Tipos y estructuras de datos en los lenguajes funcionales

Transcripción

1 Tipos y estructuras de datos en los lenguajes funcionales Salvador Lucas Alba Departamento de Sistemas Informáticos y Computación Universidad Politécnica de Valencia

2 Objetivos Introducir los tipos de datos como componente fundamental del estilo funcional Introducir los mecanismos de estructuración y abstracción de datos en los lenguajes funcionales Presentar los tipos y estructuras de datos usuales en los lenguajes funcionales

3 Desarrollo 1. Tipos 2. Tipos básicos y tipos numéricos 3. Tipos algebraicos 4. Tipos funcionales: orden superior, definición de funciones 5. Listas y árboles 6. Tipos abstractos de datos

4 Desarrollo 1. Tipos 2. Tipos básicos y tipos numéricos 3. Tipos algebraicos 4. Tipos funcionales: orden superior, definición de funciones 5. Listas y árboles 6. Tipos abstractos de datos

5 Tipos Motivación Evitar o detectar errores de programación Un tipo caracteriza el conjunto de valores que las expresiones de ese tipo pueden tener Ayudar a estructurar la información Los tipos pueden verse como colecciones de valores que comparten ciertas propiedades Ayudar a manejar estructuras de datos Los tipos indican cómo utilizar las estructuras de datos que comparten el mismo tipo

6 Tipos Lenguajes tipificados Un tipo representa el conjunto de valores que puede adoptar una variable o expresión En los lenguajes tipificados, las variables adoptan un tipo (ej. Pascal, Haskell) Los lenguajes que no restringen el rango de valores que pueden adoptar las variables son no tipificados (ej. Lisp, Prolog)

7 Tipos Lenguajes tipificados En los lenguajes funcionales modernos todas las expresiones (y subexpresiones) tienen un tipo

8 Tipos Lenguajes tipificados Los lenguajes tipificados incorporan un sistema de tipos que determina si los programas son legales Los sistemas de tipos se utilizan para determinar si los programas tienen un comportamiento adecuado Errores manifiestos 1/0 Errores ocultos Limites Limites vector vector

9 Tipos Lenguajes tipificados Un lenguaje de programación es seguro (safe) si no son posibles errores ocultos Los lenguajes pueden garantizar la seguridad mediante comprobaciones estáticas (static check, ej. ML, Haskell), o dinámicas (dynamic check, ej. Lisp) Compilación Ejecución

10 Tipos Lenguajes tipificados En algunos lenguajes tipificados, la simple comprobación estática de tipos puede hacerlos seguros (ej. ML, Haskell) En otros casos, esto no es así (ej. Pascal, C)

11 Tipos Lenguajes tipificados El sistema de tipos de los lenguajes funcionales modernos garantiza la escritura de programas seguros

12 Tipos Lenguajes tipificados En los lenguajes con tipificación explícita, los tipos forman parte de la sintaxis En los lenguajes con tipificación implícita, los tipos no forman parte de la sintaxis Lenguajes tipificados = Expresiones de programa + Sistema de tipos

13 Tipos Lenguajes tipificados El sistema de tipos de los lenguajes funcionales modernos permite la tipificación implícita (debido a la posibilidad de inferencia de tipos)

14 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Expresiones de tipo Los tipos se describen mediante un lenguaje de expresiones de tipo: Tipos básicos o primitivos: Bool, Char, Int,... Variables de tipo: a, b, c,... Constructores de tipo:,, [ ],... Reglas de construcción de las expresiones: τ ::= Bool Char Int t τ τ τ τ [ τ ]

15 Tipos monomórficos Tipos polimórficos Variable de tipo Ejemplos: Tipos Expresiones de tipo Tipos básicos Bool, es el tipo de los valores booleanos True y False Int -> Int, es el tipo de la función fact, que devuelve el factorial de un número [a] -> Int, es el tipo de la función length, que obtienen la longitud de una lista constituida por elementos de cualquier tipo Constructores de tipo

