Derivada de una función

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1 0 Derivada de una función Derivada de una función L I T E R A T U R A M A T E M Á T I C A S La ciudad Rosa y Roja Aquella princesa de largos y dorados cabellos estaba alarmada al observar que cada día mucos se quedaban enredados en su peine. Pero, para su tranquilidad, la cuenta se mantenía siempre alrededor de los ciento cincuenta mil cabellos, pese a que se le caían unos cincuenta diarios, por lo que no parecía probable que fuera a perder su dorado atributo. Llegado el momento de tomar esposo, la princesa declaró que sólo se casaría con quien adivinara la longitud de su cabellera. Eran datos sobradamente conocidos el número de sus cabellos y los que perdía diariamente, así como el eco de que nunca se los cortaba, ya que la augusta melena era uno de los temas de conversación más frecuentes en palacio. Así que el astrónomo real, que la amaba en silencio, se presentó ante la princesa (que para confundir a sus pretendientes se recogía el pelo en un enorme moño) y le dijo: Si tenéis ciento cincuenta mil cabellos y se os caen unos cincuenta diarios, dentro de tres mil días se abrán caído todos los que aora adornan vuestra cabeza (aunque, naturalmente, para entonces tendréis otros ciento cincuenta mil, que os abrán ido saliendo al mismo ritmo que se os caen, puesto que la cuenta diaria demuestra que el número de vuestros cabellos permanece constante). Lógicamente, los últimos en caer serán los que oy mismo os an salido, lo que equivale a decir que la vida media de un cabello es de tres mil días. Puesto que el cabello umano (incluso el principesco) crece a razón de un centímetro al mes, y tres mil días son cien meses, vuestra cabellera debe medir en su punto de máima longitud (ya que en realidad tenéis cabellos de todas las medidas) aproimadamente un metro. La princesa se casó con el astrónomo, que, acostumbrado a contar las estrellas, pasó a ocuparse personalmente del cómputo de los cabellos, uniendo al rigor del científico la solicitud del esposo. CARLO FRABETTI Al suponer que la «velocidad» de crecimiento del cabello es constante: cm/mes, la función que relaciona la longitud, en cm, del cabello (l ) y el tiempo, en meses, transcurrido (t ) es l t. Si la velocidad de crecimiento fuera de cm/mes, la fórmula sería l t. Pero esta velocidad no es siempre constante. Imagina que, por efecto de un crecepelo, la relación entre la longitud y el tiempo viene epresada por la fórmula l t. Determina la velocidad de crecimiento entre los meses. o y 7. o,. o y 6. o,. o y. o. Es constante? l( 7) l( ) 7 0,7 7 5 l( 6) l( ) 6 0,77 6 l( ) l( ) 6 0,87 La velocidad de crecimiento no es constante. 0

2 SOLUCIONARIO 0 ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 Determina cuáles de estos vectores son paralelos y cuáles son perpendiculares a vជ (, ). a) vជ (6, ) b) vជ (, ) c) vជ (8, ) a) vជ vជ Los vectores son paralelos. b) vជ vជ 0 Los vectores son perpendiculares. c) vជ vជ Los vectores son paralelos. 00 El ángulo que forma una recta con el eje de abscisas, puede medir más de 80? Por qué? No, porque si la inclinación de la recta sobrepasa la inclinación del eje, la semirrecta que queda por encima del mismo determina el ángulo menor de 80 que ay que considerar para calcular la pendiente. 00 Calcula la ecuación punto-pendiente de una recta que pasa por el punto A(, 6) y que tiene como vector director vជ (, ). y 6 ( + ) 00 Estudia la continuidad de estas funciones. 5 a) f( ) b) g( ) c) ( ) ln a) f() es continua en {}. b) g() es continua en (, ] [, +). c) () es continua en (0, +). 005 Dadas las funciones f () ( ) y g( ), calcula (g f )() y (f g )(). ( g f )( ) g[ f( )] g[( ) ] ( ) ( g f )( ) 7 ( f g)( ) f [ g( )] f ( f g)( ) ( ) ( ) 006 Si la función f () crece en el intervalo (0, ) y decrece en el intervalo (, ), qué ocurre en el punto? En la función presenta un máimo.

3 Derivada de una función ACTIVIDADES Halla la tasa de variación media de las funciones f () + y g() + en los siguientes intervalos. a) [0, ] b) [, ] a) T.V.M. T.V.M. ([ 0, ]) ([ 0, ]) f() f() 6 b) T.V.M. ([, ]) 6 g( ) g( ) 0 0 T.V.M. ([, ]) 0 La cotización de una acción sigue durante una semana la función f () 0,0 +, donde es el día de la semana (0 lunes, martes, ). Halla la tasa de variación media de esa cotización de lunes a viernes. f( ) f( 0), T. V. M. ([ 0, ]) 0,08 0 Calcula la derivada de estas funciones en. a) f () + b) a) f () f ( + ) f ( ) ( + ) ' b) f () f + f ( ) ( ) ( + ) ( + ) ' ( + ) ( + ) ( + ) Halla la derivada de las funciones en los puntos 0 y. a) f () b) a) f (0) f f ( 0 + ) ( 0) ' 0 f f + f ( ) ( ) ( + ) '() ( + + ) f() f(0) 0 0 g() g(0) 0 0 f( ) f( ) b) f (0) f ( 0 + ) f ( 0) ' No eiste. f f ( + ) f ( ) + + '() ( + + ) + +

4 SOLUCIONARIO Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f () + en. f f f ( + ) ( ) ( + ) + 6 '( ) ( + ) La pendiente de la recta tangente es Cuál es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f () en? f f f ( + ) ( ) ( + ) + '( ) ( ) La pendiente de la recta tangente es Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f () en el punto P (, ). Cuál es la ecuación de la recta normal? f f f ( + ) ( ) ( + ) + '( ) ( + ) La ecuación de la recta tangente es: y ( + ) y 9 La ecuación de la recta normal es: y ( + ) y + Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f () + en los puntos y. Comprueba que son paralelas a la recta y +. f f f ( + ) ( ) ( + ) '() ( + + ) La ecuación de la recta tangente es: y ( ) y f f f ( + ) ( ) ( + ) '( ) ( + ) La ecuación de la recta tangente es: y 0 ( + ) y +

5 Derivada de una función 009 Halla la función derivada de f () +, aplicando la definición de derivada de una función en un punto. A partir del resultado que as obtenido, calcula la derivada de f () en estos puntos. a) b) 7 Comprueba que obtienes el mismo resultado que si utilizas la definición de derivada en un punto. f f ( + ) f ( ) ( + ) + ( + ) + '( ) a) f' ( ) f f ( + ' ) ( ) f ( ) ( + ) b) f' ( 7) f' ( ) f ( 7 + ) f ( 7) ( 7 + ) Cuál es la función derivada de estas funciones? a) f( ) b) f( ) a) f f ( + ) f ( ) '( ) ( + + ) b) f f f ( + ) ( ) ( + ) '( ) ( + ) 0 ( + ) + 0 ( ) ( + ) 0 Utiliza la definición para calcular la función derivada de la función f () +. f f f ( + ) ( ) ( + ) + ( '( ) + ) ( + ) ( ) Calcula la derivada de estas funciones, y comprueba que se cumple que el resultado es igual a la suma de las derivadas de las funciones que las forman. a) f () 7 + b) f () +

