UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

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1 C u r s o : Matemática Material N 6 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma, o que se puede reducir a la forma: a + b + c, donde a lr {0}, b lr c lr. El cálculo de las soluciones o raíces de esta ecuación, se realiza aplicando la siguiente fórmula: = -b ± b 4ac a Si α β son las soluciones de la ecuación esta se puede escribir como: R ( α) ( β) = 0 Si α β son las soluciones (o raíces) de la ecuación de segundo grado a + b + c = 0, entonces siempre se cumple que: α + β = - b a α β = c a EJEMPLOS 1. Cuál de las siguientes ecuaciones no es de segundo grado? A) = 9 B) ( + ) ( 6) = ( + ) C) ( + 1) = + 3 t(t ) 5t D) = E) u (3u + 3 ) = 0

2 . Cuáles son las soluciones (o raíces) de la ecuación = 0? A) 38 B) 4 15 C) D) E) El conjunto solución de la ecuación ( + 7 )( 3) = 0 es A) B) C) D) E) -3 7, 3-7, 3 7, -3-7, - 7, 3 4. Cuál es la suma de las soluciones (o raíces) de la ecuación = 3? A) B) -4 1 C) 8 D) E) Cuál es el producto de las soluciones (o raíces) de la ecuación ,1 = 0? A) - B) C) -0,1 D) 0,1 E) -10

3 FUNCIÓN CUADRÁTICA A la función de segundo grado f() = a + b + c, siendo a, b, c lr a 0 se le denomina función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría. Eje de simetría f() = a + b + c Parábola Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola. Si a > 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia arriba. fig. fig. 1 Si a < 0, la concavidad de la parábola está orientada hacia abajo. fig. 3 INTERSECCIÓN CON EL EJE Y La parábola asociada a la función = a + b + c siempre intersecta al eje de las ordenadas en = c. c fig. 4 EJEMPLOS 1. Cuál de las siguientes opciones corresponde a una función cuadrática? A) f() = ( + )( ) ( 3) 3 B) g() = + 4 C) h(z) = z - + z D) i(t) = (1 t)(1 t )+ t E) j(u) = (1 u) 3 + (u 1) u 3

4 . En la figura 5, se muestra el gráfico de la función cuadrática f() = -(b 3) +. Luego se cumple que A) b < 5 6 fig. 5 B) b 3 C) b < 3 D) b 3 E) b > Con respecto a la parábola asociada a f() = (1 3), cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Sus ramas se etienden hacia abajo. II) Intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 0). 1 III) f(0) = f. 3 B) Sólo I II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 4. Cuál de las siguientes opciones puede corresponder al gráfico de la figura 6? A) f () = B) f() = - 3 C) f() = -3( + 3)( 1) D) f() = -( + 3)( 1) E) f() = -( + 3)( 1) 4 4 fig Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto de la parábola = 5 4? A) Sus ramas se etienden hacia arriba. B) Intersecta al eje de las ordenadas en el punto (5, 0). C) No intersecta al eje de las abscisas. D) Alcanza un valor mínimo. E) El punto (-, 9) pertenece a ella. 4

5 CEROS DE LA FUNCIÓN Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores 1 para los cuales = 0 (fig. 1). fig. 1 1 DISCRIMINANTE La epresión b 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función = a + b + c. Si b 4ac > 0 Si b 4ac = 0 Si b 4ac < = 1 = La parábola intersecta al eje en dos puntos, por lo tanto tiene soluciones (raíces reales distintas). La parábola es tangente al eje, por lo tanto tiene sus soluciones idénticas (una única solución real). La parábola no intersecta al eje, no tiene solución real. EJEMPLOS 1. Los ceros de la función f() = son A) = - ; = -1 B) = -1 ; = -3 C) = 1 ; = 9 D) = 0 ; = E) = 0 ; = -. Los ceros de la función f() = son A) = = - B) = = - C) Sólo = D) = 1 = -1 E) = 0 = - 5

6 3. Si el discriminante asociado a la función f() = 3 + k es 64, cuál es el valor de k? A) 15 B) 1 C) 5 D) -5 E) Con respecto de la función asociada al gráfico de la figura, cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)? I) Tiene ceros. II) f(0) = -3 III) El discriminante es menor que cero. B) Sólo III C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III fig. 5. Dada la función f() = + b + c. Si sus ceros son de distinto signo, cuál de los siguientes gráficos corresponde mejor a la función? A) B) C) D) E) 6. Dada la función f() = k + es correcto afirmar que: I) Si k =, no intersecta al eje. II) Si k = -, es tangente al eje. III) Si k = 3, cruza en dos puntos al eje. B) Sólo II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 6

7 EJE DE SIMETRÍA El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos ramas congruentes. Eje de simetría: fig = o 1 = -b a Eje de Simetría VÉRTICE DE LA PARÁBOLA El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría. Eje de simetría fig. V = -b 4ac b, a 4a Vértice EJEMPLOS 1. Dada la función f() = , la ecuación del eje de simetría es A) = -1 B) = 1 C) = -1 D) = 1 E) = -3 7