16 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Asertos Los sistemas de tipos permiten razonar sobre tipos y asociar expresiones de tipo con expresiones de programa: Tipificación M :: τ (M tiene tipo τ) Equivalencia τ = τ (τ y τ son equivalentes) Subtipo τ<:τ (τ es un subtipo de τ )

17 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Sentencias Las sentencias sobre las que se razona en los sistemas de tipos son de la forma: Γ Φ Contexto de tipificación Γ=, x 1 ::τ 1, x 2 ::τ 2,..., x n ::τ n para n 0 Aserto Con variables libres x 1, x 2,..., x n

18 Ejemplo: Sistemas de tipos Sistemas de tipos Sentencias True::Bool El tipo de True es Bool, x::int x+1::int El tipo de x+1 es Int si el tipo de x es Int

19 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Sistema formal Las reglas del sistema de tipos tienen la forma general: (Nombre) Γ 1 Φ 1... (condiciones) Γ n Φ n Γ Φ

20 Ejemplo: Sistemas de tipos Sistemas de tipos Sistema formal (Env ) El contexto de tipificación vacío siempre es válido

21 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Sistema formal Ejemplo (reglas de tipificación): (Val n) Γ (n=0, ±1, ±2...) Γ n::int El tipo de un valor entero es Int en cualquier contexto de tipificación válido

22 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Sistema formal Ejemplo (reglas de tipificación): (Val +) Γ M::Int Γ M+N::Int Γ N::Int Si las expresiones M y N son de tipo entero en Γ, también M+N lo es

23 Tipos Lenguajes tipificados Un sistema de tipos es un conjunto de reglas de tipo

24 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Sistema formal Una derivación en un sistema de tipos es un árbol (invertido) de sentencias Cada una se obtiene de las inmediatamente superiores por aplicación de una regla Una sentencia válida es la que se puede obtener como raíz de una derivación

25 Ejemplo: Sistemas de tipos Sistemas de tipos Sistema formal (por Env ) (por Env ) 1::Int 2::Int (por Val n) (por Val n) 1+2::Int (por Val +)

26 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Problemas de tipificación Dos problemas fundamentales sobre tipificación de expresiones de programa: Comprobación de tipos (type checking): Dados M, Γ y τ, comprobar si Γ M :: τ es válida Inferencia de tipos (type inference o type deduction): Dada M, obtener, en su caso, Γ y τ de forma que Γ M :: τ sea válida

27 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Problemas de tipificación En ambos casos, es esencial disponer de algoritmos para realizar dichas tareas: Algoritmo de comprobación de tipos (typechecking algorithm) Algoritmo de inferencia de tipos (type inference algorithm) La existencia y eficacia de éstos depende mucho del sistema de tipos

28 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Problemas de tipificación Haskell utiliza el sistema de tipos (polimórficos) de Hindley-Milner que admite comprobación de tipos (Mycroft) e inferencia de tipos (Milner)

29 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Problemas de tipificación El sistema de tipos de Hindley-Milner tiene sus limitaciones: la función selfapplication f = f f no admite ningún tipo dentro de este sistema

30 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Problemas de tipificación Ejemplo: Dadas las ecuaciones fun f lista1 lista1 = f lista1 + f lista2 imposible = fun length [1,2,3] abc la expresión imposible no admite ningún tipo dentro de este sistema

31 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Problemas de tipificación La elección de un sistema de tipos puede limitar la expresividad del lenguaje

32 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Problemas de tipificación Los algoritmos de comprobación de tipos (Mycroft) e inferencia de tipos (Milner) no son totalmente equivalentes

33 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Problemas de tipificación Ejemplo: consideremos la ecuación g x = 1:g (g c ) El algoritmo de Milner falla al tratar de encontrar el tipo de g. Especificando g :: a -> [Int] el intérprete (que utiliza el algoritmo de Mycroft en ese caso) acepta la definición

