Autoevaluación. Bloque IV. Análisis. BACHILLERATO Matemáticas I. Página Observa la gráfica de la función y = f (x) y a partir de ella responde:

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1 Autoevaluación Página Observa la gráfica de la función y = f () y a partir de ella responde: a) Cuál es su dominio de definición? su recorrido? b) Representa gráficamente: y = f ( + ); y = f () + ; y = f () c) Representa la función inversa de f (). a) Su dominio es el intervalo (, ]. Su recorrido es (, 0]. b) La gráfica de f ( + ) es la de f () desplazada dos unidades a la izquierda. La gráfica de f () + es la de f () desplazada una unidad hacia arriba. La gráfica de f () es la simétrica de f () respecto del eje O. c) La gráfica de la función inversa de f () es simétrica de la de f () respecto a la recta y = :

2 Representa las funciones: a) y = + b) y = log ( + ) a) y = +. Estudiamos la parábola y = + : = 0, y= Cortes con los ejes y= = 0 = = = Vértice = y = ( ) + ( ) = Su representación es: y = + y = + Así, los valores positivos quedan igual, y para los negativos tomamos sus opuestos. b) y = log ( + ) 8 Dom = (, + ) Hallamos algunos puntos lm í " +log ( + ) = Su gráfica es: 5 y 0 y vemos que: 5 Un parque de atracciones está abierto al público entre las 0 y las 0 horas. El número de visitantes viene dado por la función N (t ) = at + 680t + c, donde t es la hora de visita. Sabiendo que a las 7 h se alcanza el máimo de 500 visitantes, halla a y c y representa la función. Como la gráfica de la función N (t ) es una parábola, el máimo se alcanza en su vértice, luego: 680 = 7 8 a = 680 = 0 8 N (t ) = 0t + 680t + c ( a) Como a las 7 h el parque tiene 500 visitantes, se tiene que: 500 = c 8 c = 80 La función es N (t ) = 0t + 680t 80

3 Para representar la función calculamos N (0) y N (0). El vértice y estos dos puntos son suficientes para construir la gráfica. N(t) t Representa la función y = y halla su función inversa. y = = c m Por tanto, se trata de una función eponencial con base menor que. Su gráfica es como la de desplazada unidad hacia la derecha y unidades hacia abajo. c m 5 Una población de insectos crece según la función y = + 0,5 e 0, ( = tiempo, en días; y = número de insectos, en miles). a) Cuál es la población inicial? b) Calcula cuánto tarda en llegar a insectos. a) = 0 8 y = + 0,5 e 0 =,5 8 Población inicial: 500 insectos. b) y = = + 0,5 e 0, 8 Tarda entre 7 y 8 días. 9 = e 0, 8 0, = ln 8 8 = 05, ln8 = 7, 0, 6 A partir de las funciones f () = e ; g () = sen ; h() =, hemos obtenido, por composición, las funciones: p () = sen ; q () = e sen ; r () = e Eplica el procedimiento seguido. p () = sen 8 p () = g [h()] 8 p = g h q () = e sen 8 q () = f [g ()] 8 q = f g r () = e 8 r () = h [f ()] 8 r = h f

4 7 Calcula los límites siguientes: a) lm í 5 " + b) lm í e " + c) lm í + " + a) lm í 5 = 0 porque el grado del numerador es menor que el del denominador. " + b) lm í e "+ = lm í "+ e e = 0 c) lm í + " + lm í " + + = c0 m Indeterminación. 0 ( ) = lm í = lm í " ( )( ) " = 0 8 En la función: b si < f () = * si = + 9 si > a) Calcula b para que tenga límite en =. b) Después de hallar b, eplica si f es continua en =. b si < a) f () = * si = + 9 si > Para que tenga límite en =, debe cumplirse: lm í " lm í f () = b= 6 b b = 5 8 b = lm í f () = + 9= b) Para que sea continua en =, debe ser lm í f () = f (). lm í f () = = 5 " f () = " " Como f () lm í f (), f no es continua en =. f () = lm í f () " + 9 Prueba, utilizando la definición, que la función derivada de f () = f ( + h ) f () f '() = lm í h " 0 h f () = 5 ( + h ) 5 f ( + h) = f ( + h) f () = + h = h f ( + h ) f () = h : h = h f '() = lm í = h " 0 5 es f ' () =.

