Unidad 10: Física Cuántica

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1 Física cuántica 10.1 Unidad 10: Física Cuántica I Introducción Como hemos visto en la unidad anterior, la crisis de la física clásica a principio del siglo XX tiene que ver con la imposibilidad de detectar un sistema de referencia absoluto. Otro de los aspectos en los que fallaba tenía que ver con la absorción y emisión de ondas electromagnéticas. La emisión de la radiación en los cuerpos presentaba inconsistencias El efecto fotoeléctrico, emisión de electrones al iluminar superficies metálicas La emisión electromagnética de gases al calentarlos. Se esperaba un espectro continuo y se obtenía uno discontinuo Estos pequeños problemas contribuyeron a la crisis de la física clásica, marcando sus límites de validez y pusieron en evidencia la necesidad de cambiarla. Inicialmente las primeras soluciones aparecen como retoques para seguir usando la física de siempre (igual que sucedió con Lorentz y su hipótesis de acortamiento del interferómetro), pronto se ve la necesidad de replantearlo de manera global. II Radiación del cuerpo negro La teoría electromagnética generaba un problema cuando intentaba explicar la emisión de radiación de cualquier objeto en equilibrio, llamada radiación térmica, que es la que proviene de la vibración microscópica de las partículas que lo componen. Se propuso un modelo llamado Cuerpo Negro para describir la radiación emitida por los cuerpos. Se trata de un material que es capaz de absorber toda la energía que recibe y que es capaz de emitir en todas las longitudes de onda formando un espectro continuo. El gráfico de la derecha muestra una representación de la energía emitida por un cuerpo negro. La cantidad total de energía emitida por unidad de tiempo y superficie es proporcional a T 4 según con σ=5, J m 2 s K 4 E=σT 4 Ley de Stefan-Boltzmann Usando las ecuaciones de la electrodinámica clásica, la energía térmica emitida tendía al infinito si se suman todas las frecuencias en que emitía el objeto. En 1900 al físico alemán Max Planck se le ocurrió un artificio matemático: si en el proceso aritmético se sustituía la integral de esas frecuencias por una suma no continua, se dejaba de obtener infinito como resultado, con lo que se eliminaba el problema; además, el resultado obtenido concordaba con lo que después era medido. Enunció la hipótesis

2 Física cuántica 10.2 la radiación electromagnética es absorbida y emitida por la materia en forma de «cuantos» de luz de energía con h=6, J s E=hν III El efecto fotoeléctrico En 1887, Hertz llevó a cabo los experimentos que confirman por primera vez la existencia de ondas electromagnéticas predichas por Maxwell. Hertz, apreció en el curso de sus experimentos que las descargas eléctricas entre electrodos saltaba con más facilidad si se iluminaba uno de ellos. 1. A modo de hipótesis, intenta explicar este fenómeno 2. Partiendo de los conocimientos de la luz como onda electromagnética con una distribución uniforme de energía. Explica como deben influir la frecuencia y la intensidad sobre: la cantidad de electrones emitidos, su energía cinética, el tiempo que tardan en emitirse. Mediante el montaje experimental de la figura, se puede estudiar con detenimiento el efecto fotoeléctrico. En el recipiente de vidrio se ha hecho el vacío. Si se ilumina con luz el ánodo, se cierra el circuito y comienza a pasar corriente, lo cual nos hace pensar que se comienzan a emitir electrones que se mueven hacia el cátodo. Si en el montaje invertimos el potencial de la pila, se puede observar que disminuye la corriente. Esto se debe a que los electrones se van frenando por el camino. En el momento en que deja de pasar corriente, todos los electrones se han frenado y el potencial se llama potencial de frenado. La energía potencial de frenado es igual a la energía cinética de los electrones, con lo que disponemos de una medida de la energía cinética de los electrones. El efecto tiene las siguientes características: El efecto es instantáneo: nada más iluminar el metal se emiten electrones No se da el efecto fotoeléctrico para cualquier tipo de luz. Para cada metal existe una frecuencia de luz por debajo de la cual no se emiten electrones (frecuencia umbral). Por encima de esa frecuencia umbral los electrones son cada vez más energéticos. Cuando sucede el efecto, aumentar la intensidad de luz no aumenta la energía cinética de los

