DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

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1 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros tres puntos en los que la derivada es positiva. La derivada también es positiva en 4,, 0 Di otro punto en el que la derivada es cero. La derivada también es cero en. Di otros dos puntos en los que la derivada es negativa. La derivada también es negativa en 4, 5 Di un intervalo [a, b ] en el que se cumpla que si é [a, b ], entonces f'() > 0. Por ejemplo, en el intervalo [ 5, ] se cumple que, si é [ 5, ], entonces f'() > 0.

2 Función derivada Continúa escribiendo las razones por las cuales g () es una función cuyo comportamiento responde al de la derivada de f (). En el intervalo (a, b), f () es decreciente. Por tanto, su derivada es negativa. Es lo que le pasa a g() en (a, b). y f () La derivada de f en b es 0: f'(b) 0. Y también es g(b) 0. a b En general: g() f'() 0 donde f () tiene tangente orizontal. g() f'() > 0 donde f () es creciente. g() f'() < 0 donde f () es decreciente. a b y g() f'() Las tres gráficas de abajo, A, B y C, son las funciones derivadas de las gráficas de arriba,, y, pero en otro orden. Eplica razonadamente cuál es la de cada una. ) B ) A ) C La derivada se anula en los puntos de tangente orizontal, es positiva donde la función es creciente, y es negativa donde la función decrece. A B C

3 UNIDAD Página 5, Ì. f () Es derivable en 0?, > f () ( ) 4 8 f () ( ) 8 + La función no es continua en, pues 8 f ()? 8 + f (). Por tanto, tampoco es derivable en., Ì. f () Es derivable en 0? 8, > f () ( ) f () ( 8) La función es continua, pues: 8 f () f () f () si < f'() si > f'( )? f'( + ) 4 Por tanto, f () no es derivable en. Página 57. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones: a) f () b) f () + + tg c) f () ln d) f () + + tg tg e) f () f ) f () ln + tg + e tg g) f () ) f () log (sen cos ) i) f () sen + cos + j) f () sen + cos

4 k) f () 7 sen ( + ) l) f () sen ( 5 + ) m) f () sen + + n) f () cos + ( ) a) f'() ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) b) Utilizamos el resultado obtenido en a): f'() ( + ) ( )( + ) + c) Utilizamos el resultado obtenido en a): f'() ( + ) ( + ) ( )( + ) + De otra forma: Si tomamos logaritmos previamente: f () ln ( ) ln ( + ). Derivamos: f'() + + d) f'() ( + tg )( + tg ) ( tg ) ( + tg ) ( + tg ) ( + tg )[ tg + tg ] ( + tg ) ( + tg ) ( + tg ) De otra forma: Si tenemos en cuenta el resultado obtenido en a): f'() D [tg ] ( + tg ) ( + tg ) ( + tg ) ( + tg ) ( + tg ) e) Teniendo en cuenta lo obtenido en d): f'() ( + tg ( + tg ) ) ( + tg ) ( tg )( + tg ) tg + tg También podríamos aber llegado a este resultado utilizando lo obtenido en b). ( + ) f) f () ln ln e (tg ) / f'() e tg + tg tg + g) f () ( + ) / f'() ( + ) / ln ln + 4

5 UNIDAD ) f () log (sen cos ) [log (sen + log (cos )] cos sen f'() [ + ] 4 cos sen 4 cos ln 0 sen cos ln 0 sen De otra forma: ln 0 sen cos f () log (sen cos ) sen log ( ) f'() cos ln 0 sen i) f () sen + cos + + f'() ln 0 ln 0 4 ln 0 tg cos sen sen cos 4 ln 0 tg cos + cos j) f'() + + sen + ( sen ) cos + cos + sen + sen k) f'() 7 sen( + ) ln 7 D [sen( + )] 7 sen( +) ln 7 cos ( +) l) f'() cos ( 5 + ) ( 54 + ) m) f'() (cos + ) sen + + cos + sen ( ) ( ) n) f'() cos + ( ) [ sen + ( ) ] ( + ( ) ) cos +( ) sen +( ) ( 5) + ( ) ) (5 ) sen ( + ( ) ) ( + ( ) ). Halla las derivadas. a,. a y. a de las siguientes funciones: a) y 5 b) y cos c) y sen + cos + a) y 5 y' 5 4 ; y'' 0 ; y''' 0 5