8 . El vértice de la parábola asociada a la función f() = + 3 es A) (0, 3) B) (1, 3) C) (3, 0) D) (3, 1) E) (0, 0) 3. El valor máimo para la función f() = es A) 1 4 B) C) D) E) La función cuadrática que corresponde a la parábola de la figura 3 es A) f() = + 3 B) f() = 3 C) f() = 3 D) f() = 3 E) f() = fig Dada la función f() = 4, cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)? I) La función es creciente en el intervalo [, + [. II) La ecuación del eje de simetría es =. III) El vértice de la parábola es (, -4). B) Sólo III C) Sólo I II D) Sólo I III E) I, II III 8

9 FUNCIONES DE LA FORMA = a La figura 1 muestra las gráficas de =, = 1, = - e = = = 1 fig. 1 OBSERVACIONES - Si a > 1, la gráfica de = a tiene una maor rapidez de crecimiento que la gráfica de = = - 1 = - Si 0 < a < 1, la gráfica de = a tiene una menor rapidez de crecimiento que la gráfica de =. FUNCIONES DE LA FORMA = a + c La figura, muestra las gráficas de =, = + e = = + = OBSERVACIONES Si c > 0, la parábola se desplaza c unidades hacia arriba con respecto al origen. 0 = 3 Si c < 0, la parábola se desplaza c unidades hacia abajo con respecto al origen. -3 fig. 9

10 EJEMPLOS 1. Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la función f() = 3? A) B) C) D) E) El gráfico de la figura 3, corresponde a la función A) f() = B) f() = 4 +3 C) f() = 4 3 D) f() = E) f() = fig Dada la gráfica con funciones cuadráticas (fig. 4), cuál de las siguientes alternativas es verdadera? = b A) a > b = a B) c > a C) d > c D) b > d fig. 4 E) b > a = c = d 4. Si la gráfica de la función cuadrática de la figura 5, se traslada tres unidades hacia arriba, se podría obtener la función A) f() = 1 B) f() = - 4 C) f() = D) f() = E) f() = fig. 5 10

11 FUNCIONES DE LA FORMA f() = ( h) + k k fig. 6 h La parábola se traslada h unidades en el eje (sentido opuesto) k unidades en el eje. (h, k) corresponde a las coordenadas del vértice de la parábola. EJEMPLOS 1. La gráfica de la figura, podría corresponder a la función A) f() = ( 3) 3 B) f() = ( 3) + 3 C) f() = (+ 3) + 3 D) f() = ( + 3) 3 E) ninguna de las anteriores. 3 fig El punto máimo de la parábola = es A) (1, 4) B) (-1, 4) C) (3, 4) D) (1, -4) E) (6, 4) 11

12 3. Con respecto a la función f() = ( + 4) 5, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El vértice de la parábola es (-4, 5). II) El eje de simetría de la parábola asociada, es la recta de ecuación = -4. III) En el intervalo [-4, + [ la función es creciente. B) Sólo II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 4. Si la parábola =, se traslada una unidad a la derecha cinco unidades hacia arriba, se obtiene la función A) f() = B) f() = + 6 C) f() = 6 D) f() = E) f() = ( 5) Con respecto a la función f() = , cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Es cóncava hacia abajo. II) Tiene un valor mínimo. III) Intersecta al eje en (0,6). B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I III E) I, II III 1

13 EJERCICIOS 1. Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de segundo grado? I) ( + ) = (1 ) + 4 II) + 1 = 1 III) = 3 B) Sólo I II C) Sólo II III D) Sólo I III E) I, II III. Si -3 es una raíz de la ecuación cuadrática 3k + 9 = 0, entonces cuál es el valor de k? A) -5 B) -1 C) -3 D) 1 E) 3 3. La ecuación (b 1) 3c + 4a = 0 es de segundo grado sólo si A) a 0 B) a 0, b c cualquier número real. C) b 1, a c cualquier número real. D) b > 1, a c cualquier número real. E) b - 1, a c cualquier número real. 4. El conjunto solución de la ecuación -3( 5)( 4) = 4 es A) B) C) D) E) , , 3 7 4,

14 5. Respecto de la ecuación = 0, se puede afirmar que A) la suma de sus raíces es 3. B) el producto de sus raíces es 3. C) una de sus raíces es el doble de la otra. D) no tiene raíces reales. E) sus raíces son números irracionales. 6. Una ecuación de segundo grado cuas raíces son 3 3 A) = 0 B) = 0 C) 6 3 = 0 D) = 0 1 E) ( )( 3 3 ) = es 7. Si f() = 3, entonces el conjunto solución de la ecuación f(-) 3f() = 9f() f(178) f(0) es 33 A) -, B), 0 7 C) {-33, 0} D) {33, 0} E) {-33} 8. Sea m un número real constante. Si el punto (-1, ) pertenece al gráfico de f() = - 3(m 3) + 1, entonces f(-) = A) -1 B) 1 4 C) 3 D) 7 E) Respecto de una función cuadrática f, cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente falsa? A) Su recorrido podría ser { lr / -3}. B) Podría intersectar al eje de las ordenadas en (0,-17). C) Su gráfico podría alcanzar un valor máimo. D) Podría tener tres imágenes de igual valor. E) Con alguna recta quizás no tenga puntos en común. 14

