Evaluación Experimental de Controladores de Posición en un Motor de CD sin Escobillas

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1 Evaluación Experimental de Controladores de Posición en un Motor de CD sin Escobillas F. Salas, R. Campa y V. Santibáñez División de Estudios de Posgrado e Investigación Instituto Tecnológico de la Laguna Blvd. Revolución y Cuauhtémoc, Torreón, Coah., 27, México recampa@itlalaguna.edu.mx, fax: (871) Resumen En este trabajo se estudian los llamados motores de CD sin escobillas, que son ampliamente utilizados en sistemas de control de posición de sistemas mecánicos. Un motor de este tipo requiere de un propulsor (drive), que puede ser configurado en diferentes modos de operación, según la señal de entrada que maneje y el tipo de controladores internos que utilice. Primero se da una explicación breve de los modos de operación más comunes; luego, se hace un análisis de cuatro estructuras simples de control de posición que pueden ser implantadas en estos motores. Finalmente, se hace una comparación experimental de estos controladores en un motor de CD sin escobillas comercial. Palabras clave: Motor de CD sin escobillas, control de posición, controlador PID, evaluación experimental. I. INTRODUCCIÓN Los motores de CD sin escobillas (o motores BLDC por sus iniciales en inglés: brushless DC) se utilizan ampliamente como actuadores de sistemas electromecánicos que requieren tareas de control de movimiento de alta precisión. Algunas aplicaciones típicas son en brazos robóticos (Kawasaki, 21; Mitsubishi, 22), transportadoras y sistemas de posicionamiento industriales (Oriental, 27). También son usados en laboratorios de investigación de control y mecatrónica (Reyes y Kelly, 1997; Dawson et al., 1998). Los motores BLDC son realmente motores síncronos trifásicos de imán permanente. Su nombre se debe a que su respuesta en estado estacionario es muy similar a la de un motor de CD con escobillas (Krause et al., 22). Para funcionar, un motor BLDC requiere un propulsor (drive), manejado electrónicamente, que genere las señales trifásicas necesarias para alimentarlo. El propulsor puede incluir hasta cuatro etapas, tal como se muestra en la figura 1: un inversor de voltaje, un controlador de par, un controlador de velocidad y un controlador de posición (Krause et al., 22; Compumotor, 1997; Danaher, 24). Estos últimos forman un esquema de control jerárquico, en el que hay varios lazos de control anidados. En la mayoría de los casos es posible configurar el propulsor de un motor BLDC de manera que su señal de entrada (un voltaje) corresponda a la referencia deseada de posición, velocidad o par (q d, ω d ó τ d, respectivamente, en la figura). Así, existen tres modos de operación, indicados por los rectángulos con líneas discontinuas en la figura 1: modo posición, modo velocidad y modo par. Cuando se usan motores BLDC, el objetivo de control de la posición del rotor puede lograrse de varias formas. La más simple es configurar el motor directamente en modo posición; la desventaja de esto es que generalmente no es posible modificar el controlador de posición empleado, o sus ganancias. Otra manera es configurar el propulsor en modo velocidad e implementar un lazo externo de control de posición que genere la referencia de velocidad deseada. Finalmente, se puede configurar el propulsor en modo par y diseñar un controlador de posición que genere la consigna de par requerida. Uno de los controladores de posición mas conocidos es el proporcional integral derivativo (PID); pero aunque es muy simple, este controlador puede ser implementado de diferentes maneras. Por ejemplo, en (Kelly y Moreno, 21) se comparan las estructuras de un controlador PID basado en un lazo proporcional integral (PI) de posición más una retroalimentación de velocidad, con otro controlador PID basado en un lazo PI de velocidad y un lazo proporcional (P) de posición. El objetivo del presente estudio es comparar de manera experimental algunos esquemas de control de posición tipo PID, entre ellos los estudiados en (Kelly y Moreno, 21), cuando son aplicados a un motor BLDC, usando un propulsor configurado ya sea en modo par o en modo velocidad. El motor utilizado es el DM14C, de Parker Compumotor (Compumotor, 1997), con el que se cuenta en el Laboratorio de Control del Instituto Tecnológico de la Laguna. Se pretende que los resultados puedan servir como referencia para la aplicación de dichos esquemas de control de motores. II. MODELO DEL MOTORPROPULSOR Como se señala en (Campa et al, 25), el modelo del motor BLDC puede ser dividido en su parte mecánica y eléctrica. Si q, q y q son, respectivamente, la posición, velocidad y aceleración angular del rotor con respecto al estator, entonces el modelo mecánico del motor BLDC sin carga es, simplemente: J q + f( q) = τ (1)