6 SOLUCIONARIO 0 a) f f ( + ) f ( ) 7( '( ) + ) + ( + ) ( 7 + ) ( ) 7 + f 7( + ) 7 ( + ) 7 '( ) ( + ) 7 + b) g g ( + ) g ( ) ( + ) + ( + ) ( + ) '( ) + + ( + ) ( + ) ( + ) ( g'( ) + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + + ( + ) 0 Halla la derivada de las siguientes funciones, utilizando la definición de derivada del producto de un número por una función. a) f () 8 b) f( ) c) f () 5 a) ( + ) ( + + ) f'() b) + + ( + + ) + + f'( ) c) ( + ) ( + ) 0 f'( ) 5 0 5

7 Derivada de una función Calcula el producto de las funciones f () y g() +, y después alla su derivada. Comprueba que el resultado es el mismo que si aplicamos la fórmula de la derivada del producto de funciones. p( ) f( ) g( ) ( )( + ) + p' ( ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) + Aplicando la fórmula: p' ( ) f' ( ) g( ) + f( ) g' ( ) ( ) ( ) + ( + ) + ( ( ) + ) + ( + ) + + ( + + ) + ( ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) + + Halla las derivadas de las funciones f () + y g() + 5. f( ) g( ) Cuál es la derivada del cociente? la derivada del cociente? g( ) f( ) f ( + ) + ( + ) + + '( ) + ( ) 0 ( + ) + 5 ( + 5) g + '( ) f( ) ' f' ( ) g( ) f( ) g' ( ) ( 5) ( )( ) 0 g( ) [ g( )] ( + 5) ( + 5) g( ) ' g' ( ) f( ) g( ) f' ( ) ( )( ) ( 5) 0 f( ) + + [ f( )] ( + ) ( + ) Calcula la derivada de esta función, indicando los pasos que sigues para allarla. f () + Se aplica la derivada de la suma de funciones, la derivada de la función potencial (n ), la derivada del producto de un número por una función y la derivada de la función identidad: f'() + + Halla la derivada de la siguiente función: f( ) 5 Se aplica la derivada del cociente de funciones. Para derivar la función del numerador se usa la derivada de la suma de funciones, la derivada de la función identidad y la derivada de la función constante. Para obtener la derivada del denominador se aplica la derivada del producto de un número por una función y la derivada de la función potencial (n 5): ( ) f'( ) ( ) 6 6

8 SOLUCIONARIO 0 08 Halla la derivada de las siguientes funciones. a) f () 5 sen + cos b) f () (5 sen ) + ( cos ) a) f'() 5 cos + (sen ) 5 cos sen b) f'() (5 sen + 5 cos ) + ( cos + (sen )) 0 sen + 5 cos + cos sen 09 Obtén la derivada de estas funciones. a) f () e tg b) f () arc sen a) f'() e tg + e ( + tg ) e ( + tg + tg ) b) f'( ) 6 00 Halla la derivada de estas funciones aplicando la regla de la cadena. a) f () ln (cos ) c) f () ( + ) 9 b) f () cos (ln ) d) f () a) f'( ) ( sen ) tg cos b) f'( ) sen (ln ) c) f'( ) 9( + ) 6 ( + ) 8 8 d) f'( ) + + ( + ) Calcula la derivada de estas funciones. + a) f () sen + c) f () ln b) f () sen + sen d) f () e ( + ) ( + ) cos + a) f'( ) cos + ( + ) ( + ) + b) f'( ) cos + sen cos 6 cos + sen cos c) f'( ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( + ) f'( ) e ( + ) + ( + ) e 7

9 Derivada de una función 0 Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones. a) f () b) f () 8 + a) f'() f'(0) < 0 f'() > 0 0 La función es decreciente en (, ) y es creciente en (, +). b) f'() f'(5) < 0 f'(0) > La función es decreciente en (, ) y es creciente en (, +). 0 Determina los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de estas funciones. a) f () b) f () a) f'() 0 ± f'() > 0 f'(0) < 0 f'() > 0 La función es creciente en (, ) (, +) y es decreciente en (, ). Presenta un máimo en y un mínimo en. b) f'() < 0 0 La función es decreciente en. No tiene máimos ni mínimos. 0 Calcula los máimos y mínimos de estas funciones. a) f () + 8 b) f () + c) f () d) f () + 8

10 SOLUCIONARIO 0 a) f'() ( ) 0 ± f"() 8 ( ) > f" 6 0 En tiene un mínimo. f"(0) 8 < 0 En 0 tiene un máimo. ( ) > f" 6 0 En tiene un mínimo. b) f' ( ) 6 ( + ) ( + ) f" ( ) 6( + ) + 6 ( + ) 8 ( + ) ( + ) f"(0) < 0 En 0 tiene un máimo. c) f'() 0 ± f"() 6 f"() < 0 En tiene un máimo. f"() > 0 En tiene un mínimo. ( + ) d) f'( ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( )( ) ( ) ( ) f"( ) ( + ) ( + ) f"(0) > 0 En 0 tiene un mínimo. f" ( ) < 0 En tiene un máimo. 05 Si la función f () + a + b tiene un mínimo en el punto (, 5), determina los valores de a y b. Tiene algún otro máimo o mínimo esta función? f'() + a Si la función tiene un mínimo en : f'() 0 + a 0 a Como el punto (, 5) pertenece a la gráfica de la función f(), se verifica que: f() 5 Al ser f() + b, se tiene que: + b 5 b 7 Por tanto, la epresión de la función es: f() + 7 f'() 0 ± f"() 6 f"() 6 < 0 En tiene un máimo. 9

11 Derivada de una función 06 Halla los máimos y mínimos de f () sen en [0, π]. f'( ) sen cos 0 sen 0 π sen cos 0 π cos 0 π f"( ) ( cos sen ) f"( 0) > 0 En 0 tiene un mínimo. f" π 0 π tiene un máimo. < En f"( π) > 0 En π tiene un mínimo. f" π π 0 tiene un máimo. < En 07 Representa estas funciones. a) f( ) c) + b) f( ) d) a) Dom f {0} f( ) f( ) es una asíntota vertical y 0 es una asíntota orizontal. + No ay puntos de corte con los ejes. f'( ) Si > 0 f'() < 0 f() es decreciente en (0, +). Si < 0 f'() > 0 f() es creciente en (, 0). La función no tiene máimos ni mínimos. f() 0

12 SOLUCIONARIO 0 b) Dom f {0, } es una asíntota vertical. es una asíntota vertical. + y es una asíntota orizontal. + No ay puntos de corte con los ejes. ( ) ( + ) ( ) f'( ) + ( ) ( ) + + ± ( ) ± f'() < 0 f'() > 0 f'(0,) > 0 f'(0,5) > 0 f'() < 0, 0, 0,5 0 0, f() es decreciente en (;,) (0,; ) (, +) y es creciente en (,; 0) (0; 0,) Mínimo: (,; 0,8) Máimo: (0,;,8) f() c) Dom f y 0 es una asíntota orizontal Punto de corte: (0, 0) ( ) ( ) f'( ) ( + + ) ( f'() < 0 f'(0) > 0 f'() < ± ) f() es decreciente en (, ) (, +) y es creciente en (, ). Mínimo: (, ) Máimo: (; 0,) 0 f()

13 Derivada de una función d) Dom f y 0 es una asíntota orizontal No ay puntos de corte con los ejes. f'( ) ( + ) ( ) Si > 0 f'() < 0 f() es decreciente en (0, +). Si < 0 f'() > 0 f() es creciente en (, 0). Máimo: (0; 0,66) f() 08 Representa las siguientes funciones. a) f( ) + 6 b) f( ) e a) Dom f f'() ( ) 0 0 f'() < 0 f'(0,5) > 0 f'() < 0 f'() > 0 0,5 0 f() es decreciente en (, ) (0, ) y es creciente en (, 0) (, +). Mínimos: (;,75) y (, ) Máimo: (0, 6) f()

