FUNCIONES FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO UNO Y CERO. Funciones de proporcionalidad directa

Transcripción

1 Funciones de ecuación: ( ) FUNCIONES = m + n ; m y n son números reales Dom = R. Es continua en su dominio. Gráica: una recta m es la pendiente de la recta La pendiente de una recta es el cociente entre lo que varía la y lo que varía la al pasar de un punto de la recta a otro de la misma. Se observa que es el coeiciente de la cuando la y está despejada. Funciones constantes FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO UNO Y CERO Funciones de proporcionalidad directa A mayor valor absoluto de m, mayor aproimación de la recta al eje de las ordenadas. Si m>0, la unción es creciente; si m<0, la unción es decreciente. y y1 d m = = ; y1 = ( 1 ), y = ( ) d 1 1 Dos rectas con la misma pendiente son paralelas. Funciones lineales con m y n distintos de cero y = n ; n es un número real m=0 y=0 es la ecuación del eje de las abscisas OX La gráica es una recta horizontal, paralela al eje de las abscisas y = m ; m es un número real distinto de cero La gráica es una recta que pasa por el origen de coordenadas: O(0,0). Las reglas de tres directas solo se pueden usar con este tipo de unciones y = m + n ; m y n son números reales distintos de cero Al número n se la llama ordenada en el origen, pues la recta pasa por (0,n) y se puede obtener sustituyendo e y por las coordenadas de un punto de la recta.

2 FUNCIONES CUADRÁTICAS (unciones polinómicas de segundo grado). Funciones de ecuación: ( ) = a + b + c ; a, b, c son números reales ; a 0 Dom = R. Es continua en su dominio. La gráica es una parábola, simétrica respecto a una recta paralela al eje OY. b b o Vértice de la parábola:, (etremo relativo y absoluto de la a a unción, si a>0 es mínimo, si a<0 es máimo) b o Eje de simetría de la parábola: la recta de ecuación = a A mayor valor absoluto de a, menor abertura de la parábola. Si a>0, la abertura de la parábola está hacia arriba (cóncava hacia arriba); si a<0, la abertura de la parábola está hacia abajo (cóncava hacia abajo). Para obtener su representación gráica elaboraremos la tabla siguiente: ( 0) y (,0) 3 1 y ( 3 ) 0 b a b a 4 0 ( 4 ), 1 son los puntos de corte de la unción con el eje de las abscisas. Si no hay dos puntos de corte, 1 y serán otros dos valores uno a la derecha y otro a la izquierda de b/(a). ( ) a ; a es un número real distinto de cero = Vértice de la parábola: (0,0) Eje de simetría de la parábola: =0 (eje de ordenadas) ( ) = a + c ; a y c números reales distintos de cero Vértice de la parábola: (0,c) Eje de simetría de la parábola: =0 (eje de ordenadas) ( ) = a + b + c ; distintos de cero a,b son números reales y = 4 y = 3 +

3 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA k Funciones de ecuación: ( ) = ; k es un número real distinto de cero La gráica es una hipérbola que tiene dos ramas y es simétrica respecto al origen de coordenadas. Dom = R { 0} ; Im = R { 0} Las rectas = 0 e y = 0 son una asíntota vertical y una horizontal respectivamente de la unción. Estas unciones son continuas en su dominio. k = ; k > 0 ( ) es decreciente en su dominio En (,0) es negativa (la gráica está por debajo del eje OX) y cóncava hacia abajo; en ( 0,+ ) es positiva ( la gráica está por encima del eje OX) y cóncava hacia arriba / -1/4 1/4 1/ 1 4 = 1/ -1/4-1/ / 1/4 ( ) / -1/4 1/4 1/ 1 4 = / -1/ / ( ) ( ) ; k < 0 = k es creciente en su dominio En (,0) es positiva en (la gráica está por encima del eje OX) y cóncava hacia arriba; en ( 0,+ ) es negativa ( la gráica está por debajo del eje OX) y cóncava hacia abajo / -1/4 1/4 1/ 1 4 = 1/ 1/4 1/ / -1/4 ( ) / -1/4 1/4 1/ 1 4 = / 1/ / ( )

4 Funciones de ecuación: ( ) Dom = R ; Im = ( 0, + ) = Esta unciones son positivas en todo su dominio. La recta y = 0 es una asíntota horizontal de estas unciones. Estas unciones son continuas en su dominio. Estas unciones son cóncavas hacia arriba. a Las gráicas de las unciones ( ) = a y ( ) Punto de corte con el eje OY: (0,1) ; FUNCIONES EXPONENCIALES a es un número positivo y distinto de1 = 1 con a positivo y distinto de cero, son simétricas la una de la otra respecto al eje de ordenadas. a k Las unciones ( ) a ; a es un número positivo y distinto de1; k esun número real distinto de cero k k =, son eponenciales pues ( ) = a = ( a ) = b ( ) = a ; a > 1 es creciente en su dominio. Es una unción de crecimiento rápido = 1/8 1/4 1/ ( ) ( ) = a ; 0 < a < 1 es decreciente en su dominio. Es una unción de decrecimiento rápido / 1/4 1/8 ( ) =

