Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados. Revisado 22 septiembre Septiembre

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1 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados. Revisado septiembre Septiembre 05-Modelo A. Pregunta.- Un planeta de igual masa que la ierra, describe una órbita circular de radio R, de un año terrestre de duración, alrededor de una estrella de masa M tres veces superior a la del Sol. a) Obtenga la relación entre: el radio R de la órbita del planeta, su periodo de revolución, la constante de la gravitación universal G, y la masa M de la estrella alrededor de la cuál orbita. b) Calcule el cociente entre los radios de las órbitas de este planeta y de la ierra. B. Pregunta.- Dos planetas, A y B, tienen el mismo radio. La aceleración gravitatoria en la superficie del planeta A es tres veces superior a la aceleración gravitatoria en la superficie del planeta B. Calcule: a) La relación entre las densidades de los dos planetas. b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta B si se sabe que la velocidad de escape desde la superficie del planeta A es de km/s 04-Septiembre A. Pregunta.- Un satélite describe una órbita circular alrededor de un planeta desconocido con un periodo de 4 h. La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta es,7 m s - y su radio es 9 km. Determine: a) EI radio de la órbita. b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta. B. Pregunta.- Un planeta esférico tiene una densidad uniforme ρ, g cm - y un radio de 7500 km. Determine: a) El valor de la aceleración de la gravedad en su superficie. b) La velocidad de un satélite que orbita alrededor del planeta en una órbita circular con un periodo de 7 horas. Dato: Constante de gravitación universal, G 6, N m kg - 04-Junio A. Pregunta.- El planeta A tiene tres veces más masa que el planeta B y cuatro veces su radio. Obtenga: a) La relación entre las velocidades de escape desde las superficies de ambos planetas. b) La relación entre las aceleraciones gravitatorias en las superficies de ambos planetas. B. Pregunta.- Un cohete de masa kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal manera que alcanza una altura máxima, con respecto a la superficie terrestre, de 500 km. Despreciando el rozamiento con el aire, calcule: a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárela con la velocidad de escape desde la superficie terrestre. b) La distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la ierra, cuando su velocidad se ha reducido en un 0 % con respecto a su velocidad de lanzamiento. Datos: Radio errestre 6,7 0 6 m ; Masa de la ierra 5, kg; Constante de Universal G 6, N m kg - 04-Modelo A. Pregunta.- La masa del Sol es 8 veces mayor que la de la ierra y la distancia que separa sus centros es de,5 0 8 km. Determine si existe algún punto a lo largo de la línea que los une en el que se anule: a) El potencial gravitatorio. En caso afirmativo, calcule su distancia a la ierra. b) El campo gravitatorio. En caso afirmativo, calcule su distancia a la ierra. B. Pregunta.- Los satélites Meteosat son satélites geoestacionarios, situados sobre el ecuador terrestre y con un periodo orbital de día. a) Suponiendo que la órbita que describen es circular y poseen una masa de 500 kg, determine el módulo del momento angular de los satélites respecto del centro de la ierra y la altura a la que se encuentran estos satélites respecto de la superficie terrestre. b) Determine la energía mecánica de los satélites. Datos: Radio errestre 6,7 0 6 m ; Masa de la ierra 5, kg; Constante de Universal G 6, N m kg - 0-Septiembre A. Pregunta.- Dos satélites describen órbitas circulares alrededor de un planeta cuyo radio es de 000 km. El primero de ellos orbita a 000 km de la superficie del planeta y su periodo orbital es de h. La órbita del segundo tiene un radio 500 km mayor que la del primero. Calcule: a) El módulo de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta. b) El periodo orbital del segundo satélite. Página de

2 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados. Revisado septiembre Septiembre B. Pregunta.- Dos planetas, A y B, tienen la misma densidad. El planeta A tiene un radio de 500 km y el planeta B un radio de 000 km. Calcule: a) La relación que existe entre las aceleraciones de la gravedad en la superficie de cada planeta. b) La relación entre las velocidades de escape en cada planeta. 0-Junio A. Pregunta.- Calcule: a) La densidad media del planeta Mercurio, sabiendo que posee un radio de 440 km y una intensidad de campo gravitatorio en su superficie de,7 N kg -. b) La energía necesaria para enviar una nave espacial de 5000 kg de masa desde la superficie del planeta a una órbita en la que el valor de la intensidad de campo gravitatorio sea la cuarta parte de su valor en la superficie. Dato: Constante de la Universal, G 6, N m kg - B. Pregunta 5.- Urano es un pianeta que describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Razone Ia veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) El módulo del momento angular, respecto a la posición del Sol, en el afelio es mayor que en el perihelio y lo mismo ocurre con el móduio del momento lineal. b) La energía mecánica es menor en el afelio que en el periheiio y lo mismo ocurre con la energía potencial. 0-Modelo A. Pregunta.- Un cierto planeta esférico tiene una masa M,5 0 kg y un radio R,5 0 6 m. Desde su superficie se lanza verticalmente hacia arriba un objeto, el cual alcanza una altura máxima de R/. Despreciando rozamientos, determine: a) La velocidad con que fue lanzado el objeto. b) La aceleración de la gravedad en el punto más alto alcanzado por el objeto. Datos: Constante de la Universal, G 6, N m kg - B. Pregunta.- Una nave espacial de 800 kg de masa realiza una órbita circular de 6000 km de radio alrededor de un planeta. Sabiendo que la energía mecánica de la nave es E M -,7 0 8 J, determine: a) La masa del planeta. b) La velocidad angular de la nave en su órbita. Datos: Constante de la Universal, G 6, N m kg - 0-Septiembre A. Pregunta.- Un satélite artificial de 400 kg describe una órbita circular de radio 5/ alrededor de la ierra. Determine: a) El trabajo que hay que realizar para llevar al satélite desde la órbita circular de radio 5/ a otra órbita circular de radio 5 y mantenerlo en dicha órbita. b) El periodo de rotación del satélite en la órbita de radio 5. Datos: Constante de la Universal, G 6, N m kg - ; Masa de la ierra, M 5, kg ; Radio de la ierra, 6,7 0 6 m B. Pregunta.- La aceleración de la gravedad en la Luna es 0,66 veces la aceleración de la gravedad en la ierra y el radio de la Luna es 0,7 veces el radio de la ierra. Despreciando la influencia de la ierra y utilizando exclusivamente los datos aportados, determine: a) La velocidad de escape de un cohete que abandona la Luna desde su superficie. b) El radio de la órbita circular que describe un satélite en torno a la Luna si su velocidad es de,5 km s -. Datos: Constante de la Universal, G 6, N m kg - ; Masa de la ierra, M 5, kg ; Radio de la ierra, 6,7 0 6 m 0-Junio A. Pregunta.- Un satélite de masa m gira alrededor de la ierra describiendo una órbita circular a una altura de 0 4 km sobre su superficie. a) Calcule la velocidad orbital del satélite alrededor de la ierra. b) Suponga que la velocidad del satélite se anula repentina e instantáneamente y éste empieza a caer sobre la ierra. Calcule la velocidad con la que llegaría el satélite a la superficie de la misma. Considere despreciable el rozamiento del aire. Datos: Constante de la Universal, G 6, N m kg - ; Masa de la ierra, M 5, kg ; Radio de la ierra, 6,7 0 6 m B. Pregunta.- Una nave espacial de 000 kg de masa describe, en ausencia de rozamiento, una órbita circular en torno a la ierra a una distancia de,5 0 4 km de su superficie. Calcule: Página de