6 b) y cos y' cos sen y'' sen sen cos sen cos y''' cos cos + sen cos + sen c) y sen + cos + + y' ; y'' 0; y''' 0. Calcula f'() siendo: f () e 4 5 f () e 4 / / / e 4 /5 e 4 /0 9 e 4 /0 5 /5 /5 5 9 e f'() 4 7/ e Por tanto: f'() 5 9 e Calcula f'(π/) siendo: f () (cos sen ) sen f () (cos sen ) sen cos sen f'() cos cos Por tanto: π f'( ) cos π cos (π) 5. Calcula f'(0) siendo: f () ln + + ( + ) sen f () ln ( + ) ln ( ) ( + ) f'() + 4 ( + ) 4( + ) Por tanto: f'(0) ( 4) + 8 ( + + )

7 UNIDAD Página 58. Estudia la derivabilidad en 0 de la función:, Ì f () 9, > Continuidad en 0 : f () ( ) 0 f () f () f () ( 9) 0 Por tanto, f () es continua en 0. 8 Derivabilidad en 0 : f'() ( ) f'( ) 8 f'() () f'( + ) 8 + Las derivadas laterales eisten y coinciden. Por tanto, f () es derivable en 0. Además, f'().. Calcula m y n para que f () sea derivable en Á: m + 5, Ì 0 f () + n, > 0 Si? 0, la función es continua y derivable, pues está formada por dos polinomios. Continuidad en 0: f () ( m + 5) f () ( + n) n f (0) 5 Derivabilidad en 0: Para que f () sea continua en 0, a de ser: n f'() ( m) m f'(0 ) 8 0 f'() ( ) 0 f'(0 + ) Para que sea derivable en 0, a de ser: m 0 8 m 0 Por tanto, f () es derivable en Á para m 0 y n 5. 7

8 Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Definición de derivada Halla la tasa de variación media (T.V.M.) de las siguientes funciones en los intervalos: [, ]; [0, ]; [, 5]; [, + ]: a) f() + b) f() 7 5 c) f() d) f() En cuáles de ellas es constante la T.V.M.? Qué tipo de funciones son? a) f () + En [, ] 8 f ( ) f ( ) T.V.M. 4 f () f (0) En [0, ] 8 T.V.M. f (5) f () En [, 5] 8 T.V.M. 7 En [, + ] 8 f ( + ) f () T.V.M. + + b) f () 7 5 En [, ] 8 f ( ) f ( ) T.V.M. 7 f () f (0) En [0, ] 8 T.V.M. 7 f (5) f () En [, 5] 8 T.V.M. 7 En [, + ] 8 f ( + ) f () 7 T.V.M. 7 c) f () En [, ] 8 f ( ) f ( ) T.V.M. 0 f () f (0) En [0, ] 8 T.V.M. 0 f (5) f () En [, 5] 8 T.V.M. 0 f ( + ) f () En [, + ] 8 T.V.M. 0 8

9 UNIDAD d) f () f ( ) f ( ) En [, ] 8 T.V.M. En [0, ] 8 f () f (0) T.V.M. En [, 5] 8 f (5) f () T.V.M. 8 f ( + ) f () En [, + ] 8 T.V.M. + ( ) La función b) f () 7 5 es una función afín y la T.V.M. es constante. La función c) f () es una función afín y la T.V.M. es 0 (constante). Halla la T.V.M. de la función f() + 5 en el intervalo [, + ] y, con el resultado obtenido, calcula f'(). f () + 5 en [, + ] f ( + ) f () + + f'() ( + ) 8 0 Utilizando la definición de derivada, calcula f'() en las siguientes funciones: a) f() 7 b) f() 4 c) f() ( 5) d) f() + f ( + ) f () (/7) a) f'() 7 f ( + ) f () b) f'() + f ( + ) f () c) f'() 4 4 f ( + ) f () d) f'()