15 10. La gráfica de la función f() = ( ) + 5( + ) 10c intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 0) si A) c = B) c = 1 C) c = 0 D) c = -1 E) c = Con respecto a la función f() = 6, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Sus ramas se etienden hacia arriba. II) Sus ceros son para = 0 = 6. III) El eje de simetría es la recta de ecuación = 3. B) Sólo II C) Sólo I II D) Sólo II III E) I, II III 1. Dada la función f() = + a, cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) Si a > 0, entonces intersecta al eje en dos puntos. II) Si a = 0, intersecta al eje en un sólo punto. III) Si a < 0, no intersecta al eje. B) Sólo I II C) Sólo II III D) I, II III E) Ninguna de las anteriores 13. Dada la función f() = 15, cuáles son las coordenadas del vértice? A) (1, 15) B) (-1, -15) C) (1, -15) D) (1, -16) E) (-1, -16) 14. Dada la función f() = , cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) Su eje de simetría es la recta de ecuación = 3. II) Su gráfico contiene al punto (-, -41). III) Alcanza su valor máimo para = 3. B) Sólo I II C) Sólo II III D) I, II III E) Ninguna de las anteriores 15

16 15. Cuál es la función cuadrática cua representación gráfica es la parábola de la figura 1? A) f() = - 10 B) f() = C) f() = D) f() = - 10 E) f() = fig Si f() = 6, cuál de las siguientes opciones podría corresponder a su gráfico? A) B) C) D) E) 17. El gráfico de la figura, podría corresponder a la función cuadrática A) f() = + 3 B) f() = + C) f() = 3 D) f() = E) f() = fig. 18. La gráfica de la función f() = ( + 3) ( 5) intersecta al eje en A) (-15,0) B) (0,5) 3 C) 0, - D) (0, 15) E) (0, -15) 16

17 19. Cuál de los siguientes gráficos representa a la función cuadrática f() = ( 1) 3? A) B) C) D) E) 0. Cuál de los siguientes gráficos representa mejor la función cuadrática f() = -( + )? A) B) C) D) E) Un proectil se dispara verticalmente hacia arriba. Su altura (en metros) sobre el suelo, t segundos después del disparo, esta dada por s(t) = -5t + 110t cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) falsas? I) La altura máima es 11 metros. II) A los segundos el proectil alcanza su altura máima. III) A los 10 segundos su altura es 600 metros. B) Sólo II C) Sólo I II D) Sólo II III E) I, II III 17

18 . Dos fabricantes de cierto artículo con una producción obtienen, respectivamente, una ganancia p (en miles de pesos) q (en miles de pesos). Si p() = q() = 1, cuál de los siguientes gráficos representa mejor a las funciones? A) B) C) 1-1 D) E) El gráfico de la función cuadrática f intersecta al eje en = 4 contiene a los puntos P(1,4) Q(,16). La epresión f() es A) f() = B) f() = C) f() = D) f() = E) f() = De acuerdo al gráfico de la figura 3, cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)? I) El discriminante es maor que cero. II) El eje de simetría es = -1. III) f() = + 15 es la función asociada al gráfico. I B) Sólo III C) Sólo I II D) Sólo II III E) I, II III -5 f() -15 fig. 3 18

19 5. Con un alambre de p centímetros de longitud se desea construir un rectángulo cua diagonal mida q centímetros. Si se designa por uno de los lados, la ecuación que permite resolver el problema es A) + (p ) q = 0 B) (p ) + q = 0 C) + D) p q = 0 p + q = 0 E) p q = 0 6. Considere las f unciones f() = g() = 3 + n. Se puede determinar el valor de n si : (1) uno de los puntos de intersección de los gráficos de f g es (-,4). () g() = 3 f() + n, cualquiera sea el número real. A) (1) por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, (1) () D) Cada una por sí sola, (1) ó () E) Se requiere información adicional 7. Sea f una función cuadrática. Se puede conocer la imagen de mediante f si (1) f(-1) = f(1) = 0 () f(-1) = f(1) = 0 f(0) = A) (1) por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, (1) () D) Cada una por sí sola, (1) ó () E) Se requiere información adicional 8. Sea f() = 4c -a b. Luego, f tiene dos ceros si (1) b c > 0 () b = - c = -4 A) (1) por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, (1) () D) Cada una por sí sola, (1) ó () 19

20 E) Se requiere información adicional 9. El gráfico de f() = (3 + k) 1, alcanza un valor mínimo si (1) k > -3 () f(1) = - A) (1) por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, (1) () D) Cada una por sí sola, (1) ó () E) Se requiere información adicional 30. El gráfico de f() = a + b puede corresponder al de la figura 3 si : (1) a > 0 () ab > 0 A) (1) por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, (1) () D) Cada una por sí sola, (1) ó () E) Se requiere información adicional fig. 4 DMDMA6 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 0