Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama x e y. Viene representado por: y f (x)

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1 TEMA 9: :.- CONCEPTO DE FUNCIÓN: Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama e y. Viene representado por: y (, donde es la variable independiente e y es la variable dependiente. La unción asocia a cada valor de un único valor de y. En caso, de que para un valor de haya más de un valor de y, diremos que no es unción. Para ver el comportamiento de una unción, utilizamos su representación gráica: sobre unos ejes cartesianos, representamos las dos variables: - La sobre el eje horizontal o eje de abscisas. - La y sobre el eje vertical o eje de ordenadas. Cada punto de la gráica tiene dos coordenadas, su abscisa, y su ordenada, y..- DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN: El dominio Dom ( es el conjunto de valores de para los cuales eiste la unción. El recorrido I m o Rec ( es el conjunto de valores que toma la unción. Es decir, los valores de y para cada. A) Dominio de la unción polinómica entera: El dominio es, cualquier número real tiene imagen. 5 6 Dom( ) B) Dominio de la unción racional: El dominio es menos los valores que anulan al denominador (no puede eistir un número cuyo denominador sea cero) Dom( ), 5 6 Las soluciones de la ecuación son y C) Dominio de la unción irracional de índice impar: El dominio es. 5 6 Dom( ) 5 6 Dom( ) D) Dominio de la unción irracional de índice par: El dominio está ormado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. a) D (,] [, ), b) (,] [, ) D (, 4) ( 4,] [, ) c) D (,) (, ) 5 6 d) D [ 4,) (, ) 5 6

2 E) Dominio de la unción logarítmica: El dominio está ormado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero. log D (,) (, ) F) Dominio de la unción eponencial: El dominio es igual al dominio de la unción que aparezca en el eponente. 56 D.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: - Si corta al eje OX, es decir, si corta al eje de abscisas: y=0. Y se resuelve la ecuación. Por lo tanto los puntos tendrán la orma: P=(, 0). - Si corta al eje OY, es decir, si corta al eje de ordenadas: =0. Y se resuelve la ecuación. Por lo tanto los puntos tendrán la orma: P=(0, y). 4.- OPERACIONES CON : Para poder realizar estas operaciones, todas las unciones deben estar deinidas en el mismo intervalo. a) Función nula o cero: 0 b) Función unidad: c) Función opuesta: se epresa por: ( )( d) Función recíproca: se epresa por: (/ )( e) Producto de un número por una unción: el producto es la unción deinida por ( a )( a ) Suma de unciones: Sean y g dos unciones. Se llama suma de ambas unciones a la unción: ( g)( g( Dominio: puntos comunes del dominio de ambas D( g) D Dg g( g( D ( ) {} [0, ) D ( g) [0,) (, ) g) Resta de unciones: Se deine del mismo modo que se ha deinido la suma de unciones, como la unción: ( g)( g( Dominio: puntos comunes del dominio de ambas D( g) D Dg g( g( D ( ) {} [0, ) D ( g) [0,) (, )

3 h) Producto de unciones: Se llama unción producto a la unción: ( g)( g( Dominio: D( g) D Dg g( g( D ( ) {} [0, ) D ( g) [0,) (, ) i) Cociente de unciones Dadas dos unciones y g,, se llama unción cociente a la unción : ( / g)( / g( con g( 0 (La unción /g está deinida en todos los puntos en los que la unción g no se anula.) Dominio: ( / g) D Dg / g( 0 D Puntos comunes del dominio de ambas unciones menos los puntos que hacen 0 el denominador, en este caso la unción g(. g( / g( D ( ) {} [0, ), g( 0 D ( / g) (0,) (, ) Si las unciones están deinidas a trozos, para sumar hay que redeinirlas, es decir, poner en ambas unciones los mismos intervalos de deinición: ( ) { ( ) { Redeinimos: ( ) ( ) { { ( )( ) { ( )( ) ( )( ) {

4 5.- COMPOSICIÓN DE : Dadas dos unciones reales, se llama composición de las unciones a la unción deinida, por g g La unción se lee «compuesto con g aplicado a». º actúa la unción y después actúa la unción g, sobre (. Sean las unciones: y g ( 5 g g ( g( ) g g( FUNCIÓN INVERSA: Se llama unción inversa de a otra unción que cumple que: Si ( a) b, entonces ( b) a Podemos observar que: - El dominio de es el recorrido de. - El recorrido de es el dominio de. *** Si queremos hallar el recorrido de una unción tenemos que hallar el dominio de su unción inversa. *** Hay que distinguir entre la unción inversa, (, y la inversa de una unción o recíproca. Cálculo de la unción inversa a) Se escribe la ecuación de la unción con e y. b) Se despeja la variable en unción de la variable y. c) Se intercambian las variables. EJEMPLO : Calcular la unción inversa de: y ( y( ) y y y y ( y ) y 7 0 Vamos a comprobar el resultado para = () 7 (7) 5 y y 7.- DEFINIDAS A TROZOS: Son unciones deinidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. si si 4 Dom( ) Re c ( ) Es interesante estudiar el comportamiento de la unción en los valores de próimos a aquellos en los que cambia la epresión que deine.

5 8.- PROPIEDADES DE LAS : A) CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO: La tasa de variación de una unción es el aumento o disminución que eperimenta al pasar la variable independiente de un valor a otro. TV ( ) ( ), De más utilidad resulta calcular la llamada tasa de variación media, que nos indica la variación relativa de la unción respecto a la variable independiente: TVM, ( ) ( ) Es la pendiente del segmento que une los puntos. - Si TVM [a, b]>0, decimos que la unción ( es creciente en dicho intervalo. - Si TVM [a, b]<0, decimos que la unción ( es decreciente en dicho intervalo. - Si TVM [a, b]=0, decimos que la unción ( es constante en dicho intervalo. *** El problema surge cuando la unción crece y decrece en el intervalo, este método no es el más aconsejado. Una unción es creciente cuando al aumentar la aumenta la y. Una unción es decreciente cuando al aumentar la disminuye la y. B) ACOTACIÓN: Una unción está acotada superiormente si eiste un número real k tal que para toda es ( k. El número k se llama cota superior. k=0.5 Si la menor de las cotas superiores pertenece al dominio de, la unción tendrá un máimo absoluto en dicho punto. Una unción está acotada ineriormente si eiste un número real k tal que para toda es ( k. El número k se llama cota inerior. k = Si la mayor de las cotas ineriores pertenece al dominio, la unción tiene un mínimo absoluto en dicho punto. Una unción está acotada si lo está a superior e ineriormente. C) MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS: Una unción presenta un máimo absoluto en un punto cuando es el valor más alto de su representación gráica. Una unción presenta un mínimo absoluto en un punto cuando es el valor más bajo de su representación gráica. Una unción presenta un máimo relativo en un punto cuando en dicho punto la unción pasa de creciente a decreciente. Una unción presenta un mínimo relativo en un punto cuando en dicho punto la unción pasa de decreciente a creciente.

6 D) SIMETRÍAS: - Simetría par. Simetría respecto del eje de ordenadas: Si Las unciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de unciones pares. 4 ( Simetría impar. Simetría respecto al origen. Función impar: Si ( Las unciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de unciones impares ( No simétricas: El hecho de que una unción no sea par, no signiica que sea impar, hay ininidad de unciones que no son pares ni impares. 4 es simétrica respecto a su eje de simetría, pero no es ni par ni impar. E) PERIÓDICAS: Función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama periodo. La unción ( = sen es periódica de periodo π, ya que cumple que: sen ( + π) = sen F) CURVATURA Y PUNTO DE INFLEXIÓN: La curvatura de la unción estudia la posición relativa de la unción respecto de su tangente. Se dice que una unción es cóncava (cóncava hacia abajo) si su tangente se mantiene por debajo de la unción. Se dice que una unción es convea (cóncava hacia arriba) si su tangente se mantiene por encima de la unción. Los puntos de inleión son los puntos donde cambia la curvatura de la unción: PUNTO DE INFLEXIÓN