10 4 Calcula la función derivada de las siguientes funciones, utilizando la definición: 5 + a) f() b) f() c) f() d) f() 5( + ) f ( + ) f () a) f'() f ( + ) f () [( + ) b) f'() ] ( ) f ( + ) f () + c) f'() 8 0 ( ) ( + ) 8 0 ( ) ( + ) f ( + ) f () [( +) d) f'() ( + )] ( ) ( ) 5 Calcula, aplicando la definición de derivada, f'(), f'( ) y f'(), siendo f (). + + f ( + ) f () f'() ( + ) 8 0 ( + ) 8 0 ( + ) 4 0

11 UNIDAD + f ( + ) f ( ) + f'( ) ( + ) 8 0 ( + ) f ( + ) f () + f'() ( + ) ( + ) 8 0 ( + ) Comprueba, utilizando la definición de derivada, que la función f () no tiene derivada en 0. Intentamos allar f'(0) usando la definición de derivada: f (0 + ) f (0) 0 f'(0) ±@ Por tanto, f () no tiene derivada en 0. 7 Halla la tasa de variación media de la función f () e en el intervalo [;,00] y comprueba que su valor está muy próimo a e. f (,00) f () e T.V.M. [;,00],00 e 7,98,00 0,00 e 7,89. Los dos valores están muy próimos. si < 8 Dada f (), alla f'() y f'() utilizando la definición si Ó de derivada. f ( + ) f () [ ( + ) ] ( ) f'()

12 f ( + ) f () ( + ) + f'() 8 0 Reglas de derivación 9 Calcula la derivada de las siguientes funciones: + a) y b) y + ( ) c) y d) y ( 0,5 ) + 0 ( a) y' + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) b) y' + ( + ) ( ) ( ) 4 ( + ) ( ) c) y' ( + ) ( ) 0 d) y' ( 0,5 ) ( 0,5 ) ( + ) 0 Halla la derivada de estas funciones: a) y b) y ( + ) + a) y' ( + ) ( + ) ( + ) 4 ( ) c) y d) y ( + ) 4 +4 ( + ) ( + ) + ( + ) + b) y' ( ) ( ) ( +) ( + ) ( + ) c) y' ( +) ( +) 4 ( 4 + 4) ( )( 4) ( ) ( ) ( ) d) y' ( 4 +4) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( +) 4

13 UNIDAD Deriva las funciones siguientes: a) y e 4 ( ) ( ) b) y c) y d) y ln ( ) e a) y' 4 e 4 ( ) + e 4 e 4 (4 ) ( ) e ( ) ( ) b) y' ( ) e e e + 4 e c) y' ln d) y' ln Deriva estas funciones: a) y ln ( ln ) b) y ln c) y d) y e + a) y' b) y' ( ) e e ln e ln c) y' e e ln e d) y' e + Calcula la derivada de estas funciones: a) y sen cos sen b) y + cos c) y sen d) y cos ( + ) a) y' cos cos cos sen sen cos sen cos cos ( cos ) cos cos cos + cos cos cos sen cos ( + cos )+ cos sen sen b) y' ( + cos ) sen cos + sen cos + cos sen ( + cos ) sen cos ( + cos + sen ) ( + cos ) 4sen cos ( + cos )

14 c) y' sen cos 4 sen cos d) y' cos ( + ) [ sen ( + ) ] sen ( + ) cos ( + ) 4 Deriva las funciones siguientes: + a) y log b) y sen c) y d) y + a) y log log y' ln ln b) y' cos sen ( ) + ( + ) 4 ( ) ( ) c) y' ( ) + ( ) ( + ) ( ) d) y' Halla la derivada de: a) y b) y ln + c) y ln (sen e ) d) y + b) Aplica las propiedades de los logaritmos antes de derivar. a) y /4 8 y' / b) y (ln ln ( + )) y' + + ( ) c) y ln (sen e / (/) e / cos e / ) 8 y' e / cos e sen e / sen e 4

15 UNIDAD + + ( +) d) y' ( +) ( + ) ( ) ( +) Página Continuidad y derivabilidad Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican, y represéntalas: si < a) f () en + si Ó si < 0 b) f () en 0 si Ó 0 si < c) f () en 4 si Ó si Ì d) f () en + si > a) Continuidad en : f () ( ) 8 8 f () ( + ) f () Derivabilidad en : si < f'() + si > f'( ) f'( + ) f () es derivable en y f'(). f () es continua en. Gráfico:

16 b) Continuidad en 0: f () f () f (0) 0 Derivabilidad en 0: f'() f'(0 ) 0 f'(0 + ) 0 si < 0 si > 0 f () es continua en 0. f () es derivable en 0 y f'(0) 0. Gráfico: c) Continuidad en : f () ( ) f () ( 4) f () 5 Derivabilidad en : si < f'() si > f'( ) f'( + ) f () no es derivable en. f () es continua en. Gráfico: Gráfico: 5 d) Continuidad en : f () ( ) 4 8 f () ( + ) Derivabilidad en : Como f () no es continua en, tampoco es derivable en ese punto. f () no es continua en (tiene una discontinuidad de salto finito)

17 UNIDAD 7 Comprueba que f () es continua pero no derivable en : ln ( ) si < f () si Ó Continuidad en : f () ln ( ) ln f () ( ) f () 0 Derivabilidad en : ---- si < f'() si > f'( ) f'( + ) f () es continua en. Como las derivadas laterales no coinciden, f () no es derivable en. s8 Considera la siguiente función: 0 si < 0 f () si 0 Ì < si Ó a) Estudia su continuidad. b) Estudia su derivabilidad. a) Si? 0 y? 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas. En 0: f () f () f () f (0). Por tanto, la función es continua en 0. f (0) 0 En : f () 8 8 f () f () 8 f () f (). Por tanto, la función es continua en. La función es continua en Á. 7

18 b) Si? 0 y? 8 La función es derivable. Su derivada es, en esos puntos: 0 si < 0 f'() si 0 < < si > En 0: f'(0 ) 0 f'(0 + ). Por tanto, f () es derivable en 0; y f'(0) 0. En : f'( )? f'( + ). Por tanto, f () no es derivable en. La función es derivable en Á {}. Su derivada es: 0 si < 0 f'() si 0 Ì < si > 9 Prueba que la función f () + no es derivable en. si Ì f () + + si Ó f () es una función continua, pues está formada por dos funciones continuas, si?. En : 8 f() ( ) 0 f() ( + ) f( ) 0 Su derivada, si?, es: si < f'() si > Las derivadas laterales en son: f'( + ) f'( ) 8 f es continua en. No coinciden; por tanto, f () no es derivable en. 0 Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función: si Ì f () si > Continuidad: Si? 8 f () es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas. 8

19 UNIDAD En f () ( ) 0 8 f () ( ) f () 0 f () es continua en. Por tanto, f () es una función continua. Derivabilidad: Si? : f () es derivable y su derivada es: si < f'() si > En : Hallamos las derivadas laterales: f'( + ) f'( ) No coinciden; por tanto, f () no es derivable en. e si Ì 0 Dada la función f () si Ó 0 Estudia su continuidad y su derivabilidad. Continuidad: Si? 0: f () es continua, pues está formada por funciones continuas. En 0: f () e f () ( ) f () es continua en f (0) Por tanto, f () es una función continua. Derivabilidad: Si? 0: f () es derivable y su derivada es: e si < 0 f'() si > 0 En 0: Hallamos las derivadas laterales: f'(0 ) Coinciden; luego, f () es derivable en 0. f'(0 + ) Por tanto, f () es una función derivable. e si < 0 Su derivada es f'() si Ó 0 9

20 En qué puntos no son derivables las funciones siguientes?: a) f() 4 b) f() a) f() 4 f () es una función continua, pues es la composición de funciones continuas. La definimos a trozos: 4 si < f () + 4 si Ì Ì 4 si > Si? y?, f'() es derivable y su derivada es: f'() si < si < < si > En : Hallamos las derivadas laterales: f'( ) 4 f'( + ) 4 f () no es derivable en. En : Hallamos las derivadas laterales: f'( ) 4 f'( + ) 4 f () no es derivable en. Por tanto, f () no es derivable en los puntos (, 0) y (, 0). + si < / b) f() si Ó / f() es una función continua pues es la composición de dos funciones continuas (y e y ). si < / En?, f() es derivable y su derivada es f'() si > / En, f no es derivable porque f' ( ) + y f' ( ) PARA RESOLVER si Ì Dada f () : + si > a) Calcula f'() y f'(). b) Comprueba que f'( )? f'( + ). Si? : f() es una función continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas. 0

