Conceptos Básicos sobre Modulación y Codicación de Canal en Comunicaciones Móviles

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1 Conceptos Básicos sobre Modulación y Codicación de Canal en Comunicaciones Móviles Luis Mendo Tomás Escuela Politécnica Superior Universidad Autónoma de Madrid Febrero de Introducción Este documento resume, de forma cualitativa, las ideas básicas sobre modulación y codicación de canal en sistemas de comunicaciones móviles. Para la representación de señales y secuencias se hace uso de la representación habitual mediante equivalentes paso bajo (según la cual de modo que la parte real paso bajo equivalente se corresponde con la componente en fase y la parte imaginaria con la componente en cuadratura). 2. Demodulación de una señal en presencia de ruido Sea un sistema de comunicaciones digitales, en el que se desea transmitir entre dos puntos una información, representada por una secuencia de bits. Para materializar dicha transmisión, la secuencia de bits se transforma en una forma de onda por medio del proceso de modulación. En lo sucesivo se considerarán únicamente modulaciones lineales, esto es, aquéllas en las que la correspondencia entre la secuencia de bits y la forma de onda modulada cumple el principio de superposición [1, apart. 3.3]. Las modulaciones de fase habitualmente utilizadas en comunicaciones móviles son lineales. En este tipo de modulaciones, la secuencia se divide en grupos de k bits (k 1), denominados símbolos; el valor que toma cada símbolo determina una forma de onda parcial (que por tanto contiene la información del símbolo) o pulso de símbolo, y la señal transmitida se obtiene superponiendo dichas formas de onda parciales. El número J = 2 k de posibles valores de cada símbolo se denomina alfabeto de la modulación. Cada intervalo de tiempo correspondiente a uno 1

2 de los grupos de k bits que constituyen un símbolo intervalo de señalización, y la duración de dicho intervalo es el periodo de símbolo, T S. Se dice que la modulación tiene memoria si las formas de onda parciales correspondientes a intervalos de señalización diferentes se solapan en el tiempo; por el contrario, si todas las formas de onda son nulas fuera de su intervalo correspondiente, el valor de la señal total en cada instante de tiempo sólo depende del símbolo existente en un intervalo de señalización, y la modulación es sin memoria. La señal transmitida a través del canal se recibe en presencia de ruido e interferencias. El proceso de demodulación consiste en estimar la secuencia de símbolos transmitidos a partir de la observación de la señal recibida. En general, la estrategia de demodulación óptima, entendida como aquélla que minimiza la probabilidad de error de símbolo, consiste en estimar el símbolo transmitido en cada intervalo como aquél que tiene mayor probabilidad a posteriori (criterio de Máximo A Posteriori, o MAP), es decir, mayor probabilidad de haber sido transmitido condicionada a la señal recibida observada (véase por ejemplo [2, apart. 6.2]). Habitualmente el canal puede modelarse mediante un sistema lineal, caracterizado por su respuesta al impulso (en general variante con el tiempo). En estas condiciones, suponiendo que el ruido es aditivo, gaussiano y blanco, y que la respuesta al impulso del canal es conocida por el receptor, el proceso de demodulación se puede llevar a cabo en dos pasos [1, caps. 4 y 6]: 1. Calcular, para cada intervalo de señalización n, J variables de decisión U j [n], j = 1..., J, dadas por U j [n] = 1 (n+1)ts +τ máx Re r(t)v T n(t) j dt, (1) S nt S donde r(t) es la señal recibida paso bajo equivalente; τ máx una cota superior (máximo retardo) de la memoria introducida por la dispersión temporal del canal y, en su caso, por la modulación (por ejemplo, debido a conformación espectral de los pulsos); y vn(t) j denota la señal esperada o patrón correspondiente al símbolo j en el intervalo n, esto es, la señal que se recibiría en ausencia de ruido e interferencias si se transmitiera únicamente la forma de onda parcial correspondiente al símbolo j de la modulación durante el n-ésimo intervalo de señalización. 2. Estimar la secuencia de símbolos transmitidos a partir de las J secuencias de variables de decisión (J variables por cada intervalo). La separación del proceso de demodulación en las dos etapas indicadas es posible porque las variables de decisión constituyen un conjunto de estadísticos sucientes para la demodulación [3]; esto es, las variables de decisión contienen toda la información relevante acerca de la señal recibida. 2