14 SOLUCIONARIO 0 b) Dom f {0} e e 0 es una asíntota vertical. + 0 e + y 0 es una asíntota orizontal. + e 0 y es una asíntota orizontal. e No ay puntos de corte con los ejes. e f'( ) ( e ) f'() < 0 f() es decreciente en (, 0) (0, +). No ay máimos ni mínimos. f() 09 Halla dos números naturales positivos cuya suma sea 60 y sabiendo que la suma de uno más el cuadrado del otro es la mayor posible. + y 60 y 60 f( ) 60 + f'( ) f"( ) < 0 En tiene un máimo. Los números son: 9 y

15 Derivada de una función 00 El área de un rectángulo es de 00 cm. Si queremos que tenga el menor perímetro posible, cuáles son sus dimensiones? 00 y 00 y f( ) f'( ) ± 0 f"( ) 00 f"( 0) > 0 En 0 tiene un mínimo. Como el valor de corresponde a la medida de un lado, no puede ser 0. Por tanto, las dimensiones del rectángulo son: y 0 cm. Se trata de un cuadrado de 0 cm de lado. 0 Una pieza con forma de triángulo rectángulo tiene un cateto cuya longitud es m y el otro cateto mide m. Determina el rectángulo de lados paralelos a los catetos y cuya área sea la mayor posible que se puede obtener de ella. Si el triángulo se apoya sobre los ejes de coordenadas, los vértices coinciden con los puntos (0, 0), (, 0) y (0, ). (, y) Entonces el rectángulo de lados paralelos a los catetos tiene un vértice sobre la recta que contiene a la ipotenusa: y + y y f( y) ( y) y y y f'( y) 6y 6y 0 y f"( y) 6 < 0 En y tiene un máimo. Así, los lados del rectángulo miden m y m.

16 SOLUCIONARIO Se an construido cajas de cartón, de base cuadrada y sin tapa, cuya capacidad es de m. Si queremos mantener el volumen, pero modificar la base, cuáles serán sus dimensiones para minimizar el gasto de cartón empleado? y y f( ) + + y f'( ) f"( ) + ( ) > f" 0 En tiene un mínimo. y ( ) La arista de la base mide m y la altura del ortoedro es m. Sabemos que el rectángulo de mayor área que puede inscribirse en una circunferencia es el cuadrado. Sucederá lo mismo si consideramos una semicircunferencia? Para comprobarlo, alla las dimensiones de un rectángulo de área máima, inscrito en una semicircunferencia de 5 cm de radio, sabiendo que su base está situada sobre el diámetro. + y 5 y 5 f( ) 5 f'( ) 5 cm y ± ± 5 5 ( 5 ) 5 75 f"( ) 5 ( 5 ) 5 f" 5 0 tiene un máimo. 5 Como el valor de corresponde a la medida de un lado, no puede ser. y Se trata de un cuadrado cuyo lado mide en la semicircunferencia. cm; por tanto, también se verifica 5

17 Derivada de una función 0 Determina la tasa de variación media de la función y + 6 en el intervalo [, ]. T.V.M. ([, ]) f( ) f( ) Cuál es la tasa de variación media de la función f( ) en el intervalo [, ]? f( ) f( ) T.V.M. ([, ]) 06 Calcula la tasa de variación media en los intervalos indicados para la siguiente función. a) [, ] b) [, ] c) [, ] a) T. V. M. ([, ]) b) T. V. M. ([, ]) c) T. V. M. ([, ]) f( ) f( ) f( ) f( ) 6 f( ) f( ) 6 07 Determina la tasa de variación media de esta función en cada uno de los intervalos. a) [, ] b) [, ] c) [, ] f( ) f( ) a) T. V. M. ([, ]) ( ) f( ) f( ) b) T. V. M. ([, ]) f( ) f( ) c) T. V. M. ([, ]) ( ) 6

18 SOLUCIONARIO 0 08 Halla la tasa de variación media de la función y en el intervalo [, + ]. Utiliza el resultado para determinar la tasa de variación media de la función en los siguientes intervalos. a) [, ] b) [, 5] c) [, 8] f( + ) f( ) ( + ) ( + ) 6 T. V. M. ([, + ]) a) T.V.M. ([, ]) b) T.V.M. ([, 5]) 7 + c) T.V.M.([, 8]) Calcula el valor de a de modo que la tasa de variación media de la función f () + a 5 en el intervalo [0, ] sea. f( ) f( 0) a 5 ( 5) T. V. M. ([ 0, ]) + + a + a a Encuentra dos funciones polinómicas de segundo grado que pasen por los puntos (0, ) y (, 0). Comprueba que la tasa de variación media en el intervalo [0, ] es la misma para las dos funciones. Respuesta abierta. La función es de la forma: f() a + b + c Como la gráfica pasa por el punto (0, ), se verifica que: c Al pasar también por el punto (, 0), se cumple que: 9a + b + 0 a + b Sean f() + y g() + las funciones pedidas. f( ) f( 0) 0 T. V. M. ([ 0, ]) 0 g( ) g( 0) 0 T. V. M. ([ 0, ]) 0 Por qué la tasa de variación media de la función y en cualquier intervalo es siempre? Porque la gráfica de la función es una recta de pendiente, y esta indica su variación en cualquier intervalo. 0 El espacio recorrido por un objeto, en metros, se epresa con la fórmula: e t + t + a) Qué espacio a recorrido a los segundos? a los 7 segundos? b) Cuál es la velocidad media que a mantenido entre los y 7 segundos? a) A los segundos: e 7 m A los 7 segundos: e m 7 b) T. V. M. ([, 7]) 6 m /s 7 7

19 Derivada de una función 0 Aplica la definición de derivada en un punto para calcular las derivadas de las funciones en los puntos que se indican. a) y en b) y + en c) y + en d) y 6 en e) y ( ) en a) f f ( + ) f ( ) ( + ) 5 '( ) b) f f f ( + ) ( ) ( + ) + + '( ) ( 7 + ) 7 ( + ) + + c) f'( ) f ( + ) f ( ) d) f f ( + ) '( ) f ( ) ( + ) e) f f f ( + ) ( ) ( + ) 9 '( ) ( 6 + ) 6 0 Calcula, utilizando la definición de derivada en un punto, f'() y f'(0) para la siguiente función: f () + f f f ( + ) ( ) ( + ) ( + ) + 9 '( ) ( 7 + ) 7 f'( ) f ( 0 ) f ( 0) ( ) 8

20 SOLUCIONARIO 0 05 Si f( ) + 6, determina a partir de la definición de derivada en un punto las siguientes derivadas. a) f' () b) f'() a) f f f ( + ) ( ) '( ) b) f'( ) f ( + ) f ( ) Obtén la pendiente de la recta tangente a la función y + en el punto de abscisa 5. f' ( ) 6 + f' ( 5) La pendiente de la recta tangente es. 07 Halla la derivada de la función y t + t en el punto t 8. f' ( t) t + f' ( 8) 08 El espacio, en metros, que recorre un móvil en función del tiempo, en segundos, viene descrito por la epresión. e t + t Calcula la velocidad instantánea del móvil a los segundos. f' ( t) t + f' ( ) 5 La velocidad instantánea del móvil a los segundos es de 5 m/s. 09 Determina la ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto de abscisa. f() f' ( ) 6 f' ( ) 6 La ecuación de la recta tangente es: y 6( ) y 6 9