21 UNIDAD En : f () ( ) f () ( + ) f () 5 f () es continua en. Por tanto, f () es una función continua. Si? : f () es derivable y su derivada es: si < f'() si > a) f'() ; f'() b) f'( ) f'( + ) 4 no coinciden 4 Esta es la gráfica de una función y f (). Calcula, observándola: f'( ), f'() y f'() En qué puntos no es derivable? 4 En, la recta tangente a f es orizontal; su pendiente es 0. Por tanto, f'( ) 0. En, f es una función constante. Luego f'() 0. En, f es una recta que pasa por los puntos (, ) y (4, 5). Calculamos su pendiente: 5 m. Por tanto, f'(). 4 No es derivable en 0 ni en, porque en ellos observamos que: f'(0 )? f'(0 + ) y f'( )? f'( + ) 5 Cuántos puntos que no tengan derivada ay en la función y + + 8? ± ± 4 ± si < 4 + si < 4 y 8 si 4 Ì Ì y' si 4 < < si > + si > La función es continua, pues es el valor absoluto de una función continua.

22 En 4 8 y' ( 4 )? y' ( 4 + ) En 8 y' ( )? y' ( + ) La función no es derivable en 4 ni en ; es decir, en ( 4, 0) y en (, 0). Son dos puntos angulosos. s Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo Á: a + si Ì f () b 4 si > Para que sea derivable, en primer lugar, a de ser continua. Si? 8 la función es continua, pues está formada por dos polinomios. En debe cumplirse que 8 f() f(): 8 f () (a + ) 4a + f () ( b 4) b 8 + f () 4a Para que sea continua, a de ser 4a + b; es decir, a + b, o bien b a. Derivabilidad: Si? 8 la función es derivable. Además: f'() a + si < b si > En debe cumplirse que f'( ) f'( + ): f'( ) 4a + f'( + ) 4 b Para que sea derivable, a de ser 4a + 4 b; es decir, b 4a +. Teniendo en cuenta las dos condiciones obtenidas: b a b 4a + a 4a + 8 a 4 8 a b 7 Por tanto, para que f () sea derivable en todo Á, a de ser a y b 7.

23 UNIDAD 7 Observa las gráficas de las siguientes funciones e indica en qué puntos no son derivables: a) b) c) Alguna de ellas es derivable en todo Á? a) No es derivable en (tiene un punto anguloso ), ni en (no está definida la función). b) Es derivable en todo Á. c) No es derivable en 0 (tiene un punto anguloso ). s8 Calcula a y b para que f() sea continua y derivable: si Ì 0 f () a + b si > 0 Continuidad: En? 0 8 En 0: La función es continua, pues está formada por dos polinomios f (0) 0 f () ( ) f () (a + b) b 8 0 Para que sea continua a de ser b 0. Derivabilidad: Si? 0: 8 La función es derivable. Además: si < 0 f'() a si > 0 En 0: f'(0 ) f'(0 + ) a Para que sea derivable, a de ser a. Por tanto, f () será continua y derivable si a y b 0.

24 s9 Estudia la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función: e si Ì 0 f () si 0 < < + + si Ó Continuidad: Si? 0 y? : es continua, pues está formada por funciones continuas. En 0: f (0) En : f () f () e 8 0 f () 8 0 f () 8 f () ( + +) 8 La función es continua en Á {}. Derivabilidad: Si? 0 y?, es derivable y: e < 0 f'() 0 0 < < + > 8 0 f () f (0). La función es continua en 0. En 0: f'(0 )? f'(0 + ) 0 8 No es derivable en 0. En : no es derivable, pues no es continua. La función es derivable en Á {0, }. 8 f ()? f () f (0). 8 + No es continua en. Página 4 0 Averigua para qué valores de es f'() 0 en cada una de las siguientes funciones: ( 8) a) f () b) f () 4 + c) f () d) f () e ( ) + 4