3 Obtención de las variables de decisión De acuerdo con la expresión (1), la variable U j [n] es la correlación de la señal recibida r(t) con la forma de onda esperada o patrón vn(t), j y por tanto puede obtenerse mediante un correlador o un ltro adaptado a ésta. Obsérvese que en general, debido a la dispersión temporal o/y la memoria de la modulación, vn(t) j toma valores no nulos en un intervalo de tiempo de duración T S + τ máx T S, es decir, la longitud del pulso de símbolo recibido puede ser mayor que el intervalo de señalización. En el caso de que el número D de dimensiones de la modulación sea inferior al número de símbolos J, es decir, si las J posibles formas de onda parciales en un intervalo pueden expresarse como combinación lineal de D formas de onda básicas, las variables U j [n] pueden calcularse a partir de las salidas de un conjunto de D J ltros adaptados. Así, en el caso particular de modulación BPSK, las dos variables de decisión toman valores opuestos, por lo que es suciente considerar una variable de decisión, U[n] = 1 (n+1)ts +τ máx Re r(t)v n (t) dt, (2) T S nt S siendo v n (t) el patrón correspondiente a la transmisión de un bit 1 en el n- ésimo intervalo de señalización. Para la modulación QPSK son sucientes dos correladores, para las componentes en fase y en cuadratura respectivamente. Estimación a partir de las variables de decisión El proceso de estimación óptima de la secuencia de símbolos (o bits) a partir de las variables de decisión puede llevarse a cabo de manera eciente utilizando el algoritmo de Viterbi 1 [4]. Dicho algoritmo se basa en el hecho de que la memoria existente en dicha secuencia es limitada (τ máx es nito). En el caso particular de que la modulación no tenga memoria (τ máx = 0) la estimación del símbolos en cada intervalo n es independiente de los demás intervalos, y se basa únicamente en la observación de las J variables de decisión correspondientes a ese intervalo. En caso contrario debe recurrirse al algoritmo mencionado, o bien pueden utilizarse métodos subóptimos de estimación basados en el uso de ecualizadores. 3. Demodulación de una señal en presencia de ruido y de otras señales Hasta ahora se ha tratado la demodulación de una señal recibida en presencia de ruido. En sistemas de comunicaciones móviles, sin embargo, coexisten señales asociadas a comunicaciones de usuarios distintos, y se plantea el 1 Este algoritmo es un método general de estimación, con un campo de aplicación más amplio, que incluye la decodicación convolucional y la detección multiusuario. 3

