ITESM Campus Monterrey

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1 TESM Campus Monterrey Programa de Graduados en ngeniería - Maestría en ngeniería Eléctrica Factor de cresta, valor rms, distorsión armónica y factor K Dr. Armando Llamas, Profesor del Departamento de ngeniería Eléctrica, 4-Oct.-96 En la literatura correspondiente a armónicas en sistemas de potencia es frecuente encontrar los siguientes términos: factor de cresta, valor rms verdadero, distorsión armónica y espectro normalizado. En este artículo se presentan las definiciones de tales términos y se determinan los valores mencionados utilizando un ejemplo de corriente con distorsión. Factor de cresta, la relación del valor pico (cresta) al valor rms de una forma de onda periódica []. La ecuación () representa tal definición, valor pico f. c.= valor rms Debido a que el valor rms de una senoidal es el valor pico entre es. (), el factor de cresta de una senoidal El valor promedio de una forma de onda periódica es el área bajo la curva de la onda en un período T, entre el tiempo del período. Matemáticamente se escribe como F prom área bajo la curva T = = T f ( período en segundos t ) dt () siendo F prom el valor promedio de la forma de onda []. El valor promedio de una senoidal es cero, el valor promedio de una senoidal rectificada es π V p, siendo V p el valor pico de la senoidal. El valor efectivo o valor rms de una función periódica es la raíz cuadrada del valor promedio de la función al cuadrado, matemáticamente esto es T Frms = promedio de f ( t) = f t dt T ( ) () siendo F rms el valor rms de la forma de onda []. El valor rms de una senoidal es el valor pico entre. El valor rms de una función formada por componentes senoidales de frecuencia distinta está dado por la raíz cuadrada de los cuadrados de los valores rms de dicas componentes [], esto es, el valor rms de ( ω ) ( ω ) ( ω ) i( t) = sin t + sin t + sin t está dado por rms = + +, si las frecuencias angulares ω, ω y ω son distintas.

2 Corriente con distorsión armónica. La corriente descrita en esta sección es similar a la que demandan tres computadoras y sus monitores cuando se les aplica un voltaje senoidal de V rms, 6 Hz [4]. Esta corriente se utilizará en algunos ejemplos. Está dada por la siguiente ecuación: ( ) ( ) ( ω t) ( ω t) ( ω t) i( ω t) = sin ω t. sin ω t sin 5 7. sin sin 9 (4) Las gráficas de la corriente total, la fundamental y las armónicas se muestran a continuación: corriente (A) Fundamental Tercera Séptima corriente (A) 9 6 Resultante Novena -6-9 Quinta grados eléctricos grados eléctricos (a) Componentes armónicas (b) Componentes armónicas y resultante Figura. Descomposición de corriente con distorsión En la Figura a) se muestran la fundamental y las armónicas, en la Figura b) aparece además la resultante. El valor pico de la resultante es A y el valor promedio de la rectificación de onda completa es.5 A. Ejemplo. Empleando los datos de la corriente anterior determinaremos, el factor de cresta, el valor promedio y el valor rms. El factor de cresta está dado por valor pico f. c. = = =. 86 valor rms El valor promedio de la corriente del ejemplo es cero pues es simétrica alrededor del eje de tiempo. En la tabla siguiente aparecen los valores pico, los valores rms y los valores rms al cuadrado de las componentes (la fundamental y las armónicas) pico, rms, ( rms,) La suma del cuadrado de los valores rms es 9. y la raíz cuadrada de este valor es. Así pues el valor rms es A rms. Valor rms verdadero. Algunos instrumentos indican el valor rms sin importar la forma de la onda, por lo general aparece la leyenda true rms en dicos instrumentos.

3 Valor rms en base al promedio de la senoidal rectificada. Algunos instrumentos rectifican una señal proporcional a la cantidad a medir y miden directamente el valor promedio de dica señal. La escala no indica el valor promedio sino el valor rms que corresponde a una senoidal. Se a visto que el valor rms de una senoidal es el valor pico entre, matemáticamente pico rms = y que el valor promedio de una senoidal con rectificación de onda completa está dada por prom = π pico (5), (6) sustituyendo pico de (6) en (5), tenemos que el valor rms en función del valor promedio está dado por rms π = prom (7) Si la corriente es senoidal estos amperímetros miden apropiadamente el valor rms de la misma, en caso contrario la indicación puede ser errónea. Ejemplo. Un amperímetro de valor efectivo verdadero indicaría A rms con la corriente del ejemplo anterior, mientras que un amperímetro que de valor rms en base al promedio de la senoidal rectificada π indicaría, rms = 5. = 667. A rms, (el valor promedio de la senoidal con rectificación de onda es completa es.5 A), la razón de la lectura del amperímetro en base al promedio a la lectura verdadera es Debido a que el amperímetro que emplea valor promedio fue diseñado para una corriente senoidal el valor que este determina es erróneo, mientras que el de valor efectivo verdadero da una lectura verdadera. Distorsión armónica total. Total Harmonic Distortion (THD). También se le conoce como factor armónico o factor de distorsión [5]. Es la relación del valor rms de la distorsión al valor rms de la fundamental. Debido a que la fundamental no contribuye a la distorsión, el valor efectivo de la distorsión es la raíz de la suma de los cuadrados de los valores rms de las armónicas, de la segunda en adelante. Matemáticamente, valor rms de la distorsión THD = = valor rms de la fundamental L+ max (8) Al incluir el valor rms de la fundamental,, dentro del radical se obtiene THD = max L max = (9) el cociente es el valor rms de la armónica dividido por el valor rms de la fundamental, este cociente está en por unidad, también se puede decir que a sido normalizado tomando como base el valor rms fundamental. Este grupo de cocientes forman el espectro normalizado.