3 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados. Revisado septiembre Septiembre a) El período de revolución de la nave espacial alrededor de la ierra. b) Las energías cinética y potencial de la nave en dicha órbita. Datos: Constante de la Universal, G 6, N m kg - ; Masa de la ierra, M 5, kg ; Radio de la ierra, 6,7 0 6 m 0-Modelo A. Pregunta.- Se ha descubierto un planeta esférico de 400 km de radio y con una aceleración de la gravedad en su superficie de 7, m s -. a) Calcule la masa del planeta. b) Calcule la energía mínima necesaria que hay que comunicar a un objeto de kg de masa para lanzarlo desde la superficie del planeta y situarlo a 000 km de altura de la superficie, en una órbita circular en torno al mismo. Dato: Constante de G 6, N m kg -. B. Pregunta.-Un satélite artificial está situado en una órbita circular en torno a la ierra a una altura de su superficie de 500 km. Si el satélite tiene una masa de 00 kg: a) Calcule la energía cinética del satélite y su energía mecánica total. b) Calcule el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la ierra. Datos: Constante de G 6, N m kg - ; Radio de la ierra 670 km.; Masa de la ierra 5, kg. 0-Septiembre-Coincidentes A. ProbIema.- Un satéiite artificial de masa 00 kg se mueve alrededor de la ierra en una órbita elíptica definida por una distancia al perigeo (posición más próxima al centro de la ierra) de 7,0 0 6 m y una distancia al apogeo (posición más alejada al centro de la ierra) de 0,0 0 6 m. Si en el perigeo el módulo de la velocidad es 8, 0 m/s a) Cuál es módulo de la velocidad en el apogeo? b) Determine el módulo y la dirección del momento angular del satélite. c) Determine la velocidad areolar del satélite. d) Determine la energía mecánica del satélite. Dato: Constante de Universal G 6, N m kg - ;Masa de la ierra 5, kg. 0-Septiembre A. Cuestión.- a) Exprese la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta en función de la masa del pianeta, de su radio y de la constante de gravitación universal G. b) Si la aceleración de la gravedad sobre la superficie terrestre vale 9,8 m s -, calcule la aceleración de la gravedad a una altura sobre la superficie terrestre igual al radio de la ierra. B. Problema.- Una sonda espacial de masa m 000 kg se encuentra situada en una órbita circular alrededor de Ia ierra de radio r,6, siendo el radio de la ierra. a) Calcule la velocidad de la sonda en esa órbita. b) Cuánto vale su energía potencial? c) Cuánto vale su energía mecánica? d) Qué energía hay que comunicar a la sonda para alejarla desde dicha órbita hasta el infinito? Datos: Masa de la ierra 5, kg; Radio de la ierra 6,7 0 6 m. Constante de Universal G 6, N m kg -. 0-Junio-Coincidentes B. Cuestión.- Un satélite de masa m 00 kg se sitúa en una órbita circular a 0 7 m del centro de la ierra. a) Calcule su energía mecánica total, así como sus energías potencial y cinética. b) Si se desea llevar el satélite a una órbita situada a m del centro de la ierra, cuál será Ia energía necesaria mínima para realizar este cambio de órbita? Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - ; Masa de la ierra 5, kg. 0-Junio A. Cuestión.- Un satélite que gira con la misma velocidad angular que la ierra (geoestacionario) de masa m5 0 kg, describe una órbita circular de radio r,6 0 7 m. Determine: a) La velocidad areolar del satélite. b) Suponiendo que el satélite describe su órbita en el plano ecuatorial de la ierra, determine el módulo, la dirección y el sentido del momento angular respecto de los polos de la ierra. Dato: Periodo de rotación terrestre 4 h. B. Problema.- Sabiendo que el periodo de revolución lunar es de 7, días y que el radio de la Página de

4 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados. Revisado septiembre Septiembre órbita es R L, m, calcule: a) La constante de gravitación universal, G (obtener su valor a partir de los datos del problema). b) La fuerza que la Luna ejerce sobre la ierra y la de la ierra sobre la Luna. c) El trabajo necesario para llevar un objeto de 5000 kg desde la ierra hasta la Luna (Despreciar los radios de la ierra y de la Luna, en comparación con su distancia) d) Si un satélite se sitúa entre la ierra y la Luna a una distancia de la ierra de R L /4, Cuál es la relación de fuerzas debidas a la ierra y a la Luna? Datos: Masa de la ierra M 5, kg; masa de la Luna M L 7,5 0 kg; Radio de la ierra 6,7 0 6 m; radio de la Luna, m. 0-Modelo A. Problema.- Un planeta orbita alrededor de una estrella de masa M. La masa del planeta es m 0 4 kg y su órbita es circular de radio r 0 8 km y periodo años terrestres. Determine: a) La masa M de la estrella. b) La energía mecánica del planeta. c) El módulo del momento angular del planeta respecto al centro de la estrella. d) La velocidad angular de un segundo planeta que describiese una órbita circular de radio igual a r alrededor de la estrella. Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - Considere año terrestre 65 días B. Cuestión.- Dos satélites de masas m A y m B describen sendas órbitas circulares alrededor de la ierra, siendo sus radios orbitales r A y r B respectivamente. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) Si m A m B y r A > r B, cuál de los dos satélites tiene mayor energía cinética? b) Si los dos satélites estuvieran en la misma órbita (r A r B ) y tuviesen distinta masa (m A < m B ), cuál de los dos tendría mayor energía cinética? 00-Septiembre-Fase General A. Problema.- (Enunciado casi idéntico a 008-Septiembre-A-Problema ) Un satélite artificial de 00 kg se mueve en una órbita circular alrededor de la ierra con una velocidad de 7,5 km/s. Calcule: a) El radio de la órbita. b) La energía potencial del satélite. c) La energía mecánica del satélite. d) La energía que habría que suministrar a este satélite para que cambiara su órbita a otra con el doble de radio. Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - Masa de la ierra M 5, kg; Radio de la ierra 670 km B. Cuestión.- Considerando que la órbita de la Luna alrededor de la ierra es una órbita circular, deduzca: a) La relación entre la energía potencial gravitatoria y la energía cinética de la Luna en su órbita. b) La relación entre el periodo orbital y el radio de la órbita descrita por la Luna. 00-Septiembre-Fase Específica A. Cuestión.- Un cometa se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. Explique en qué punto de su órbita, afelio (punto más alejado del Sol) o perihelio (punto más cercano al Sol) tiene mayor valor: a) La velocidad. b) La energía mecánica. B. Cuestión.- Un asteroide está situado en una órbita circular alrededor de una estrella y tiene una energía total de -0 0 J. Determine: a) La relación que existe entre las energías potencial y cinética del asteroide. b) Los valores de ambas energías potencial y cinética. 00-Junio-Coincidentes A. Problema.- Un planeta tiene dos satélites, A y B, que describen órbitas circulares de radios 8400 km y 500 km respectivamente. El satélite A, en su desplazamiento en torno al planeta, barre un área de 80 km en un segundo. Sabiendo que la fuerza que ejerce el planeta sobre el satélite A es 7 veces mayor que sobre el satélite B: a) Determine el periodo del satélite A. b) Halle la masa del planeta. c) Obtenga la relación entre las energías mecánicas de ambos satélites. d) Calcule el vector momento angular del satélite A, si tiene una masa de, kg. Página 4 de

5 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados. Revisado septiembre Septiembre Dato: Constante de Universal G 6, N m kg - B. Cuestión.- a) A partir de su significado físico, deduzca la expresión de la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie terrestre en función de la masa y el radio del planeta. b) Sabiendo que la intensidad del campo gravitatorio de la Luna es /6 la de la ierra, obtenga la relación entre las velocidades de escape de ambos astros. Dato: 4R L Radio de la ierra R L Radio de la Luna 00-Junio-Fase General A. Cuestión.- a) Enuncie la ª ley de Kepler. Explique en qué posiciones de la órbita elíptica la velocidad del planeta es máxima y dónde es mínima. b) Enuncie la ª ley de Kepler. Deduzca la expresión de la constante de esta ley en el caso de órbitas circulares. B. Problema.- Io, un satélite de Júpiter, tiene una masa de 8,9 0 kg, un periodo orbital de,77 días, y un radio medio orbital de 4, 0 8 m. Considerando que la órbita es circular con este radio, determine: a) La masa de Júpiter. b) La intensidad de campo gravitatorio, debida a Júpiter, en los puntos de la órbita de Io. c) La energía cinética de Io en su órbita. d) El módulo del momento angular de Io respecto al centro de su órbita. Dato: Constante de Universal G 6, N m kg - 00-Junio-Fase Específica A. Cuestión.- (Enunciado idéntico a 005-Junio-Cuestión ) B. Problema.- Un satélite de 000 kg de masa describe una órbita circular de 0 km de radio alrededor de la ierra. Calcule: a) El módulo del momento lineal y el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la ierra. Cambian las direcciones de estos vectores al cambiar la posición del satélite en su órbita? b) El periodo y la energía mecánica del satélite en la órbita. Datos: Masa de la ierra M 5, kg Constante de Universal G 6, N m kg - 00-Modelo A. Problema.- (B. Problema en Modelo preliminar que no tenía dos opciones disjuntas) Desde un punto de la superficie terrestre se lanza verticalmente hacia arriba un objeto de 00 kg que llega hasta una altura de 00 km. Determine: a) La velocidad de lanzamiento. b) La energía potencial del objeto a esa altura. Si estando situado a la altura de 00 km, queremos convertir el objeto en satélite de forma que se ponga en órbita circular alrededor de la ierra: c) Qué energía adicional habrá que comunicarle? d) Cuál será la velocidad y el periodo del satélite en esa órbita? Datos: Constante de G 6, N m kg - Masa de la ierra M 5, kg; Radio de la ierra 670 km B. Cuestión.- (Cuestión en Modelo preliminar que no tenía dos opciones disjuntas) a) Cuál es el periodo de un satélite artificial que gira alrededor de la ierra en una órbita circular cuyo radio es un cuarto del radio de la órbita lunar? b) Cuál es la relación entre la velocidad del satélite y la velocidad de Luna en sus respectivas órbitas? Dato: Periodo de la órbita lunar L 7, días 009-Septiembre Cuestión.- Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) El valor de la velocidad de escape de un objeto lanzado desde la superficie de la ierra depende del valor de la masa del objeto. b) En el movimiento elíptico de un planeta en torno al Sol la velocidad del planeta en el perihelio (posición más próxima al Sol) es mayor que la velocidad en el afelio (posición más alejada del Sol). 009-Junio Cuestión.- Un satélite artificial de 500 kg que describe una órbita circular alrededor de la ierra se mueve con una velocidad de 6,5 km/s. Calcule: a) La energía mecánica del satélite. Página 5 de

