REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA NÚCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO PROGRAMA DE INGENIERÍA UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO I

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1 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA NÚCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO PROGRAMA DE INGENIERÍA UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO I FUNCIONES Instructivo de trabajo Autor: Ing. Roger J. Chirinos S., MSc. Ciudad Ojeda, Noviembre de 2010

2 2 FUNCIÓN Una función de un conjunto A en un conjunto B, es una regla o relación que asigna un único elemento y del conjunto B a cada elemento x del conjunto A o Dominio y. Se escribe Dominio y Rango El conjunto A se denomina dominio de f. El conjunto de todos los valores f(x) en R B, es decir f(x) tq x A, se denomina Rango o imagen de f. Se dirá que x es la variable independiente e y es la variable dependiente. SIMETRÍA DE FUNCIONES La simetría permite tener una idea general de la gráfica de una función, así que es preciso considerar algunos aspectos importantes, que ayudará en el trazado de las gráficas: a) Simetría respecto a un punto. Dos puntos A, B son simétricos a un tercer punto O, si este punto O es el punto medio del segmento AB b) Simetría respecto a una recta. Dos puntos A, B son simétricos respecto a una recta l, si la recta l es perpendicular al segmento AB en su punto medio Criterio de simetría La gráfica de una función es: a) Simetría respecto al eje x si y solo si al sustituir y por y, se obtiene una ecuación equivalente b) Simetría respecto al eje y si y solo si al sustituir x por x, se obtiene una ecuación equivalente c) Simetría respecto al origen si y solo si al sustituir x por x y simultáneamente y por y, se obtiene una ecuación equivalente Función Par Una función f(x) se denomina par, cuando la imagen de cualquier elemento x del dominio es igual a la imagen de su elemento opuesto de x. De otra forma se dice que f(x) es par si para toda x en el dominio de f,. La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y. Ejemplo La función f(x) = x es par ya que para cualquier valor de x se cumple ( x) = (x) Por ejemplo: f( 2) = ( 2) = = 5 = = f(2).

3 3 Función Impar Una función f(x) se denomina impar, cuando la imagen de cualquier elemento x del dominio es igual al opuesto de la imagen del elemento opuesto de x. De otra forma se dice que f(x) es impar si para toda x en el dominio de f,. La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas. Ejemplo: la función es impar: En este caso la función no está definida en el punto x=0 ESTUDIO DETALLADO DE ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES 1. Función afín. Se define como función afín a toda expresión de la forma donde m, b R Representación Gráfica La representación gráfica de una función afín en el plano real es una línea recta, por esta razón, la función afín también es llamada función lineal. El dominio y el rango de la función f es el conjunto de todos los números reales. Pendiente de la recta Toda recta forma un ángulo con el semi-eje x positivo medido en sentido antihorario, la medida de dicho ángulo está comprendida entre 0 y 180, es decir Este ángulo recibe el nombre de Inclinación de la recta y la pendiente de la recta, se denota por m, dada por la tangente de dicho ángulo así: En función de la pendiente, se puede considerar los siguientes casos: a) Si m=0 la recta es horizontal, siendo =0 b) Si m 0 la recta estará inclinada hacia la derecha 0 90 c) Si m 0 la recta estará inclinada hacia la izquierda d) Si m no está definida o equivalente no existe la recta. Será vertical en este caso, no se cumple la definición de función, ya que a un elemento de x del dominio son asignadas infinitas imágenes de y del rango. Puntos de corte con los ejes coordenados i. Corte con el eje y: Haciendo x=0, se obtiene que la recta corta el eje y en el punto donde y vale b (y=b) ii. Corte con el eje x: Al hacer y=0, la recta cortará el eje x en

4 4 2. Función Cuadrática. Se define como función cuadrática a toda expresión de la forma, donde a,b,c R y a 0 Representación gráfica La representación gráfica de la función cuadrática en el plano real, es una curva llamada parábola. El dominio de f es el conjunto de los números reales. El rango de la función, se estudiará en términos del valor de a i. Si a 0, el Rg: [ ii. Si a 0, Rg: ] Siendo D el discrimínate de la ecuación cuadrática Corte con los ejes coordenados i. Con el eje y: Haciendo x=0, se obtiene que la parábola corta al eje y en el punto donde y vale c (y=c) ii. Con el eje x: Los cortes con el eje x, se analizan en función del discrimínate a) Si D 0 la parábola corta al eje x en dos puntos, los cuales se calcula mediante la expresión : expresión: b) Si D = 0 la parábola corta al eje x en un solo punto, el cual se calcula mediante la c) Si D 0 la parábola no corta al eje x Vértice de la parábola El vértice de la parábola se halla mediante la fórmula: ( ) Este vértice de la parábola será máximo (todos los puntos de la parábola están por debajo de él) si el valor de a es negativo (a 0) por el contrario, será mínimo (todos los puntos de la parábola están por encima de él) si el valor de a es positivo (a 0) 3. Función Exponencial. La función exponencial se expresa mediante una ecuación de la forma, donde b es un número real positivo, diferente de la unidad y la función f(x) está definida para todos los valores reales de x. Donde b es una constante llamada base y el exponente x es una variable El dominio de f, es el conjunto de todos los números reales

