La siguiente tabla presenta las medidas en radianes y en grados de varios ángulos frecuentes, junto con los valores de seno, coseno, y tangente.

Transcripción

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4 Solución. En el primer cuadrante: En el segundo cuadrante: En el tercer cuadrante: En el cuarto cuadrante: cos θ 0, sin θ 0 tan θ 0 cos θ 0, sin θ 0 tan θ 0 cos θ 0, sin θ 0 tan θ 0 cos θ 0, sin θ 0 tan θ 0 π Problema 3. Calcular cos θ, tan θ, cot θ, sin 2θ si sin θ =4/5, 2 <θ<π. Problema 4. Determinar el valor sin π 12 Indicación. En el problema 2 es necesario aplicar la fórmula sin 2 θ = 1 2 (1 cos 2θ). Resolución de ecuaciones trigonométricas. En el apartado anterior vimos las técnicas para evaluar funciones trigonométricas. En este apartado estudiaremos el problema inverso: dado el valor de la función trigonométrica, determinar el valor del ángulo. Ejemplo. Resolver la ecuación trigonométrica cos 2θ =2 3 sin θ, 0 θ 2π Solución. Aplicando la fórmula sin 2 θ = 1 2 (1 cos 2θ), se obtiene el siguiente polinomio en sin θ : 2 sin 2 θ 3 sin θ +1=0 cuyas raíces son sin θ =1, sin θ =1/2 considerando que 0 θ 2π finalmente deducimos que los ángulos que satisfacen la ecuación dada son respectivamente θ = π 6, θ = 5π 6, θ = π 2. La siguiente tabla presenta las medidas en radianes y en grados de varios ángulos frecuentes, junto con los valores de seno, coseno, y tangente. 4

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6 La construcción de las gráficas de cos x y cot x se realiza en forma análoga. De este método de construcción de las gráficas de las funciones trigonométricas se deducen sus propiedades fundamentales: a) En primer lugar notemos que las funciones trigonométricas son periódicas, es decir existe un número real T : tal que f(x + T )=f(x). cos(α +2π) = cos(α) sin(α +2π) = sin(α) tan(α + π) = tan(α) cot(α + π) = cot(α) (1) b) Problema 7. cos( α) = cos( α) sin( α = sin(α) tan( α) = tan(α) cot( α) = cot(α) Construir las gráficas de las funciones y = A sin(ωx + a) y = A cos(ωx + a) y = A tan(ωx + a) y = A cot(ωx + a) donde A, ω, a son constantes reales que se denominan amplitud, frecuencia y desfase respectivamente. La solución se obtiene a partir del problema 6 aplicando los tipos básicos de transformaciones: Sea y = f(x) gráfica original. Entonces y = f(x c) es una traslación horizontal de c unidades a la derecha. y = f(x) c es una traslación vertical de c unidades hacia abajo. y = f(x)+c es una traslación vertical de c unidades hacia arriba. y = f(x) 6

7 Es una reflexión en el eje x. Problema 8. Determinar el período (T) de las funciones dadas en la fórmula (1). Solución. sin(ωx + a), T = 2π ω cos(ωx + a), tan(ωx + a), cot(ωx + a), T = 2π ω T = π ω T = π ω Problemas 9. Determinar en qué cuadrante está θ : cos θ>0, cos θ<0, sin θ>0, sin θ>0, Problemas 10. Evaluar las funciones trigonométricas sin usar la calculadora. θ =0, θ = π 3, θ = π, θ = π 2 Problemas 11. Un ingeniero desea saber el ancho de un río. Desde el punto A camina 100 metros y mira al punto C observando un ángulo θ =50grados. Qué anchura tiene el río.? 4. Una persona de 6 pies de altura está a 12 pies de una farola y su sombra tiene 8 pies de largo. A que altura está la farola? Problemas 12 La temperatura media diaria (Fahrenheit) en cierta ciudad viene dada por 2π(t 32) T =45 23 cos( ) 365 donde t es el tiempo en días, con t = 1 correspondiente al 1 de enero. Hallar la temperatura media los días: a) 1 de enero, b)4 de julio (t=185), c)18 de octubre (t=291). d) Cuál es la temteratura máxima, mínima en la ciudad?. En qué días se alcanzan estas temperaturas.? d) En que hemisferio se encuentra la ciudad? Problemas 13. viene descrito por Tras hacer ejercicio unos minutos, el ciclo respiratorio de una persona ν = sin(880πt) a) Determinar el tiempo que dura un ciclo completo. 7

8 b) Hallar el número de ciclos por minuto. c) Dibujar la gráfica de la función. FUNCIÓN LOGARITMO (ln). Contenido Definición de la función logaritmo. Propiedades de la función logaritmo natural. Propiedades de los logaritmos Gráfica de la función logaritmo log(ax). Estudiar el caso cuando a>1 y 0 <a<1. Solución de ecuaciones logarítmicas. Definición de logaritmo Logaritmo del real positivo b en base es la potencia a la cual es necesario elevar la base a para obtener el real b, es decir a log a b = b, a > 0, a 1, b > 0 Si a = e entonces el logaritmo se llama logaritmo natural El logaritmo natural fue introducida por J. Napier ( ) y frecuentemente se denomina logaritmo neperiano. Propiedades de los logaritmos Si a y b son números reales positivos, entonces las propiedades siguientes son ciertas ln 1 = 0, ln(ab) =lna +lnb, Problemas 14. Sabiendo que ln a =lna ln b, b k ln a =lna k, k R ln 2 0, 6931, ln 3 1, 0986 Calcular ln 6, ln 81, ln 24, ln 2, ln Aplicando las propiedades de los logaritmos simplifique las expre- Problemas 15. siones siguientes. ln(a 2) + ln(a +2) 3lna +5lnb 2lnc 3 2 ln(a2 1) ln(a 1) ln(a +1) donde a, b, c son números reales positivos. Definición de función logaritmo natural 8

9 La función logaritmo natural es ln x = x 1 1 t dt, x > 0 Definición de función logaritmo en base a Si a es un número real positivo (a 1)yx es un número real positivo cualquiera, entonces f(x) = log a x = ln x ln a se denomina función logarítmica en base a. De esta definición fácilmente deducimos que d log a x dx = 1 x ln a De esta definición se deduce que ln x esta definido para todos los x>0 y es positivo para x>1 y negativo para 0 < x < 1. Además podemos observar que ln1 =0. Para construir la gráfica del ln x se utiliza el hecho que d ln x dx = 1 x por lo tanto la función es creciente para todos los x>0. Resumiendo, las propiedades de la función logaritmo son las siguientes: 1. El dominio es (0, + ) 2. El recorrido es (, + ) 3. La función es continua, creciente y biyectiva. 4. La gráfica tiene concavidad negativa ( concava hacia abajo ). Problemas 16. Determinar el dominio de las siguientes funciones Problemas 17. ln(x 1), ln(1 x) ln(9 x 2 ), ln(9 + x 2 ) ln x +2 x 1 Conociendo la gráfica de y = lnx, determinar lagráficas de y = ln(x +1) y = ln(x 1) y =2lnx y = 1+lnx y =1+lnx Solución. Es necesario aplicar las transformaciones básicas. 9

10 Solución de ecuaciones logarítmicas. Problemas 17. Resolver las ecuaciones: 1. ln x = 2 ln 6 2ln3 2. log 5 x = log log Solución de la ecuación 1. Aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemos ln x =ln 36 9 ln x 4 =0 x 4 =1 x =4 10