21 Derivada de una función 050 Demuestra gráficamente que la derivada de esta función en el punto de abscisa tiene un valor comprendido entre y. La derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente, y observando el dibujo de la misma se obtiene que, por cada unidad en orizontal, el avance vertical está comprendido entre y unidades. 05 A partir de la definición, calcula las funciones derivadas de las funciones que se indican. a) y + c) y e) y b) y d) y f) y ( + ) a) f f ( + ) f ( ) ( '( ) + ) + ( + ) + ( + ) b) f'( ) f ( + ) f ( ) + + c) f f f ( + ) ( ) ( + ) '( ) ( + + ) d) f f f ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) '( ) ( ) 0 e) f'( ) f ( + ) f ( ) + ( + ) ( + ) 50

22 SOLUCIONARIO 0 f ) f f f ( + ) ( ) ( ( + ) + ) ( + ) '( ) 9( + ) + ( + ) ( ) Obtén, aplicando la definición, la función derivada de f () +, y calcula la derivada en estos puntos. a) f' () b) f'() c) f' () f f f ( + ) ( ) ( + ) ( + ) + ( + ) '( ) ( ) 0 a) f'() 0 b) f'() 8 c) f'() A partir de la definición, encuentra la función derivada de f () + +, y calcula f'(0), f'() y f'(). Decide el tipo de crecimiento de la función en los puntos de abscisa 0, y. f f f ( + ) ( ) ( + ) + ( + ) + ( + + ) '( ) ( + + ) + f'(0) > 0 La función es creciente en 0. f'() 0 No se puede decir si la función tiene un mínimo o un máimo en. f'() 8 > 0 La función es creciente en. La función derivada de y ln es y'. Utiliza el resultado para determinar la ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto de abscisa. La ecuación de la recta tangente es: y 0 ( ) y Obtén las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto de abscisa. y' + La ecuación de la recta tangente es: 5 5 y 6 ( ) y + La ecuación de la recta normal es: 6 y 6 ( ) y y + 5

23 Derivada de una función Es orizontal la recta tangente a la función y + en el origen de coordenadas? Si es cierto, cuál será la ecuación de la recta normal? y' + La ecuación de la recta tangente es: y 0 0( 0) y 0 Esta recta es orizontal; por tanto, la recta normal es: 0 Es cierto que la curva y tiene una tangente orizontal en el punto (, 0)? y' + La ecuación de la recta tangente es: y 0 0( ) y 0 Es una recta orizontal. Se verifica que la recta tangente a la curva y ( )( + ), en el punto de abscisa, es paralela a la recta y 0? y' ( )( + ) + ( ) 6 La ecuación de la recta tangente es: y 0 7( + ) y y 0 y 7 Como las pendientes de las rectas son iguales, se verifica que son paralelas. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función y cos en el punto de abscisa π. y' sen La ecuación de la recta tangente es: y + 0( π) y Esta recta es orizontal; por tanto, la recta normal es: π Cuánto tiene que valer a para que la función f () ln a tenga, en el punto de abscisa e, una recta tangente paralela a la bisectriz del primer cuadrante? La bisectriz del primer cuadrante es: y Esta recta y la recta tangente son paralelas si sus pendientes son iguales. La pendiente de la recta tangente a la función, en e, es: f' ( ) ln + a ln + a f' ( e) a Entonces, tenemos que: a a Halla la recta tangente y la recta normal a las funciones en los puntos indicados. a) y 8 en b) y ln ( + ) en c) y ( 5) 6 en a) y' 8 La ecuación de la recta tangente es: y 6( ) y La ecuación de la recta normal es: y ( ) y

24 SOLUCIONARIO 0 b) y' ln ( + ) + + La ecuación de la recta tangente es: y 0 ( + ) y + 8 La ecuación de la recta normal es: y 0 ( + ) y c) y' 6( 5) 5 8( 5) 5 La ecuación de la recta tangente es: y 8( ) y La ecuación de la recta normal es: y ( ) y Determina la recta tangente y la recta normal a las funciones en los puntos indicados. a) y + 6 en 5 b) y sen ( + π) en 0 π c) y tg en π a) y' + 6 ( ) + 6 La ecuación de la recta tangente es: y ( 5) y + La ecuación de la recta normal es: y ( 5) y + 6 b) y' cos ( + π) La ecuación de la recta tangente es: y 0 ( 0) y La ecuación de la recta normal es: y 0 ( 0) y c) y' + tg π π La ecuación de la recta tangente es: y 0 ( π) y + La ecuación de la recta normal es: y 0 ( π) y π 06 Obtén las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y + + +, que son paralelas a la recta de ecuación 6 y y + 0 y + Esta recta y las rectas tangentes son paralelas si sus pendientes son iguales. y' Si 0, la ecuación de la recta tangente es: y ( 0) y + Si, la ecuación de la recta tangente es: y ( + ) y + 8 5

25 Derivada de una función 06 Halla los puntos en los que la función y tiene rectas tangentes de pendiente. Determina también la ecuación de dicas rectas tangentes. y' Si, la ecuación de la recta tangente es: y 5 + y 7 7 Si, la ecuación de la recta tangente es: y 5 ( + ) y Aplica las reglas de derivación a la función y + 5 para calcular: a) La función derivada. b) La derivada en los puntos de abscisa, 0 y. c) La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa. a) f'() 6 + b) f'() f'(0) f'() c) y ( ) y 066 Emplea las reglas de derivación para calcular la función derivada de: f () ( + )( ) A partir del resultado obtenido, determina: a) f' () f' f' () f' b) La ecuación de la recta tangente en el punto. c) La ecuación de la recta tangente en el punto. f'( ) ( ) + ( + ) a) f' ( ) 7 f' 7 f' ( ) 9 f' b) y 9( + ) y 9 6 c) y 0 ( ) y 5

26 SOLUCIONARIO Aplica las reglas de derivación para calcular la función derivada de las siguientes funciones. a) y c) y b) y log d) y 6 5 a) y' + 5 b) y' ln c) y' ln d) y' ( ) Utiliza las reglas de derivación para allar la función derivada de estas funciones a) y 5 c) y 8 e) y 7 b) y d) y f ) y (6) d) y' a) y' ( ) b) y' ln c) y' e) y' 7 f ) y' ( 6) 6 ( 6) 069 Halla la derivada de estas operaciones de funciones. a) y ( )( + ) e) y ln + e b) y f ) c) y log g) y 8 d) y ) y a) y' ( + ) + ( )( + ) + 6 b) y' c) y' log + log + ln 0 ln 0 d) y' 8 6 ( ) ( ) e) y' + e f) y' + g) y' + ln ( ) ( + ) ) y' ( ) ( ) y

27 Derivada de una función 070 Calcula la derivada de las siguientes operaciones de funciones. ln + ln a) y d) y + e b) y 8 e) y 5e c) y ( + ) log f ) a) y' e (ln + ) e ( e ) ( 8 ) b) y' ( ) y (ln + ) e c) y' log ( ) log ln ln e ln e d) y ' ln ( e ) e e e) y' 5e ln f) y' ( ) ( ) ( ) 07 Deriva las siguientes funciones trigonométricas. a) y sen cos d) y tg cos b) y e) y arc cos c) y sec cosec f ) y tg a) y' cos sen b) y ' sen cos sen cos sen cos c) y' cosec + sec cos sen cos sen d) y' tg + ( + tg ) + tg + tg e) y' arc cos + tg f ) y' + tg arc cos 56