34 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Problemas de tipificación Ejemplo: consideremos la ecuación g x = g 1 El algoritmo de Milner infiere el tipo g :: Num a => a -> b mientras que el algoritmo de Mycroft acepta la tipificación explícita (más general) g :: a -> b

35 Sistemas de tipos Sistemas de tipos Problemas de tipificación A pesar de la posibilidad de tipificación implícita, a veces es recomendable dar los tipos de las funciones explícitamente

36 Polimorfismo Polimorfismo paramétrico Los tipos en cuya expresión de tipo no aparecen variables de tipo se denominan monotipos o tipos monomórficos Los tipos en cuya expresión de tipo aparecen variables se denominan politipos o tipos polimórficos (polimorfismo paramétrico) Un tipo polimórfico representa un número infinito de monotipos

37 Polimorfismo Polimorfismo paramétrico Ejemplo: la función length :: [a] -> Int puede verse como una función con infinitos monotipos [Int] -> Int, [Bool] -> Int, [Int -> Int] -> Int,...

38 Polimorfismo Polimorfismo paramétrico Ejemplo: La implementación de length :: [a] -> Int es única: length [ ] = 0 length (x:xs) = 1+length xs y resulta válida para todos los usos de la función

39 Polimorfismo Polimorfismo paramétrico Con un sistema de tipos polimórficos, el algoritmo de inferencia de tipos intenta obtener el tipo principal de las expresiones El tipo principal es el tipo más general capaz de capturar todos los usos válidos de la expresión

40 Polimorfismo Polimorfismo paramétrico El sistema de tipos de Hindley-Milner asegura que toda expresión tipificable tiene un tipo principal único

41 Polimorfismo Sobrecarga A veces nos interesa sobrecargar el uso de ciertos operadores, aplicándolos sobre argumentos de distintos tipos, aunque de forma limitada Otras veces, no tiene sentido asignar un politipo a un operador si no podemos implementar todas sus concreciones

42 Polimorfismo Sobrecarga Este tipo de polimorfismo se denomina polimorfismo ad-hoc o sobrecarga (overloading)

43 Polimorfismo Sobrecarga Ejemplo: los operadores aritméticos (+), (-), (*), (/),..., suelen estar sobrecargados: (+) :: Int -> Int -> Int (+) :: Float -> Float -> Float (+) :: Complex -> Complex -> Complex corresponden a distintos usos de (+). Otro: (+) :: Int -> Float -> Float

44 Polimorfismo Sobrecarga El operador (+) no puede recibir el politipo (+) :: a -> a -> a porque implicaría dotar de significado a la suma de caracteres, funciones, listas, etc., lo cual puede interesarnos o no

45 Polimorfismo Sobrecarga Ejemplo: El operador de igualdad (==), aun teniendo una semántica bien definida, no es implementable en algunos casos. Cómo determinar (efectivamente) si dos funciones son iguales?

46 Polimorfismo Sobrecarga Matemáticamente: sean f : D E y g : D E dos funciones. Tenemos que f = D E g si y sólo si x D, f(x)= E f(x) Si D es infinito, o f no es computable, = D E puede no ser decidible

47 Polimorfismo Sobrecarga El operador (==) no puede recibir el politipo (==) :: a -> a -> Bool porque tendríamos que implementar la comprobación de igualdad para todos los tipos; en particular para las funciones: (==) :: (a->b) -> (a->b) -> Bool

48 Polimorfismo Sobrecarga En Haskell, el polimorfismo ad-hoc se implementa mediante el concepto de clase

49 Polimorfismo Sobrecarga Una clase es una colección de tipos Todos los tipos pertenecientes a una clase deben tener definidas ciertas operaciones

50 Ejemplo: Polimorfismo Sobrecarga Los miembros de la clase Eq deben definir las operaciones (==) y (/=) para comprobar si dos elementos son iguales o distintos Los miembros de la clase Ord deben tener definidas, además de (==) y (/=), las relaciones (<) y (<=) para comparar elementos entre sí