2 Figura 1. Diagrama esquemático de un sistema propulsormotor BLDC. donde J es la inercia del rotor, τ es el par externo aplicado al motor y f( q) es una función que representa el par debido a la fricción mecánica, que juega un papel muy importante en este tipo de motores. Para fines de este trabajo se considera el modelo de fricción de Dahl más viscosa, dado por (González, 2): f( q) = σ z + f v q (2) ż = q σ f c q z (3) donde f v, f c y σ son los coeficientes de fricción viscosa, de Coulomb y de Dahl, respectivamente. La variable z es un estado interno (no medible) de este modelo de fricción. En cuanto al modelo eléctrico, se considera el presentado en (Dawson et al., 1998), en el que se usa la llamada transformación de Park (Krause et al., 22): v q cos (φ) cos ( ) φ 2π 2 3 cos ( ) φ + 2π ) 3 ) v a = v d v o 3 sin (φ) sin ( φ 2π 3 sin ( φ + 2π v b v c (4) para simplificar el modelo, convirtiendo los voltajes de fase {v a, v b, v c }, que son la entrada al motor, en los voltajes transformados {v q, v d, v o }. El ángulo φ representa el desplazamiento eléctrico del rotor, dado por φ = n p q, donde n p es el número de pares de polos del imán permanente en el motor. El modelo así transformado, resulta ser: L q d i q dt + Ri q = v q n p (L d i d + λ m ) q, (5) L d d i d dt + Ri d = v d + n p L q i q q, (6) d i o L o dt + Ri o = v o (7) donde {i q, i d, i o } son las corrientes transformadas, obtenidas a partir de {i a, i b, i c } usando una transformación similar a (4); R es la resistencia de fase de los devanados del rotor; λ m es una constante que representa el enlace de flujo magnético debido al imán permanente; L q, L d, L o son las llamadas inductancias síncronas del motor, obtenidas al tranformar las inductancias propias y mutuas de los devanados del rotor. Se puede demostrar que si el sistema trifásico es balanceado, entonces v o =, i o =, y el modelo eléctrico se reduce a las ecuaciones (5) y (6). Por otra parte, la relación entre el modelo eléctrico y el modelo mecánico (1) se da a través de la ecuación del par eléctrico, que debe ser igual al par mecánico, y está dado por: τ = n p (λ m i q + [L d L q ] i q i d ) (8) Como se menciona en (Krause et al., 22), en la mayoría de los motores BLDC las inductancias síncronas L q y L d tienen valores muy similares. Si se considera L q = L d, entonces, de (8): τ = k τ i q (9) donde k τ = n p λ m. Respecto al modelo del propulsor, éste depende del tipo de inversor utilizado, aunque siempre es posible considerar la fuente de voltaje del inversor como una fuente ideal (Krause et al., 22), lo que lleva a que, aplicando la transformación de Park, se puede considerar que las entradas del motor son v q, v d y v o, que satisfacen: v q v d v o = k o v s (1) donde k o es un factor que depende del tipo de inversor y v s es el voltaje de entrada al mismo. Como se explica en (Parker, 1998) el controlador de par es típicamente un controlador proporcional (P), por lo que se puede escribir: v s = k d (τ d τ) (11) donde k d es la ganancia proporcional de par y τ corresponde a (9). La figura 2 muestra gráficamente el modelo simplificado dado por las ecuaciones (1), (4)-(7) y (9)-(11). Debajo de los bloques de la figura se indica el número de ecuación correspondiente. El controlador de velocidad del propulsor normalmente se puede seleccionar como uno de los siguientes: Controlador P de velocidad: Controlador PI de velocidad: τ d = k vo ω (12) τ d = k vp ω + k vi ξ (13) ξ = t ω(t)dt (14)

3 Figura 2. Modelo transformado del motor BLDC y propulsor en modo par. donde ω = ω d q (15) es el error de velocidad. Para fines de este trabajo, no se considera el modelo del controlador de posición del propulsor. III. ESQUEMAS DE CONTROL DE POSICIÓN En esta sección se describen cuatro esquemas de control de posición que pueden implementarse en un motor BLDC. El primero es el controlador PID tradicional que entrega un par deseado para el controlador interno del propulsor (modo par). Los otros tres son controladores jerárquicos que tienen un lazo interno de control de velocidad y un lazo externo de control de posición, por lo que pueden implementarse usando el propulsor en modo velocidad. Se consideran los siguientes casos: III-A. PI de velocidad + P de posición (PI-P). P de velocidad + PI de posición (P-PI). P de velocidad + P de posición (P-P). Control PID La figura 3 muestra el diagrama de bloques de un control PID tradicional, como el analizado en (Kelly y Moreno, 21), que consta de un lazo PI de posición, más una retroalimentación de velocidad. La ley de control es τ d = k p q + k i η k v q (16) η = t q(t)dt (17) donde q es el error de posición, definido por q = q d q. (18) Nótese también que si q d es constante entonces la derivada de (18) queda q = q (19) y el último término de (16) se puede escribir como +k v q. III-B. Control PI-P La figura 4 muestra el diagrama de bloques de un control P de posición más un lazo interno PI de velocidad. Es similar el estudiado en (Kelly y Moreno, 21), para el caso de regulación. Este esquema también es llamado PIV por algunos autores (Kaiser, 26). La ley de control para este controlador se obtiene a partir de las ecuaciones (13), (14) y (15) para el lazo interno de velocidad y ω d = k po q (2) para el lazo externo de posición, donde el error de posición q es el mismo definido en (18). Ahora bien, combinando (15) y (2) se tiene que y ξ = t que se puede reescribir como ω = k po q q (21) (k po q(t) q(t)) dt, ξ = k po η + q (22) usando (17) y (19). Finalmente, sustituyendo (21) y (22) en (13), la ley de control para el controlador PI-P, puede escribirse donde: τ d = k p q + k i η k v q k p = k po k vp + k vi, (23) k i = k po k vi, (24) k v = k vp. (25) que tiene la misma forma que (16) del control PID, por lo que se concluye que ambos esquemas son equivalentes. III-C. Control P-PI La figura 5 muestra el diagrama de bloques de este controlador. El lazo de control de velocidad ahora es proporcional, y está dado por las ecuaciones (12) y (15); el lazo de control de posición es PI y, siguiendo la notación usada hasta ahora, quedaría como: ω d = k pp q + k pi η (26) donde η es definida en (17). Sustituyendo (26) en (12) y (15) queda τ d = k vo (k pp q + k pi η q) de manera que se tiene nuevamente un controlador PID de la forma (16), pero ahora con k p = k pp k vo, (27) k i = k pi k vo, (28) k v = k vo. (29)

4 Figura 3. Control PID de posición. Figura 4. Control PI de velocidad, P de posición. Figura 5. Control P de velocidad, PI de posición. III-D. Control P-P La figura 6 muestra el diagrama de bloques de este controlador, formado por un controlador P de velocidad y un controlador P de posición. En la figura se observa también un bloque que permite implementar una compensación del par de fricción f( q), por ejemplo usando (2) (3). La ley de control en este caso está dada por las ecuaciones (12) y (15) para el control de velocidad, mientras que el control proporcional de posición, con la compensación de fricción es: ω d = k po q + 1 k vo f( q). (3) Sustituyendo (3) en (12) y (15) se llega a τ = k po k vo q k vo q + f( q) (31) Nótese que en este caso no se obtuvo la estructura de un PID. Más bien se trata de un controlador PD con compensación de fricción. IV. ESTIMACION DE LAS GANANCIAS INTERNAS Como parte de este trabajo se obtuvo un método práctico para estimar las ganancias internas del propulsor, es decir k vo, k vp y k vi, que en el caso del motor utilizado eran desconocidas. Además, el método permite la sintonía de las ganancias externas de manera de obtener respuestas similares con los esquemas PID, PI-P y P-PI. El método parte del hecho de que, aunque los controladores PID, PI-P y P-PI se implementan de modo diferente, tienen una estructura equivalente (PID). Así, mediante una selección adecuada de las ganancias, debe ser posible obtener respuestas de posición muy similares en los tres casos. En el momento en que estas respuestas sean iguales (idealmente), las ecuaciones (23)-(25) y (27)-(29) se satisfacen. En otras palabras, estas ecuaciones se pueden ver como un conjunto de restricciones sobre las ganancias, que hacen que no sean completamente independientes entre sí. El procedimiento utilizado para estimar las ganancias internas y sintonizar las externas para obtener respuestas similares, es el siguiente: 1. Se configura el propulsor en modo velocidad y se implementa el esquema PI-P. Así se selecciona una ganancia k po que permita obtener una respuesta de posición aceptable. 2. Posteriormente, se configura el propulsor en modo par, y se implementa el control PID. En este caso, considerando que deben satisfacer (23)-(25), las ganancias proporcional, integral y derivativa se pueden ajustar en términos de k vi y k vp, que actúan como parámetros libres (k po ya es conocida). Hay que seleccionar entonces k vi y k vp hasta obtener una respuesta del motor lo mas parecida posible a la del paso 1.