3 Física cuántica 10.3 electrones, sin embargo, aumenta la corriente que mide el amperímetro de manera proporcional al aumento de intensidad de luz. La explicación teórica fue hecha por Albert Einstein, quien publicó en 1905 el revolucionario artículo Heurística de la generación y conversión de la luz, basando su formulación de la fotoelectricidad en una extensión del trabajo sobre los cuantos de Max Planck. La luz incidente se considera un conjunto de partículas llamadas fotones sin masa y sin carga que transportan una energía E=hν. Cuando uno de esos fotones incide sobre una placa de metal, parte de su energía se invierte en extraer el electrón y otra parte se invierte en aumentar su energía cinética. 1. A la luz de esta explicación, justifica las tres características del efecto fotoeléctrico antes enunciadas El trabajo de extracción del electrón depende del material empleado. Pero como sabemos que cada metal tiene una frecuencia umbral, deducimos que existirá un fotón que arrancará el electrón sin comunicarle energía cinética: W ext =E umbral =h ν 0 Por otra parte, la energía cinética máxima es igual a la energía potencial de frenado: E CMAX =e V frenado De manera que la ecuación que representa la explicación dada puede escribirse como: E=W Ext + E CMAX h ν=h ν 0 + e V f Einstein recibió el premio Nobel en 1921 ya que no fue posible antes la comprobación experimental con suficiente exactitud. En 1923 Millikan recibió también en Nobel tras estar 10 años intentando demostrar que el razonamiento de Einstein era erróneo sin conseguirlo. IV El espectro discontinuo y su interpretación cuántica Si en un tubo de vacío con sus dos electrodos se introduce un gas a baja presión y se aplica una diferencia de potencial entre sus extremos, las descargas que se producen entre electrodos calientan el gas y éste se pone a emitir luz. Si se hace pasar esta luz por un prisma, se produce una dispersión cromática. Clásicamente, era de esperar que este espectro fuese continuo. Sin embargo, se produce un espectro de emisión discontinuo. Si hacemos que luz blanca atraviese el gas, el espectro resultante es casi continuo, pero le faltan justo las misma líneas que aparecían en el espectro de emisión. A este espectro se le llama de absorción. Estos espectros, eran empleados por los químicos para analizar sustancias químicas. En 1860 Kirchoff y Bunsen demostraron que había muchos elementos distintos en el sol. En 1903 Ramsay encontró un nuevo elemento en el sol al que llamó Helio.

4 Física cuántica 10.4 Ampliando las líneas del espectro de emisión se descubren nuevas líneas muy juntas. Estudiando la relación entre las líneas, se llega a la conclusión que: 1 λ H( =R 1 n 1 2 i n 2) j con R H =1, m 1 llamada constante de Rydberg n i = 1 Ultravioleta (Lymann) n i = 2 Visible (Balmer) n i = 3 Infrarojos (Paschen) n i = 4 Infrarojos (Bracket) con n j =[ n i + 1, [ De alguna manera, se intuía que esto estaba relacionado con la interacción entre radiación y los átomos de la materia. V Modelos atómicos En 1986 Becquerel descubre la radiactividad y poco después Rutherford la estudia y clasifica en rayos alfa, beta y gamma. Además demuestra que en las alfa y beta, los átomos de un elemento se convertían en otros. En 1911, demuestra que los átomos poseen un núcleo muy masivo y que su volumen está prácticamente vacío. Propuso un modelo atómico que consistía en un núcleo muy masivo compuesto por cargas positivas alrededor del cual giraban (como los planetas) los electrones. 1. Este modelo era inestable según la física clásica por qué? A pesar de ser inestable, el modelo explicaba los resultados obtenidos en laboratorio. En 1913, un alumno suyo llamado Niels Bohr, corrigió el modelo aplicando la cuantización de Plank. 1 - Modelo Atómico de Bohr Se basa en tres postulados Los electrones describen órbitas circulares en torno al núcleo del átomo sin radiar energía. Cada órbita se identifica mediante un número llamado número cuántico principal (n) No todas las órbitas para electrón están permitidas, tan solo se puede encontrar en órbitas cuyo radio cumpla que el momento angular L del electrón sea un múltiplo entero de ħ= h 2π Esta condición matemáticamente se escribe: L=mvr=nħ El electrón solo emite o absorbe energía en los saltos de una órbita permitida a otra. En dicho cambio emite o absorbe un fotón cuya energía es la diferencia de energía entre ambos niveles. 2. Basándote en el modelo atómico de Bohr sabrías explicar los espectros de absorción y emisión de los gases?