6 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados. Revisado septiembre Septiembre b) La altura sobre la superficie de la ierra a la que se encuentra. Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - Masa de la ierra M 5, kg Radio de la ierra 6,7 0 6 m B. Problema.- Suponiendo que los planetas Venus y la ierra describen órbitas circulares alrededor del Sol, calcule: a) El periodo de revolución de Venus. b) Las velocidades orbitales de Venus y de la ierra. Datos: Distancia de la ierra al Sol:,49 0 m Distancia de Venus al Sol:,08 0 m Periodo de revolución de la ierra: 65 días 009-Modelo Cuestión.- a) Enuncie la tercera ley de Kepler y demuéstrela para el caso de órbitas circulares. b) Aplique dicha ley para calcular la masa del Sol suponiendo que la órbita de la ierra alrededor del Sol es circular con un radio medio de, km. Dato: Constante de Universal G 6, N m kg Septiembre Cuestión.- Calcule el módulo del momento angular de un objeto de 000 kg respecto al centro de la ierra en los siguientes casos: a) Se lanza desde el polo norte perpendicularmente a la superficie de la ierra con una velocidad de 0 km/s. b) Realiza un órbita circular alrededor de la ierra en el plano ecuatorial a una distancia de 600 km de su superficie. Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - Masa de la ierra M 5, kg; Radio de la ierra 6,7 0 6 m A. Problema.- Un satélite artificial de 00 kg se mueve en una órbita circular alrededor de la ierra con una velocidad de 7,5 km/s. Calcule: a) El radio de la órbita. b) La energía potencial del satélite. c) La energía mecánica del satélite. d) La energía que habría que suministrar al satélite para que describa una órbita circular con radio doble que el de la órbita anterior. Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - Masa de la ierra M 5, kg; Radio de la ierra 6,7 0 6 m 008-Junio Cuestión.- Una sonda de masa 5000 kg se encuentra en una órbita circular a una altura sobre la superficie terrestre de,5. Determine: a) el momento angular de la sonda en esa órbita respecto al centro de la ierra; b) la energía que hay que comunicar a la sonda para que escape del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita. Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - Masa de la ierra M 5, kg; Radio de la ierra 6,7 0 6 m 008-Modelo Cuestión.- Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de lado igual a m. Calcule: a) El campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centro de cada lado del cuadrado. b) El potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centro del cuadrado, tomando el infinito como origen de potenciales. Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - B. Problema.- Un satélite artificial de 00 kg describe una órbita circular alrededor de la ierra. La velocidad de escape a la atracción terrestre desde esa órbita es la mitad que la velocidad de escape desde la superficie terrestre. a) Calcule la fuerza de atracción entre la ierra y el satélite. b) Calcule el potencial gravitatorio en la órbita del satélite. c) Calcule la energía mecánica del satélite en la órbita. d) Se trata de un satélite geoestacionario? Justifique la respuesta. Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - Masa de la ierra M 5, kg; Radio de la ierra 6,7 0 6 m 007-Septiembre Cuestión. a) Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta esférico cuyo radio es la mitad del de la ierra y posee la misma densidad media? b) Cuál sería el período de Página 6 de

7 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados. Revisado septiembre Septiembre la órbita circular de un satélite situado a una altura de 400 km respecto a la superficie del planeta? Datos: Radio de la ierra 67 km Aceleración de la gravedad en la superficie de la ierra g9,8 m s - A. Problema.- Un satélite de masa 0 kg se coloca en órbita circular sobre el ecuador terrestre de modo que su radio se ajusta para que dé una vuelta a la ierra cada 4 horas. Así se consigue que siempre se encuentre sobre el mismo punto respecto a la ierra (satélite geoestacionario). a) Cuál debe ser el radio de su órbita? b) Cuánta energía es necesaria para situarlo en dicha órbita? Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - Masa de la ierra M 5, kg Radio de la ierra 67 km 007-Junio Cuestión.- Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la superficie de la Luna es un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie de la ierra y que el radio de la Luna es aproximadamente 0,7 (siendo el radio terrestre), calcule: a) la relación entre las densidades medias ρ Luna / ρ ierra ; b) la relación entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas superficies (v e ) Luna / (v e ) ierra. B. Problema.- Fobos es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de 980 km de radio, respecto al centro del planeta, con un periodo de revolución de 7,65 horas. Otro satélite de Marte, Deimos, gira en una órbita de 460 km de radio. Determine: a) La masa de Marte. b) El período de revolución del satélite Deimos. c) La energía mecánica del satélite Deimos. d) El módulo del momento angular de Deimos respecto al centro de Marte. Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - Masa de Fobos, 0 6 kg; Masa de Deimos,4 0 5 kg 007-Modelo Cuestión.- Un objeto de 5 kg de masa posee una energía potencial gravitatoria Ep- 0 8 J cuando se encuentra a cierta distancia de la ierra. a) Si el objeto a esa distancia estuviera describiendo una órbita circular, cuál sería su velocidad? b) Si la velocidad del objeto a esa distancia fuese de 9 km/s, cuál sería su energía cinética? Podría el objeto estar describiendo una órbita elíptica en este caso? 006-Septiembre Cuestión.- a) Desde la superficie de la ierra se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad v. Si se desprecia el rozamiento, calcule el valor de v necesario para que el objeto alcance una altura igual al radio de la ierra. b) Si se lanza el objeto desde la superficie de la ierra con una velocidad doble a la calculada en el apartado anterior, escapará o no del campo gravitatorio terrestre? Datos: Masa de la ierra M 5, kg Radio de la ierra 670 km Constante de G 6, N m kg Junio A. Problema.- Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la ierra. En esta órbita la energía mecánica del satélite es -4,5x0 9 J y su velocidad es 760 m s -. Calcule: a) El módulo del momento lineal del satélite y el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la ierra. b) El periodo de la órbita y la altura a la que se encuentra el satélite. Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - Masa de la ierra M 5,98x 0 4 kg Radio de la ierra 6,7x0 6 m Cuestión.- Llamando g 0 y V 0 a la intensidad de campo gravitatorio y al potencial gravitatorio en la superficie terrestre respectivamente, determine en función del radio de la ierra: a) La altura sobre la superficie terrestre a la cual la intensidad de campo gravitatorio es g 0 /. b) La altura sobre la superficie terrestre a la cual el potencial gravitatorio es V 0 /. 006-Modelo Cuestión.- a) Enuncie las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. b) Si el radio de la órbita de la ierra es,50 0 m y el de Urano,87 0 calcule el periodo orbital de Urano. A. Problema.- Se lanza una nave de masa m 5 0 kg desde la superficie de un planeta de radio R 6 0 km y masa M kg, con velocidad inicial v m/s, en dirección hacia otro planeta del mismo radio R R y masa M M, siguiendo la línea recta que une los Página 7 de