5 Figura 6. Control P de velocidad, P de posición, con compensación de fricción. 3. Nótese que como resultado del paso anterior no sólo se logra una estimación de las ganancias del PI de velocidad interno (k vi, k vp ), sino que además se obtienen los valores de las ganancias del PID en modo par correspondientes (k p, k v, k i ), mediante (23)-(25). 4. Finalmente, tomando los valores de k p, k v y k i encontrados, es posible usar (27)-(29) para determinar k vo, k pp y k pi. V. RESULTADOS EXPERIMENTALES Con el fin de comparar el desempeño de los diferentes controladores presentados en la sección III, así como validar el procedimiento descrito en la sección IV, se hicieron experimentos en un motor BLDC, modelo DM14C de Parker Compumotor (Compumotor, 1997). Los parámetros eléctricos y mecánicos del modelo de este motor fueron obtenidos en (Campa et al, 25). Además, según las especificaciones del fabricante, este motor puede aceptar pares máximos de 4 Nm y velocidades máximas de 2.5 revs (7.85 rads). Para el controlador PID se configuró el propulsor en modo par; para los controladores PI-P, P-PI y P-P se utilizó la configuración en modo velocidad. Los lazos externos de posición se implementaron en una computadora personal empleando el paquete WinMechLab, que permite ejecutar algoritmos de control en tiempo real bajo el sistema operativo MS-Windows (Campa et al, 24). La adquisición de datos se hizo a través de una tarjeta MultiQ-PCI de Quanser Consulting, a una tasa de muestreo de 1 Hz. Siguiendo el procedimiento descrito en la sección anterior, se determinó que las ganancias de los controladores internos de velocidad del motor usado son: k vo = k vp = 1.9 [Nmsrad] y k vi =.95 [Nmrad]. Para todos los experimentos se fijó la misma tarea de control de regulación: llevar el rotor del motor desde su posición inicial en reposo (q = ), en t =, hasta una posición deseada q d = 6 (1.5 rad), sin sobreimpulso. V-A. Controladores PID, PI-P y P-PI. Para el controlador PI-P se usó una ganancia externa k po = 5 [1s]. Para el controlador P-PI se consideraron k pp = 5.49 [1s] y k pi = 2.49 [1s 2 ]. Estas ganancias satisfacen las ecuaciones (23)-(25) y (27)-(29), si se toman las ganancias del PID como k p = 1.45 [Nmrad], k v = 1.9 [Nm srad] y k i = 4.75 [Nmrad s]. La figura 7 muestra las gráficas del error de posición ( q = q d q) obtenidas usando los tres controladores PID analizados. Es interesante observar la gran similitud entre las gráficas a pesar de que los tres esquemas son implementados de manera diferente. 1.4 q ~ [rad].6 PID PI-P P-PI Figura 7. Errores de posición (controladores tipo PID). La gráfica de la figura 8 representa el par aplicado al motor (en Newtons-metro) usando el controlador PID en modo par. Se observa un transitorio con variaciones de alta frecuencia y un valor final de aproximadamente 1.2 Nm, después de 4 segundos. Ambos comportamientos son atribuibles a la fricción estática del motor, que en (Campa et al, 25) se estimó en 1.35 Nm. Por otra parte, la figura 9 muestra las respuestas obtenidas con los controladores PI-P y P-PI, respectivamente. Ambas representan por tanto las consignas de velocidad deseada (en rads) aplicadas al propulsor, configurado en modo velocidad. Se observa en ambos casos una respuesta suave, aunque es notable el caso del controlador P-PI, en el que se aprecia una consigna de velocidad en estado estacionario que es diferente de cero (.74 rad, aproximadamente), aunque el motor ya está en reposo. Esto nuevamente es atribuible a fricción estática, que impide alcanzar la posición (y velocidad) deseada. V-B. Controlador PD con compensación de fricción. Aunque este no es un controlador del tipo PID, con el fin de hacer una comparación mas acertada con los resultados obtenidos con los otros esquemas, se decidió utilizar la misma ganancia del controlador externo, es decir k po = 5 [1s]. Se hicieron experimentos para los siguientes casos: A. Sin compensación de fricción: f( q) = B. Con compensación de fricción de Dahl: (2)-(3).

6 4 τ d[nm] 7. ω d [rads] 3. B Figura 8. Acción de control PID. A Figura 11. Acciones de control P-P (casos A y B) ω [rads] d PI-P P-PI Figura 9. Acciones de control P-PI y PI-P. La figura 1 muestra los errores obtenidos en cada uno de los casos. Se observa que cuando no se tiene compensación de fricción se tiene un error en estado estacionario grande, lo cual era de esperarse debido a que se trata de un controlador PD (ver ecuación (31)). 1.4 q ~ [rad].6 A B Figura 1. Errores de posición (controlador P-P). La figura 11 muestra las acciones de control generadas en cada uno de los casos. Se observa que cuando se tiene compensación de fricción de Dahl (2)-(3), aparecen oscilaciones en la velocidad deseada debido a la variación del estado interno z, sin embargo, el motor no presenta ningun movimiento perceptible. VI. CONCLUSIONES Se ha presentado un estudio de diferentes esquemas de control de posición que se pueden implementar en motores del tipo CD sin escobillas, configurando su propulsor ya sea en modo par o en modo velocidad. Además, se ha aprovechado el hecho de que estos esquemas tienen estructuras equivalentes a las de un PID, para poder estimar los valores de las ganancias de los controladores de velocidad internos del propulsor. Al final, se ha hecho una serie de experimentos para mostrar el desempeño de estos controladores en un motor real. VII. AGRADECIMIENTOS Trabajo financiado parcialmente por DGEST y CONA- CyT (proyecto 623). REFERENCIAS Campa, R., E. Torres, V. Santibáñez y R. Vargas (25). Electromechanical dynamics characterization of a brushless direct-drive servomotor. Memorias VII Congreso Mexicano de Robótica, México, D. F. Campa, R., R. Kelly y V. Santibáñez (24). Windows-based real-time control of direct-drive mechanisms: platform description and experiments. Mechatronics, vol. 14, pp Compumotor Manual (1997). DD Servo Actuator DM Series Small- Diameter and Flat Model. Parker Corp., USA. Danaher Motion (24) Digital Servoamplifier SERVOSTAR R 3. Danaher Motion, Germany. Dawson, D., J. Hu y T. C. Burg (1998). Nonlinear Control of Electric Machinery. Marcel Dekker. González, E. (2). Modelos de fricción con aplicación al control de mecanismos. Tesis de Maestría, CICESE, Ensenada, México. Kaiser, D. (26). ServoFundamentals.pdf. Kawasaki Robotics (21). C Series Controller Electrical Maintenance Manual MPECCON118E-4. Kawasaki Robotics USA. Kelly, R., J. Moreno (21). Learning PID structures in an introductory course of automatic control. IEEE Transactions on Education, vol. 44, pp Krause, P. C., O. Wasynczuk, y S. D. Sudhoff (22). Analysis of Electric Machinery and Drive Systems. Wiley-Interscience, New York. Mitsubishi Heavy Industries, Ltd. (22). General Purpose Robot PA1 Series, Instruction Manual for Servo Driver. Oriental Motors (27). ac-dc-speed-motorsindex.htm. Parker Automation (1998). Compumotor s Virtual Classroom, CD-ROM, Compumotor s catalog. Reyes, F. y R. Kelly (1997). Experimental evaluation of identification schemes on a direct drive robot. Robotica, vol. 15, pp