51 Polimorfismo Sobrecarga class Eq a where -- simplificado (==), (/=) :: a -> a -> Bool class Eq a => Ord a where -- simplificado (<), (<=), (>), (>=) :: a -> a -> Bool Ord es una subclase de Eq

52 Polimorfismo Sobrecarga De acuerdo con la declaración anterior, el tipo (sobrecargado) de (==) es (==) :: Eq a => a -> a -> Bool que se interpreta como sigue: si a es un tipo de la clase Eq, el tipo de (==) es a -> a -> Bool

53 Polimorfismo Sobrecarga Algunas clases predefinidas de Haskell son: Eq: tipos con comprobación de igualdad Ord: tipos con operadores de comparación Enum: tipos cuyos valores son secuenciables Show: tipos cuyos valores son convertibles en cadenas de caracteres Num, Integral, Fractional, Real, Floating, RealFrac, RealFloat: clases numéricas

54 Polimorfismo Sobrecarga Es posible añadir nuevos tipos a una clase, si particularizamos las operaciones propias de ésta para los valores del nuevo tipo

55 Polimorfismo Sobrecarga Ejemplo: consideremos el tipo data Nat = Cero S Nat deriving Show Podemos añadirlo a la clase Eq: instance Eq Nat where Cero== Cero = True S n == S m = m == n _ == _ = False

56 Polimorfismo Sobrecarga Ejemplo: En realidad, bastaría con escribir data Nat = Cero S Nat deriving (Eq, Show)

57 Polimorfismo Sobrecarga La clase Num se define como class (Eq a, Show a) => Num a where (+),(-),(*) :: a -> a -> a Simplificado!!

58 Polimorfismo Sobrecarga Podemos añadir el tipo Nat a la clase Num: instance Num Nat where Cero + n = n (S n) + m = S (n+m) Cero * n = Cero (S n) * m = m + (n*m) No es preciso definir todas las operaciones ( pero no se podrán usar!!)

59 Polimorfismo Sobrecarga Ahora podríamos escribir, directamente: fact Cero = S Cero fact (S n) = (S n) * fact n Sobrecargado!!

60 Desarrollo 1. Tipos 2. Tipos básicos y tipos numéricos 3. Tipos algebraicos 4. Tipos funcionales: orden superior, definición de funciones 5. Listas y árboles 6. Tipos abstractos de datos

61 Tipos básicos Tipos básicos Los tipos básicos proporcionados por Haskell son: Booleanos Caracteres Tuplas Cadenas Tipos numéricos

62 Tipos básicos Booleanos Los valores del tipo Bool son True y False El tipo Bool pertenece a las clases Bounded, Enum, Eq, Ord y Show, entre otras

63 Tipos básicos Booleanos El perfil de la clase Enum es: class Enum a where succ,pred :: a -> a toenum :: Int -> a fromenum :: a -> Int Simplificado!!

64 Tipos básicos Booleanos Operaciones usuales para Bool (en Haskell): Conjunción:&& :: Bool -> Bool -> Bool Disyunción: :: Bool -> Bool -> Bool Negación: not :: Bool -> Bool

65 Tipos básicos Caracteres Los valores del tipo Char son los caracteres: a, b,..., A, B,..., 1, 2,... \a, \b, \f, \n, \r,... \BEL, \BS, \FF, \LF, \CR,... \7, \8, \12, \10, \13,... \o7, \o10, \o14, \o12, \o15 \x7, \x8, \xc, \xa, \xd,...