8 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados. Revisado septiembre Septiembre centros de ambos planetas. Si la distancia entre dichos centros es D 4,8x0 0 m, determine: a) La posición del punto P en el que la fuerza neta sobre la nave es cero. b) La energía cinética con la que llegará la nave a la superficie del segundo planeta. 005-Septiembre Cuestión.- Dos masas iguales, M0 kg, ocupan posiciones fijas separadas una distancia de m, según indica la figura. Una tercera masa, m'0, kg, se suelta desde el reposo en un punto A equidistante de las dos masas anteriores y a una distancia de m de la línea que las une (AB m). Si no actúan más que la acciones gravitatorias entre estas masas, determine: a) La fuerza ejercida (módulo, dirección y sentido) sobre la masa m' en la posición A. b) Las aceleraciones de la masa m' en las posiciones A y B. Dato: Constante de Universal G 6, N m kg - A. Problema.- Desde la superficie terrestre se lanza un satélite de 400 kg de masa hasta situarlo en una órbita circular a una distancia del centro de la ierra igual a las 7/6 partes del radio terrestre. Calcule: a) La intensidad de campo gravitatorio terrestre en los puntos de la órbita del satélite. b) La velocidad y el periodo que tendrá el satélite en la órbita. c) La energía mecánica del satélite en la órbita d) La variación de la energía potencial que ha experimentado el satélite al elevarlo desde la superficie de la ierra hasta situarlo en su órbita. Datos: Constante de Universal G 6, N m kg - Masa de la ierra M 5, kg Radio de la ierra 6,7 0 6 m 005-Junio Cuestión.- a) Deduzca la expresión de la energía cinética de un satélite en órbita circular alrededor de un planeta en función del radio de la órbita y de las masas del satélite y del planeta. b) Demuestre que la energía mecánica del satélite es la mitad de su energía potencial. A. Problema.- Un satélite artificial de la ierra de 00 kg de masa describe una órbita circular a una altura de 655 km. Calcule: a) El periodo de la órbita. b) La energía mecánica del satélite. c) El módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la ierra. d) El cociente entre los valores de la intensidad de campo gravitatorio terrestre en el satélite y en la superficie de la ierra. Datos: Masa de la ierra M 5, kg Radio de la ierra 6,7 0 6 m Constante de Universal G 6, N m kg Modelo Cuestión.- Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Un objeto de masa m necesita una velocidad de escape de la ierra el doble que la que necesita otro objeto de masa m m / b) Se precisa realizar más trabajo para colocar en una misma órbita un satélite de masa m que otro satélite de masa m m /, lanzados desde la superficie de la ierra. 004-Septiembre Cuestión.- La luz solar tarda 8, minutos en llegar a la ierra y 6,0 minutos en llegar a Venus. Suponiendo que las órbitas descritas por ambos planetas son circulares, determine: a) el periodo orbital de Venus en torno al Sol sabiendo que el de la ierra es de 65,5 días; b) la velocidad con que se desplaza Venus en su órbita. Dato: Velocidad de la luz en el vacío x0 8 m/s A. Problema.- Un planeta esférico tiene 00 km de radio y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6, ms - Calcule: a) La densidad media del planeta y la velocidad de escape desde su superficie. b) La energía que hay que comunicar a un objeto de 50 kg de masa para lanzarlo desde la superficie del planeta y ponerlo en órbita circular alrededor del mismo, de forma que su periodo sea de horas. Dato: Constante de Universal G 6,67x0 - Nm kg Junio Cuestión.- Plutón describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Indique para cada una de las siguientes magnitudes si su valor es mayor, menor o igual en el afelio (punto más alejado del Sol) Página 8 de

9 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados. Revisado septiembre Septiembre comparado con el perihelio (punto más próximo al Sol): a) momento angular respecto a la posición del Sol; b) momento lineal; c) energía potencial; d) energía mecánica. 004-Modelo Cuestión.- La velocidad de un asteroide es de 0 km/s en el perihelio y de 4 km/s en el afelio. Determine en esas posiciones cuál es la relación entre: a) Las distancias al Sol en torno al cual orbitan. b) Las energías potenciales del asteroide. A. Problema.- La sonda espacial Mars Odissey describe una órbita circular en tomo a Marte a una altura sobre su superficie de 400 km. Sabiendo que un satélite de Marte describe órbitas circulares de 990 km de radio y tarda en cada una de ellas 7,7 h, calcule: a) El tiempo que tardará la sonda espacial en dar una vuelta completa. b) La masa de Marte y la aceleración de la gravedad en su superficie. Datos: Constante de Universal G 6,67x0 - Nm kg - Radio de Marte R M 90 km 00-Septiembre A. Problema.- Un satélite artificial de 00 kg de masa se encuentra girando alrededor de la ierra en una órbita circular de 700 km de radio. Determine: a) El periodo de revolución del satélite. b) El momento lineal y el momento angular del satélite respecto al centro de la ierra. c) La variación de energía potencial que ha experimentado el satélite al elevarlo desde la superficie de la ierra hasta esa posición. d) Las energías cinética y total del satélite. Datos: Masa de la ierra M 5,98x 0 4 kg Radio de la ierra 6,7 x 0 6 m Constante de Universal G 6,67x 0 - N m kg - 00-Junio Cuestión.- Suponiendo un planeta esférico que tiene un radio la mitad del radio terrestre e igual densidad que la ierra, calcule: a) La aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta. b) La velocidad de escape de un objeto desde la superficie del planeta, si la velocidad de escape desde la superficie terrestre es, km/s. Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la ierra g 9,8 m s - A. Problema.- Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 6,99x0 0 m, y su velocidad orbital es de,88x0 4 m/s, siendo su distancia al Sol en el perihelio de 4,60x 0 0 m. a) Calcule la velocidad orbital de Mercurio en el perihelio. b) Calcule las energías cinética, potencial y mecánica de Mercurio en el perihelio. c) Calcule el módulo de su momento lineal y de su momento angular en el perihelio. d) De las magnitudes calculadas en los apartados anteriores, decir cuáles son iguales en el afelio. Datos: Masa de Mercurio M M,8x0 kg Masa del Sol M S,99x0 0 kg Constante de Universal G 6,67x 0 - N m kg - 00-Modelo Cuestión.- Un planeta esférico tiene una masa igual a 7 veces la masa de la ierra, y la velocidad de escape para objetos situados cerca de su superficie es tres veces la velocidad de escape terrestre. Determine: a) La relación entre los radios del planeta y de la ierra. b) La relación entre las intensidades de la gravedad en puntos de la superficie del planeta y de la ierra. A. Problema.- Júpiter tiene aproximadamente una masa 0 veces mayor que la de la ierra y un volumen 0 veces superior al de la ierra. Determine: a) A que altura h sobre la superficie de Júpiter debería encontrarse un satélite, en órbita circular en torno a este planeta, para que tuviera un período de 9 horas 50 minutos. b) La velocidad del satélite en dicha órbita. Datos: Gravedad en la superficie de la ierra g9,8 ms - Radio medio de la ierra 6,7x Septiembre A. Problema.- Se pretende colocar un satélite artificial de forma que gire en una órbita circular en el plano del ecuador terrestre y en el sentido de rotación de la ierra. Si se quiere que el Página 9 de

