Medidas en el espacio-tiempo: Observaciones

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1 50 Capítulo V Medidas en el espacio-tiempo: Observaciones Actualmente, es decir a z = 0, la densidad de radiación (correspondiente a la radiación del fondo cósmica) es muy inferior a la densidad de materia: Ω R << Ω M por lo que podemos despreciar esta útima y los dos únicos parámetros relevantes son Ω M y Ω Λ. Así podemos representar el espacio de parametros en un plano Ω M -Ω Λ (ver la Figura V.1). Esto es una buena aproximación para z < La línea Ω Λ + Ω M = 1 corresponde al universo plano. Mientras que la línea Ω T = 2Ω Λ separa el universo acelerado, q 0 < 0, del desacelerado, q 0 > 0. En las últimas decadas, los cosmólogos han centrado sus esfuerzos en buscar indicadores que puedan ayudar a acotar estos parámetros. A medida que se ha logrado reducir los errores, la busqueda se ha amplidado a la otros parámetros, como la ecuación de estado w p/ρ de la energíoscura. V.1 Indicadores de Edad Existen varios métodos para medir la edad de las estrellas mas viejas (eg diagrama HR y función de luminosidad de enanas blancas). La abundancia química y la radioactividad de elementos también son indicadores de una edad que es compatible con las edades cosmológicas. Los límites inferiores a la edad del Universo (por ejemplo de cúmulos de estrellas) descartan los valores altos de Ω M cuando Ω Λ es pequeña o negativa (ver la Figura V.1), esto es debido a que predicen una edad del universo t 0 pequeña, como ocurria en el caso de EdS en Eq.[IV.26]. V.2 Indicadores de distancia La idea es encontrar, mediamte relaciones empíricas, candelas estandares que nos relacionen propiedades observacionales (como magnitud aparente o velocidad de rotación) con alguna propiedad física (como luminosidad o distancia). Veamos algunos ejemplos. Figura V.1: Espacio de parametros Ω Λ como función de Ω M. V.2.1 Estrellas cefeidas y RR Lyrae Al terminar sus reservas de hidrogeno ciertas estrellas gigantes y supergigantes (como Polaris, la estrella del polo norte) se vuelven inestables y emiten radiación pulsante. Las variables Cefeidas tienen periodos de entre 2 y 50 dias, mientras que las estrellas RR Lyrae tienen periodos del orden de un dia. Su brillo varia un factor dos entre máximo y mínimo. Existe una 49

2 Apuntes de Cosmología E. Gazta~naga relación entre el periodo de la pulsación y la luminosidad. Las estrellas RR Lyrae tienen una luminosidad mas bien constante, mientras que la luminosidad de las estrellas Cefeidas aumenta con el periodo P (en dias): M V log 10 (P ) (V.1) donde M V es la magnitud absoluta en el filtro V. En ambos casos es posible utilizar estas estrellas como candelas estandares para medir distancias a partir de la relación distancia luminosidad Eq.[IV.15]. Una vez calibradas, con distancias conocidas, basta medir el periodo y la luminosidad aparente m para encontrar la distancia d L. Hay dos tipos de estrellas cefeidas, llamadas Cefeidas tipo I y Cefeidas tipo II. Estas últimas residen en zonas con pocos metales y son más viejas y menos luminosas que las primeras. 1 V.2.2 Relación Tully-Fisher Es una relación empírica entre el ancho W de la linea de emisión de 21-cm hidrógeno y lamagnitud absoluta M (y por tanto luminosidad) en galaxias espirales: M log W (V.2) Aunque los detalles de la calibración dependen del tipo espectral: Sa, Sb o Sc. Para galaxias Sb: M B = 10.2 log 10 (V ) (V.3) donde M B es la magnitud absoluta en la banda B y V la velocidad en km/s. Cuanto mayor es la masa, y por tanto luminosidad L, mayor es la velocidad de rotación, y por tanto el ancho de la linea. La medida de W se hace en la parte plana de la curva de rotación (ver V.3.4). V.2.5 Figura V.2: Relación m(z) para supernovas SNIa tomadas como candelas estandares. Supernovas Ia Las magnitudes aparentes de las supernovas SNIa, si se asumen como candelas estandares con magnitud absoluta M, siguen la ley Eq.