66 Tipos básicos Caracteres El tipo Char pertenece a Bounded, Enum, Eq, Ord y Show Operaciones usuales para Char: isalpha, isalphanum, isascii, isdigit, islower, isprint, isupper :: Char -> Bool tolower, toupper :: Char -> Char chr :: Int -> Char -- toenum ord :: Char -> Int -- fromenum

67 Tipos básicos Tuplas El tipo polimórfico (a,b) (en general, (a 1,..., a n ) ) permite agrupar valores procedentes de tipos distintos: (True,False) :: (Bool,Bool) (True, a ) :: (Bool,Char) ((True,False), a ) :: ((Bool,Bool),Char) (isdigit, a,1) :: (Char -> Bool, Char,Int)

68 Tipos básicos Tuplas El tipo tupla pertenece a las clases Eq, Ord, Show y Enum, entre otras Operaciones usuales sobre tuplas: Proyección izq: fst :: (a,b) -> a Proyección der: snd :: (a,b) -> b Sólo con pares!!

69 Tipos básicos Cadenas Los valores del tipo String son las cadenas de caracteres:, 1&bA, Esta frase \10ocupa dos lineas En realidad, String es un tipo sinónimo: type String = [Char]

70 Tipos básicos Cadenas El tipo String pertenece a las clases Eq, Ord y Show, entre otras

71 Tipos numéricos Números en Haskell Los tipos numéricos en Haskell son: Int, Integer: Números enteros Float, Double: Números reales Ratio: Números racionales Complex: Números complejos Preludio Estándar Librerías

72 Tipos numéricos Números enteros Los valores del tipo Int son los enteros de rango acotado: 0, 45, -3452, El límite es maxbound::int El tipo Int pertenece a la clase Bounded class Bounded a where minbound :: a maxbound :: a

73 Tipos numéricos Números enteros El tipo Int también pertenece a las clases Enum, Eq, Ord y Show, además de a las clases numéricas Num, Real e Integral

74 Tipos numéricos Tipos numéricos Números enteros class (Eq a, Show a) => Num a where (+),(-),(*) :: a -> a -> a negate :: a -> a abs,signum :: a -> a frominteger :: Integer -> a

75 Tipos numéricos Tipos numéricos Números enteros class (Num a, Ord a) => Real a where torational :: a -> Rational class (Real a, Enum a) => Integral a where quot,rem,div,mod :: a -> a -> a quotrem, divmod :: a -> a -> (a,a) tointeger :: a -> Integer

76 Tipos numéricos Números enteros Los valores del tipo Integer son los enteros de rango arbitrario La aritmética con Integer es más precisa que con Int, pero más costosa

77 Tipos numéricos Números enteros El tipo Integer pertenece a las clases Enum, Eq, Ord y Show (pero no a Bounded), además de a las clases numéricas Num, Real e Integral

78 Tipos numéricos Tipos numéricos Números reales Los valores del tipo Float son los números en coma flotante de precisión simple: , , , e7, 231.6e-2, e03

79 Tipos numéricos Tipos numéricos Números reales El tipo Float pertenece a las clases Enum, Eq, Ord y Show (no a Bounded), además de a las clases numéricas Num, Real, Fractional, Floating, RealFrac y RealFloat

80 Tipos numéricos Tipos numéricos Números reales class (Num a) => Fractional a where (/) :: a -> a -> a recip :: a -> a fromrational :: Rational -> a

81 Tipos numéricos Tipos numéricos Números reales class (Fractional a) => Floating a where pi :: a exp,log,sqrt :: a -> a (**),logbase :: a -> a -> a sin,cos,tan, asin,acos,atan, sinh,cosh,tanh, asinh,acosh,atanh :: a -> a

82 Tipos numéricos Tipos numéricos Números reales class (Real a,fractional a) => RealFrac a where properfraction :: (Integral b) => a -> (b,a) truncate,round :: (Integral b) => a -> b ceiling,floor :: (Integral b) => a -> b

83 Tipos numéricos Tipos numéricos Números reales class (RealFrac a,floating a) => RealFloat a where floatradix :: a -> Integer floatdigits :: a -> Int floatrange :: a -> (Int,Int) decodefloat :: a -> (Integer,Int) encodefloat :: Integer -> Int -> a