10 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados. Revisado septiembre Septiembre satélite pase periódicamente sobre un punto del ecuador cada dos días, calcule: a) La altura sobre la superficie terrestre a la que hay que colocar el satélite. b) La relación entre la energía que hay que comunicar a dicho satélite desde el momento de su lanzamiento en la superficie terrestre para colocarlo en esa órbita y la energía mínima de escape. Datos: Constante de Universal: G 6,67x 0 - N m kg - Radio de la ierra: 670 km Masa de la ierra: M 5,98x 0 4 kg 00-Junio Cuestión.- Un planeta esférico tiene un radio de 000 km, y la aceleración de la gravedad en su superficie es 6 m/s. a) Cuál es su densidad media? b) Cual es la velocidad de escape para un objeto situado en la superficie de este planeta? Dato: Constante de Universal: G 6,67x 0 - N m kg - A. Problema.- La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular en torno al planeta Venus es ω,45x0-4 rad/s y su momento angular respecto al centro de la órbita es L,x0 kg m s - a) Determine el radio r de la órbita del satélite y su masa. b) Qué energía sería preciso invertir para cambiar a otra órbita circular con velocidad angular ω 0-4 rad/s? Datos: Constante de Universal: G 6,67x 0 - N m kg - Masa de Venus: M V 4,87x 0 4 kg 00-Modelo Cuestión.- a) A qué altitud tendrá una persona la mitad del peso que tiene sobre la superficie terrestre? Exprese el resultado en función del radio terrestre. b) Si la fuerza de la gravedad actúa sobre todos los cuerpos en proporción a sus masas, por qué no cae un cuerpo pesado con mayor aceleración que un cuerpo ligero? A. Problema.- Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor,. El planeta se mueve en una órbita circular de radio 0 m y período de años. El planeta se mueve en una órbita elíptica, siendo su distancia en la posición más próxima a la estrella 0 m y en la más alejada,8x0 m. a) Cuál es la masa de la estrella? b) Halle el período de la órbita del planeta. c) Utilizando los principios de conservación del momento angular y de la energía mecánica, hallar la velocidad del planeta cuando se encuentra en la posición más cercana a la estrella. Datos: Constante de Universal: G 6,67x 0 - N m kg - 00-Septiembre Cuestión.- Un proyectil de masa 0 kg se dispara verticalmente desde la superficie de la ierra con una velocidad de 00 m/s: a) Cuál es la máxima energía potencial que adquiere? b) En qué posición se alcanza? Datos: Gravedad en la superficie de la ierra 9,8 m s - ; Radio medio de la ierra 6,7x0 6 m 00-Junio Cuestión.- En el movimiento circular de un satélite en torno a la ierra, determine: a) La expresión de la energía cinética en función de las masas del satélite y de la ierra y del radio de la órbita. b) La relación que existe entre su energía mecánica y su energía potencial. A. Problema.- Dos satélites artificiales de la ierra S y S describen en un sistema de referencia geocéntrico dos órbitas circulares, contenidas en un mismo plano, de radios r 8000 km y r 904 km respectivamente. En un instante inicial dado, los satélites están alineados con el centro de la ierra y situados del mismo lado: a) Qué relación existe entre las velocidades orbitales de ambos satélites? b) Qué relación existe entre los períodos orbitales de los satélites? Qué posición ocupará el satélite S cuando el satélite S haya completado seis vueltas, desde el instante inicial? 00-Modelo Cuestión.- Determine la relación que existe entre la energía mecánica de un satélite que describe una órbita circular en torno a un planeta y su energía potencial. A. Problema.- El período de revolución del planeta Júpiter en su órbita alrededor del Sol es aproximadamente veces mayor que el de la ierra en su correspondiente órbita. Considerando circulares las órbitas de los dos planetas, determine: Página 0 de

11 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados. Revisado septiembre Septiembre a) La razón entre los radios de las respectivas órbitas. b) La razón entre las aceleraciones de los dos planetas en sus respectivas órbitas. 000-Septiembre Cuestión.- a) Con qué frecuencia angular debe girar un satélite de comunicaciones, situado en una órbita ecuatorial, para que se encuentre siempre sobre el mismo punto de la ierra? b) A qué altura sobre la superficie terrestre se encontrará el satélite citado en el apartado anterior? Datos: Gravedad en la superficie de la ierra 9,8 m s - ; Radio medio de la ierra 6,7 x 0 6 m A. Problema.- Un satélite artificial de 00 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie de la ierra. Sabiendo que a esa altura el valor de la aceleración de la gravedad es la mitad del valor que tiene en la superficie terrestre, averiguar: a) La velocidad del satélite. b) Su energía mecánica. Datos: Gravedad en la superficie terrestre g 9,8 m s - ; Radio medio de la ierra R 6,7x 0 6 m 000-Junio Cuestión.- a) Enuncie la primera y la segunda ley de Kepler sobre el movimiento planetario. b) Compruebe que la segunda ley de Kepler es un caso particular del teorema de conservación del momento angular. A. Problema - Se pone en órbita un satélite artificial de 600 kg a una altura de 00 km sobre la superficie de la ierra. Si el lanzamiento se ha realizado desde el nivel del mar, calcule: a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del satélite. b) Qué energía adicional hay que suministrar al satélite para que escape a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa órbita. Datos: Constante de G 6,67x 0 - Nm kg - Masa de la ierra M 5,98x0 4 kg Radio medio de la ienta 6,7x 0 6 m 000-Modelo Cuestión.- El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio (posición más próxima) el cometa está a 8,75x0 7 km del Sol y en el afelio (posición más alejada) está a 5,6x0 9 km del Sol. a) En cuál de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad? Y mayor aceleración? b) En qué punto tiene mayor energía potencial? Y mayor energía mecánica? A. Problema.- Se coloca un satélite meteorológico de 000 Kg en órbita circular, a 00 km sobre la superficie terrestre. Determine: a) La velocidad lineal, la aceleración radial y el periodo en la órbita. b) El trabajo que se requiere para poner en órbita el satélite. Datos: Gravedad en ta superficie terrestre g 9,8 m s - Radio medio terrestre 670 km Página de

12 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Soluciones Revisado 5 marzo Modelo A. Pregunta.- a) Llamamos MMasa estrella, mmasa del planeta, Periodo revolución planeta Igualando fuerza centrípeta y gravitatoria en la órbita circular del planeta: G Mm v m v GM (π R) GM R R p R R GM (R es radio órbita del planeta) 4π Esta relación es la ª ley de Kepler para órbitas circulares. b) La expresión anterior es válida tanto para el planeta como para la ierra: planteamos ambas Planeta: R G M 4 π ierra: R órbita ierra G M Sol ierra (indicamos R 4 π órbita ierra para no confundir con ierra ) Por el enunciado tenemos que M M Sol, y ierra. Sustituyendo y dividiendo ambas expresiones G M Sol R 4π R órbitaierra G M R R órbitaierra Sol 4π B. Pregunta.- a) Se indica solamente radio: asumimos planetas esféricos y de densidad uniforme. g superficie G M ; M ρ V ρ 4 ρ 4 π R π R planeta planeta g superficie G G ρ 4 π R planeta R planeta R planeta g G ρ 4 A superficie A π R A g superficie B G ρ B 4 ρ A π R ρ g superficie A R B B g superficie B R A B b) Introducción genérica (o bien plantear directamente la expresión para la velocidad de escape) El significado físico de la velocidad de escape es la velocidad que debería tener un cuerpo en la superficie de un planeta para escapar del campo gravitatorio, es decir, llegar al infinito con velocidad nula. Utilizando el principio de conservación de la energía y teniendo en cuenta que en el infinito la E p y E c son nulas mv GMm 0 ;v R escape superficie v escape A g superficie A R A v escape B g superficie B R B GM R superficie g superficie R superficie v escape B v escape A 0 m/ s 55m/s Validación lógica: si ambos tienen el mismo radio, pero A tiene más aceleración gravitatoria en superficie, la velocidad de escape de B tiene que ser menor que la de A. 04-Septiembre A. Pregunta.- a) Igualando fuerza centrípeta y gravitatoria en la órbita circular: G Mm v m v GM (π ) GM R GM o 4π No tenemos como datos G y M,pero tenemos como dato la gravedad en su superficie y su radio, por lo podemos plantear g superficie G M GM g superficie R planeta R planeta Página de 6

13 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Soluciones Revisado 5 marzo 05 Sustituyendo,7 (9 0 ) (4 600),0 0 7 m 4π b) Introducción genérica (o bien plantear directamente la expresión para la velocidad de escape) El significado físico de la velocidad de escape es la velocidad que debería tener un cuerpo en la superficie de un planeta para escapar del campo gravitatorio, es decir, llegar al infinito con velocidad nula. Utilizando el principio de conservación de la energía y teniendo en cuenta que en el infinito la E p y E c son nulas mv GMm 0 ;v R escape GM g superficie R superficie R superficie, m/ s superficie Comentario: por los datos de gravedad en superficie y radio, el planeta es Marte. B. Pregunta.- a) Utilizando el dato de planeta esférico, densidad uniforme, y realizando los cambios de unidades necesarios al Sistema Internacional g superficie G M ; M ρ V ρ 4 R planeta π R planeta ρ 4 π R planeta g superficie G G ρ 4 R planeta π R 6, planeta π, ,57 m/s b) Igualando fuerza centrípeta y gravitatoria en la órbita circular, calculamos el radio de la órbita G Mm v m v GM (π ) GM R GM o 4π g superficie R planeta 4 π 6,4 ( ) (7 600), m 4π En una órbita circular v π π, m/s Junio A. Pregunta.- a) Se podría incluir el deducir la expresión de la velocidad de escape en la superficie de un planeta en función de su masa y su radio, utilizando el principio de conservación de la energía mecánica entre el lanzamiento y una posición infinitamente alejada, pero la usamos directamente: v GM e La combinamos con los datos del enunciado: M A /M B y R A /R B 4 R b) v GM A e A R A v e B M A R B GM B M B R A 4 R B G M A g A, superficie R A g B,superficie G M M A R B B M B R A 4 6 R B B. Pregunta.- a) Se podría incluir el deducir la expresión de la velocidad de lanzamiento para alcanzar una altura h en la superficie de un planeta en función de su masa, su radio y la altura alcanzada, utilizando el principio de conservación de la energía mecánica entre el lanzamiento y la posición de máxima altura, pero la usamos directamente: Página de 6