4 problema de la demodulación óptima de dichas señales. En sistemas FDMA o TDMA las señales son ortogonales, y por tanto no intereren, de modo que la demodulación de cada una de ellas puede tratarse como si fuera una señal única. En CDMA, sin embargo, no existe esa separación, y por tanto para de demodular una señal debe tenerse en cuenta el efecto de las demás. En general, en un entorno multiusuario, en el que se reciben varias señales mutuamente interferentes de usuarios distintos, la estrategia de demodulación óptima se basa en el siguiente procedimiento: 1. Calcular para cada uno de los usuarios del sistema un conjunto de variables de decisión análogo a las utilizadas en el caso monousuario. Este conjunto de variables puede obtenerse mediante un banco de ltros adaptados (receptores Rake en canales multitrayecto) a cada una de las formas de onda esperadas. 2. Estimar las secuencias de símbolos de los usuarios deseados a partir de las secuencias de las variables de decisión obtenidas en el paso anterior. De nuevo, la separación en dos etapas es posible porque las secuencias de variables de decisión constituyen un conjunto de estadísticos sucientes para la demodulación [5, cap. 4.2]. La característica fundamental en el caso multiusuario es que la demodulación óptima debe llevarse a cabo de manera conjunta para todos los usuarios. Esta necesidad tiene su origen en el hecho de que las secuencias de información de usuarios diferentes, condicionadas a la observación de la señal total recibida, son estadísticamente dependientes. El proceso óptimo de estimación de las secuencias de símbolos a partir de las secuencias de variables de decisión es análogo al algoritmo de Viterbi utilizado en el caso de un sólo usuario, pero su complejidad (medida como el número de operaciones necesarias por símbolo) aumenta exponencialmente con el número de usuarios. Esto limita la utilización del receptor óptimo multiusuario. Existen familias de receptores multiusuario subóptimos, que se diferencian en el tipo de procesado aplicado sobre las variables de decisión. Los algoritmos empleados en estos receptores mantienen una estrecha analogía con las técnicas de ecualización [6] [7]. 4. Codicación de canal Las técnicas de codicación (y decodicación) de canal tienen como - nalidad mejorar las prestaciones de los sistemas de transmisión digital en cuanto a probabilidad de error. En sistemas clásicos esta mejora se produce a cambio de un aumento de la anchura de banda ocupada, además de una mayor complejidad en el procesado de señal. En sistemas CDMA, en cambio, la codicación permite mejorar las prestaciones sin incremento del ancho de banda ocupado por la señal transmitida. En un sistema de comunicaciones 4

5 móviles, dicha reducción de la probabilidad de error se traduce en un aumento del número de usuarios admisibles para una calidad de servicio determinada, esto es, una mejora de capacidad del sistema. La codicación de canal se basa en realizar una transformación sobre la secuencia de bits antes de la modulación, introduciendo redundancia en dicha secuencia. Se dene la tasa del código r como la relación entre la velocidad binaria antes y después de la codicación (r < 1). A la secuencia de bits original se le denomina secuencia fuente, y a la secuencia resultante del proceso de decodicación secuencia codicada o de canal. En el receptor se debe deshacer la operación de codicación para recuperar (una estimación de) la secuencia fuente original. Clasicación Las técnicas de codicación de canal se pueden clasicar de acuerdo con dos criterios: 1. Según su utilización: Técnicas de corrección de errores (Forward Error Correction, FEC), en las que el código se utiliza para tratar de lograr una menor tasa de errores tras la decodicación. Técnicas de detección de errores, en las que sólo se detecta la existencia de errores en la señal recibida. 2. Según el tipo de código: Códigos bloque, en los que para cada bloque de k bits de fuente se genera un bloque de n > k bits codicados. La codicación en este caso es sin memoria, en el sentido de que cada bloque de bits codicados depende sólo del bloque actual de bits de fuente considerado. Códigos convolucionales, en los que k bits de fuente producen n bits codicados mediante una operación lineal con memoria: cada grupo de n bits depende, además de los k bits actuales, de los (K L 1)k anteriores, donde K L es un parámetro del código. Códigos turbo, basados en la combinación de dos códigos convolucionales que se decodican conjuntamente mediante un algoritmo iterativo. En cualquiera de los tres casos, la tasa r del código coincide con el cociente k/n. Esta tasa puede reducirse o aumentarse por medio de repetición o eliminación selectiva (puncturing) de los bits codicados. Los códigos bloque se utilizan habitualmente para detección de errores, especialmente los CRC, cuya decodicación, consistente en una división polinómica, es relativamente sencilla. En ocasiones se emplean también códigos 5