25 UNIDAD a) f () 8 8 f'() 9 f'() (9 ) b) f'() ( + ) f'() ( + ) c) f'() ( + ) f'() d) f'() e ( ) + e e ( + ) e f'() Halla los puntos en los que la pendiente de la recta tangente es igual a 0 en cada una de las siguientes funciones: + a) f () b) f () c) f () d) f () + Debemos allar los puntos en los que f'() 0 en cada caso: ( a) f'() ) ( + ) 4 ( ) ( ) ( ) f'() y 8 Punto (0, ) b) f'() ( ) 4 4 ( ) ( ) f'() ( ) 0 4 ( ) 0 8 (0, 0) 8 (, ) 0 8 (, ) (4 ) ( ) ( 8 4 c) f'() ) ( ) + + ( ) ( ) +8 ( ) 5

26 f'() ± 4 ± 4 4 ± ( d) f'() + ) 8 (, ) 8 (, 9) f'() (, ) 8 (, ) Averigua si en las siguientes funciones eisten puntos en los que f'() 0: a) f () b) f () + + c) f () ln ( + ) d) f () 0 ( ) 4 a) f'() ( + ) ( ) + + ( + ) ( + ) f'()? 0 para cualquier valor de. 5 ( + ) ( b) f'() + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) f'() (, ) 8 (, ) c) f'()? 0 para cualquier valor de. + d) f'() 4 ( ) f'() (, 0) Las siguientes funciones tienen algún punto donde la derivada no eiste. Hállalos en cada caso: a) f () b) f () + c) f () d) f () 4 5 e) f () f) f () a) f () / ; Dom f Á 8 f'() / f'() no eiste si 0; es decir, f () no es derivable en 0.

27 UNIDAD b) f'() + f'() no eiste si ; el dominio de f () es [, +@). Por tanto, en los puntos en los que la función está definida, no es derivable en. c) El dominio de la función es ] «[, +@). f'() En los puntos en los que f () está definida, no es derivable en, ni en. + si < d) f () ; f'() si Ó si < si > f () es continua en Á; pero no es derivable en, pues sus derivadas laterales no coinciden: f'( ) f'( + ) Son distintas si < 4 e) f () f'() si Ó 4 si < 5/4 si > 5/4 f () es continua en Á; pero no es derivable en laterales no coinciden: 5, pues sus derivadas 4 f'(5/4 ) f'(5/4 + ) Son distintas. si < 0 si < 0 f) f () + si 0 Ì Ì f'() + si 0 < < si > si > f () es continua en Á; pero no es derivable en 0, ni en, pues sus derivadas laterales no coinciden: f'(0 ) f'(0 + ) Son distintas. f'( ) f'( + ) Son distintas. 7

28 4 Esta es la gráfica de una función y f (). Estudia su continuidad y su derivabilidad. f () es continua en Á {}. En, presenta una discontinuidad de salto finito. 4 f () es derivable en Á {0, }. En 0 ay un punto anguloso (las derivadas laterales no coinciden), en no es continua, por tanto, no puede ser derivable. 5 Considera esta función: 5 + m si Ì f () + n si > Calcula m y n para que f sea derivable en todo Á. Continuidad: Si? : f () es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas. En : f () ( 5 + m) 4 + m 8 8 f () ( + n) + n f () 4 + m Para que f () sea continua en, a de ser 4 + m + n. Derivabilidad: Si? : f () es derivable y su derivada es: f'() 5 si < + n si > En : Para que f () sea derivable en, las derivadas laterales an de coincidir, es decir: f'( ) f'( + ) + n + n Uniendo las dos condiciones anteriores tenemos que: 4 + m + n + n m n + n m n 8

29 UNIDAD Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función: + si Ì f () + si > Eiste algún punto en el que f'() 0? Represéntala gráficamente. Continuidad: En? : La función es continua, pues está formada por dos polinomios. En : f () ( + ) 8 8 f () ( + ) f () La función es continua en todo Á. Derivabilidad: 8 f () f (). Por tanto, la función es continua en. Si? : La función es derivable. Además: + si < f'() si > En : f'( ) 4? f'( + ) La función no es derivable en. Por tanto, la función es derivable en Á {}. Puntos en los que f'() 0: f'() + si < f'() si > 8 f'()? 0 si > Por tanto, la derivada se anula en. Gráfica de f (): 9