14 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Soluciones Revisado 5 marzo 05 v L GM( R ) La velocidad de escape es una particularización de esta velocidad para el R+h caso de h, con lo que se tiene v GM e R Sustituimos los datos datos y calculamos valores numéricos: v L 6,67 0 5, ( 6, , ),0 0 m/s v e 6,67 0 5, ( 6,7 0 6 ), 04 m/s Como se indica comparar, lo hacemos cualitativamente: la velocidad de escape tiene que ser mucho mayor que la velocidad de lanzamiento para alcanzar esa altura, ya que supone llevar la carga más lejos, aportarle más energía potencial. Ni la velocidad de lanzamiento ni la velocidad de escape dependen de la masa del objeto, que son kg según el enunciado. Esa masa influirá en la energía gastada en proporcionar a ese cuerpo esa velocidad, que supone aportarle esa energía cinética. b) Aunque se podría hacer numéricamente para la velocidad de lanzamiento calculada en a, y sería válido y más corto, lo hacemos analíticamente para expresar esa distancia en función de R y h. Utilizamos la conservación de la energía mecánica, llamando A: Situación de lanzamiento: la energía mecánica es la cinética y la potencial gravitatoria asociada al radio de la ierra. Al mismo tiempo, y por conservación de energía mecánica en la situación del apartado a, será la energía mecánica en el punto de altura máxima E m ( A) mv L G Mm R mgm ( R Mm Mm ) G G R +h R R +h B: Situación donde la velocidad se ha reducido un 0% (pasa a ser el 90% de la inicial) con respecto a la velocidad de lanzamiento: la energía mecánica es la cinética asociada al 90% de velocidad y la potencial gravitatoria asociada a la altura que queremos averiguar, que llamamos x. E m (B) m(v L 0,9) G Mm R+x 0,9 mgm ( R Mm 0,8 ) G G Mm( R+h R+ x R 0,8 R +h R +x ) Igualando y operando G Mm 0,8 G Mm( R +h R 0,8 R+h R+x ) 0,8(R+h)(R +x) 0,8R (R+x) R (R+h) R+h R (R+h)(R+x) R Rx0,8R +0,8Rh+0,8 Rx+0,8hx 0,8 R 0,8Rx R Rh ( 0,8+0,8+)R +( R 0,8 R 0,8h+0,8R) x(0,8 ) Rh x 0,9Rh R 0,8h 0,9h +0,8 h R Físicamente podemos validar cierta consistencia: la expresión cumple que si h0 entonces x0. Si h<<r, llegamos a que x0,9h, que es la expresión a la que se llega si igualamos utilizando la expresión de energía potencial gravitatoria para h<<r, y en ese caso v L gh mgx+½ m(0,9 v) mgh gx+½0,8 ghgh x0,9 h Sustituyendo x 0,9 6, , , ,9 04 m89km Físicamente podemos validar cierta consistencia: es menor que 500 km, y que está más próximo al punto más de lanzamiento (donde se tiene el 00% de la velocidad inicial) que al punto de máxima altura donde la velocidad es nula. Como enunciado pide la distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la ierra, el resultado pedido es 6, , , m Página de 6

15 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Soluciones Revisado 5 marzo 05 A. Pregunta.- a) Hay una manera elegante y simple de resolverlo sin ningún cálculo (idea de Juan G): el potencial gravitatorio solamente es 0 en el infinito, tanto para el potencial creado por una única masa como para el potencial creado por varias masas, ya que se suman siempre potenciales con el mismo signo, luego no puede haber ningún punto con coordenada finita donde se anule el potencial. Resolviéndolo de manera numérica, tomamos como eje x la línea que une ambos centros, con el origen en la ierra y x positivas dirigidas hacia el Sol, utilizando unidades en m. Con lo que la coordenada x de un punto será su distancia a la ierra, y,5 0 -x será la distancia de ese punto al Sol. Utilizando el principio de superposición, el potencial gravitatorio será la suma de potenciales gravitatorios asociados al Sol y a la ierra. En la fórmula debemos utilizar distancias, no coordenadas, y usamos valor absoluto ya que las distancias siempre son positivas. V V ierra +V Sol G M ierra x G M Sol,5 0 x 0 Sustituyendo M Sol8 M tierra, 0 x + 8,5 0 x x 8,5 0 x Resolvemos desglosando casos de valores absolutos: Caso A: x<0 x -x,,5 0 -x,5 0 -x 8 x,5 0 x x, ,5 05 m No es válido ya que la solución es positiva cuando la premisa es que fuera negativa. Caso B: 0<x<,5 0 x x,,5 0 -x,5 0 -x 8 x,5 0 x x, ,5 05 m No es válido ya que la solución es negativa cuando la premisa es que fuera positiva. Caso C:,5 0 <x x x,,5 0 -x -,5 0 +x 8 x,5 0,5 0 +x x 84 4,5 05 m No es válido ya que la solución está fuera del rango establecido como premisa Nota: Aunque los resultados fueran válidos, su valor es de 450 km, y tampoco serían válidos ya que quedaría en el interior de la ierra (ierra 670 km) y dejaría de ser válido el modelo de masa puntual usado para la ierra. b) omando el mismo sistema de referencia del apartado a) y utilizando la ley de gravitación universal y el principio de superposición tenemos E E ierra + E Sol G M ierra M ( i )+G Sol x (,5 0 x) i 0 Sustituyendo M Sol 8 M tierra, 0 x + 8 (,5 0 x) 8 x (,5 0 x) 8 x,5 0 x x,5 0 8+,6 08 m B. Pregunta.- a) El momento angular es un vector pero se pide solamente el módulo. Al estar los satélites geoestacionarios en el plano ecuatorial, el vector posición respecto al centro de la ierra y el vector velocidad son perpendiculares, y podemos plantear L R órbita m satélite v satélite Calculamos el radio de la órbita geoestacionaria. Al ser una órbita circular, podemos igualar fuerza gravitatoria y centrípeta, siendo al mismo tiempo v π R órbita con s Página 4 de 6

16 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Soluciones Revisado 5 marzo 05 G Mm v m v GM (π ) GM R GM o L 4, 0 6,67 0 π 4, , R 4π o GM 4 π 4, 0 7 m 6,48 0 kg m s Para calcular la altura respecto de la superficie terrestre, restamos el radio terrestre: hr órbita -R terrestre 4, 0 7-6,7 0 6, m b) E m E c + E p m v G Mm 0-Septiembre A. Pregunta.- a) g planeta G M planeta R Planeta 4 π G Mm 6,67 0 5, , 0 7,6 0 9 J Como la órbita es circular, igualamos fuerza centrípeta y gravitatoria y expresamos en función de los datos para el primer satélite, teniendo v o π / m v o G M planeta m ( π R o) G M planeta G M R planeta 4 π o Sustituyendo g planeta 4 π 4π ((+) 0 6 ) 5,4 R Planeta ( 600) ( 0 6 m/s ) b) Utilizando la tercera ley de Kepler, utilizamos subíndice para datos primer satélite y para segundo. Según enunciado h. R R ; ( R R ) ( (++0,5) 06,9 h (+) 0 ) 6 B. Pregunta.- a) ρ M V M M ρ(4 /)π R (4 /)π R g A g B g A v escapea v escapeb G M A R A G M B R B M R A B R B M B R ρ (4/)π R A A A ρ B (4/)π R Como enunciado indica misma densidad B R A R A 500 g B R B 000 7/6 b) Introducción genérica (o bien plantear directamente la expresión para la velocidad de escape) El significado físico de la velocidad de escape es la velocidad que debería tener un cuerpo en la superficie de un planeta para escapar del campo gravitatorio, es decir, llegar al infinito con velocidad nula. Utilizando el principio de conservación de la energía y teniendo en cuenta que en el infinito la E p y E c son nulas mv GMm 0 ;v R escape GM. superficie R superficie GM A R A M A R B ρ A(4/)π R A R B R A 7 /6 GM B M B R A ρ B (4/)π R B R A R B R B 0-Junio A. Pregunta.- Página 5 de 6

17 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Soluciones Revisado 5 marzo 05 a) g Mercurio G M Mercurio R Mercurio M g Mercurio R Mercurio Mercurio G,7 (440 0 ) 6,67 0, 0 kg ρ Mercurio M Mercurio, 0 54 kg/ V Mercurio (4/)π(440 0 m ) b) Si g órbita /g superfice /4 R superfice /R órbita /4 R órbita R superficie La energía necesaria es la diferencia de energía mecánica entre ambas situaciones: -En superficie la energía es potencial: E p G Mm, ,67 0 4,5 0 0 J R superficie En órbita la energía es la suma de cinética y potencial. Si asumimos órbita circular estable, igualando fuerza centrípeta y gravedad podemos deducir la expresión para la energía mecánica E m G Mm, y sustituyendo R órbita R superficie, tenemos que R órbita Mm E m G 6,67 0, R superficie 440 0,5 00 J La energía necesaria es E m órbita E m superficie -, (-4,5 0 0 ),5 0 0 J B. Pregunta 5.- a) Falso. El momento angular, como vector y no solamente en módulo, es constante ya que la fuerza gravitatoria del Sol es una fuerza central. El momento lineal en el afelio es menor que en el perihelio, ya que en esos puntos, al ser vector posición r y momento lineal p perpendiculares, podemos igualar r A mv A r P mv P y dado que r A >r P, tiene que cumplirse que v P >v A b) Falso. La energía mecánica se conserva en toda la órbita ya que solamente actúa la fuerza gravitatoria del Sol que es conservativa. La energía potencial sí es mayor en el afelio que en el perihelio, ya que la distancia es mayor, y de acuerdo a la expresión para la Energía potencial E p - GMm/R, a valores mayores de R tendremos un número negativo más pequeño, que implicará un valor mayor. 0-Modelo A. Pregunta.- a) Al no existir rozamiento solamente actúa la fuerza de la gravedad que es conservativa y podemos plantear la conservación de la energía mecánica en el instante de lanzamiento y en el instante en el que alcanza la altura máxima.. Lanzamiento: E c m v ; E p G Mm R. Altura máxima (la altura es R+R/ (/) R): E c 0; E p G Mm (/) R G Mm R Igualando energía mecánica en puntos y m v G Mm R G Mm R v G M R v GM R 6,67 0,5 0 94,98 m/ s,5 0 6 b) La aceleración es un vector. Calculamos su módulo e indicamos dirección y sentido cualitativamente: la dirección será radial y sentido dirigido hacia el centro del planeta. M,5 0 g G ((/) R) 6,67 0 (,65 m/ s,5 06 ) B. Pregunta.- a) Al ser una órbita circular, se puede deducir y manejar a la expresión E p -GMm/R E M. Por lo tanto M E R M (,7 08 ) G m 6, ,5 0 kg b) La velocidad lineal en la órbita se puede obtener igualando fuerza centrípeta y gravitatoria, o también deducir y manejar la expresión E p E M -E c. Página 6 de 6

18 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Soluciones Revisado 5 marzo 05 E c /mv ;- (-,7 0 8 )/ 800 v ; v, ,67m/ s 800 ω v R 78,67 6 0, rad/ s 0-Septiembre A. Pregunta.- a) El trabajo a realizar lo podemos relacionar con la diferencia de energía entre ambas órbitas: -El trabajo realizado es la variación de energía cinética (teorema de las fuerzas vivas) -El trabajo realizado para ir de órbita A a órbita B es la variación de energía potencial cambiada de signo. En órbita circular, igualando fuerza centrípeta y gravitatoria, podemos llegar a que la energía mecánica y la cinética son la mitad en valor absoluto que la energía potencial, siendo la energía cinética positiva. Situación A. A 5/ : E pa G M m G M m 5/ 5 E ca G M m 5/ G M m 5 E ma G M m 5 Situación B. B 5 : E pb G M m E 5 R cb G M m E 5 R mb G M m 5 -El trabajo realizado por el campo asociado asociado a la variación de energía potencial: W A B (E pb E pa ) ( G M m ( G M m ))G M m ( ) W A B (E pb E pa ) 6,6 0 5, , J El resultado es negativo, trabajo no realizado por el campo sino aportado contra el campo (en sentido opuesto campo): estamos llevando el satélite a una altura mayor, con más energía potencial, aportamos energía al sistema. -El trabajo asociado asociado a la variación de energía cinética: W A B E cb E ca G M m G M m G M m ( ) G M m W A B E cb E ca 0,5 6,6 0 5, ,7 0, J El resultado es negativo, en la órbita B la energía cinética es menor. Se extrae trabajo/energía del sistema, que pierde energía cinética. El trabajo total a realizar será el trabajo aportado para aumentar la energía potencial (cambiamos el signo porque las expresiones son para el trabajo realizado por el campo, no externamente) menos el trabajo extraído para reducir la energía cinética: W A B 5 0 9,5 0 9 J,5 0 9 J Nota: podemos llegar a la misma expresión indicando que el trabajo aportado es la variación de energía mecánica. Como en las órbitas E m -E c, W A B E mb E ma (E cb E ca ),5 0 9 J b) Órbita circular, igualamos fuerza centrípeta y gravitatoria, y v o π / m v o G M m (π R o) G M 4π 4π (5 6,7 0 6 ) G M 6,67 0 5, ,68 04 s B. Pregunta.- (Similitudes con 00-Junio-Coincidentes-B.Cuestión : /6 0,66, /4 0,7) a) Introducción genérica (o bien plantear directamente la expresión para la velocidad de escape) El significado físico de la velocidad de escape es la velocidad que debería tener un cuerpo en la superficie terrestre para escapar del campo gravitatorio, es decir, llegar al infinito con velocidad nula. Utilizando el principio de conservación de la energía y teniendo en cuenta que en el infinito la E p y E c son nulas Página 7 de 6

19 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Soluciones Revisado 5 marzo 05 m v GMm 0;v R escape GM. Se pide la velocidad de escape de la Luna y no disponemos de masa: intentamos relacionar masa de la Luna con la de la ierra según la relación entre aceleraciones de la gravedad proporcionada: GM L R L g L g 0,66 GM R M M L R M L L M (0,7 ) M L 0,66 0,7 M v el GM L R 6,67 0 0,66 0,7 5,98 L 0,7 6,7 0 68m/ s b) Órbita circular, igualamos fuerza centrípeta y gravitatoria. Pasamos la velocidad a m/s m v o G M Lm R G M L 6,67 0 0,66 0,7 5,98 0 4,9 0 6 m o v o,5 0 0-Junio A. Pregunta.- a) Órbita circular, igualamos fuerza centrípeta y gravitatoria. Pasamos el radio de la órbita a metros. R S +h6, , m m v o G M m R S R S 0 4 v o G M R S 6,67 0 5,98 0 4, m/s b) Si la velocidad se anulase repentinamente, no tendría energía cinética y solamente tendría energía potencial asociada a la altura de la órbita, y caería verticalmente. Sin considerar el rozamiento del aire solamente actúa la fuerza de la gravedad conservativa y podemos considerar que hay conservación de la energía mecánica. A. Órbita tras el frenado: E c 0, E p G M m R S B. Llegada a la superficie. E c m v suelo,e p G M m Igualando energías mecánicas en A y B G M m R S mv suelo G M m v R suelo G M ( ) R S v suelo 6,67 0 5, ( 6,7 0 )9746 m/ s 6 7,67 0 B. Pregunta.- a) Órbita circular, igualamos fuerza centrípeta y gravitatoria. Pasamos el radio de la órbita (R O ) a metros, y obtenemos periodo ya que v O πr O /. Con datos enunciado R O +h6, ,5 0 7,7 0 7 m ( π R O ) m R O G M m R O 4π R O G M 4π R O G M 4 π (,7 0 7 ) 5576 s 4 6,67 0 5,98 0 b) E p G M m 5, ,67 0,8 0 0 J R S,7 0 7 Para la energía cinética calculamos la velocidad con el periodo E c m( π R O π,7 07 ) 0,5 000 ( ),9 0 0 J 5576 ambién podríamos saber que en una órbita circular estable la energía mecánica y la cinética son la Página 8 de 6