28 SOLUCIONARIO 0 07 Calcula la derivada de las siguientes operaciones donde intervienen funciones trigonométricas. a) y + arc sen + arc cos b) y ( + ) arc tg c) y ln tg d) y e sen e) cos y a) y' + b) y' arc tg + ( + ) + c) y' tg + ln ( + tg ) + arc tg d) y' e sen + e cos e ( sen + cos ) sen cos sen c e) y' ( ) ( ) ( ) + os ( ) ( ) 07 Determina las derivadas que se indican. a) f () ln f'' () y f'''() b) f () 5 f'() y f''() c) f () 5 f'''() y f IV () a) f' ( ) f" ( ) f'" ( ) b) f' ( ) 5 f" ( ) 0 c) f' ( ) 5 f" ( ) 0 6 f'" ( ) 60 7 f IV ( ) Calcula las seis primeras derivadas de las funciones y sen e y cos. IV y sen y' cos y" sen y'" cos y sen V VI y cos y sen IV y cos y' sen y" cos y'" sen y cos V VI y sen y cos 075 k 5 Halla el valor de k para que la función f( ) cumpla que f' () 9. + k ( ) ( k ) k f'( ) ( + ) ( + ) f'( ) k k 57

29 Derivada de una función 076 Escribe las funciones que componen las siguientes funciones y alla la derivada en cada caso. a) y log ( + ) e) y b) y ( + ) f ) y c) y sen g) y cos ln d) y arc tg e ) y cos a) f( ) log y g( ) + y ( + ) ln ' ( + ) ln b) f( ) y g( ) + y' ( + ) ( 6 ) c) f( ) sen y g( ) cos y' cos d) f( ) arc tg y g( ) e e y' e + ( e ) + e e) f( ) y g( ) y' ln f ) f( ) y g( ) y' ( ) ( ) g) f( ) cos y g( ) ln sen ln y' sen ln ) f( ) y g( ) cos cos y' ln ( sen ) 077 Calcula la función derivada de estas funciones, aplicando la regla de la cadena. a) y ln ( 5) c) b) y 5 d) y + y log 5 a) y' ( 5) b) y' ln + c) y' ( + ) ( + ) + d) y' (log ) ln log ln 58

30 SOLUCIONARIO Aplica la regla de la cadena para determinar la función derivada de estas funciones. a) y ln tg f ) y tg ln b) y cos g) c) y log ) y log d) y sen (cos ) i) y cos (sen ) e) y arc tg j) y arc tg a) y' ( + tg ) tg c) y' ln ln d) y' cos ( cos ) ( sen ) e) y' + ( ) + f) y' ( + tg ln ) sen g) y' ( sen ) ) y' log ln i) y' sen ( sen ) cos j) y' arc tg sen b) y' ( cos ) ( sen ) cos + y cos 079 Halla los coeficientes y eponentes desconocidos para que se verifique que las funciones y sus derivadas se corresponden. a) f () + a + b + 6 f'() + b) g () a ln + b g'( ) 5 a c) '( ) a ln ( ) b d) i( ) b a) a, b b) a, b 5 c) a, b d) b i'( ) b 59

31 Derivada de una función 080 Deriva las siguientes funciones. ln e a) y d) y b) y 5 ln e) y ln (e ) ln c) y e f ) y ln e a) + y' + ln ( + ln ) b) y' ln + ln ln ln 5 ln 5 (ln + ) c) ln ln ln y e ln ' e ln ln e e d) y' 0 e) y' ( e + e ) + e f) y' e + ln e 08 Halla la derivada de estas funciones. a) y ( + ) d) y b) y e) y c) y f ) y e a) y' ( + ) + ( + ) ln [ 6 + ( + ) ln ] ( + ) b) y' ( ) ( ) ( ) c) y' e e d) y' ( ) 5 e e e) y' ( ) 6 ( ) f) y' + ( ) ( )

32 SOLUCIONARIO 0 08 Calcula la derivada de estas funciones trigonométricas. a) y cos e) y sen cos cos sen b) y f ) y cos c) y g) y cos sen cos d) y cos ) y arc tg a) y' sen sen b) y sen cos sen cos c) sen sen y' cos cos d) y' sen c + os sen cos + cos + sen e) y' cos cos cos cos cos sen ( sen ) cos + sen f) y' cos cos cos sen cos cos cos sen g) y' ( ) ( ) ( ) sen ( cos ) ) y' arc tg + arc tg + ( ) + ( + ) sen ( cos ) + cos ( cos ) sen sen ( cos ) 08 Decide si la siguiente función es continua y derivable en todo su dominio. Si en algún punto no es continua o derivable, razónalo. La función es continua en y es derivable en {, }, porque en los puntos y la gráfica presenta «picos», es decir, en estos puntos no puede determinarse una tangente a la función, ya que las pendientes en los puntos que están a su izquierda y a su dereca tienen distinto signo. 6

33 Derivada de una función 08 Dibuja una función continua que no sea derivable en el punto de abscisa, que en el resto del dominio sea derivable y que su derivada se anule si es mayor o igual que. Respuesta abierta. f() 085 Estudia si las siguientes funciones son continuas y derivables en los puntos en los que la función cambia su epresión algebraica. + 5 si < + < a) b) g( ) 6 si f( ) si si a) f () f( ) ( + 5) f( ) + + f( ) f( ) f( ) es continua en. f( ) si < f'( ) 8 si > f' ( ) + 9 La función no es derivable en, porque los valores f' ( ) no coinciden. b) g() 5 g( ) ( + 6) 5 g() 5 g( ) ( ) g( ) g( ) g( ) es continua en. + < g'( ) 6 si + 8 si > g' ( ) + La función es derivable en. g' ( ) 6

34 SOLUCIONARIO Son continuas y derivables las funciones en todos los puntos de su dominio? a) y b) y + a) si f( ) + si < < si Si {, }, la función es continua. Se estudian los puntos en los que la función cambia de epresión: f() 0 f( ) ( ) 0 f( ) + f( ) 0 ( ) f( ) f( ) f() es continua en. f() 0 f( ) ( + ) 0 f ( ) 0 f( ) ( ) f( ) f( ) f() es continua en. Por tanto, la función es continua en. si < f'( ) si < < si > Si {, }, la función es derivable. Se estudian los puntos en los que la derivada cambia de epresión: f' ( ) + f' ( ) La función no es derivable en, porque los valores no coinciden. f' ( ) + f' ( ) La función no es derivable en, porque los valores no coinciden. b) g( ) + + Por ser polinómica, la función es continua y derivable en. 6

35 Derivada de una función 087 Estudia la continuidad y derivabilidad de las funciones. + 9 si < < a) f( ) b) ( ) 5 si si < 5 si 0 si 5 a) Si {}, la función es continua. Se estudia el punto en el que la función cambia de epresión: f() f( ) ( 5) f() f( ) ( ) + + f( ) f( ) f( ) es continua en. Por tanto, la función es continua en. < f'( ) 5 si 6 si > Si {}, la función es derivable. Se estudia el punto en el que la derivada cambia de epresión: f' ( ) 9 + La función no es derivable en, porque los valores f' ( ) no coinciden. b) Si {, 5}, la función es continua. Se estudian los puntos en los que la función cambia de epresión: () 6 ( ) ( + 9) 6 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) es continua en. (5) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( 5) ( ) ( ) es continua en 5. 5 Por tanto, la función es continua en. + si < '( ) si < < 5 0 ln si > 5 Si {, 5}, la función es derivable. Se estudian los puntos en los que la derivada cambia de epresión: f' ( ) 8 + La función es derivable en. f' ( ) 8 f' ( 5 ) 6 + La función no es derivable en 5, porque los valores f' ( 5 ) ln no coinciden. Luego la función es derivable en {5}. 6