84 Tipos numéricos Tipos numéricos Números reales class (RealFrac a,floating a) => RealFloat a where -- Continuación exponent :: a -> Int significand :: a -> a scalefloat :: Int -> a -> a isnan,isinfinite:: a -> Bool isdenormalized:: a -> Bool isieee :: a -> Bool

85 Tipos numéricos Tipos numéricos Números reales Otras operaciones de interés son: (^) :: (Integral b, Num a) => a -> b -> a Potencia con exponente entero (^^) :: (Integral b, Fractional a) => a -> b -> a Potencia con exponente racional

86 Tipos numéricos Tipos numéricos Números reales Los valores del tipo Double son los números en coma flotante de precisión doble El tipo Double pertenece a las mismas clases que Float

87 Tipos numéricos Tipos numéricos Números racionales y complejos Los tipos Ratio y Rational, para trabajar con números racionales, se definen en la librería Ratio de Haskell 98 El tipo Complex, para trabajar con números complejos, se definen en la librería Complex de Haskell 98 La librería Numeric de Haskell 98 describe funciones numéricas adicionales

88 Tipos numéricos Tipos numéricos Num Int,Integer,Float,Double Real Int,Integer,Float,Double Fractional Float,Double Integral Int,Integer RealFrac Float,Double Floating Float,Double RealFloat Float,Double

89 Desarrollo 1. Tipos 2. Tipos básicos y tipos numéricos 3. Tipos algebraicos 4. Tipos funcionales: orden superior, definición de funciones 5. Listas y árboles 6. Tipos abstractos de datos

90 Tipos Tipos algebraicos Los tipos algebraicos se definen junto con los valores que éstos contienen Ejemplos: data Color = Red Green Blue data Laboral = Lu Ma Mi Ju Vi data TreeInt = L Int B TreeInt TreeInt data Tree t = L t B (Tree t) (Tree t)

91 Tipos Tipos algebraicos Lostipos algebraicos se definen junto con los valores que éstos contienen Ejemplos: datacolor = Red Green Blue datalaboral = Lu Ma Mi Ju Vi datatreeint = L Int B TreeInt TreeInt datatree t = L t B (Tree t) (Tree t) Constructores de tipos

92 Tipos Tipos algebraicos Los tipos algebraicos se definen junto con los valores que éstos contienen Ejemplos: Simples Estructurados data Color = Red Green Blue data Laboral = Lu Ma Mi Ju Vi data TreeInt = L Int B TreeInt TreeInt data Tree t = L t B (Tree t) (Tree t) Constructores de datos

93 Tipos Tipos algebraicos Los tipos algebraicos se definen junto con los valores que éstos contienen Ejemplos: data Color = Red Green Blue data Laboral = Lu Ma Mi Ju Vi data TreeInt = L Int B TreeInt TreeInt data Tree t = L t B (Tree t) (Tree t) Polimórfico Variables de tipo

94 Tipos Tipos algebraicos Los valores se obtienen considerando la definición de tipo como una gramática: Los constructores de datos son símbolos terminales Los constructores de tipo son símbolos no terminales Los valores del tipo son los términos del lenguaje generado por la gramática

95 Tipos Tipos algebraicos Ejemplo: Int := TreeInt := L Int B TreeInt TreeInt Valores de este tipo son: L 1, L -10, B (L 1) (L 10), B (B (L 1) (L1)) (L -1)

96 Tipos Tipos algebraicos Ejemplo de valor del tipo TreeInt (B (L 1) (B (B (L 2) (L 3)) (L 4)))

97 Tipos Tipos algebraicos Las siguientes expresiones: L (1+1) B (B (L 1) (L (length ab ))) (L (fact 2)) son del tipo TreeInt, pero no son valores (contienen símbolos no constructores)

98 Desarrollo 1. Tipos 2. Tipos básicos y tipos numéricos 3. Tipos algebraicos 4. Tipos funcionales: orden superior, definición de funciones 5. Listas y árboles 6. Tipos abstractos de datos