6 bloque para corrección de errores, por ejemplo los códigos Reed-Solomon. Los códigos convolucionales se utilizan siempre como correctores de errores, normalmente con k = 1, y proporcionan mejores prestaciones, en general, que los códigos bloque. Su capacidad correctora aumenta con n y con K. En CDMA es habitual la utilización de códigos convolucionales de tasa relativamente baja (entre 1/2 y 1/6). Para su decodicación puede emplearse el algoritmo de Viterbi, que proporciona de manera eciente la estimación óptima (criterio MAP) de la secuencia de bits enviados. Recientemente se han introducido en sistemas de comunicaciones móviles los códigos turbo [8], que proporcionan mejores prestaciones que la codicación convolucional. Utilización en comunicaciones móviles La modalidad de control de errores utilizada depende del tipo de servicio considerado. Por ejemplo, la transmisión de voz o videoconferencia debe producirse en tiempo real, con un retardo pequeño y constante, mientras que la probabilidad de error no es crítica; lo contrario sucede en la transmisión de datos, en la que debe asegurarse una probabilidad de error prácticamente nula, mientras que el retardo no es tan importante. Habitualmente se emplean las dos técnicas de corrección y detección combinadas de la siguiente forma: Código interno para corrección de errores, normalmente mediante códigos convolucionales. Código externo para detección de errores, mediante un código bloque. El objetivo de esta etapa es detectar los errores que el código interno no ha podido corregir. El tratamiento de los bloques o tramas detectados como incorrectos depende del tipo de servicio. En el caso de servicios poco sensibles al retardo se puede reenviar la trama, de acuerdo con un protocolo de retransmisión adecuado, mientras que en el caso de servicios en tiempo real las restricciones de retardo imposibilitan la retransmisión. La utilidad de la etapa de detección de errores en este caso reside en que las tramas detectadas como erróneas pueden descartarse y sustituirse por estimaciones o interpolaciones obtenidas a partir de las anteriores, mejorando la calidad percibida por el usuario. Decodicación La codicación en el transmisor es un proceso unívoco, en el sentido de que a cada posible secuencia fuente le corresponde una secuencia codicada, de acuerdo con una regla preestablecida que representa el proceso de codicación. La decodicación en el receptor es más compleja, ya que la señal recibida es una versión ruidosa de la transmitida. El proceso de demodulación/decodicación debe asignar a cada señal recibida la secuencia transmitida más probable (criterio MAP). En función de cómo se lleve a cabo este proceso, existen dos modalidades: 6

7 Decodicación basada en decisiones rígidas (hard decisions): el demodulador obtiene una estimación de la secuencia codicada, comparando las salidas de los ltros adaptados con un conjunto de umbrales, y a partir de ésta el decodicador de canal obtiene la secuencia fuente más probable. Decodicación mediante en decisiones ponderadas (soft decisions): el decodicador trabaja directamente con las salidas del ltro adaptado, esto es, con las variables de decisión. En este caso se le proporciona al decodicador una mayor cantidad de información, ya que no sólo obtiene la estimación de los bits de la secuencia codicada, sino una medida de la verosimilitud de cada posible estimación. La decodicación basada en decisiones ponderadas proporciona mejores prestaciones en términos de la probabilidad de error nal resultante. La contrapartida es un aumento de complejidad del decodicador, que debe trabajar con la información adicional obtenida del demodulador. Si embargo, el aumento de complejidad es pequeño en el caso de decodicación convolucional si se utiliza el algoritmo de Viterbi, por lo que esta modalidad es la habitualmente empleada. Ganancia de codicación para un código corrector de errores Se dene la ganancia de codicación para un código corrector dado y una probabilidad de error de bit de fuente determinada como la disminución en la relación señal/ruido por bit de fuente para un mismo valor de probabilidad de error de bit de fuente, respecto al caso en que no se emplea codicación de canal, y suponiendo constantes los demás parámetros del sistema (caudal binario de la fuente, densidad espectral de potencia de ruido a la entrada del receptor, tipo de canal). La ganancia de codicación mide la mejora proporcionada por el código en unas condiciones determinadas. En función del punto de trabajo del código, la ganancia de codicación puede ser más o menos elevada, llegando a ser negativa en algunos casos. El código empleado deberá elegirse de modo que proporcione una ganancia de codicación elevada en las condiciones de trabajo del sistema. Como ejemplo, la gura 1 muestra la ganancia de codicación para un código bloque BCH (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem) con n = 127 y k = 36 en un canal con ruido blanco gaussiano aditivo con modulación BPSK y decodicación rígida. En general, la introducción de codicación de canal produce dos efectos: 1. La relación señal/ruido por bit se reduce debido al aumento de velocidad binaria. Esto implica un aumento de la probabilidad de error para los bits de canal (obsérvese que sólo en el caso de decisiones rígidas tiene sentido hablar de probabilidad de error de canal). 7