36 SOLUCIONARIO Decide si estas funciones crecen o decrecen en los puntos que se indican. a) y + + En b) + y En c) y + ln 8 En d) y + En 9 a) f'() f'() < 0 La función es decreciente en. ( ) ( + ) b) f'( ) 7 f'( ) > 0 La función es creciente en. c) f'( ) ln + f'( ) 6 ln + > 0 La función es creciente en. d) f'( ) + f'( 9) 5 > 0 La función es creciente en Determina los puntos de las gráficas de estas funciones cuya tangente es orizontal. a) y 5 + b) y c) y d) y e) y La tangente es orizontal si la pendiente es igual a cero. a) y' b) y'

37 Derivada de una función c) y' La ecuación no tiene solución, por lo que no ay puntos que tengan tangente orizontal. ( + )( + ) ( + + ) + d) y' ( + ) ( + ) ( + ) e) y' ( + ) ( ) ( ) 0 0 ( ) La ecuación no tiene solución, y no ay puntos que tengan tangente orizontal. 090 En qué puntos de las gráficas de estas funciones es orizontal la tangente? Decide si son máimos o mínimos. + a) y b) y + c) y 9 d) y + ( )( ) ( + ) a) f'( ) ( ) ( ) ( ) f" ( ) ( ) f"( ) > 0 En tiene un mínimo. f"( 0) < 0 En 0 tiene un máimo. ( ) ( ) b) f'( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 8 f" ( ) ( ) f"( 0) > 0 En tiene un mínimo. f"( ) < 0 En tiene un máimo. 66

38 SOLUCIONARIO 0 ( + 9) 9 c) f'( ) ± ( 9) 8 f"( ) f"( ) < 0 En tiene un máimo. f"( ) > 0 En tiene un mínimo. ( + ) + d) f'( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) f" ( ) ( + ) f"( 0) 0 En 0 no tiene un máimo ni un mínimo ( + ) 09 Sea la función f () a) Determina los máimos y mínimos de la función. b) Calcula f( ) y f( ). + c) Haz un esbozo de la gráfica de la función. a) f'( ) f"( ) + 0 f" 0 tiene un mínimo. > En f"( ) < 0 En tiene un máimo. b) f( ) f( ) + + c) 0 f() 67

39 Derivada de una función 09 Sea la función f( ). a) Encuentra los máimos y mínimos de la función. b) Determina las ecuaciones de sus asíntotas y la posición de la curva respecto de ellas. c) Construye un esbozo de la gráfica de la función. ( ) ( ) a) f'( ) ( ) ( ) ( ) ± ( 6 )( ) ( ) ( )( ) 6 + f"( ) ( ) ( ) f" ( ) > 0 En tiene un mínimo. f"( 0) 0 En 0 no tiene un máimo ni un mínimo. f''( ) < 0 En tiene un máimo. b) Dom f {, } f( ) + es una asíntota vertical. f( ) + f( ) + es una asíntota vertical. f( ) + f( ) No ay asíntota orizontal. + m f ( ) + + n [ f( ) m] Asíntota oblicua: y Si. 000 f( ) ( ) < 0 Cuando tiende a +, la función está por debajo de la asíntota. Si. 000 f( ) ( ) > 0 Cuando tiende a, la función está por encima de la asíntota. c) f() 68

40 SOLUCIONARIO 0 09 Halla los máimos y mínimos de la función: f( ) Determina las ecuaciones de sus asíntotas y la posición de la curva respecto de ellas. Haz también un esbozo de la gráfica de la función. ( ) f'( ) ( ) ( ) No ay máimos ni mínimos, f'() < 0 La función es decreciente. Dom f {} f( ) es una asíntota vertical. f( ) + + f( ) y es una asíntota orizontal. + Si.000 f() > Cuando tiende a +, la función está por encima de la asíntota. Si.000 f() < Cuando tiende a, la función está por debajo de la asíntota. f() 09 Obtén los vértices de las siguientes parábolas, teniendo en cuenta que la tangente es orizontal en ellos. a) y 6 + b) y a) y' V(, ) b) y' V 6 0, Representa una función continua y derivable cuya derivada se anule en los puntos (, ) y (, ), y que cumplan estas condiciones. f( ) Respuesta abierta. f( ) + + f() 69

41 Derivada de una función 096 Dada la función y , resuelve. a) Determina su dominio. b) Halla sus asíntotas. c) Tiene puntos de corte con los ejes? Cuáles son? d) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. e) Halla los máimos y mínimos. f) Representa la función. a) Dom f b) + f( ) + La función no tiene asíntota orizontal. f ( ) + + La función no tiene asíntota oblicua. c) Si 0 y 9 Si y ( )( + 7 9) 0 7 ± 65 d) f'( ) f'(7) > 0 f'(0) < 0 f'() > f() es creciente en (, 6) (, +). f() es decreciente en (6, ). e) Mínimo: (, ) Máimo: (6, 5) f) f() 50 70

42 SOLUCIONARIO Estudia y representa las funciones polinómicas. a) y b) y c) y a) Dom f La función no tiene asíntotas. f'( ) ( 6) 0 f'() < 0 f'() > 0 f'() < 0 f'() > 0 0 f() es creciente en (, 0) (, +) y es decreciente en (, ) (0, ). Mínimos: (, 5) y (, 79) Máimo: (0, 0) f() 0 b) Dom f La función no tiene asíntotas. f'( ) ( ) 0 f'() > 0 f() es creciente en. f'() 0 En no tiene un máimo ni un mínimo. f"() 6. f"() > 0 si > f() es cóncava en (, +). f"() < 0 si < f() es convea en (, ). f() 7

43 Derivada de una función c) Dom f La función no tiene asíntotas. f'( ) f'() < 0 f'(0) > 0 f'() > 0 0 f() es creciente en (, ) (, +) y es decreciente en (, ). Mínimo: (, 0) f"( ) f"() > 0 si > f() es cóncava en (, +). f"( ) < < < f( ) 0 si es convea en,. f"( ) < 0 < f( ) si es convea en,. 00 f() 098 Dada la función y, resuelve. + a) Determina su dominio. b) Halla sus asíntotas. c) Tiene puntos de corte con los ejes? Cuáles son? d) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. e) Halla los máimos y mínimos. f ) Representa la función. a) Dom f {} b) + + es una asíntota vertical. + + y es una asíntota orizontal. + + Al tener asíntota orizontal, la función no tiene asíntota oblicua. 7

44 SOLUCIONARIO 0 c) Punto de corte con el eje :, 0 Punto de corte con el eje : 0, ( + ) ( ) d) f'( ) ( + ) ( + ) f'() > 0 f() es creciente en (, ) (, +). e) La función no tiene máimos ni mínimos. f) f() 099 Estudia y representa estas funciones racionales. a) y 5 + c) b) y + d) y y a) Dom f {} es una asíntota vertical y es una asíntota orizontal. 5 5 Al tener asíntota orizontal, la función no tiene asíntota oblicua. Punto de corte con el eje : 5, 0 Punto de corte con el eje : 0, 5( ) ( 5 + ) f'( ) ( ) ( ) f'() < 0 f() es decreciente en (, ) (, +). 7

45 Derivada de una función La función no tiene máimos ni mínimos. f() b) Dom f {} + es una asíntota vertical La función no tiene asíntota orizontal. + m + + n + Asíntota oblicua: y Punto de corte con el eje : (, 0) Punto de corte con el eje : 0, ( )( ) ( + ) f'( ) ( ) ( ) f'(0) > 0 f'() < 0 f'() < 0 f'(6) > f() es creciente en (, ) (5, +) y es decreciente en (, ) (, 5). Máimo: (, 0) Mínimo: (5, 8) 6 7