30 7 Halla a y b para que la función f () sea continua: + a si < f () a + b si Ì < 0 + si 0 Ì Para los valores de a y b obtenidos, estudia la derivabilidad de f. Si? y? 0: La función es continua, pues está formada por polinomios. En : f () ( + a) + a 8 8 f () (a + b) a + b f ( ) a + b En 0: Para que sea continua, a de ser + a a + b, es decir: b a f () (a + b) b f () ( + ) f (0) Para que sea continua, a de ser b. Por tanto, f () será continua si a y b. Para estos valores, queda: f () + si < + si Ì < 0; es decir: + si 0 Ì f () + si < 0 + si Ó 0 Derivabilidad: Si? 0: Es derivable. Además: f'() si < 0 si > 0 En 0: f'(0 )? f'(0 + ) 0 La función no es derivable en 0. Por tanto, es derivable en Á {0}. 0

31 UNIDAD 8 Calcula f'(0), siendo: e f () ln + e + Aplica las propiedades de los logaritmos antes de derivar. Hallamos f'() y después sustituimos en 0. f () [ln (e + e ) ln ( + )] f'() e [ e e + ] + e f'(0) ( ) 9 Halla la pendiente de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos indicados: a) y sen cos en b) y ln en e e c) y en 0 y d) y e en π 4 Debemos allar la derivada en los puntos indicados en cada caso: a) y' cos cos + sen ( sen) cos sen π 4 y' ( ) ( ) ( ) 0 b) y' ln + ln + ; y' (e) ln e + + e c) y' e e ( ) (e ) (e ) e y' (0) 0; y' () e d) y' e ; y' ()

32 40 Estas gráficas representan las funciones derivadas de las funciones f, g, y j: f' g' ' 4 j' a) Cuáles de estas funciones tienen puntos de tangente orizontal? b) Cuál de estas gráficas es la función derivada de una función polinómica de primer grado? c) Cuál de ellas corresponde a una función polinómica de segundo grado? a) Los puntos de tangente orizontal son los puntos en los que se anula la derivada. f tiene un punto de tangente orizontal en, pues f'( ) 0. j tiene dos puntos de tangente orizontal en y en, pues j'() j'() 0. g y no tienen ningún punto de tangente orizontal. b) La derivada de una función polinómica de primer grado es una función constante. Por tanto, es g'. c) La derivada de una función polinómica de segundo grado es una función polinómica de primer grado. Por tanto, es f'. Página 5 CUESTIONES TEÓRICAS s4 Una función polinómica de tercer grado, cuántos puntos de derivada nula puede tener? Puede tener uno o ninguno? La derivada de una función polinómica de tercer grado es una función polinómica de segundo grado. Por tanto, puede aber dos puntos, un punto, o ningún punto, con derivada nula. Por ejemplo: f () 8 f'() 0 Dos puntos f () 8 f'() Un punto f () + 8 f'() +? 0 para todo 8 Ninguno

33 UNIDAD s4 Justifica que una función polinómica de segundo grado tiene siempre un punto de tangente orizontal. Su derivada es una función polinómica de primer grado, que se anula siempre en un punto. 4 Si una función tiene un punto anguloso en a, qué podemos decir de f'(a)? f'(a) no eiste. 44 Sea f una función de la que sabemos que: f'( f( + ) f() ) f'( + f( + ) f() ) Es f derivable en? No, pues las derivadas laterales no coinciden. 45 La función f () es continua en y f'() +@. Cómo es la recta tangente a f en? Es una recta vertical. 4 Prueba que la función f () + no es derivable en. + si < f () + si Ó si < si Ó f'() 0 si < si > f'( ) 0? f'( + ). Por tanto, la función no es derivable en. PARA PROFUNDIZAR 47 Cuáles de estas gráficas representan la función f y su derivada f'? Justifica tu respuesta. a) b) c) d)