99 Tipos funcionales Tipos funcionales Los tipos funcionales (que involucran el constructor de tipo ) son muy importantes en programación funcional Ejemplo: Int -> Int a -> Bool Num a => a -> a -> a (a -> b) -> [a] -> [b]

100 Tipos funcionales Tipos funcionales Valores funcionales Los valores funcionales pueden especificarse de dos formas: explícitamente: mediante expresiones lambda implícitamente: mediante ecuaciones

101 Definición de funciones Definición de funciones Expresiones lambda Una función f se describe mediante una expresión lambda de la forma \x 1 x k -> e Las variables x 1,..., x k son distintas entre sí y las únicas que aparecen en la expresión e

102 Ejemplo Definición de funciones Definición de funciones Expresiones lambda \x y -> x+y \x-> 2*x \x-> True \ m n -> B (L m) (L n)

103 Definición de funciones Definición de funciones Expresiones lambda La definición de funciones recursivas es problemática ( aunque no imposible!)

104 Definición de funciones Definición de funciones Ecuaciones En los lenguajes funcionales, lo normal es definir las funciones mediante ecuaciones empleando (y combinando) distintas técnicas: parámetros formales guardas ajuste de patrones distinción de casos cláusulas where

105 Definición de funciones Definición de funciones Parámetros formales Una función f se describe mediante ecuaciones de la forma: f x 1 x k = r Las variables x 1,..., x k son distintas entre sí y las únicas que aparecen en la parte derecha r

106 Definición de funciones Definición de funciones Ejemplos: Parámetros formales doble x = x+x triple x = 3*x seisveces x = doble (triple x) fact n = if n==0 then 1 else n*fact (n-1)

107 Definición de funciones Definición de funciones Ejemplos: Parámetros formales doble x = x + x triple x = 3 * x Funciones primitivas

108 Definición de funciones Definición de funciones Ejemplos: Parámetros formales doble x = x+x triple x = 3*x seisveces x = doble (triple x) Otras funciones de usuario

109 Definición de funciones Definición de funciones Ejemplos: Parámetros formales doble x = x+x triple x = 3*x seisveces x = doble (triple x) fact n = if n==0 then 1 else n*fact (n-1) Recursividad

110 Definición de funciones Definición de funciones Parámetros formales y guardas Una función f se describe mediante ecuaciones de la forma: f x 1 x k c = r donde c es una expresión booleana

111 Definición de funciones Definición de funciones Parámetros formales y guardas Ejemplos: fact n n==0 = 1 n>0 = n*fact (n-1) sign x x<0 = neg x==0 = cero x>0 = pos

112 Definición de funciones Definición de funciones Parámetros formales y guardas Ejemplos: fact n n==0 = 1 n>0 = n*fact (n-1) sign x x<0 = neg x==0 = cero x>0 = pos Guardas

113 Definición de funciones Definición de funciones Ajuste de patrones Una función f se describe mediante ecuaciones de la forma: f p 1 p k = r Los patrones p 1,..., p k son términos constituidos por constructores de datos y variables

114 Definición de funciones Definición de funciones Ejemplos: Ajuste de patrones length [] = 0 length (x:xs) = 1+length xs data Nat = Cero S Nat first Cero _ = [] first (S n) (x:xs) = x:(first n xs)

115 Definición de funciones Definición de funciones Ejemplos: Ajuste de patrones length [] = 0 length (x:xs) = 1+length xs data Nat = Cero S Nat Patrones first Cero _ = [] first (S n) (x:xs) = x:(first n xs) Patrones

116 Definición de funciones Definición de funciones Ajuste de patrones Una expresión e se ajusta a un patrón p (pattern matching) si e puede verse como una concreción de p (dando ciertos valores a las variables libres de p)

117 Definición de funciones Definición de funciones Ajuste de patrones Ejemplo: la expresión S (S Cero) se ajusta al patrón S x pero no al patrón Cero S (S Cero) S x {x := S Cero} S (S Cero) X Cero