46 SOLUCIONARIO 0 c) Dom f {} + es una asíntota vertical. + La función no tiene asíntota orizontal. + + m + Asíntota oblicua: y n Punto de corte con los ejes: (0, 0) ( ) + f'( ) ( ) ( ) 0 0 f'() < 0 f'() > 0 f'() > 0 f'(5) > f() es decreciente en (, 0) (, +) y es creciente en (0, ) (, ). Máimo: (, 8) Mínimo: (0, 0) d) Dom f {, } es una asíntota vertical es una asíntota vertical y es una asíntota orizontal. + 6 Al tener asíntota orizontal, la función no tiene asíntota oblicua. 75

47 Derivada de una función Puntos de corte con el eje : (, 0) y (, 0) Punto de corte con el eje :, f'( ) 6 8 ( + 6) f'( ) > 0 f'() > 0 f'(0) < 0 f'() < 0 0 f() es creciente en (, ) y es decreciente en, (, +)., Máimo: 8, 5 f() 00 Representa estas funciones racionales, analizando sus características. a) y d) y b) y + + e) y c) y f ) y ( + )( ) + + a) Dom f {, } es una asíntota vertical. + + es una asíntota vertical. + + y es una asíntota orizontal Al tener asíntota orizontal, la función no tiene asíntota oblicua. 76

48 SOLUCIONARIO 0 Punto de corte con los ejes: (0, 0) ( ) f'( ) ( ) ( ) f'() < 0 f() es decreciente en (, ) (, ) (, +). La función no tiene máimos ni mínimos. f() b) Dom f {} es una asíntota vertical y es una asíntota orizontal Al tener asíntota orizontal, la función no tiene asíntota oblicua. Punto de corte con el eje : (, 0) ( + )( + + ) ( + + )( + ) f'( ) ( + + ) ( + + ) 0 Dom f f'() > 0 si < f() es creciente en (, ). f'() < 0 si > f() es decreciente en (, +). La función no tiene máimos ni mínimos. f() 77

49 Derivada de una función c) Dom f {, } es una asíntota vertical es una asíntota vertical y es una asíntota orizontal Al tener asíntota orizontal, la función no tiene asíntota oblicua. Punto de corte con el eje : (5, 0) 5 Punto de corte con el eje : 0, ( )( ) f'( ) ( ) ( ) ( ) f'() < 0 f'() < 0 f'() > 0 f'(0) > 0 f'(5) < f() es creciente en (, ) (, ) y es decreciente en (, ) (, ) (, +). Mínimo:, Máimo: (, ) 5 f() 6 d) Dom f {0} es una asíntota vertical y es una asíntota orizontal. + Al tener asíntota orizontal, la función no tiene asíntota oblicua. 78

50 SOLUCIONARIO 0 Puntos de corte con el eje : (, 0) y, 0 ( ) ( + ) ( + + ) f'( ) ( ) 0 f'() < 0 f'(0,5) > 0 f'() < 0 0,5 0 f() es decreciente en (, ) (0, +) y es creciente en (, 0). Mínimo: (, ) f() e) Dom f {, } + 6 es una asíntota vertical es una asíntota vertical y es una asíntota orizontal Al tener asíntota orizontal, la función no tiene asíntota oblicua. Punto de corte con los ejes: (0, 0) ( ) ( ) f'( ) ( + 6) ( + 6) f'() < 0 f() es decreciente en (, ) (, ) (, +). La función no tiene máimos ni mínimos. f() 79

51 Derivada de una función f) Dom f {, } + ( )( ) es una asíntota vertical. + ( + )( ) ( )( ) es una asíntota vertical. + ( + )( ) y es una asíntota orizontal ( )( ) Al tener asíntota orizontal, la función no tiene asíntota oblicua. Punto de corte con el eje : (, 0) Punto de corte con el eje : (0, ) ( ) f'( ) + 6 ( ) ( ) ± ( ) f'() < 0 f'(0) < 0 f'(0,5) f'() < 0 f'(6) < 0 0 0,5 + 6 f() es decreciente en (, ),, y es creciente en,,. Máimo: +, ( ) ( + + ) ( ) ( + ) Mínimo: +, f() 0 Calcula la tasa de variación media de la función f () + en el intervalo [, + ]. a) Utiliza el resultado para determinar la tasa de variación media en los intervalos [, ], [, 5] y [, 8]. b) Calcula el límite cuando tiende a cero de la tasa de variación media en el intervalo [, + ], y comprueba que equivale a f'(). 80

52 SOLUCIONARIO 0 f( + ) f( ) ( + ) ( + ) + T. V. M. ([, + ]) a) T.V.M. ([, ]) + 6 T.V.M. ([, 5]) + 0 T.V.M. ([, 8]) b) f ( + ) f ( ) ( + ) f' ( ) f' ( ) + 0 A partir de la definición, alla la función derivada de estas funciones. a) y + b) y a) f f ( + ) f ( ) '( ) ( + ) ( ) b) f f ( + ) f ( ) '( ) + ( + ) ( + ) ( + ) 0 Las siguientes funciones se pueden epresar como composición de otras funciones más sencillas. Halla sus funciones derivadas de dos modos diferentes, y compara los resultados que obtienes. a) y +5 b) y ( + 7) c) y ln () d) y log + 5 a) f( ) y g( ) + 5 y' ln 5 + y y' 5 5 ln ln b) f( ) y g( ) + 7 y' ( + 7)( + 7) y ( + 7) ( + 7) y' ( + 7) ( + 7) + ( + 7) ( + 7) c) f( ) ln y g( ) y' y ln ( ) ln + ln y' d) f( ) log y g( ) y' ln ln y log log log log y' ln Los resultados obtenidos coinciden. ln 8

53 Derivada de una función 0 Obtén las funciones derivadas de estas funciones utilizando la regla de la cadena. a) y e ln b) y c) y sen d) y ln ( e) a) ln y' e b) y' c) y' cos d) y' e e 05 Determina el valor de la epresión a para que la función no sea derivable en el punto. a < f( ) si + 5 si f() f( ) a Si a, la función no es continua y no es derivable. f( ) + 06 Completa la siguiente función para que sea derivable en todo el conjunto. + < f( ) si b + si Para que sea derivable, la función tiene que ser continua: f() b + f( ) 6 Si 6 b +, la función es continua b. f( ) b < f' ( ) si si f' ( ) 5 + La función no es derivable. f' ( ) 8

54 SOLUCIONARIO 0 07 La recta cuya ecuación es y 9 es tangente a la función y + k. Determina en qué punto son tangentes y alla el valor de k. Hay una sola solución? La función tiene dos puntos en los que la tangente es orizontal. Hállalos y escribe la ecuación de esas rectas. f'() Cuando la recta dada es tangente: 9 ± Si y (+ k) 9( ) y k k Si y ( + k) 9( + ) y k k Luego ay dos soluciones válidas. Cuando la tangente es orizontal, se cumple que: 0 ± Si y ( + k) 0 ( ) y + k Si y ( + k) 0 ( + ) y + k 08 Es cierto que la función y es siempre creciente? Qué ocurre en el origen de coordenadas? f'() Si 0 f'() > 0 f() es creciente en (, 0) (0, +). Si 0 f'(0) 0 La función no es creciente ni decreciente en este punto. 09 Se a estimado que el gasto de electricidad de una empresa, de 8 a 7 oras, sigue esta función. E (t) 0,0t 0,6t +,05t 0 donde t pertenece al intervalo (8, 7). a) Cuál es el consumo a las 0 oras? a las 6 oras? b) En qué momento del día es máimo el consumo? mínimo? c) Determina las oras del día en las que el consumo se incrementa. a) E(0),5 E(6),6 b) E'( t) 0,0t 0,7t +,05 9 0,0t 0,7t +,05 0 t t 5 E"( t) 0,06t 0,7 E"( 9) 0, 8 < 0 En t 9 tiene un máimo. E"( 5) 0, 8 > 0 En t 5 tiene un mínimo. Por tanto, el consumo es máimo a las 9 oras y es mínimo a las 5 oras. c) Como t 9 es un máimo, el consumo crece de las 8 oras a las 9 oras. Del mismo modo, como t 5 es un mínimo, el consumo crece de las 5 oras a las 7 oras. 8