[IV.15] y Eq.[IV.37]: V.2.3 Relación Faber-Jackson Equivalente a Tully-Fisher para galaxias ellípticas L V σ M ( 200Km/s )4 (V.4) m(z) = M + 5 log D L (z) + 25 K(z) (V.6) La Figura V.2 muestra que las SNIa a z 0.5 son m 0.2 magnitudes más débiles que las cercanas si asumimos un modelo plano con Ω Λ 0. Al incluir un valor de Ω Λ 0.5 o mayor podemos hacer compatibles las observaciones. Ello es debido a que Ω Λ > 0 corresponde a una d L mayor y por tanto a magnitudes mas débiles. Aqui σ representa la velocidad aleatoria de estrellas en el centro de la galaxia (que se mide del efecto doppler en el espectro), ver V.3.5. V.2.4 Relación Plano fundamental Tambien conocida como relación del plano fundamental para galaxias elipticas. Es una relación empírica entre la dispersión de velocidades, un radio característico r e y el brillo superficial medio asociado I e : r e σ 1.3 Ie 0.8 (V.5) 1 Esto llevo a Hubble a estimar que el universo era más pequeño, con una constante H Km/s/Mpc, al creer que todas las cefeidas eran del tipo II, ver I.4.1. V.3 Indicadores de masa V.3.1 Función de luminosidad de galaxias Definimos Función de luminosidad de galaxias Φ(L) como el número de galaxias dn que hay en el universo por unidad de volumen dv y unidad de luminosidad dl: Φ(L) = dn dv dl (V.7) En general es una función del z, tanto por efectos evolutivos intrinsicos como por cambios en dv y dl debido a la expansión del universo y los filtros de observación.

3 Apuntes de Cosmología E. Gazta~naga Esta es función se puede medir utilizando catalogos de galaxias y su forma se ajusta a la llamada función Schecter (Schecter 1976): Φ(L)dL = Φ (L/L ) α exp L/L dl/l (V.8) donde L, Φ y α son constantes a determinar observacionalmente. El valor L nos da una luminosidad carateristica de las galaxias: las abundancia de galaxias más luminosas L > L esta suprimida exponencialmente. Si lo expresamos en términos de la magnitud Eq.[IV.12]: Φ(M)dM = 0.4ln(10)Φ (M M )(α+1) exp [ (M M )] dm, (V.9) donde M es la magnitud absoluta correspondiente a L. Por ejempo en el catálogo 2dFGRS (ver se encuentra, para magnitudes azules fotograficas (filtro b J ): M 5 log h = ± 0.07 (V.10) Φ = (1.61 ± 0.08) 10 2 h 3 Mpc 3 (V.11) α = 1.21 ± (V.12) Notar como las unidades medidas observacionales de M dependen del valor de H 0 en Eq.[I.4]. Esto es debido a que hemos necesitado utilizado la ley de Hubble d L c z/h 0 para relacionar la magnitud aparente con la magnitud absoluta. 2 Por el mismo motivo, Φ depende de h 3. Los valores anteriores corresponden a un ajuste a a la función de Schecter en el rango: 16.5 > M 5 log h > 22 (V.13) fuera de este rango, la función de luminosidad solo se conoce con grandes incertidumbres. Podemos usar esta forma analítica para calcultar la densidad total de galaxias, extrapolando a las magnitudes que son más dificiles de observar. V.3.2 Materia estelar y cociente M/L La densidad de luminosidad promedio es: ρ L =< dl dv > Φ(L)dL = Φ L Γ(2 + α) 0 (V.14) donde en la segunda igualdad hemos utilizado la función Schecter Eq.[V.8] y Γ es la función Gamma. Por ejemplo, para el caso de las galaxias del 2dFGRS: ρ L = (1.82 ± 0.17) 10 8 hl Mpc 3 donde L es la luminosidad solar. Es decir de unos 200 millones de luminosidades solares por megaparsec cúbico. Definimos < M/L > el cociente masa-luminosidad, como < M/L >= M/M L/L = M L L M (V.15) (V.16) 2 Para redshifs pequeños, z < 0.2, estos valores son independientes del modelo cosmológico, puesto que cualquier distancia radial Eq.[IV.19], reproduce la misma ley de Hubble d L c z/h 0, con independencia de los parametros cosmológicos. Figura V.3: Forma y errores típicos en la función de Luminosidad tipo función Schecter. el cociente massa-luminosidad promedio en unidades de masas y luminosodades solares. Notense que < M/L > es adimensiónal. En otras palabras, < M/L > es el número M de masa solares M necesarias para producir una luminosidad solar en una galaxia típicas (promedio). Por tanto podemos escribir la masa promedio M en función de la luminosidad promedio L: M = L < M/L > (M /L ) La densidad de materia, ρ M, en forma de estrellas visibles, que denominaremos ρ, será: que, utilizando la Eq.[V.15], resulta en: (V.17) ρ < dm dv >= ρ L < M/L > (M /L ), (V.18) ρ (1.82 ± 0.17) 10 8 < M/L > hm Mpc 3. (V.19) Por tanto, en unidades de la masa crítica Eq.[III.27]: ρ c M h 2 /Mpc 3 esta densidad se traduce a: Ω ρ ρ h 1 < M/L > (V.20) Para una galaxia típica tenemos que el cociente luminosidad/masa es, en promedio, unas 15 veces superior a nuestro Sol: < M/L > 15h, de manera que: Ω 0.01 (V.21) Es decir la densidad de materia en estrellas corresponde un 1% de la densidad crítica. Necesitariamos un cociente masa por luminosidad promedio de < M/L > 1400 para llegar a la densidad crítica.

4 Apuntes de Cosmología E. Gazta~naga 55 V.3.3 Densidad bariónica y materia oscura Las abundancia primordial de nucleos ligeros nos da, a través de la teoria de la nucleosíntesis primordial una estimación para la densidad de materia bariónica (la materia estandar formada por nucleos de la tabla periódica) en Eq.[I.10]: Ω B 0.04 (V.22) Lo cuál indica que puesto que Ω B > Ω en Eq.[V.21], una parte de la materia bariónica está en forma de materia oscura, es decir que no está en forma de estrellas brillantes. Este es el primer problema de la materia oscura: la existencia de materia bariónica oscura. Gran parte de esta materia bariónica oscura pordría estar en forma de gas interestelar e intergaláctico (incluido el gas en clusters de galaxias). Este gas se detecta en las absorciones en la linea Ly-α en los especros de quasares, el llamado bosque de Ly-alfa que traza el gas intergalactico. V.3.4 Curvas de rotación Un cuerpo atrapado en una órbita circular de radio r y con velocidad V alrededor de una masa M está sometido a una aceleración centrípeta V 2 /r que viene dada por la ley de Newton : V 2 r = GM r 2. (V.23) Esto nos permite medir la masa M en función del radio r y V (ley de Keppler): M = rv 2 G (V.24) En general si tenemos una distribucón de masa M = M(r), tendremos una curva de rotación V = V (r) como función del radio. En galaxias espirales, es posible medir (con un radio Telescopio) las curvas de rotación V = V (r) utilizando los corrimientos Doppler en la linea de emisión de 21 cm que emiten las nubes de hidrógeno neutro. 3 Este hidrógeno se distribuido a lo largo de toda la galaxia y se extienden a grandes distancias, más allá de las zonas donde es posible detectar luz visible emitida por las estrellas. así que trazan la masa dinámica más alla de la masa estelar. Estas curvas de rotación V = V (r) en las galaxias espirales indican, utilizando la ley anterior, que la masa total en una de estas galaxias podría ser 10 veces superior a la masa en las estrellas visibles. 