2 = ( ) = con vértice en (0, 3) y cortes con el. Tomando la parte continua de cada una de ellas se obtiene la grafica de la función.

Transcripción

1 Septiembre. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: a si f ) Ln ) si > b) Represéntese gráficamente la función para el caso a. Nota: Ln denota al logaritmo neperiano del número. si b. Para representar la función f ) se tiene en cuenta que esta definida por Ln ) si > ) una epresión polinómica de grado dos f ) si eje OX en, ) y, ), y por una función logarítmica f ) Ln ) si > ),, con asíntota vertical ½. con vértice en, ) y cortes con el de dominio Tomando la parte continua de cada una de ellas se obtiene la grafica de la función. Septiembre. Ejercicio A. Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: ) ) f a) Determínense las asíntotas de f. Calcúlense los etremos relativos de f. b) Represéntese gráficamente la función f. Para la resolver el apartado a y b es conveniente operar el numerador f ) a. Asíntotas verticales. Puntos ecluidos del dominio donde el límite sea infinito.

2 ) : Lím Asíntota vertical : Lím Lím ) ) ) ) Asíntota horizontal. Lím f ) Lím Lím Lím ) ± ± ± ± ± La función no tiene asíntotas horizontales. Asíntota oblicua. y m n ) f m Lím Lím Lím Lím ± ± ± ± Lím f ) m) Lím Lím Lím ± ± ± ± Asíntota oblicua y. Etremos relativos. Puntos de la función donde la primera derivada es cero y la segunda es distinta de cero. Criterio: si la segunda derivada es positiva, es un mínimo, si es negativa es un máimo. ) ) ) ) f f ) f ) ) ) ) ) ) ) ) ) : f ) ) f ) < ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) f ) Mínimo relativo, ) Máimo relativo, ) b. Para esbozar la gráfica de la función, además de las asíntotas y los etremos relativos, es conveniente calcular los puntos de corte con los ejes. OX y ): ; ;, ) ) : ;, OY: No hace falta calcular el punto de corte porque uno de los puntos de corte con OY es el punto, ). ) ) ) > Mímimo relativo Máimo relativo f ) ),f ),f )

3 Junio. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por si f ) si > b) Represéntese gráficamente la función f. b. La función se define por epresiones polinómicas de º grado que representan parábolas. Para representar una parábola basta con calcular el vértice y los puntos de corte con los ejes. b - Vértice: v a yv f v ) - Cortes con OX: y, se resuelve la ecuación - Corte con OY:, es el término independiente del polinomio, c). Primero se representan ambas epresiones y a continuación se representa la función f). y y Vértice : Vértice :, ) OX :, ) ;, ) OY :, ),) OX :, ) ;, ) OY :, ) Teniendo en cuenta los intervalos donde están definidas cada una de las epresiones, la gráfica de la función es: Septiembre. Ejercicio A. Puntuación máima: puntos) Se considera la fundón real de variable real definida por: ) ) f. a) Determínense las asíntotas de f. Calcúlense los etremos relativos de f. b) Represéntese gráficamente la función f. a. Verticales: En los puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la forma [ f ) ] R D La función no tiene asíntotas verticales. k. L Horizontales: y L: Lím ± Lím ± ) ± ± ) Lím ± Asíntota horizontal y. ± ) Posición relativa.

4 ) ) ) f L Lím Lím Lím Lím ± ± ± ± Lím : La función se aproima a la asíntota por debajo. ) Lím : La función se ) aproima a la asíntota por debajo. - Oblicuas: Por tener asíntotas horizontales hacia ±, no tiene oblicua. Máimos y mínimos. Puntos de la función donde la primera derivada es cero y la segunda es distinta de cero, con el criterio de que si la segunda derivada es positiva, es un mínimo, si es negativa es un máimo. ) ) ) ) ) ) ) ) ) f f ) ) ) ) ) ) ) ) f : ) ) ) ) ) f ) ) ) ) f < ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) : : ± ) Si y : ) ) Si y > En, ) la función tiene un mínimo En, ) la función tiene un máimo. ) ) ) ), ), ) b. Para esbozar la gráfica de la función, además de la información obtenida en el apartado a, es conveniente calcular los puntos de corte de la función con los ejes. ) Eje OX y ): : :., ) : ) Eje OY ): ) y :, ) Marcando sobre unos ejes la información obtenida:

5 Con la información sobre la gráfica, se traza la gráfica de la función. Junio. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: a si f ) b si > b) Para a, b, represéntese gráficamente la función f. si b. f ) si > y Hipérbola equilátera, con asíntota horizontal y ; asíntota vertical y. y Parábola de eje vertical desplazada verticalmente hacia abajo y deformada. Vértice,, cortes con OX:,) ;,) Por último, para dibujar la gráfica de la función es conveniente calcular los valores que toman ambas epresiones en el punto frontera. ) ; ) ) f f 5

6 Modelo. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) Una empresa produce cable de fibra óptica que vende a un precio de euros el metro. Se estima que la venta diaria de cable en miles de metros) se epresa en términos del precio mediante la función: 6 f ) b) Calcular el precio que ha de fijarse para que el ingreso diario sea máimo y calcular dicho ingreso máimo. c) Determinar las asíntotas de I) y esbozar su gráfica. b. Se pide calcular el punto de máimo de la función de ingresos. El máimo se localiza en los puntos donde la primera derivada se anula y la segunda es negativa. ) ) 6 6 I 6 I ) I ) ) 6 ± ) ) ) ) ) 6 ) I ) I 6 6 : ) I ) ) 6 6 ) 6 ) ) ) 6 6 < Maimo 6 ) ) I Se obtienen unos ingresos máimos de con un precio de /m ) ) ) > Mínimo c. Asíntotas verticales: Rectas de la forma a tal que a Dominio De I). D[ I ) ] { R } R D [ I ) ] R La función I) no tiene asíntotas verticales. Asíntotas horizontales: Rectas de la forma y L tal que L Lím I ) Lím I ± ± ± La función tiene una asíntota horizontal en y. ) Lím Lím ± Asíntotas oblicuas. La función no presenta asíntota oblicua por tener asíntota horizontal Para representar la función, se tiene en cuenta que la función representa los ingresos y la variable el precio de venta de un producto, por lo tanto la eistencia de la función solo tiene sentido para valores de mayores o iguales que cero. 6

7 Septiembre. F.M. Ejercicio A. Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: f ) b) Determínese los etremos relativos de f y esbócese su gráfica. b. Una función tiene etremos relativos en los puntos donde su primera derivada sea cero y su segunda derivada sea distinta de cero, con el siguiente criterio: f a) < : Máimo Sí f a) y f a) en a, fa)) la función tiene un etremo relativo: f a) > : Mínimo f ) : 6 : ) : : f < En, f)) la función tiene un máimo local ) ) f ) f ) f > En, f)) la función tiene un mínimo local, ) Máimo, ) Mínimo. Gráfica. Cortes con los ejes: - OX y ): Mediante Ruffini se calculan las soluciones, ) ;, ) - OY ): y ;, ) Tendencia en los infinitos: Lím Lím ) ) ) ) Conocidos los puntos de corte con los ejes y los etremos relativos y tendencia en los infinitos, se esboza la gráfica de la función. las Septiembre. F.G. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: a si f ) b si < < log a si b) Para a, b, represéntese gráficamente la función f. Nota. La notación log representa al logaritmo neperiano 7

8 si b. Para a, b : f ) si < < log si La función está definida por funciones sencillas cuyas gráficas se representan a continuación. La función f) esta formado por los trazos continuos de cada una de ellas, si los representamos sobre un mismo eje de coordenadas, se obtiene la gráfica de la función. Junio. F.M. Ejercicio A. Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: f ) a) Determínense sus asíntotas. b) Calcúlense sus máimos y mínimos locales. Esbócese la gráfica de f. a. Verticales: Puntos ecluidos del dominio donde el límite quede de la forma D [ f ) ] { R / } R { } k. : Lím Asíntota vertical. Para poder esbozar la gráfica de la función es necesario estudiar la posición de la función respecto de sus asíntotas. Posición relativa. Se estudian los límites laterales en. Lím Lím Horizontal: y L: 8

9 ± ± L Lím Lím ± ± ± ± La función no tiene asíntotas horizontales Oblicua: y m n f ) m Lím Lím Lím Lím ± ± ± ± ± n Lím f ) m) Lím Lím Lím ± ± ) ± ± ± ± Asíntota oblicua: y Posición relativa. Lím f ) m n) ) Lím ) Lím ± ± ± Lím La función se aproima a la asíntota por debajo. Lím La función se aproima a la asíntota por encima. Otra forma: Lím ) ) Lím ± Para estudiar la posición relativa sin tener que hacer límites, se puede dar valores a la función y a la oblicua. y f ) y Ob Comparación ) 999, y f < yob,... y f > y Ob Cuando, la función se acerca a la asíntota por debajo, cuando, la función se acerca a la asíntota por encima. b. Una función tiene etremos relativos en los puntos donde su primera derivada sea cero y su segunda derivada sea distinta de cero, con el siguiente criterio: f a) < : Máimo Sí f a) y f a) en a, fa)) la función tiene un etremo relativo: f a) > : Mínimo ) ) f ) ) 9

10 f f ) ) : ) f : : ) ) :, ) ; f ) :, ) ) ) ) ) ) ) ) ) : : ) ) ) ) f ) <, ) la función tiene un máimo. f ) >, ) la función tiene un mínimo. ) Con los datos obtenidos en los apartados anteriores se puede esbozar la gráfica de la función. Dominio: R { } Asíntota vertical:. Asíntota oblicua: y Punto de corte con los ejes:, ) Mínimo local:, ) Máimo local:, ) Junio. F.M. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: a si f ) si > b b) Para a 6 y b /, determínense los puntos de corte de la gráfica de f con el eje OX. Esbócese la gráfica de f. 6 si b. a 6; b /: f ) si > ], 6 : - Cortes con OX y ): ], No se admite Dominio La función corta al eje OX en el punto, ). - Corte con OY ). y f ) 6 6. La función corta a OY en el punto, 6). Gráfica. La gráfica consta de dos intervalos, el primero, ] parábola abierta hacia con vértice máimo) en: b 5 v ; y V f 6 a )

11 5 V, El segundo intervalo,, ), es una hipérbola equilátera. Por último, se debe calcular el valor que toma la función cuando tiende a por la izquierda y por la derecha. f ) 6 ; f ) Por lo tanto la función en el punto habrá que dibujarla de forma continua. Septiembre 9. Ejercicio A. Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: si f ) 9 si < 5 si > a) Representar gráficamente la función f. a. Función definida por intervalos mediante epresiones polinómicas de º y º grado. Para representar la función basta con hacer una tabla de valores dando a la variable los valores correspondientes al intervalo donde está definida cada epresión. Septiembre 9. Ejercicio B. Puntuación máima: puntos) El beneficio semanal en miles de euros) que obtiene una central lechera por la producción de leche desnatada está determinado por la función: ) 7 B en la representa los hectolitros de leche desnatada producidos en una semana. a) Represéntese gráficamente' la función B) con. a. Función polinómica de º grado. Para representarla se calcula el vértice y los puntos de corte de la función con los ejes coordenados. Hay que tener en cuenta que solo se dibuja para valores de, es decir, a la derecha del eje OY. - Vértice: b 7 7 v ; y f v ) a ) v f V, 9

12 :, ) - Cortes con OX y ): 7 : 5 : 5, ) - Corte con OY ): y 7 :,) Modelo 5. B. Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por: si f ) In ) si > b) Esbozar su gráfica. Tomando de cada una de las funciones el intervalo correspondiente, se construye la gráfica de la función pedida.

13 Septiembre. Ejercicio A. Puntuación máima puntos) Se considera la función real definida por f ) a 5, a a b) Calcular los etremos relativos de f ) para a y representar la función. f ) 5 Etremos relativos. Una función presenta etremos relativos en los puntos donde su primera derivada es nula y su segunda derivada no nula, con el siguiente criterio: - Si la segunda derivada es negativa, MÁXIMO - Si la segunda derivada es positiva, MÍNIMO f ) 6 5 : f ) 6 < f ) 6 f ) : 6 5 : 5 f 5) 5 6 > 7 7 f ) 5 : En, f ) tiene un máimo f 5) : En 5, f ) tiene un mínimo Gráfica. Por ser polinómica el dominio es todo R, no tiene asíntotas, las tendencias en el infinito son: Lím 5 Lím 5 es: Por ser continua y tener un máimo en y un mínimo en 5, la monotonía de la función En,) 5, ) f ) > f ) es En, 5) f ) < f ) es decreciente creciente deriva. Los puntos de infleión y la curvatura se obtiene del estudio de los ceros y signo de la segunda Sí < : : Si : Sí > : ) 6 : 6 : f ) <, f ) es concava ) f ) :f ) 7 :, 7) f ) >, f ) es convea ) f Punto de infleión Todos los datos anteriores permiten trazar la gráfica de la función razonadamente.

14 Modelo. A. Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real definida por f ) a) Hallar las coordenadas de sus máimos y mínimos relativos. b) Determinar los intervalos de concavidad y conveidad. c) Esbozar la gráfica f). a. La condición necesaria y suficiente para que una función y f ) alcance en un etremo relativo máimo o mínimo) es que la primera derivada sea distinta de cero, con el siguiente criterio. Si f '' ) <, f )) eiste un máimo relativo Si f ' ) Si f '' ) >, f )) eiste un mínimo relativo f ) f ' ) ) f '' ) ) Igualando a cero la primera derivada, se localizan los posibles etremos relativos, la segunda derivada, confirma y diferencia los etremos relativos. f), ) f ' ) : : : ; ± : f ), ) f ' ' ) >, ) Mínimo f ' ' ) <, ) Máimo ) b. La curvatura de una función se estudia con el signo de la ª derivada según el siguiente criterio. Si f '' ) >, la curva estará por encima de la tangente. CONCAVA Si '' ), f < la curva esta por debajo de su tangente. CONVEXA f ' ' ) Si : Si < f > f '' ' ' ) ) < convea > concava c. f ) Dominio: D R { } Corte con los ejes: OX: y : : : R La función no corta al eje OX OY:. La función no está definida en cero. La función no corta al eje OY. Asíntotas:

15 Lím -Vertical: Lím : Lím - Horizontal: Lím Lím No eisten asíntotas horizontales. - Oblicuas: y m n f ) m Lím Lím Lím Lím n Lím f ) m) Lím Lím y Junio. B. Puntuación máima: puntos). Se considera la curva de ecuación: y a) Hallar las coordenadas de sus puntos de intersección con los ejes coordenados y de sus máimos y mínimos relativos, si eisten b) Representar gráficamente la curva c) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la curva y el eje OX a. Puntos de corte: ) :,),,),,) OX : y : : : ± OY : : y,) Máimos y mínimos. La función alcanza etremos relativosmáimos ó mínimos locales) en aquellos puntos donde se anule su primera derivada y sea distinta de cero su segunda derivada. f ) f ) f ) 6 5

16 f ) : 6 y f 6 :, Máimo f 6 < 6 y f 6 :, Mínimo f 6 < b. Gráfica de la función. Se pide esbozar la gráfica de una función cúbica conocidos los puntos de corte con los ejes y los etremos relativos. Teniendo en cuenta además que, las funciones polinómicas no tienen asíntotas y que sus tendencias en este caso son: Lím ) Lím ) la gráfica tiene la forma: Junio. Ejercicio B. Puntuaci6n máima: puntos) Dada la función f ) a) Determínense sus máimos y mínimos relativos. b) Calcúlense sus puntos de infleión. c) Esbócese su gráfica. a. La condición necesaria y suficiente para que una función alcance un etremo relativo en un punto es que en dicho punto la primera derivada de la función sea cero, y la segunda sea distinta de cero, con el siguiente criterio: f ' Sí f o ) y: f ' ' ' o o ) > ) < o, f o )), f )) o o MÍNIMO MÁXIMO Los posibles puntos de etremo relativo se obtiene con los ceros de la ª derivada: f ' resolviendo la ecuación de segundo grado cuya imágenes son: ) ; ' ) f f ; ; ó 6 f ) ) Los posibles etremos relativos de la función f) son los puntos, y, 6 6

17 Para comprobar si son etremos relativos se tendrá en cuenta el criterio de la ª derivada: f ' ') sustituyendo los valores que anulan la ª derivada: f ' ' ) ) < En, MÁXIMO f ' ') > En, MÍNIMO 6 b. Punto de infleión: La condición necesaria y suficiente para que una función tenga un punto de infleión es que en dicho punto la segunda derivada de la función sea cero, y la tercera sea distinta de cero, con el siguiente criterio: )) [ ) )] f o y: f '' ' o ) > o, f o Inflesión Convea Concava f ''' ) <, f )) Inflesión[ Concava ) Convea ) ] Sí ' ' ) o o o Los posibles puntos de infleión se obtienen de los ceros de la ª derivada f ' ') ; f ' ') ; ; cuya imagen en la función es: c. Gráfica 5 ), 5 ) f Para comprobar si en, 5 ) f ' '' ) >, 5 ) un P.I. se tiene en cuenta el criterio de la ª derivada.. P.I. Convea ) Concava ) 7