Matemáticas 1º Bachillerato ASÍNTOTAS Colegio La Presentación

Transcripción

1 ASÍNTOTA Es una recta imaginaria que nosotros calculamos y representamos con una línea discontinua. Esta recta tiene la propiedad de que en el infinito no puede ser traspasada por la gráfica de la función, veremos al final una gráfica para que se sepa visualmente de qué hablan estas líneas. Hay tres tipos de asíntotas, el orden a seguir para calcular las asíntotas es primero las verticales, segundo las horizontales, y por último las oblicuas. Observación: veremos por la definición de asíntotas horizontales y oblicuas que son incompatibles, es decir, no puede haber horizontales y oblicuas a la vez. Así pues, si hay asíntotas horizontales, no hay oblicuas, y viceversa. Teoría 4 Ejemplo: f( ) = Ejemplo: f( ) = Asíntotas Verticales Asíntotas Verticales Asíntotas Verticales Dom( f ) = { } Dom( f ) = { ± } es A. V. = 4 4 = ; = Generalmente la asíntota vertical será, en funciones racionales, aquel valor que Entonces = es la A. V. Entonces = y = son las A. V. no está en el dominio. En un eje cartesiano trazamos En un eje cartesiano trazamos Aunque para no cometer ningún error su automáticamente una recta vertical que automáticamente dos rectas verticales que definición correcta es la de la celda de pase por el pasen, una por el, y otra por el. arriba. Posición Relativa A. V. Posición Relativa A. V. Posición Relativa A. V. 4 4 = + = + = + = 4 4 = = Se trata de saber por dónde queda la A la izquierda de la recta hacemos gráfica de la función a la izquierda y a la Hacemos las marcas de manera análoga al una marca arriba. derecha de la recta imaginaria (nuestra ejemplo anterior. A izquierda y a derecha de A la derecha de la recta hacemos una A.V.). =, e idem para = marca abajo. Asíntotas Horizontales Asíntotas Horizontales Asíntotas Horizontales = es A. H. = Generalmente saldrá sólo un valor para 4 = Entonces no tiene A. H. c, pero habrá algunos casos en los que Entonces la asíntota horizontal es la recta haya que estudiar el límite en y en. Así pues trazamos una recta por separado, porque podrán salir horizontal que pase por el valores distintos. Posición Relativa A. H. Posición Relativa A. H. Posición Relativa A. H. Realizamos la operación + ( ) = + = 0 0 = A continuación calculamos los límites que tocan: + 0 la gráfica está por encima de la = 0 asíntota. 0 la gráfica está por debajo de la = 0 asíntota.

2 En el hacemos una marca encima de la recta En el hacemos una marca debajo de la recta Asíntotas Oblicuas Asíntotas Oblicuas Asíntotas Oblicuas Eiste la A. O. y = m + n 4 = f( ) =± 4 f( ) = si m = n = f( ) m Puede no eistir la A. O., pero si eiste es porque los límites, de la celdilla anterior, los hemos podido calcular. Gráfica del ejemplo No tiene asíntotas oblicuas porque eisten asíntotas horizontales. 4 = = 0 y = + 0 y = es nuestra AO.. Ahora dibujamos la recta Posición Relativa A. O. Posición Relativa A. O. Posición Relativa A. O. Calculamos : 0 4 = 0 Y ahora hallamos el límite en + = 0 0 la gráfica está por encima de la = 0 asíntota. 0 la gráfica está por debajo de la asíntota. Esto significa que en lo más a la izquierda de la asíntota oblicua la función se queda por encima, y en lo más a la derecha de la asíntota oblicua la función se queda por debajo.

3 Gráfica del ejemplo

4 A continuación veamos ejercicios propios del nivel de º de bachillerato. Para estos es necesario el uso de la regla de L H. También cabe destacar que al ser funcione más complejas se trata de hallar los límites en el y en el, cuando estudiemos asíntotas horizontales y oblicuas. Veamos ejemplos que clarifican bastante: e + ) Estudia las asíntotas de f() = e Asíntotas Verticales: es A. V. Calculemos el dominio, para ello hemos de resolver e = 0 e = = 0, luego = 0 es nuestra candidata. e + = 0 e = 0 Esto quiere decir que a la izquierda de la recta =0 la función se va hacia, e y a la derecha de la recta =0 la función se va a +. + = =+ + 0 e + 0 Asíntotas No verticales: es A. H. e + 0+ = = Esto quiere decir que a la izquierda 0 la función = e 0 tiene la asíntota y =, a la derecha = 0 la función e + = [ Escala de infinitos] tiene la asíntota y =. e Veamos su posición relativa PR en los negativos, ( e + e + + e ) e 0 ( ) = = = = 0 e e e 0 PR en los positivos, ( e ) e + e + () 0 = = = + + e e e Luego la gráfica queda por encima de la asíntota en el. Al tener asíntotas horizontales no posee asíntotas oblicuas. Veamos su gráfica: 4

5 ) Estudia las asíntotas de f() = 5+ Asíntotas Verticales: es A. V. Calculemos el dominio, para ello hemos de resolver 0 (, ] [, + ), luego aquí NO HAY AV Asíntotas No verticales: Asíntotas horizontales es A. H. ( 5+ ) ( 5 ) = [ + I ] = = = =+ Esto quiere decir que no hay asíntotas horizontales [ ] Asíntotas oblicuas: f( ) =± f( ) Eiste la A. O. y = m + n si m = n = f( ) m La primera condición ya se verifica vamos ahora con las otras dos: De nuevo aquí, nos salen por la izquierda y por la derecha límites diferentes. Luego m = = = = tenemos dos asíntotas oblicuas distintas m = = = 8 Una con pendiente definida en los negativos. Y otra con pendiente 8 definida en los positivos. Veamos ahora la tercera condición a ver si se verifica para hallar las ordenadas en el origen de ambas AO. Y como son dos, una en los negativos y otra en los positivos, tendremos que hallar la n en más y menos infinito. n = 5 + = + = + Luego n valdrá lo mismo en las dos asíntotas. Así que n = 5+ 8 = + vamos a calcular un sólo límite ( ) [ ] n I ( + )( ) = + = + = = = = = 0 y = (, 0) los negativos Luego las asíntotas oblicuas son y = 8 ( 0, + ) los positivos Veamos ahora las posiciones relativas de la gráfica de f respecto de la asíntota. Lamentablemente en este caso, como en el anterior, hemos de estudiar las posiciones relativas para las dos asíntotas. PR en los negativos, 5 ( + )( ) ( ) [ ] + = + = + = + I = = = = = 0 5

6 PR en los positivos, ( ) [ ] 5 8 I ( + )( ) + = + = + = = = = = 0 Para finalizar este ejemplo veamos su gráfica. Observación: Para hallar las gráficas de las funciones, muy raras veces basta con el estudio de las asíntotas para esbozar la gráfica de la función. Hacen falta cosas como la monotonía y los puntos de corte. 6

7 ) Estudia las asíntotas de f() = + + Asíntotas Verticales y Horizontales: No hay. Por qué? Dom( f ) = / =,, + luego no tiene asíntotas verticales { } ( ] [ ) + + = + Luego no tiene asíntotas horizontales + + = + Asíntotas Oblicuas La primera condición ya se ha verificado La segunda condición nos calcula el m en caso de eistir, veámoslo: De nuevo aquí, nos salen por la izquierda y por la derecha límites diferentes. Luego m= = = = tenemos dos asíntotas oblicuas distintas. + + m= = = Una con pendiente definida en los negativos. Y otra con pendiente definida en los positivos. La tercera condición nos calcula la ordenada en el origen de cada una de las asíntotas. ( + ) ( + + ) n = + + ( ) = + = = = = + + ( + + ) ( ) + n = + + = = = y = (, 0) los negativos Luego en las asíntotas quedan y = + ( 0, + ) los positivos Ahora vamos a estudiar la posición relativa de la gráfica de la función respecto de las asíntotas, en los negativos y en los positivos. PR en los negativos, = + = = = = PR en los positivos, = = = =

8 Veamos la gráfica como queda para comprobar que todo ha salido bien. 4) Estudia las asíntotas de f() = 8