20 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Soluciones Revisado 5 marzo 05 mitad en valor absoluto que la energía potencial, siendo la energía cinética positiva. E c E p,8 0 0,9 0 0 J 0-Modelo A. Pregunta.- a) gg M g R ) ; M R G 7, (400 0,8 0 4 kg 6,67 0 b) Calculamos la diferencia de energía entre ambas situaciones Superficie : E c 0 ; E p G Mm 6,67 0, ,8 0 7 J R Órbita: E c m v ; E p G Mm km E p 6,67 0, , 0 7 J Calculamos velocidad en la órbitaestable, donde F g F c G Mm m v ;v GM 6,67 0, m/ s R E c 0,5 4865, J Energía mecánica total en superficie: E s -8,8 0 7 J Energía mecánica total en órbita: E o -7, 0 7 +, , J Nota: en una órbita estable la E m es la mitad en valor absoluto de la E p, E m GMm R La energía a suministrar es la diferencia: E o -E s -, (-8,8 0 7 )5,8 0 7 J B. Pregunta.- Órbita: E c m v ; E p G Mm km a) Calculamos velocidad en la órbitaestable, donde F g F c G Mm m v ;v GM 6,67 0 5, m/ s R E c m v 0, , J E p 6,67 0 5, , J E m total, ,95 0 0, J b) El momento angular es un vector L r p r m v Al calcular el momento angular respecto al centro de la ierra para una órbita circular, el vector posición siempre es perpendicular al vector velocidad, por lo que su módulo será L r m v , kg m [también J s] s 0-Septiembre-Coincidentes A. ProbIema.- a) El momento angular es constante en la órbita al ser fuerzas centrales, por lo que su módulo es igual entre dos puntos cualquiera de la órbita. Como en perigeo y apogeo los vectores r y p son perpendiculares, podemos igualar r A mv A r P mv P y despejar para obtener el módulo de la velocidad solicitado. Página 9 de 6

21 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Soluciones Revisado 5 marzo 05 v A r v p p 7,0 06 8, 0 5,60 0 m/s r A 0,0 0 6 b) El módulo del momento angular es constante en la órbita, lo podemos calcular en perigeo o apogeo, tomamos uno de ellos. L r p m v p 7, , 0,5 0 kgm s [también J s] Su dirección es perpendicular al pano de la órbita, y su sentido vendrá dado por la regla de la mano derecha al realizar el producto vectorial de los vectores r y p. c) La velocidad areolar es constante según la ª ley de Kepler. Hay dos opciones A.-eniendo el periodo de la órbita, se puede utilizar la fórmula del área de la elipse y dividir por él (similar a resolución apartado a de 0-Junio-A.Cuestión para órbita circular). No se da explícitamente, pero se puede obtener con la ª ley de Kepler 4 π recordando que para R GM órbitas elípticas en hay que usar como R el semieje mayor de la elipse a, que podemos calcular como la mitad de la suma de radio en perigeo y apogeo. a r +r apogeo perigeo 0, , , m 4 π (8, ) 807,6 s 6, ,98 0 Para calcular el área de la elipse debemos calcular su semieje menor, b Una vez conocido el semieje mayor y el apogeo, podemos calcular la distancia del centro al foco r foco a centro a r apogeo 8, ,0 0 6, m Sabiendo que por geometría de la elipse la suma de distancias entre un punto cualquiera y ambos focos es constante, tomando los puntos donde cortan semieje menor y mayor tenemos f +b a luego b(8, ) (, ) 8,5 0 6 m El área es Aπ abπ 8, ,5 0 6, 0 4 m da La velocidad areolar es dt, 04 m, ,6 s B.-Usar la relación de proporcionalidad entre el módulo del momento angular, que es constante en toda la órbita, y la velocidad areolar, también constante. La expresión o bien se conoce, o se deduce: Si planteamos la órbita elíptica y un área diferencial barrida da r d r (La mitad del área del paralelogramo formado por vectores r y dr) Operando para obtener la velocidad areolar da d r r r v dt dt da Como L ctem r v dt L m L m cte da dt,7 04 m, s d) La energía mecánica del satélite es constante en toda la órbita. La calculamos en uno de los puntos: perigeo. E c perigeo m v perigeo0,5 00 (8, 0 ) 6, J E p perigeo G M m 6,67 0 5, ,6 0 0 J r perigeo 7,0 0 6 E m E m perigeo 6,76 0 9, ,6 0 9 J Nota: la expresión E m G Mm que se conoce / deduce fácilmente para órbitas circulares es r válida en órbitas elípticas si se sustituye el radio r por el semieje mayor de la elipse a, calculado Página 0 de 6

22 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Soluciones Revisado 5 marzo 05 en una de las opciones de apartado c. E m G Mm 6,67 0 5, ,6 0 9 J a 8, Junio-Coincidentes B. Cuestión.- a) Órbita circular, igualando F g F c sellega a E m GMm r E p E c E p GMm r 6,67 0 5, , J 0 7 E m GMm 6,67 0 5, , 0 9 J r 0 7 E c E m E p, 0 9 (, ), 0 9 J b) La energía a aportar es la diferencia de energía mecánica entre ambas situaciones E m (r4 0 7 m) GMm r 6,67 0 5, , J Δ E E m (r4 0 7 m) E m (r 0 7 m), 0 9 ( 9, )8,6 0 9 J 0-Septiembre A. Cuestión.- a) g F g m GM En la superficie, si el radio del plantea es R r p g GM R p La aceleración de la gravedad es una magnitud vectorial; tomando el origen de coordenadas en el centro del planeta y considerando u r un vector unitario que va desde el centro del planeta (lo asumimos homogéneo y su centro geométrico coincide con el centro de masas) hasta el punto de la superficie del planeta g g u r GM u r El signo menos indica que está dirigido hacia el centro del planeta. R p b) Si h, r h +h ; g superfice g h GM GM ( ) 4 R g superficie R 4 g h 4 B. Problema.- Enórbita circular estable, F g F c a) G Mm v m ;v GM 6,67 0 5, m/ s R 0,6 6,7 0 6 Nota: la velocidad es independiente de la masa de la sonda. b) E p GMm 6,66 0 5, , 0 4 J,6 6, ,8,45m s 4 Órbita circular,igualando F g F c sellegaa E m GMm r E p E c c) E m GMm 0,5 (, 0 4 ) 5,6 0 J r d) La energía a comunicar es la diferencia de energía entre ambas situaciones. En el infinito la E p y la E c es cero, por lo que la E m es cero. ΔE E infinito -E órbita 0-(-5,6 0 ) 5,6 0 J 0-Junio A. Cuestión.- Nota: suponemos ciertos los datos (el radio real de una órbita geoestacionaria no es,6 0 7 m, el dato suministrado es el valor real de la altura de una órbita geoestacionaria) Página de 6

23 Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Soluciones Revisado 5 marzo 05 a) Como la órbita es circular y según la tercera ley de Kepler la velocidad aerolar es constante v areolar π r π (,6 07 ) ,7 00 m /s b) El momento angular es un vector L r p r m v. Si es geoestacionario la órbita está en el plano ecuatorial, pero el momento angular es referido a un punto, por lo que no lo hacemos respecto al centro de la ierra sino que utilizamos los dos puntos que indica el enunciado. El momento angular respecto a los polos de la ierra es respecto a dos puntos que están en el eje de giro, por lo que el vector posición siempre lo podemos descomponer en un vector que vaya desde el polo hasta el centro de la ierra más un vector que vaya desde el centro de la ierra hasta el punto de la órbita (y este último vector está en el mismo plano que el vector velocidad) L( r PoloCentro + r CentroOrbita ) m v r PoloCentro m v+ r CentroOrbita m v L + L Para calcular el módulo de la la velocidad, podemos calcular de manera intermedia la velocidad angular, o sabiendo que es constante, utilizar el cociente entre espacio recorrido en la órbita circular v π r π, m/s Si tomamos el plano ecuatorial como plano xy y el eje de giro en el que están los dos polos como eje z, tomando como sentido positivo el dirigido hacia el polo norte geográfico, tendremos: L r PoloCentro m v Dirección: perpendicular al plano formado por eje z y el vector velocidad: será dirección radial, misma dirección de vector posición. Sentido: de acuerdo al sentido de giro del satélite, y según de qué polo se trate, será el mismo sentido que el vector posición (para polo norte) o sentido opuesto (polo sur). Módulo: al ser siempre el vector perpendicular a la velocidad, será (no se proporciona como dato el radio de la ierra, se toma 670 km. 6, kg m 688, 0 [también J s] s L r CentroOrbita m v Dirección: perpendicular al plano xy Sentido: de acuerdo al sentido de giro del satélite, que tiene que ser el mismo que el de la tierra, estará dirigido hacia z positivas. Módulo: al ser siempre el vector perpendicular a la velocidad, será, kg m 684,7 0 [también J s] s Fijándonos en los que nos solicita el enunciado, indicamos de manera global el módulo, dirección y sentido. Realizamos un diagrama en dimensiones más simplificado donde se ve el ángulo que forma con la vertical: no está a escala, ya que se ve que L L, por lo que podríamos intentar aproximar L L Módulo: Viendo que los dos vectores calculados antes son perpendiculares entre sí: Página de 6