5 Física cuántica 10.5 El modelo de Bohr permitió explicar los espectros atómicos, pero pronto surgieron problemas que obligaron a modificarlo. Fallaba especialmente en espectros de átomos polielectrónicos, incluso en los casos más sencillos, el modelo era incapaz de explicar la mayor intensidad o anchura de unas líneas espectrales sobre otras. Por otra parte, al usar espectroscopios más potentes, aparecieron desdoblamientos de las líneas espectrales que el modelo no era capaz de predecir. 2 - El experimento de Frank-Hertz Uno de los inconvenientes que presentaba el modelo de Bohr, era que se podía considerar que la cuantización se debía a una interacción especial entre radiación (cuantizada por Plank) y la materia. Los físicos alemanes Frank y Hertz estudiaron los choques entre átomos y electrones con el experimento de la figura Los electrones emitidos por el cátodo son acelerados hacia la rejilla según el potencial de aceleración. Los electrones más energéticos llegan a la placa colectora (los otros se disperan por choques con el gas) y producen una corriente medida por el amperímetro. Clásicamente, era de esperar que la cantidad de electrones que llegaran a placa colectora aumentara proporcionalmente al voltaje de aceleración. Sin embargo, la gráfica que se obtiene es Es decir, aparecen unos mínimos de intensidad. Frank y Hertz interpretaron que los electrones sufrían choques inelásticos con los átomos de mercurio, cediendo parte de su energía. Al estudiar cuánta energía se perdía, comprobaron que el resultado coincidía con la de los fotones que formaban las distintas rayas espectrales del mercurio. Este experimento, demuestra pues que existen en los átomos niveles energéticos sin recurrir a la interacción radiación-materia. 3 - Propiedades ondulatorias de las partículas El estudio del efecto fotoeléctrico puso de manifiesto que las ondas se pueden comportar como partículas. Louis de Broglie propuso en 1923 una relación inversa, es decir, postulaba que una partícula se puede comportar como una onda. Si tenemos en cuenta un fotón, su energía según la relatividad es E= pc

6 Física cuántica 10.6 Por otra parte, según la hipótesis de Plank la energía del fotón viene dada por E=hν=h c λ Igualando ambas expresiones λ= h p = h m v Hemos hallado una relación entre magnitudes ondulatorias ( λ, ν ) con magnitudes de partículas ( m, p ). Dualidad onda-partícula Cualquier onda de longitud de onda λtiene asociada una masa (energía) m= h λv Cualquier partícula de masa m y velocidad v tiene asociada una onda cuya longitud de onda es λ= h. Estas ondas, no son electromagnéticas y se han llamado ondas materiales. m v En 1927, Davisson observó por primera vez un patrón de interferencia (típicamente ondulatorio) de electrones (materia) al lanzarlos contra un cristal de níquel. Principio de complemantariedad Es imposible reunir en un sólo experimento los aspectos ondulatorios y corpusculares de un sistema físico. La totalidad de resultados observados son complementarios y en conjunto describen completamente el sistema observado. 4 - Modelo atómico de la mecánica cuántica Las ondas materiales permitieron justificar el segundo postulado de Bohr. L =n h 2π rmv=n h 2π 2πr=n h mv 2πr=nλ Las posibles órbitas electrónicas estables tienen una longitud que es un múltiplo entero de longitudes de onda de De Broglie. El electrón forma ondas materiales estacionarias en las órbitas y de esta manera no radia energía. En todas las ondas varía alguna magnitud. Qué magnitud varía en las ondas materiales? En 1926, Erwin Schrodinger formuló una ecuación de ondas y llamó a la magnitud que variaba Ψ. i ħ Ψ( r,t) = ħ2 t 2 m Ψ( r,t)+ V ( r, t)ψ( r,t) Esta magnitud no puede observarse directamente y aunque se le ha intentado atribuir, no tiene significado físico directo. Esta ecuación describe el movimiento de cualquier partícula. Su resolución depende de las condiciones impuestas al movimiento y porporciona una funciones matemáticas llamadas funciones propias que a su vez llevan asociados unos valores propios (valores permitidos) de la energía. Para electrones en un átomo, las funciones propias son funciones espaciales llamadas orbitales. Además, la resolución impone la cuantización de varias magnitudes físicas de los electrones:

7 Física cuántica 10.7 La energía E n = R H 2 n=1,2,3... número cuántico principal. n El módulo de L L = l (l+ 1) h 2π l = 0, 1, (n 1) número cuántico orbital La proyección de L sobre el eje z L z =m l h 2π m l = [ l, +l ] número cuántico magnético La proyección del momento ángular intrínseco (spin) S = s(s+ 1) h 2π S z =m s h 2π s= 1 2 m s =± 1 2 Número cuántico de espín que aparece al tener en cuenta efectos relativistas en la ecuación de ondas Cada conjunto de números cuánticos n, l y m definen un orbital o solución de la ecuación de ondas. A su vez, cada orbital puede albergar un máximo de dos electrones con espines m s diferentes. Para representar los orbitales, se recurre a zonas de probabilidad ( Ψ 2 ) y se traza una superficie cerrada en el espacio donde haya un 90% de probabilidad de encontrar los electrones. Werner Heisenber, desarrolló la mecánica cuántica independientemente por un camino equivalente, pero usando una notación matricial. 5 - Interpretación probabilista La posición de una onda sólo se puede precisar con un orden de magnitud similar a su longitud de onda. Dado que cualquier partícula es tambien una onda, parece lógico pensar que sólo se podrá precisar su posición con el valor de su longitud de onda material asociada. En 1926, el físico alemán Max Born, interpretó esta limitación en términos de probabilidad de encontrar a la partícula en un espacio igual a su longitud de onda de De Broglie asociada. Esta probabilidad está directamente relacionada con Ψ 2 (densidad de probabilidad). Esta interpretación probabilista (llamada de Copenhague) no fue aceptada inicialmente por algunos físicos importantes (Einstein, De Broglie, ) Sin embargo, actualmente es aceptada mayoritariamente. VI Relaciones de indeterminación La cuantificación de la imprecisión de la medida de las propiedades de una partícula la hizo Heisenberg en 1927 enunciando su famoso principio de indeterminación: No es posible medir simultáneamente la posición y el momento (velocidad) de una partícula con total precisión. Los errores en las precisiones vienen determinados por: Δp Δx h En un principio, puede parecer que esto aparece como consecuencia del proceso de medida, pero se trata de un hecho inherente a la naturaleza de los entes cuánticos. Albert Einstein, propuso que el principio de incertidumbre se podía aplicar a cualquier pareja de

8 Física cuántica 10.8 magnitudes físicas que tengan dimensiones de acción (L 2 M T -1 ). Las magnitudes más empleadas después de las anteriores son la E y t. VII Ejercicios ΔE Δt h 1. El Sol se puede considerar como un cuerpo negro que emite a unos 5800 K. a) Determina la energía emitida por unidad de superficie y de tiempo. b) A qué longitud de onda la emisión de energía radiante es máxima? 2. Un cuerpo está radiando energía. Conforme a la hipótesis de Planck: a) Determina la energía de un cuanto cuya longitud de onda es λ = 25 nm. b) Calcula la frecuencia correspondiente a dicho cuanto de energía. 3. La Ley de Stefan-Boltzmann se transforma en la expresión E=AσT 4 cuando el cuerpo que radia no se puede considerar completamente negro. Al coeficiente A (A < 1) se le denomina poder absorbente de su superficie y toma 1 para el cuerpo negro. Determina la energía que radia un cuerpo de poder absorbente A = 0,9 cuando se encuentra a 1000 K de temperatura. Dato. σ = 5, W m 2 K 4 4. Se puede suponer que el Sol se comporta aproximadamente como un cuerpo negro con una temperatura superficial de 6000 K. Calcula: a) La energía total que radia su superficie cada segundo. b) La frecuencia de la luz más abundante en su espectro. Datos. Radio solar Rs = 0, m Cte. de Wien: 2, m K Cte. de Boltzmann σ = 5, W m 2 K 4 5. Un objeto que puede ser considerado como un cuerpo negro radia el máximo de energía en la longitud de onda de 650,0 nm. a) Determina su temperatura. b) Suponiendo que su forma es una esfera de 0,3 m de radio, calcula su potencia radiante y la energía que radia en 2 minutos. (Toma del texto los valores de las constantes.) 6. El espectro de luz visible (luz blanca) incluye longitudes de onda comprendidas entre 380 nm (violeta) y 780 nm (rojo). a) Determina la frecuencia de la radiación correspondiente a estos colores. b) Calcula, conforme a la hipótesis de Planck, la energía de los fotones que corresponden a luz violeta y luz roja. c) Cuántos fotones de luz roja son necesarios para acumular 3 J de energía? Datos: c = 3, ms 1 ; h = 6, J s 7. La teoría ondulatoria clásica supone que las ondas transportan la energía de forma continua. En ella la energía depende de la intensidad de la onda. Indica alguna evidencia experimental que entre en contradicción con los anteriores supuestos. 8. La longitud de onda umbral de un cierto metal es de 250 nm. Determina la frecuencia umbral de la luz necesaria para extraer electrones de la superficie.

9 Física cuántica Producirá efecto fotoeléctrico una luz de Hz de frecuencia?cuando una radiación de 250,0 nm incide sobre un metal, los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico tienen una velocidad máxima de 2, m s 1. a) Qué energía poseen los fotones incidentes? b) Determina el trabajo de extracción correspondiente a ese metal. c) Calcula su frecuencia umbral. Datos. c = 3, m s 1 ; h = 6, J s; m e = 9, kg 10. Se sabe que una superficie metálica tiene una frecuencia umbral en relación al efecto fotoeléctrico de 5, Hz. Con qué velocidad se emiten electrones al ser iluminada con luz de 7, Hz? Datos. c = 3, m s 1 ; h = 6, J s; m e = 9, kg 11. Por qué las superficies metálicas son las más apropiadas para producir efecto fotoeléctrico? De entre ellas, cuáles son las que lo producen más fácilmente? 12. El cesio es un metal que tiene una baja energía de ionización y es capaz de emitir electrones por efecto fotoeléctrico cuando se ilumina con luz de 579 nm. a) Calcula la función trabajo de este metal e indica el resultado en julios y electronvoltios. b) Determina la energía de los electrones emitidos por una célula fotoeléctrica de cesio cuando se ilumina con luz de 400,0 nm. 13. Se hace incidir luz monocromática de 420 nm de longitud de onda y de 10 3 W de potencia sobre una superficie de cesio. Sabiendo que el trabajo de extracción de este metal es 1,93 ev y suponiendo un rendimiento cuántico del 100% (cada fotón incidente extrae un electrón), determina: a) La corriente de electrones liberada por la superficie metálica. b) El potencial de retardo que habría que aplicar para anularla. 14. Cuando se ilumina una superficie de potasio situada en un ambiente de vacío con luz de 589 nm, se liberan electrones que se detienen con un potencial retardador (potencial de frenado) de 0,35 V. Si se ilumina la misma superficie con luz de 253,7 nm, el potencial de frenado de los electrones emitidos es ahora de 3,14 V. Conociendo que la carga del electrón en valor absoluto es 1, C y tomando como velocidad de la luz en el vacío c = 3, m s 1, determina: a) El trabajo de extracción de la superficie metálica citada. b) El valor de la constante de Planck. c) La longitud de onda umbral y la frecuencia umbral del potasio. 15. El potencial de frenado de los electrones emitidos por una superficie metálica cuando incide sobre el una luz de 350 nm de longitud de onda es 2,45 V. a) Determina la función de trabajo (trabajo de extracción) de la superficie expresada en ev. b) Calcula la longitud de onda umbral en nm para que se produzca efecto fotoeléctrico en esta superficie. Datos. h = 6, J s; c = 3, m s 1 ; carga del electrón, e = 1, C 16. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas razonando la respuesta. a) El efecto fotoeléctrico se produce más fácilmente en superficies de elementos no metálicos. b) La emisión de fotoelectrones es inmediata como predice la teoría ondulatoria.

10 Física cuántica c) Cualquier superficie metálica emite electrones por efecto fotoeléctrico al ser iluminada con todo tipo de fuentes luminosas. d) La teoría ondulatoria de la luz puede explicar perfectamente las características del efecto fotoeléctrico. e) Cada superficie metálica tiene una frecuencia umbral de emisión que está relacionada con la mayor o menor dificultad de ionización de sus átomos. 17. Determina la frecuencia umbral de una superficie de sodio sabiendo que una luz de 400 nm de longitud de onda extrae electrones cuya energía cinética es 0,35 ev. 18. Un cierto haz luminoso provoca efecto fotoeléctrico en un determinado metal. Explica cómo se modifica el número de fotoelectrones y su energía cinética en los siguientes casos. a) Si aumenta la intensidad del haz luminoso. b) Si aumenta la frecuencia de la luz incidente. c) Si disminuye la frecuencia de la luz por debajo de la frecuencia umbral del metal. 19. Para la serie de Balmer del espectro del átomo de hidrógeno, calcula: a) Las longitudes de onda de la primera y de la segunda raya. b) La diferencia de energías de los niveles energéticos entre los que se produce la transición electrónica que origina la primera raya. c) La longitud de onda que corresponde al límite de la serie. 20. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Las rayas de las series espectrales del hidrógeno se van separando conforme aumenta su longitud de onda. b) Cuanto más a la izquierda estén las rayas de una serie espectroscópica, menos energéticos son los fotones que las forman. c) El experimento de Franck-Hertz se basa en la existencia de choques elásticos e inelásticos entre electrones y átomos. 21. Determina la longitud de onda material de De Broglie para las siguientes partículas. a) Un electrón acelerado a través de una diferencia de potencial de 2000 V. b) Un móvil de 0,04 kg de masa con una velocidad de 200 m s 1. c) Compara los resultados con el tamaño respectivo de cada objeto y deduce alguna consecuencia de ello. Datos. me = 9, kg; e = 1, C. 22. Calcula la relación entre las longitudes de onda de De Broglie asociadas a un grano de polen de 10 3 g de masa impulsado con una velocidad de 20 m s 1 y a un neutrón con una velocidad de 2, m s Halla la ddp que hay que aplicar a un cañón de electrones para que la longitud de onda asociada a los electrones sea de m. Datos. m e = 9, kg; e = 1, C 24. Realiza los siguientes cálculos para el átomo de hidrógeno. a) Calcula el valor de la energía de los niveles principales n = 1, 2 y 3. b) Determina el valor del módulo del momento angular en un subnivel 2s y otro 2p. c) Determina los valores de los números cuánticos asociados a los electrones del átomo de carbono (Z = 6).

11 Física cuántica Indica si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones razonando la respuesta. a) La función de ondas, ψ, de la ecuación de Schödinger es una magnitud física medible. b) La mecánica cuántica supone una concepción probabilística de la naturaleza. c) La expresión ψ 2 mide la probabilidad de encontrar una partícula en un determinado sitio. d) Los orbitales delimitan zonas del espacio de la corteza atómica donde hay un 100% de probabilidad de encontrar electrones. 26. Un protón se encuentra confinado en un núcleo que tiene un radio aproximado de m. a) Calcula la indeterminación asociada a la medida del momento lineal del protón confinado en el núcleo. b) Si la masa del protón es exactamente 1, kg calcula la indeterminación en la medida de su velocidad. 27. El tiempo medio que transcurre entre la excitación de un átomo y la emisión de un fotón es de 10 8 s. a) Calcula la indeterminación asociada a la medida de la energía de los fotones emitidos en estas condiciones. b) Indica en qué se traduce esta indeterminación cuando se observan estos fotones. 28. Un jugador de tenis impulsa una bola 0,2 kg a la velocidad de 220 km h 1. Si se puede determinar su posición con una incertidumbre del mismo orden que la longitud de onda de la luz asociada, λ = 500 nm, determina la indeterminación en el momento lineal de la pelota y compárala con el propio momento lineal de la misma. 29. Para localizar partículas subatómicas mediante un microscopio es preciso mandar fotones hacia ellas de forma que el choque de los fotones con las mismas modifique su momento lineal. Crees que sería posible determinar con precisión total la posición y el momento lineal de una partícula si no fuese necesario mandar fotones para localizar su posición? 30. El principio de indeterminación se puede aplicar a cualquier pareja de magnitudes cuyo producto tenga las dimensiones de la constante de Planck (magnitudes canónicamente conjugadas). Indica cuáles de las siguientes parejas de magnitudes lo son. a) Energía y velocidad. b) Energía y tiempo. c) Momento angular y velocidad. d) Momento lineal y posición. e) Impulso y posición. 31. Enuncia el principio de complementariedad de Bohr y reflexiona sobre su significado.