5 Funciones de ecuación: ( ) + Dom = R = ( 0, + ) ; FUNCIONES LOGARÍTMICAS = log a ; a es un número positivo y distinto de1. Im = R La recta = 0 es una asíntota vertical de estas unciones. Estas unciones son continuas en su dominio. Las unciones ( ) = log a y g( ) = a son recíprocas (inversas respecto a la composición) la una de la otra y sus respectivas gráicas don simétricas la una de la otra respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante (recta y=). Punto de corte con el eje OX: (1,0) ( ) = log ; a > 1 a es creciente en su dominio. Es una unción de crecimiento lento. es cóncava hacia abajo en todo su dominio.,1 1,+. es negativa en ( 0 ) y positiva en ( ) 1/8 1/4 1/ = log ( ) ( ) = log ; 0 < a < 1 a es decreciente en su dominio. Es una unción de decrecimiento lento es cóncava hacia arriba en todo su dominio.,1 1,+. es positiva en ( 0 ) y negativa en ( ) 1/8 1/4 1/ = log ( )

6 FUNCION SENO Función de ecuación: ( ) = sen (los valores de se toman en radianes). Dom = R La unción es continua en su dominio. La unción está acotada en su dominio. La unción es periódica de periodo π. Todo lo que ocurra en un determinado intervalo de la incluido en [ 0,π ) ocurrirá en el intervalo resultante de sumar a los etremos kπ, k número entero. A continuación haremos un estudio de la unción en [ 0,π ). Punto de corte con el eje de ordenadas ( 0,0) ; puntos de corte con el eje de las abscisas ( 0,0) y ( π,0) es positiva en ( 0,π ) ; la unción es negativa en ( π, π ). π 3π π 3π es creciente en 0,,π ; es decreciente en,. π 3π Etremos:,1 máimo relativo y absoluto;, 1 mínimo relativo y absoluto. es cóncava hacia abajo en ( 0,π ) ; es cóncava hacia arriba en ( π, π ). tiene simetría impar.

7 FUNCION COSENO Función de ecuación: ( ) = cos (los valores de se toman en radianes). Dom = R La unción es continua en su dominio. La unción está acotada en su dominio. La unción es periódica de periodo π. Todo lo que ocurra en un determinado intervalo de la incluido en [ 0,π ) ocurrirá en el intervalo resultante de sumar a los etremos kπ, k número entero. A continuación haremos un estudio de la unción en [ 0,π ). π Punto de corte con el eje de ordenadas ( 0,1) ; puntos de corte con el eje de las abscisas,0 y π 3π π 3π es positiva en 0,,π ; la unción es negativa en,. es creciente en ( π, π ); es decreciente en ( 0,π ). π, 1 mínimo relativo y absoluto. Etremos: (,1) 0 máimo relativo y absoluto; ( ) π 3π π 3π es cóncava hacia abajo en 0,,π ; es cóncava hacia arriba en,. tiene simetría par 3π,0.

8 FUNCION TANGENTE Función de ecuación: ( ) = tg (los valores de se toman en es positiva en 0, π π ; la unción es negativa en,π. radianes). π Dom = R - k ; k Z es creciente en su dominio. π La unción es continua en su dominio. La recta = es una asíntota vertical. La unción es periódica de periodo π. Todo lo que ocurra en un determinado intervalo de la incluido en [ 0,π) ocurrirá en el intervalo resultante de sumar a los etremos kπ, k número entero. A continuación haremos un estudio en [ 0,π). 0,0 ; puntos de corte con el Punto de corte con el eje de ordenadas ( ) eje de las abscisas ( 0,0). es cóncava hacia arriba en 0, π π ; es cóncava hacia abajo en,π. Punto de inleión: ( 0,0). tiene simetría impar.

9 FUNCIONES RADICALES Funciones de ecuación: y = a ± ; a, número real distinto de cero La gráica es media parábola de vértice: ( 0,0 ) (en el eje de las abscisas), Si y = a la abertura estará hacia la derecha y Dom = [ 0,+ ) ; si y A mayor valor absoluto de a, mayor abertura de la parábola. Son continuas en todo su dominio. y = a ± ; a > 0 La unción es positiva (la gráica está por encima del eje de las abscisas), Im = [ 0,+ ), ( 0,0 ) es un mínimo relativo y absoluto y la unción es cóncava hacia abajo. = a ; <0 la abertura estará hacia la izquierda y Dom = (,0]. y = a ± ; a < 0 La unción es negativa (la gráica está por debajo del eje de las abscisas), Im = (,0], ( 0,0 ) es un máimo relativo y absoluto y la unción es cóncava hacia arriba. y = a La unción es creciente. y = a La unción es decreciente. y = a La unción es decreciente. y = a La unción es creciente y = y = y = y =