4 Ejemplo. Empleando los datos de la corriente con distorsión de este artículo, tenemos la siguiente tabla: pico, rms, ( rms,) ( rms,) / {( rms,) / } La distorsión armónica se puede obtener sumando los cuadrados de los valores rms que aparecen subrayados en el renglón cuarto de la tabla anterior, 4.87, y elevando este resultado a la / obtenemos el valor rms de la distorsión,.7 A rms de distorsión, el THD es. 7 = 84. = 8. 4%.. 6 El THD también se puede obtener empleando los cuadrados de dico renglón, = 84. = 8. 4%. El penúltimo renglón de la tabla es el espectro normalizado de la corriente, se tiene p.u. o % de fundamental,.8 p.u. o 8.% de tercera,.68 p.u. o 6.8 % de quinta, etc. Factor K. El factor K indica la capacidad de un transformador para alimentar cargas no senoidales sin sobrecalentarse []. El factor K está dado por la siguiente expresión: max K = es el valor efectivo de la corriente armónica, en pu del valor efectivo de la corriente nominal. El factor K de una corriente de carga se puede obtener con la misma ecuación y con en pu de corriente total. Si se tienen los datos de las corrientes armónicas en pu de fundamental, el factor K se puede calcular mediante la siguiente expresión: K = max es el valor efectivo de la corriente fundamental en A rms, es el valor efectivo de la corriente en A rms, e es el valor efectivo de la corriente armónica, en pu de corriente fundamental. Ejemplo 4. Empleando los datos de la corriente con distorsión de este artículo, tenemos la siguiente tabla: en A rms

5 / en pu { / } { / } Sumando los valores del último renglón y multiplicando por la relación al cuadrado de corriente fundamental a corriente total, obtenemos K = max = = 8. Corriente nominal con factor K = da lugar a pérdidas nominales por corrientes circulantes, P ec,r, corriente nominal con la distorsión del ejemplo daría lugar a.8 P ec,r. En transformadores secos las pérdidas por corrientes circulantes en el devanado de baja tensión resultan en puntos calientes en ese devanado. Si se emplea un transformador seco con factor K = para alimentar corrientes con distorsión como la del ejemplo es obvio que en esos puntos calientes la temperatura se puede elevar en forma peligrosa. Conclusiones. Se an presentado las siguientes cuatro formas de cuantificar la distorsión armónica: a. factor de cresta, fc valor pico = valor rms b. relación de valor rms en base a valor promedio c. distorsión armónica total valor rms en base a promedio senoidal rectificada valor rms verdadero valor rms de la distorsión THD = = valor rms de la fundamental L+ 5 max es el valor efectivo de la corriente fundamental en A rms, e es el valor rms de la armónica d. factor K K = max es el valor efectivo de la corriente fundamental en A rms, es el valor efectivo de la corriente en A rms, e es el valor efectivo de la corriente armónica, en pu de corriente fundamental. No es posible decidir cuál es más util, ya que tienen distintos propósitos, por ejemplo el factor de cresta es una especificación de los medidores true rms, mientras que el factor K es una especificación de transformadores secos. Es importante entender y utilizar en forma apropiada los cuatro. 5

6 Bibliografía [] EEE Std -99, EEE Recommended Practice for Powering and Grounding Sensitive Electronic Equipment (Emerald Book). [] Stanley Wolf and Ricard F.M. Smit, Guía para mediciones eléctricas y prácticas de laboratorio, Prentice Hall, 99, SBN [] William H. Hayt, Jr. Jack E. Kemmerly, Análisis de circuitos en ingeniería, McGraw-Hill, 99, SBN [4] A. Llamas, Qué son las armónicas?, TESM Campus Monterrey. [5] EEE Std 59-99, EEE Recommended Practices and Requirements for Harmonic Control in Electrical Power Systems, April 99. 6