56 r y por tanto la densidad ρ(r) r 2 y se extiende a un radio r de al menos 10 veces el radio visible de la galaxia (10 3 el volumen!). Por tanto esta masa adicional, es un enorme halo de materia oscura que rodea la galaxia y se diluye con un perfil ρ(r) r 2. En galaxias ellipticas también se encuentran evidencias de grandes halos con masas totales veces la masa en estrellas. En muchos casos los trazadores de esta materia son cúmulos globulares, galaxias satétiles o rayos-x calientes. En estos casos la masa se estima a partir del teorema del virial que relaciona la dispersión de velocidades observada en un sistema de párticulas con su masa: 2K + φ = 0 (V.25) donde K = 1/2 m i Vi 2 es la energía cinética y φ = i,j Gm i m j / r i r j es la correspondiente energía potencial. Estas observaciones indican que el cociente masa por luminosidad promedio < M/L > es unas veces superior en la materia oscura que en la materia estelar. Es decir, que: Ω m (V.26) Según lo dicho anteriormente, la materia bariónica sólo llega a un 4%, con lo cuál aparece el segundo problema con la materia oscura: parece que exite materia oscura no bariónica. La existencia de esta materia oscura no bariónica también es necesaria para explicar la formación de estructuras y observaciones de la dinámica de galaxias y cúmulos de galaxias a grandes escalas. V.4 Otros métodos Otros métodos clásicos para encontrar los parámetros cosmológicos incluyen los conteos de galaxias como funcíon de la magnitud o las densidades como función del redshift (aunque estos últimos estás sometidos a grandes incertuumbre en la evolución de las densidades co-móviles). El número de cúmulos de galaxias como funcion del redshift es otra forma de medir dv/dz, puesto que la densidad de cúmulos se puede predecir con modelos de formación de estructuras. El espectro de anisotropias c l en la temperatura de la radición cósmica de fondo (CMB) y el espectro de fluctuaciones P (k) en los catálogos de galaxias también puede usarse para obtener límites en los parámetros cosmológicos. Con el primero se puede medir la curvatura Ω k, del primer pico acustico, y la densidad de bariones Ω B h de la relación entre picos. Del segundo se puede medir la función de transferencia de CDM, que depende basicamente del producto Ω m h V.3.5 EL halo galáctico y teorema del virial Puesto que las curvas de rotación V = V (r) son planas (constantes como función de r) en las zonas externas de las galaxias espirales, la masa en Eq.[V.24] debe aumentar como M(r) 3 Esta emisión corresponde al cambio energético del spin del electrón en paralelo a spin en antiparalelo con respecto al spin del nucleo. Los fotones emitidos viajan libremente por el espacio y la atmosfera terrestre y son fácilmente detectables con radio telescopios cuya frecuencia de detección se ajusta finamente a 21 cm. Gracias a esta emisión es más fácil detectar nubes de hidrogeno neutro frio que la luz de procesos mucho más energéticos, como la de estrellas o nubes moleculares calientes.

5 Apuntes de Cosmología E. Gazta~naga 57 V.5 Problemas 1. Asumiendo que es válida la relación Eq[V.1]: a) deducir la distancia a la que se encuentra una galaxia de magnitud m V = 20.2 ± 0.2 si podemos medir que contiene un cefeida con periodicidad 84.7 ± 1.3 dias b) estimar el redshift c) Si medimos el redshift, con que precision podemos encontrar su velocidad peculiar? 2. Predecir la relación Tully-Fisher que se deberia encontrar utilizando el teorema del virial si asumimos que la masa es proporcional a la distancia. Comparar con la relación Eq.[V.3] y deducir que conclusiones se sacan sobre el brillo superficial de la galaxias. 3. Calcular el valor de L para el 2dFGRS en Eq.[V.12]. Estimar a que masa deberia corresponder esta luminosidad si Ω m = 0.25.