34 a) La función en rojo es una recta que tiene pendiente. Por tanto, su derivada es y (la recta verde). Luego estas gráficas sí representan a una función y su derivada. b) La función en rojo es un polinomio de. grado, una parábola. Su derivada es una recta. En 0, la función tiene un máimo; la derivada se anula. Para que la recta fuera la derivada, tendría que pasar por (0, 0). No representan, por tanto, a una función y su derivada. c) La función tiene que ser un polinomio de. er grado porque tiene dos etremos relativos. Su derivada será un polinomio de. grado, una parábola. En, la función tiene un máimo; la derivada se anula, f'() 0, y tendría que pasar por (, 0). Estas tampoco representan a una función y su derivada. d) La función en rojo es una recta de pendiente 0. Por tanto, su derivada es y 0, la recta en verde. En este caso, las gráficas representan a una función y su derivada. 48 La función f () + a + b + c verifica que f (), f'() 0 y f''() 0. Calcula a, b y c. f'() + a + b; f''() + a f () 8 + a + b + c f'() a + b 0 f''() a 0 Por tanto: f () + a b c 0 49 Halla los puntos de la función y en los que la pendiente de la recta tangente es igual a. Buscamos los puntos en los que f'() : ( ) f'() ( ) ( ) f'() 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) (0, 0) 8 (, 4) ( ) 4

35 UNIDAD Página 5 AUTOEVALUACIÓN. Halla la función derivada de cada una de las siguientes funciones: 5 a) y + b) y c) y ( +) d) y ( + 5 b) y' e) y e + f) y ln + ( + ) a) y' ( +) ( +) + + c) y' ( + ) 4 ( + ) ( + ) ) ( + ) ( ) ) d) y' ( ( + ( + ) + ( + ) e) y' e + ) 5 + f) y' : + + 4( ) ( + ) ( ). Aplica la definición de derivada para allar f'() siendo f() 5. f'() 8 0 f( + ) f() f( + ) ( + ) 5( + ) f() 5 f( + ) f() f( + ) f() f'() ( ) 8 0 5

36 . Estudia la continuidad y la derivabilidad de esta función: + si Ì f() 4 si > + Eiste algún punto en el que f'() 0? f() es continua si < y si >, porque las funciones que la definen lo son. Estudiamos la continuidad en. 8 f() f() ( + ) 8 4 f() f() + Como f() f(), f es continua en. 8 Por tanto, f es continua en Á. + si < Hallamos f'() 4 si > ( +) f es derivable si < y si >. Estudiamos su derivabilidad en. f'( ) f'( + ) ( + ) Como f'( )? f'( + ), no eiste f'(). f es derivable en Á {}. Veamos si f'() 0 tiene solución: no tiene solución. ( +) Por tanto, f'() 0 cuando. 4. Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable: a + b si < 0 f() + si Ó 0 Representa la función para los valores de a y b que as allado. Para que f sea derivable en 0, debe ser continua en ese punto.

37 f() Para que f() f(0), debe ser b. Si b, f es continua en Á. f'() Veamos si f es derivable en 0: Para que eista f'(0), debe ser a. Si a, f es derivable en Á. f() UNIDAD 8 0 (a + b) b 8 0 ( + ) a si < 0 si > 0 f'(0 ) a f'(0 + ) Y + si < 0 + si Ó 0 X 5. En qué puntos no es derivable la función f() 4 +? Justifica tu respuesta. Definimos la función por intervalos. Para ello, acemos: ± 4 + si Ì f() + 4 si < < 4 + si Ó Hallamos f'(): 4 si < f'() + 4 si < < 4 si > Estudiamos la derivabilidad de f en y en : f'( ) 4 f'( + ) + 4 Como f'( )? f'( + ), no eiste f'(). f'( ) + 4 f'( + ) 4 Como f'( )? f'( + ), no eiste f'(). f no es derivable ni en, ni en. 7

38 . Observando la gráfica de esta función f, estudia su derivabilidad. Halla, si eisten, f'( 4), f'(0), f'(). f es discontinua en. Por tanto, no es derivable en. En observamos que f'( )? f'( + ): tampoco es derivable. Luego f es derivable en Á {, }. f'( 4) 0 porque en ese punto la función es constante. f'(0) 0 porque en 0 la tangente es orizontal. f'() porque es la pendiente de la recta que pasa por (, ) y (, 0): 0 m 8