2,3, 6) { n+2 2n 1 } 2) { 2n n } 7) {( 1) n 1 2 n } 3) { en n } 8) {1, 4 3, 9 5, 16 7, 25 9, } 4) { 1 n } 9) {cos (n 1)π} 5) 1 3, 2 5, 3 7, 4 9, 10) {2n + 3} II.- Determine si la sucesión dada es convergente o divergente. 1) { n2 +1 } 4) { n ln n } n 2 2) { 3 2n2 n 2 +1 } 5) {( 1)n 1 ( 2 3 )n } 3) { n 2 n} III.- Calcule el límite indicado. 1) lim x2 x e x (ln 2) lim x)3 x x 5 ( 1 ) x 2 x 2 +x 6 x 2 3) lim 4) lim x2 +2x x e 3x 1 5) lim ln(x+ex ) x 3x 6) lim x π 2 7) lim t 0 8) lim x 0 9) lim x 1 sen x 1+cos 2x t sen t 1 cos t e x e x sen x ln 3x 3x 2 Página 12 de 13

Laboratorio # 12 Series I.- Determinar si la serie dada es convergente o divergente. Justifique su respuesta. 1) 1 n=1 [ln(n+1)] n 5) 5n+1 n=1 2n+3 1 2) n=1 6) n2 n (n 1)! 3) n=1 7) (n+1)! 1 n=2 n ln n 3 n=1 2 (1 5 )n 4) n=1 ne n2 8) n3 n=1 e n II.- Halle el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias. 1) n n=0 5n xn 4) n=0 n! x n x n 2) n=1 5) n n=0 (x 2) n+1 (n+1)3 n+1 3) n=1 x 2n+1 (2n+1)! III.- Halle la serie de Taylor para la función dada alrededor del punto indicado. Además halle una serie de Maclaurin. 1) f(x) = cos( 4x ), x = π 2) f(x) = e 3x, x = 2 3) f(x) = senx, x = π 6 Página 13 de 13