5 5 El rango de f, es el conjunto de los números reales positivos b toma solamente valores positivos para evitar números complejos como Gráficas de la función exponencial Función exponencial de base e Para fines de introducción, las base 2 y ½ son elecciones convenientes; sin embargo, cierto número irracional, designado como e, es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial, tanto para fines teóricos como prácticos. De hecho, f(x) = e x se menciona con frecuencia como la función exponencial, debido a su amplio uso y su gráfico se representa seguidamente.

6 6 4. Función logarítmica. en la cual la base b es un número real positivo diferente a la unidad. Esta función está definida para valores mayores que cero x 0. En general, se define la función logarítmica con base b como la inversa de la función exponencial de base b (b 0, b 1). Definición de la función logarítmica: para b 0, b 1, es equivalente a (El logaritmo base b de x es la potencia que se debe elevar b para obtener x) es equivalente a es equivalente a a este logaritmo se le conoce como logaritmo Neperiano y se denota por Ln en honor a su descubridor John Neper ( ) El dominio de una función logarítmica será el conjunto de los números reales positivos y su rango el conjunto de todos los números reales Gráfica de la función logarítmica

7 7 Propiedades de la función logarítmica Las funciones logarítmicas tienen muchas y útiles propiedades que se deducen directamente del hecho de que son inversas de funciones exponenciales. Estas propiedades permiten convertir problemas de multiplicación en problemas de adición, los de división en problemas de resta y los que implican elevar a una potencia y extraer raíces, en multiplicaciones. Además, permiten resolver ecuaciones exponenciales tales como 2 = 10 x Propiedades: si b, M y N son números reales positivos, b 1 y p es un número real, entonces: Logaritmo en base b Logaritmo Neperiano FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y SUS GRÁFICAS 5. Función Seno. Está definida por Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales R Rango: El rango es el intervalo [ ] Discontinuidad: Es continua en todo su dominio (no hay discontinuidad) Intercepción con el eje x: Intercepta al eje x en los puntos números enteros) donde n Z (Z conjunto de los Gráfica de la función

8 8 6. Función Coseno: Está definida por Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales R Rango: El rango es el intervalo [ ] Discontinuidad: Es continua en todo su dominio (no hay discontinuidad) Intercepción con el eje x: Intercepta al eje x en los puntos donde n Z (Z conjunto de los números enteros) Gráfica de la función: 7. Función Tangente: Se define por para todos los números reales x, para los cuales. Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales R, excepto los de la forma donde n Z Rango: El rango es el conjunto de los números reales R Discontinuidad: Es discontinua en ; donde n Z Intercepción con el eje x: Intercepta al eje x en los puntos donde n Z Gráfica de la función:

9 9 8. Función Cotangente: Se define por para todos los números reales x, para los cuales. Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales R, excepto los de la forma donde n Z Rango: El rango es el conjunto de los números reales R Discontinuidad: Es discontinua en ; donde n Z Intercepción con el eje x: Intercepta al eje x en los puntos donde n Z Gráfica de la función: 9. Función Secante: Se define por para todos los números reales x, para los cuales. Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales R, excepto los de la forma ; donde n Z Rango: El rango es el conjunto de los números reales R-(-1, 1) Discontinuidad: Es discontinua en ; donde n Z Intercepción con el eje x: No intercepta al eje x 10. Función Cosecante: Se define por para todos los números reales x, para los cuales. Dominio: El dominio es el conjunto de todos los números reales R, excepto los de la forma donde n Z Rango: El rango es el conjunto de los números reales R-(-1, 1)

10 10 Discontinuidad: Es discontinua en ; donde n Z Intercepción con el eje x: No intercepta al eje x Gráfica de la función secante: Gráfica de la función Cosecante: FUNCIÓN COMPUESTA Sean f y g dos funciones, la función compuesta es otra función que se denota por y se define como donde x al dominio de g, tal que g(x) esté en el dominio de f. La composición es un proceso que se realiza en dos pasos como lo indica el esquema: