COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

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1 DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES EMPRESARIALS INTRODUCCIÓ A LA MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS CURS ACADÈMIC: 004/00

2 Tema.- Conceptos Básicos A.- RADICALES.- Escribe como potencia de eponente fraccionario: a. b. c. d. / 7 /7. /7 -/ e. y /.y / /. -/ f. g. h. /. -/ a a a /. /. /.a / a /+/. /+/ a 7/6. /6 y 4 /..y - i. 7 y j. ( / ) k. /7. -/7.y -/7 -/ / / /8.- Escribe en forma de radical. a. /.- Simplifica. b. () / c. (y) / y d. 4 -/ 4 e. (8) -/ 8 a. 8 b c. 4. d. a a 6 a a a a a a a e. 4 f. 4 g. h. / / / /+/. /- 4/. -/. -/ 4

3 B.- PRODUCTO Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS.- Calcula ( ).( -+) Calcula ( ):( -+) / / / Calcula ( ):(-) con el método de Ruffini Cociente: Resto: 9 C.- ECUACIONES E INECUACIONES.- Resuelve: a ± µ b. (-) ± µ - c (-)0 0 µ -0 / d ( + ) ( + )( + ) ± 9 6 ± no tiene solución real

4 e µ Resuelve: a. +-(-) +-(-) b. (+)+7(+) (+) (+)+7(+) (+) c. (-)-0 0 (-) /7 d. 7( ) 0 7( ) 0 70( ) e. 0(-)<+ 0(-) < < + < <.- Resuelve: a. (-)(+)<0 (-)(+)0-0 µ +0 >0 <0 >0 - Solución: ] -, [ b. -+6>0 -+60, >0 <0 >0 Solución: ] -, [ ], + [ c. -(-)> -+6->0 -+>0 ± 9 ± -+0 Esto significa que nunca se da la igualdad a 0, por tanto o siempre es >0 o siempre es <0. Entonces sustituimos un valor y lo comprobamos. Por ejemplo, para 0 da Por tanto, siempre es >0. Solución: R

5 Tema.- Álgebra

6 Tema.- Funciones elementales ) Escribe el dominio y representa (dando valores), las funciones: a)y + b) y ln(-) + - a)y + la función se puede escribir de la forma y por tanto su dominio es D R - - < - al estar la función definida por dos funciones polinómicas, para trazar su gráfica basta con hallar dos puntos de cada una de las semirrectas que la forman y + y -- y y b) y ln(-) La función logaritmo está definida para valores de R + -{0}, por tanto ->0, > luego D (, + ). Si construimos una tabla valores de valores e y

7 ) Dada la parabola y + halla los puntos de corte con los ejes, el vértice y representala gráficamente. Para hallar los puntos de corte con el eje XX hacemos luego los puntos de corte con XX son (,0), (-,0). Si hacemos 0 obtenemos el punto (0,-). Para hallar el vértice utilizaremos el calculo diferencial puesto que se trata de un máimo o un minimo y + ; y y (- ) > 0 (-, 9 ) 4 minimo que es el vertice de la parabola ) Hallar la intersección de la recta y+ con la parábola y + Los puntos que pertenecen a la intersección deben verificar ambas ecuaciones, por tanto resolveremos : y , los puntos de corte son (,) (- y +,) Si representamos ambas funciones, podemos comprobar que efectivamente los puntos de corte son los hallados.

8 4) Indica cual es el dominio de la función y ln sen Sabemos que la función logarítmica esta definida para valores de R + -{0}. La función ysen tiene por gráfica la gráfica de y sen es en consecuencia del dominio de la función debemos descartar todos los puntos tales que sen 0 kπ k Z el dominio pedido es D R-{ R / kπ k Z}. Con ayuda del ordenador podemos dibujar su gráfica ) Resolver la ecuación log( ) log log + log log log + ( + )log log log+log + log log (log + log) log-log (log + log) log-log log-log log + log log log 6

9 6) Resuelve la ecuación ln +.ln Solución: ln + ln ln e ln (. ) ln e, ln 4 ln e, 4 e, e /4 7)Resuelve Solución : , ( + ) (4 ), ± ± 9 ± 7 Una vez resuelta la ecuación es necesario verificar que los resultados obtenidos cumplen la ecuación, pues al elevar al cuadrado estamos introduciendo soluciones etrañas en la ecuación original solo sería solución si tomáramos la raíz cuadrada con signo -, cosa que no sucede en la ecuación inicial , luego es la solución de la ecuación. 8)Resuelve Como no tiene termino independiente sacaremos factor común ( + -)0 esta ecuación se cumple cuando aplicando Ruffini ± 4 8 ± 4 soluciones imaginarias. Las soluciones son 0,. - 8) Resolver 8 Podemos trabajar con la función eponencial de base ; hacemos el cambio de variable A ( ) A A - A A log( ) log( )

10 log() log( ) log( ). log

11 0) Resuelve y y Hacemos A, y B y y ( ) A. B A.B. - A.B B A B A A A A A± A B y 0, y A- B- solución de este resultado. IMPOSIBLE a >0 a R, por tanto no se deduce ninguna Solución única 0, y

12 Tema 4.- Límites y Continuidad. Calcula los siguientes límites a) lim n lim n + n n + + n / lim n + n / n 9 + e 9. e 9 n / n + lim n / n + n / + n / n b) c) lim n lim n n+8 n n n + n /8 lim n 8 lim n 8 n n.8 n+ + n / 8 + n / 8 lim n n + n /8 e 6. e 6 + n /( 8) n lim n + n /( 8) + n /8 lim n 8 n 8 + n /8 + n /( 8) 8 n 8 + n /( 8) lim n + n /( 8) 8 n 8 + n /( 8) 8 8 e. e. Calcula los siguientes límites a) lim, 4 8 b) lim no eiste (porque si tiende a por la derecha, el denominador tendería a 0 4 positivo y el límite tendería a +, y si tiene a por la izquierda, el denominador tiende a 0 negativo y el límite tendería a -. + ( )( ) c) lim lim lim 0 + ( )( + ) + d) e) lim lim 0 0 Indeterminación. ( )( + ) lim ( + )( ) 4 ( + h) f) lim lim h 0 h h 0 h + h h lim h 0 h

13 7 g) lim e h) lim 0 e + 0 e lim ( + + 9)( ) lim ( + + 9) 7. Calcula los siguientes límites (sin utilizar derivadas) + ( + ) / + a) lim lim lim + ( + ) / + 0 0, b) lim cos cos 0, + c) lim ln + + lim ln + / + / ln 0 d) lim 4 lim 4 / e) lim ( 4 ) lim ( 4 )( 4 + ) 4 + ( 4 ) lim lim Estudia el dominio y la continuidad de las siguientes funciones: ln / f () cos / < < π / π / < Veamos primer el dominio según las definiciones de la función en los distintos intervalos: El logaritmo está definido cuando la variable es mayor que 0, en este caso cuando >0, o sea, >o. El coseno está definido en toda la recta real. Un cociente de polinomios está definido siempre que el denominador es distinto de cero, en este caso sería cuando es distinto de cero, pero <π/. Por todo ello, el dominio de la función es ]0,π/[ ]π/, [ En cuanto a la continuidad: En ]0,/[ la función es continúa por serlo la función logaritmo En ]/,π/[ la función es continúa por serlo la función coseno. En /, estudiamos el límite por la derecha y el límite por la izquierda cuando tiende a /: lim f () lim ln ln 0 ; lim f () lim cos cos / / / / Como los límites laterales no coinciden, no eiste el límite de f() en /, por tanto la función no es continúa en /. En ]π/, [ la función es continúa por serlo el cociente de polinomios con denominador distinto de cero. En π/ la función no es continúa porque no está definida. Por tanto, resumiendo todo lo calculado la función es continúa en todo su dominio de definición menos en /, o sea, f() es continúa en ]0,/[ ]/, π/[ ]π/, [

14 Tema.- Derivadas.- y ( -+0) 4 y 4 ( -+0) (6 -).- y + + y + ( ) ( + ) ( ) + 4 ( ) +.- y y ( ) (( ) ) 8 7 y y sen - y - sen - cos.- y ln( +) y 6.- y y ln ( + ) 7.- y (sen) cos y cos (sen) cos- cos + ln(sen) (sen) cos (-sen) (sen) cos cos sen ln(sen) sen 8.- y sen ( +) y sen( +) [sen( +) ] sen( +) cos( +) [( +) ] sen( +) cos( +) ( +) 8 ( +) sen( +) cos( +) ( + )( ) [ ] 9.- y tan[ln( ln( + ) +)] y cos [ ln( + ) ] cos + [ ln( + ) ] ( + )cos [ ln( + ) ] 0.- y ln + sen sen y + sen sen + sen sen + sen sen + sen sen + sen sen + sen sen + sen sen cos ( sen) ( + sen)( cos ) ( sen) + sen sen cos cos sen + cos + cos sen ( + sen)( sen) cos cos ( sen ) cos cos

15 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS A) CÁLCULO DE LÍMITES.- lim aplicant l' Hôpital lim lim l' Hôpital lim l' Hôpital lim aplicant ( + ) ( + ) lim l'hôpital lim 4 aplicant Indeterminat B) FÓRMULA DE TAYLOR.- Encontrad el polinomio de Taylor de orden asociado a f ( ). cos en 0. f ( ) P ( ) f (0) + f '(0). +. f ''(0). +. f '''(0).!! f ( ).cos f (0) 0 f '( ) cos.sin f '(0) f ''( ) sin (sin +.cos ) sin.cos f ''(0) 0 f '''( [ cos + ( sin ) ] cos +.sin '''(0) ) cos f P ( ) Si queremos hacer una pequeña comprobación por aproimación, observamos que: f ( 0,) (0,)(cos 0,) 0,099 0,00 P (0,) (0,) 0,099 ln.- Encontrad el polinomio de Taylor de orden asociado a f ( ) en. f ( ) P ( ) f () + f '().( ) +. f ''().( )! ln 0 f ( ) f () 0. ln ln 0 f '( ) f '(). ( ln ). +.ln +.ln 0 f ''( ) f ''() 4 4 ( ) P ( ) 0 + ( ) ( + ) + 4 Si queremos hacer una pequeña comprobación por aproimación, observamos que: 0,0099 f (,0) 0,0098,0 P (,0) (,00) + 4,04, 4,0 + 4,04 0,0098

16 C) REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES DERIVABLES. ) f( ) a) Dominio: R { } b) Cortes con los ejes: f( ) 0 En este caso no tiene solución f (0) Por tanto, tenemos el punto (0, ). c) Signo de la función La función será positiva (dibujo por encima del eje OX) cuando > La función será negativa (dibujo por debajo del eje OX) cuando < d) Crecimiento y decrecimiento f ( ) ( ) Como vemos, la primera derivada siempre es negativa, por tanto la función siempre es decreciente. e) Máimos y mínimos: No tiene pues observamos que la primera derivada no se anula en ningún punto. f) Concavidad y conveidad f ( ) ( ) Si > la función es cóncava (derivada segunda positiva) Si < la función es convea (derivada segunda negativa) g) Puntos de Infleión No tiene pues la segunda derivada no se anula en ningún punto. h) Asíntotas h.) asíntota horizontal. lim f( ) lim lim f ( ) lim 0 Como eisten ambos límites, tiene asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda. h.) Asíntota vertical. Tenemos problemas de definición de la función con, por tanto, estudiaremos los siguientes límites: lim + + lim Por tanto, tenemos una asíntota vertical en tanto por arriba como por abajo. h.) Asíntota oblícua Para ello debemos resolver el siguiente límite: lim 0 la asíntota oblícua no eiste (si eiste la horizontal no eiste la oblicua y viceversa). +

17 0 Dibujo ) f( ) a) Dominio: D R b) Cortes con los ejes: f( ) f (0) 0 Por tanto, tenemos los puntos (0,0), (,0), (4,0) c) Signo de la función f( ) ( )( 4) La función será negativa cuando < 0 La función será positiva cuando 0< < La función será negativa cuando < < 4 La función será positiva cuando 4< d) Crecimiento y decrecimiento f ( ) + 8 Factorizamos este polinomio: f ( ) ( 0.8)(.) la función es creciente para < 0.8 la función es decreciente para 0.8< <. la función es creciente para.< e) Máimos y mínimos: Tiene dos óptimos en 0.8 y.. El primero es un máimo pues la función pasa de creciente a decreciente, y el segundo es un mínimo pues la función pasa de decreciente a creciente. (La otra forma de averiguarlo es calcular el signo de la derivada segunda en cada uno de esos puntos, si toma valor negativo es un máimo, y si toma valor positivo es un mínimo). f) Concavidad y conveidad: f ( ) 6 Si > la función es cóncava (derivada segunda positiva) Si < la función es convea (derivada segunda negativa)

18 g) Puntos de Infleión Tiene uno en (cambia la concavidad/conveidad) ya que se anula la segunda derivada. h) Asíntotas h.) asíntota horizontal. lim f( ) + + lim f( ) Como no eisten, no tiene asíntotas horizontales h.) Asíntota vertical. No tiene asíntotas verticales al ser un polinomio (el dominio es todo el eje OX) h.) Asíntota oblícua Para ello debemos resolver el siguiente límite: lim + la asíntota oblicua no eiste. Dibujo ) f( ) + a) Dominio: D R b) Cortes con los ejes: f( ) 0 0 f (0) 0 Por tanto, tenemos el punto (0,0) c) Signo de la función El denominador es siempre positivo, por lo que el signo solo depende del numerador. Por tanto: La función será negativa cuando < 0 La función será positiva cuando 0< d) Crecimiento y decrecimiento f ( ) + El signo solo depende en este caso del signo del numerador. El numerador factorizado queda como sigue: ( )( + ). Por tanto: La función es decreciente para <

19 La función es creciente para < < La función es decreciente para < e) Máimos y mínimos: Tiene dos óptimos en y. El primero es un mínimo pues la función pasa de decreciente a creciente, y el segundo es un máimo pues la función pasa de creciente a decreciente. ( ) f) Concavidad y conveidad f ( ) ( + ) Hemos de factorizar el numerador pues es el que determinará el signo de la función: (.7)( +.7). Por tanto: La función será convea cuando <.7 La función será cóncava cuando.7< < 0 La función será convea cuando 0< <.7 La función será cóncava cuando.7< g) Puntos de Infleión Tiene tres: h) Asíntotas h.) asíntota horizontal. lim f( ) lim lim f ( ) lim 0 + Tiene asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda. h.) Asíntota vertical. No tiene asíntotas verticales al ser el dominio todo el eje OX. h.) Asíntota inclinada Para ello debemos resolver el siguiente límite: No tiene por tener asíntota horizontal (tanto por la derecha como por la izquierda). Dibujo

20 4) f( ) + a) Dominio: D R {} b) Cortes con los ejes: f( ) 0 0 f (0) 0 Por tanto, tenemos el punto (0,0) c) Signo de la función El numerador es siempre positivo, por lo que el signo solo depende del denominador. Por tanto: La función será negativa cuando < La función será positiva cuando < d) Crecimiento y decrecimiento: ( + ) f ( ) ( ) El signo solo depende en este caso del signo del numerador. Por tanto: La función es creciente para < La función es decreciente para < < 0 La función es creciente para 0< e) Máimos y mínimos: Tiene dos óptimos en y 0. El primero es un máimo pues la función pasa de creciente a decreciente, y el segundo es un mínimo pues la función pasa de decreciente a creciente. f) Concavidad y conveidad f ( ) ( + ) El signo de la segunda derivada es el del denominador, al igual que pasara en el estudio del signo de la función. Por tanto: La función será convea cuando < La función será cóncava cuando < g) Puntos de Infleión No tiene, pues la segunda derivada no se anula en ningún punto. h) Asíntotas h.) asíntota horizontal. No tiene asíntota horizontal. h.) Asíntota vertical. Tiene asíntota vertical en ya que h.) Asíntota inclinada lim f ( ) + + lim f ( ) lim f( ) Para ello debemos resolver el siguiente límite: lim m + lim + Por tanto, sí tiene una asíntota oblicua, con pendiente igual a. La ordenada en el origen se calcula del siguiente modo: lim m lim lim + + +

21 Por tanto, la ecuación de la asíntota es y Dibujo ) f( ) e a) Dominio: D R b) Cortes con los ejes: f( ) 0 0 f (0) 0 Por tanto, tenemos el punto (0,0) c) Signo de la función La eponencial es siempre positiva, por lo que el signo solo depende del factor. Por tanto: La función será negativa cuando < 0 La función será positiva cuando 0< d) Crecimiento y decrecimiento f ( ) ( e ) El signo solo depende del factor. Por tanto: La función es creciente para < La función es decreciente para < e) Máimos y mínimos: Tiene un óptimo en. Es un máimo pues la función pasa de creciente a decreciente f) Concavidad y conveidad f ( ) ( + e ) El signo de la segunda derivada depende del factor ( + ). Por tanto: La función será convea cuando < La función será cóncava cuando < g) Puntos de Infleión Tiene uno en.

22 h) Asíntotas h.) asíntota horizontal. lim e 0 + lim e Tiene asíntota horizontal pero sólo por la derecha. h.) Asíntota vertical. No tiene asíntotas verticales ya que no hay valores finitos que hagan que la función tome valor infinito. h.) Asíntota inclinada e Para ello debemos resolver el siguiente límite: m lim + Por tanto, no tiene asíntota oblicua por la izquierda (por la derecha tiene asíntota horizontal). Dibujo ) f( ) e a) Dominio: D R b) Cortes con los ejes: f( ) 0 No eiste solución. f (0) Por tanto, tenemos el punto (0,) c) Signo de la función La eponencial es siempre positiva, por lo que la función siempre es positiva d) Crecimiento y decrecimiento f ( ) e El signo solo depende del factor. Por tanto: La función es creciente para < 0 La función es decreciente para 0< e) Máimos y mínimos: Tiene un óptimo en 0. Es un máimo pues la función pasa de creciente a decreciente f) Concavidad y conveidad f ( ) ( + ) e El signo de la segunda derivada depende del factor ( + ), que es ( + )( ).Por tanto:

23 La función será cóncava cuando < La función será convea cuando < < La función será cóncava cuando < g) Puntos de Infleión Tiene dos:. h) Asíntotas h.) asíntota horizontal. lim e 0 ; + lim e 0 Tiene asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda. h.) Asíntota vertical. No tiene asíntotas verticales ya que no hay valores finitos que hagan que la función tome valor infinito. h.) Asíntota inclinada No tiene asíntota oblicua por tener asíntota horizontal. Dibujo

24 Tema 6.- Cálculo de Primitivas + 4 ) d d + C + C d ) d d C C C d ) d d C C C ) d d + C + C + C + 4) e d e d ( ) e d e + C ) d d ln+ + C ln+ 4 + C sen -sen 6) d ( ) d ln+ cos + C + cos + cos + 7) d ( ) d ( ) d d ) d d d d + C + C + C + C ) d d+ d arctg+ ln+ + C ) ln d + + C + e ) d ln+ e + C + e 4 4 ) ( + ) d ( ) d d + 6 d + 9 d 4 d+ 6d+ 9d C C 4 ) (+ d ) ( + ) d d+ d d+ d + + C 4 sen sen 4) e cosd e + C ) d ( ) ( ) d d d ( + ) + C C C ( + ) ( + )

25 6) + d ( + ) d ( + ) d + ( + ) ( + ) + C + C ( + ) + C + 7) cosd cosd sen+ C cos 8) send sen d ( cos ) C C e ( + e ) ( + e ) 9) d ( + e ) e d ( + e )e d + C + C + C ( + e ) + ( + e ) 0) e d e d e + C e ) d e d ( ) ( ) e d e C + + tg tg ) tgsec d tg d + C + C cos + sen ) d sen d ( cos ) C + 4 (ln) 4 (ln ) 4) d (ln ) d C + sen(ln ) ) d sen (ln d ) cos(ln ) + C 6) Juan afirma que respuesta es sen cos cos d + C + C. Quién tiene razón? 7) send u du d dv ed v ed e e ed e e + C e ( ) + C 8) arctgd u arctg du d + dv d v d, mientas que José sostiene que la ln arctg d arctg d arctg d arctg C + d C + + 9) ln

26 ( + + ) 4 0) d (+ )( + + ) d + C + C ( + + ) 4+ ( + + ) + d (4+ ) ) (4+ ) d 4(4+ ) d + C + C (4+ ) (4+ ) ) d d ln C d 9 ) d d d arctg + C ( ) + ( ) ) 9 d d d d d d d ln 9 arctg C ( ) + + d d b + 4ac< 0 d d ) 4 d ( + ) < ( + ) d d + arctg + C + + ( ) + ( ) + d b + 4ac< 0 d d 6) < d d d d ( ) + arctg + C ( + ) + ( + ) + + ( ) + ( ) ) * d + + ± 4 ± 9 8 ± ± + + 0; + + A B A( + ) + B( + ) (A+B) + (A+B) + + ( + )( + ) + + ( + )( + ) (+)(+) A+B -A-B- A+B A+B A; B-

27 + * d d+ d d d ( + )( + ) ln + ln + + C ln + ln + + C ln + C + + 7) * ( ) d + A B C A( ) + B( ) + C + + ( ) ( ) A A B B C ; (A+C) ( A+B) B A+C0 -A+B B ; -A ; -A ; A ; C 4 4 -B * d d+ d+ d d d+ d ( ) ln ( ) + ln + C ln + ln + C + ln + C ln C ) d * + + 0; ( )( + ) + + A M+ N A( + ) + (M+ N)( -) A + A+M + ( M+N) N ( )( + ) (-)( + ) (A+M) + ( M+N) + (A-N) ( )( ) + A+M -M+N Sumando las tres ecuaciones: A; A ; -N; N A-N

28 * +M; M d d d+ d + ( )( + ) + d d d d d+ d ln ln ln arctg C arctg C 4 + 9) d * ( + ) A B M+ N A( + ) + B( + ) + (M+ N) + + ( + ) + ( + ) A A+B +B+M N (A+M) (B+N) A B ( + ) ( + ) A + M 0 B + N M 0; - + N ; N A 0 B - * d d+ d ( ) d+ d + arctg+ C ( + ) + +