5 0 Halla la recta tangente a la curva y = + 5 que es paralela a la recta + y + = 0. Pendiente de + y + = 0: m = El valor de la derivada en el punto de tangencia debe ser igual a. f () = + 5 f' () = = 8 = f( ) 8 Punto de tangencia: P (, 6) = + 5 = 6 Ecuación de la recta tangente buscada: y = 6 ( ) 8 y = 9 Halla los puntos singulares de f () = Con ayuda de las ramas infinitas, di si son máimos o mínimos y representa la función. f () = f ' () = f ' () = = ( + ) = 0 Los puntos singulares son (0, 5), (, ) y (, ). = 0 8 f( 0) = 5 = 8 f( ) = 6 + 5= = 8 f( ) = 6 + 5= Ramas infinitas: * lm í ( + 8 5) = 8 + lm í ( + 8 5) = 8 Máimos: (, ) y (, ) Mínimo: (0, 5) 0 Halla la función derivada de las siguientes funciones: a) f () = tg b) f () = ln c) f () = arc tg d) f () = e π e) f () = a) f ' () = c) f ' () = e) f ' () = arc sen + tg tg + f) f () = + g) f () = ln ( e) b) f ' () = d) f ' () = 0 f) f '() = g) f '() = c e m = e h) f '() = ln = ln + + = + + = 6 + ( + ) h) f () = ln + 5

6 Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las funciones siguientes: a) y = b) y = a) f () = 8 f '() = ; = = 0 = Estudiamos el signo de f ' para saber dónde crece y dónde decrece la función: f ' > 0 f ' < 0 f ' > 0 f crece en (, ) (, + ). f decrece en (, ). b) f () = 8 f '() = + = + f '() = = 0 No tiene solución. f ' es positiva para cualquier valor de. f es creciente en todo su dominio: Á {0}. En la función y = + estudia: a) Las asíntotas y la posición de la curva con respecto a ellas. b) Los máimos y los mínimos relativos. c) Representa su gráfica. a) Asíntotas verticales: + = 0 8 =, = Z ] lm ] í + =+ " Posición de = [ lm í ] + = " \ + Posición de = Asíntota horizontal: 8 f() 8 * 8+ f() 8+ lm í " ± = 8 y = f( ) > Posición: * 8 f( ) < b) Máimos y mínimos: f ' () = ( + ) ( ) = + 6 ( + ) ( + ) f ' () = = 0 = 0 = / f (0) = 0 8 P (0, 0) es un mínimo relativo. f c m = 8 Q c, m es un máimo relativo. 6

7 c) 5 Cuál de estas funciones tiene asíntota oblicua? a) y = b) y = + c) y = Hállala y sitúa la curva con respecto a ella. Tiene asíntota oblicua y = La asíntota es y =. + = curva>asíntota Posición: * 8 curva < asíntota + 6 Calcula a y b de modo que la función y = + a + b tenga un punto singular en (, ). Si y = + a + b tiene un punto singular en (, ), la curva pasa por ese punto y su derivada es igual a 0 en él. (, ) é (, f ()) 8 = + a + b 8 a + b = 7 f ' () = 0 en = 8 f ' () = + a 8 0 = + a 8 + a = 0 a+ b= 7 * 8 a =, b = 7 + a = 0 La función es y = Esta es la gráfica de f ', la función derivada de f. a) Di para qué valores de es f creciente y para cuáles f es decreciente. b) Tiene f algún punto de tangente horizontal? Justifícalo. a) f es creciente cuando f ' > 0 8 f crece si < y decrece si >. b) Tiene un punto de tangente horizontal en =, porque en ese punto f ' = 0. 7

8 8 Estudia la continuidad y la derivabilidad de esta función: + si f () = * + si > Llamamos f () = + y f () = + Ambas funciones son continuas. f( ) = + = Como coinciden, la función es continua en =. f ( ) = + = Por tanto, la función es continua en todo Á. f' () = + 8 f' ( ) = Como son distintos, la función no es derivable en =. f' () = 8 f ' ( ) = + si < La función derivada es f '() = * si > 9 Calcula el siguiente límite: ln ( + e) e lm í " 0 sen ln ( + e) e lm í " 0 sen = c0 m = lm í 0 " 0 e + e = cos e 0 De todos los rectángulos de 60 m de área, cuáles son las dimensiones del que tiene el menor perímetro? Supongamos que e y son la base y la altura del rectángulo, respectivamente. Como el área es igual a 60 m, se tiene que y = 60 8 y = 60 El perímetro del rectángulo es P = + y = + 60 = + 0 Buscamos el rectángulo de perímetro mínimo: P' = = 0 8 = 60 8 La única solución válida es = 5. Comprobamos que el valor obtenido es un mínimo de la función P : P' < 0 P' > 0 5 Por tanto, las medidas son = 5 m, y = 60 = 5 m y el perímetro mínimo es 8 5 m. 5 8