55 Derivada de una función 0 Un investigador está probando la acción de un medicamento sobre una bacteria. Ha comprobado que el número de bacterias, N, varía con el tiempo, t, una vez suministrado el medicamento, según la función: N 0t 50t +.600t a) Cuántas bacterias abía en el momento de suministrar el medicamento? al cabo de 0 oras? b) En ese momento, el número de bacterias está creciendo o disminuyendo? c) Cuál es el momento en que la acción del producto es máima? d) En qué momento empieza a notarse el efecto del medicamento? e) en qué momento empieza a perder su efecto el medicamento? a) Si t 0 N.000 bacterias Si t 0 N bacterias b) N' 60t.00 t t 60t. 00t t f'(0) > 0 f'(6) < 0 f'(0) > El número de bacterias crece asta las 5 oras y vuelve a crecer a partir de las oras. Este número decrece entre las 5 oras y las oras. c) El medicamento alcanza su máima acción a las oras. d) El efecto del medicamento empieza a notarse a partir de las 5 oras. e) El medicamento empieza a perder su efecto a partir de las oras. Cuál es la ecuación de una parábola que pasa por el punto (0, 9) y en el punto (, 9) tiene como recta tangente y 6 + 0? Sea f() a + b + c. Como la parábola pasa por el punto (0, 9) c 9 como también pasa por el punto (, 9) a + b a + b 0 b a Así, resulta que: f() a a + 9 f'() a a Si y 6 es la tangente en el punto, entonces: f'() 6 a a 6 a La ecuación de la parábola es: f() Obtén la epresión algebraica de una función que pasa por (, 5), sabiendo que su derivada es: f'() + 6 Si f'( ) + 6 f( ) + + k Como la función pasa por el punto (, 5) f() k k 9 La ecuación de la parábola es: f( ) + 8

56 SOLUCIONARIO 0 Representa la función y. a) Considera un punto cualquiera de la función que esté en el primer cuadrante. Comprueba que la recta tangente a la función en ese punto forma un triángulo con los semiejes positivos. b) Demuestra que, independientemente del punto que se escoja, el área de ese triángulo es siempre la misma. a) f() f() b) Si a > 0, entonces a, es un punto de la función en el primer cuadrante. a Como y' la ecuación de la recta tangente en a es:, y a a ( a) Las coordenadas de los puntos de corte de la tangente con los ejes determinan la base y la altura del triángulo. Si 0 y y a a a Si y a a + a a 0 0 a a a Así, el área del triángulo es: A a del valor de a. u, independientemente 5 La recta tangente a una función f () en el punto de abscisa es y 5 7. Halla el valor de la función y de su derivada en el punto de abscisa. y 5 7 y 5( ) f ( ) f ' ( ) 5 Eplica cuánto valen f'(0) y g'(0) en las funciones f () ln y g( ). (Puedes acer la gráfica de las funciones, si es necesario). Dom f (0, +) f'(0) no eiste porque la función no está definida en 0. Dom g [0, +) g'(0) no eiste porque la función no está definida para valores menores que 0 y no eiste g'(0 ). 85

57 Derivada de una función 6 La función derivada de una parábola es una recta que pasa por los puntos, y,. Halla la abscisa del vértice de esa parábola. Como la ecuación de una parábola es y a + b + c, su derivada es y' a + b. La ecuación de la recta que pasa por los puntos es: y y 5 6 Igualando coeficientes, resulta: a a 5 b 5 b La abscisa del vértice es: 5 a 6 7 Si trazamos la recta tangente y la recta normal a la función y + 0, en el punto (, 5) se forma, con los semiejes positivos de coordenadas, un cuadrilátero. Determina su área. f' ( ) + f' ( ) La ecuación de la recta tangente en (, 5) es: y 5 ( ) y + la ecuación de la recta normal es: y 5 ( ) y + El cuadrilátero tiene como vértices: (0, 0), (0, ), (, 5) y., 0 Para calcular su área se descompone en tres figuras: El rectángulo de vértices (0, 0), (, 0), (, ) y (, 0) mide u. El triángulo de vértices (, 0), (, ) y (, 5) mide u. 5 El triángulo de vértices (, 5), (, 0) y mide u., Luego el área del cuadrilátero es: + + u 6 8 Sea una función que no es continua en. f( ) f( ) Demuestra que la función no puede ser derivable en ese punto estudiando el límite. f ( + ) f ( ) 86

58 SOLUCIONARIO 0 Si la función es derivable en entonces eiste el límite: f ( + ) f ( ) l ( f( + ) f( )) l ( f( + ) f( )) 0 f( + ) f( ) Esto no es cierto, porque la función no es continua en, y la función no puede ser derivable en este punto. 9 Considera una parábola general epresada de la forma: y a + b + c a) Como en el vértice la tangente será orizontal, la derivada se anula en ese punto. Compruébalo y despeja el valor de. b) Encuentra también el valor de y, aplicándolo a la parábola y a) y' a + b b a + b 0 a b b b b) y a b a a + a + b b c + b c + ac a a a PARA FINALIZAR 0 sen Sea f( ) arc tg. Estudia si f() y f'() son constantes. + cos cos ( + cos ) + sen cos + f'( ) sen + ( + cos ) ( + cos ) + sen + cos cos + cos + + cos + cos + sen cos + Al ser f'() constante y no nula, la función f() no es constante. 87

59 Derivada de una función Dada la gráfica de una función f(), representa la función f'() de forma aproimada. f() f () Si la gráfica de una función f'() es la siguiente, representa de forma aproimada la función f(). f () f() 5 Si f() y g() son funciones inversas, es decir, (g f )(), se verifica que (g' f' )()? No se verifica. Si se consideran las funciones f() y g(), se tiene que son inversas ya que cumplen que: (g o f )() Sin embargo, resulta que: ( g' f' )( ) g' ( f' ( )) g' ( ) ( ) 9 Luego f () y g () no son funciones inversas. Se define el ángulo de dos curvas en un punto común como el ángulo formado por sus rectas tangentes en ese punto. Aplícalo a las curvas y y y. y ( 0, 0) es el punto de intersección de las curvas. y La recta tangente en este punto a la primera curva es: y 0 La recta tangente en el mismo punto a la segunda curva es: 0 Como las rectas son perpendiculares, el ángulo que forman las dos curvas mide 90. Verifica que si un polinomio tiene una raíz doble, también lo es de su derivada. Resuelve la ecuación , sabiendo que una de sus raíces es doble. Si un polinomio tiene una raíz doble a, entonces: f() ( a) p() f' ( ) ( a) p( ) + ( a) p' ( ) ( a)[ p( ) + ( a ) p' ( )] Por tanto, a es también una raíz de la derivada. 88