118 Definición de funciones Definición de funciones Ajuste de patrones El ajuste de patrones permite clasificar datos y explorar / recuperar subestructuras de los mismos

119 Definición de funciones Definición de funciones Distinción de casos Una función f se describe mediante ecuaciones de la forma: f p 1 p k = case x of q 1 -> e 1... q n -> e n Donde p 1 p k, q 1 q n son patrones, x es una variable y e 1 e n expresiones

120 Ejemplo: Definición de funciones Definición de funciones Distinción de casos length xs = case xs of [ ] -> 0 (y:ys) -> 1+length ys

121 Definición de funciones Definición de funciones Cláusulas where Una función f se describe mediante ecuaciones de la forma: f p 1 p k = e where l 1 = r 1... l n = r n Donde l 1 l n son patrones o partes izquierdas de definiciones de función, y r 1 r n son expresiones

122 Ejemplo: Definición de funciones Definición de funciones Cláusulas where raicesec2 a b c = ((-b+d)/a,(-b-d)/a ) where d = sqrt(b^2-4*a*c) a = 2*a

123 Orden superior Orden superior Funciones como ciudadanos de primera clase En programación funcional, las funciones son ciudadanos de primera clase (first class citizens):

124 Orden superior Orden superior Funciones como ciudadanos de primera clase En programación funcional, las funciones son ciudadanos de primera clase (first class citizens): Pueden ser pasadas, como argumentos, a otras funciones

125 Orden superior Orden superior Funciones como ciudadanos de primera clase En programación funcional, las funciones son ciudadanos de primera clase (first class citizens): Pueden ser pasadas, como argumentos, a otras funciones Pueden ser devueltas como resultado de una llamada a función

126 Orden superior Orden superior Funciones como ciudadanos de primera clase Ejemplos: map aplica una función f a cada elemento de una lista map f [] = [] map f (x:xs) = (f x):map f xs add x y = x+y add2 = add 2 aplicación parcial add2 añade 2 al número que se le pasa como argumento

127 Orden superior Orden superior Currificación A cada función (sobre k-tuplas) f: D 1 D 2 D k E le corresponde una función f C : D 1 (D 2 ( (D k E) ) que a cada valor de D 1 le asocia una función de k-1 argumentos (y viceversa) f C es la versión currificada de f

128 Ejemplo: Orden superior Orden superior Currificación map :: (a -> b) -> [a] -> [b] if :: Bool -> a -> a -> a + :: Num a => a -> a -> a

129 Orden superior Orden superior Currificación El operador -> es asociativo por la derecha a -> b -> c equivale a a -> (b -> c) y difiere de (a -> b) -> c El operador de aplicación (a veces denotado es asociativo por la izquierda f a b equivale a (f a) b y difiere de f (a b)

130 Currificación En programación funcional ésto facilita la aplicación parcial de una función: si f :: a -> b -> c Entonces, si e::a, escribir f e tiene sentido pleno: se trata de una función f e :: b -> c Orden superior Orden superior

131 Sección Orden superior Orden superior Currificación Ejemplo: la expresión map add2 [1,2] es válida en un lenguaje como Haskell, y sería equivalente a map (add 2) [1,2] o incluso map (+ 2) [1,2]

132 Desarrollo 1. Tipos 2. Tipos básicos y tipos numéricos 3. Tipos algebraicos 4. Tipos funcionales: orden superior, definición de funciones 5. Listas y árboles 6. Tipos abstractos de datos

133 Bibliografía [Car97] L. Cardelli. Type Systems. [PE93] R. Plasmeijer and M. van Eekelen. Functional Programming and Parallel Graph Rewriting. Addison- Wesley, Reading, MA, 1993 [Rea93] C. Reade. Elements of Functional Programming. Addison-Wesley, Reading, MA, 1993

134 λ :=