8 (b) (a) (c) E b /N 0 (db) (a) Probabilidad de error sin código de canal (b) Probabilidad de error de canal con código (c) Probabilidad de error de fuente con código Figura 1: Ejemplo de codicación de canal 2. El proceso de decodicación proporciona una mejora en términos de probabilidad de error respecto a la que tendría la señal codicada. La ganancia de codicación (en db) será positiva cuando el segundo efecto supere al primero. El código sólo es útil en la zona en la que esto ocurre. Para relaciones señal ruido E B /N 0 (de fuente) menores que un cierto valor la ganancia de codicación es negativa. En la gura 1 se observan los dos efectos mencionados, junto con las zonas útil y no útil. Entrelazado La mayoría de los códigos correctores conocidos son adecuados para canales sin memoria, cuyos efectos sobre intervalos de símbolo distintos en el canal son independientes. Sin embargo, los desvanecimientos típicos en entornos móviles introducen memoria en el canal. Se han investigado algunos códigos aplicables a canales con memoria, pero suele ser más conveniente transformar el canal en uno sin memoria y utilizar un código para canales sin memoria. La forma de eliminar la memoria del canal es entrelazar (desordenar) los bits en transmisión y desentrelazarlos (reordenarlos) en recepción, independizando así la acción del canal sobre los símbolos de la señal transmitida. Habitualmente se utilizan técnicas de entrelazado bloque, consistentes en escribir los símbolos que se van a transmitir en una matriz por columnas y leerlos por las. En el receptor se lleva a cabo la operación inversa, con lo cual los símbolos quedan en su orden original y los efectos destructivos del canal se distribuyen en el tiempo. La profundidad de entrelazado es un parámetro característico de este proceso, que mide la capacidad de aleatorizar los efectos del canal. Cuanto mayor sea la profundidad de entrelazado mayor será la 8

9 capacidad del proceso de entrelazado para eliminar le memoria del canal. Sin embargo, las técnicas de entrelazado introducen un retardo de procesado en transmisión y en recepción, que limita la profundidad de entrelazado en función del retardo máximo admisible para cada servicio. Referencias [1] J. G. Proakis, Digital Communications, 2nd ed. McGraw-Hill, [2] N. Abramson, Teoría de la Información y Codicación, sexta ed. Paraninfo, [3] G. D. Forney, Jr., Maximum-likelihood sequence estimation of digital sequences in the presence of intersymbol interference, IEEE Transactions on Information Theory, vol. 18, no. 3, pp , Mayo [4], The Viterbi algorithm, Proceedings of the IEEE, vol. 61, no. 3, pp , Marzo [5] S. Verdú, Multiuser Detection. Cambridge University Press, [6] A. Duel-Hallen, J. Holtzman, and Z. Zvonar, Multiuser detection for CDMA systems, IEEE Communications Magazine, Septiembre [7] S. Moshavi, Multi-user detection for DS-CDMA communications, IEEE Communications Magazine, Octubre [8] C. Berrou, The ten-year-old turbo codes are entering into service, IEEE Communications Magazine, pp , Agosto