Tabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x)

Transcripción

1 Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas Tabla de Derivadas Función Derivada Función Derivada y k y 0 y y y y y f ) y f ) f ) y n y n n y f ) n y n f ) n f ) y y n y y f ) y n n+ y f ) n y f ) f ) y n f ) f ) n+ y y y f ) y f ) f ) y y y f ) y f ) f ) y n y n n y n f ) y f ) n n n f ) n y a y a ln a y a f ) y a f ) ln a f ) y e y e y e f ) y e f ) f ) y log a y ln a y ln y y log a f ) y f ) f ) ln a y ln f ) y f ) f ) y sen y cos y sen f ) y f ) cos f ) y cos y sen y cos f ) y f ) sen f ) y tg y + tg cos y cotg y cotg sen y arc sen y y tg f ) y + tg f )) f ) f ) cos f ) y cotg f ) y cotg f )) f ) f ) y arc sen f ) y f ) f ) sen f ) y arccos y y arccos f ) y f ) f ) y arc tg y + y arc tg f ) y f ) + f )

2 Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas Propiedades de la derivadas Supongamos que f ) y g) son funciones derivables y sea k un número real. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:. La derivada de un número real por una función es el número por la derivada de la función: y k f ) y k f ). La derivada de una suma o de una diferencia es la suma o la diferencia de las derivadas: y f ) + g) y f ) + g ) y f ) g) y f ) g ). La derivada de un producto es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda: y f )g) y f )g) + f )g ) 4. La derivada de un cociente es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, menos la primera función sin derivar por la derivada de la segunda; todo ello dividido por la segunda función al cuadrado: y f ) g) y f )g) f )g ) g)

3 Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas y y Algunos ejemplos de cálculo de derivadas y 5 + y ) 4 y 6. Obsérvese que la función se puede escribir así: y 6. Entonces: y 6 7 y y 55 + ) 5 )5 5 + ) ) ) 7 y ) y 0 ) ) ) 6 6 ) ) 6 6 ) 4 y 5 y Esta derivada se podría haber hecho de otras dos formas distintas: Obsérvese que la función se puede escribir así: y 5 5/ /. Entonces y 9/ La otra forma consiste en escribir la función introduciendo dentro del radical: y 5. Entonces y y. Utilizando que la derivada de y f ) es y f ) f ), se tiene que y 4 ) 4 Pero quizás sea más fácil hacerlo así: y / y 5/ 5 y 5 5 y 0 5 ) 5 5 ) 5 5 ) 5 ) ) 0 5 ) 5 ) 0 5 ) ) ) 5 ) 0 5 )

4 Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas 4 y + + y 4 6 y 4 4 También se puede hacer escribiendo y , y aplicando la regla de derivación de un cociente: y + ) + + ) 6 + ) + + ) ) 6 4 y ) y ) ) ) ) 4 ) + 8 ) ) 4 ) 4 ) ) 4 ) ) + ) ) y e y y ln y y e e ln + y e ) e e e e ) e e ln y + + ) + ) + 5) y + ) ) + ) + ) ) ) ) 5) ) y + ) y ) ) ) + ) y y ) ) ) ) 6 ) ) ) y ) 4 y ) ) ) + ) ) ) sen y y cos sen cos sen sen sen

5 Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas 5 Aplicaciones de las derivadas. Monotonía. Etremos relativos Definición. Sea f una función real de variable real definida en un intervalo a, b): f es estrictamente creciente en a, b) si: < y f ) < f y), y R f es estrictamente decreciente en a, b) si: < y f ) > y), y R a) Creciente b) Decreciente Figura : Monotonía Definición. Sea f una función real de variable real definida en un intervalo a, b) y 0 a, b). Sea también ε > 0 y E 0 ε, 0 + ε), un entorno centrado en 0. Se dice que f alcanza en el punto 0 un mínimo relativo si f 0 ) f ), E. Se dice que f alcanza en el punto 0 un máimo relativo si f 0 ) f ), E. a) Mínimo b) Máimo Figura : Etremos relativos Teorema. Sea f una función real de variable real definida en un intervalo a, b). Entonces: Si f ) > 0, a, b) f es estrictamente creciente en el intervalo a, b). Si f ) < 0, a, b) f es estrictamente decreciente en el intervalo a, b). Si f alcanza un máimo o un mínimo relativo en un punto 0 a, b) f 0 ) 0.

6 Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas 6. Curvatura. Puntos de infleión Definición. Una función se dice convea en un intervalo, si en dicho intervalo las tangentes a la gráfica quedan por debajo de la misma. En caso contrario se dice cóncava. Si en un punto determinado cambia la curvatura, es decir, a la izquierda del mismo la función es cóncava y a la derecha convea, o al revés, dicho punto recibe el nombre de punto de infleión. a) Convea b) Cóncava c) Punto de infleión Figura : Curvatura y puntos de infleión Teorema. Sea f una función real de variable real definida en un intervalo a, b). Entonces: Si f ) > 0, a, b) f es convea en el intervalo a, b). Si f ) < 0, a, b) f es cóncava en el intervalo a, b). Si f tiene punto de infleión en 0 a, b) f 0 ) 0.

7 Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas 7 Ejemplos del estudio de la monotonía, los etremos, la curvatura y los puntos de infleión de una función. Monotonía y etremos relativos En la práctica, para estudiar la monotonía y los etremos relativos de una función f, se procede de la siguiente manera: a) Se ecluyen del estudio los siguientes puntos: Los puntos que no pertenecen al dominio de la función puntos de discontinuidad de f, que también lo son de f, pues si una función no es continua en un punto tampoco es derivable en el mismo). Los puntos en los que no esté definida f el resto de puntos de discontinuidad de f ). Los puntos críticos de f, es decir, aquellos que hacen la derivada 0: R tales que f ) 0. b) Se divide la recta real R en distintos intervalos, separados por los puntos anteriores. Es posible demostrar que en cada uno de estos intervalos el signo de f no cambia. Por tanto, según el Teorema, f es siempre estrictamente creciente, o estrictamente decreciente, en cada uno de ellos. c) Teniendo en cuenta lo anterior, construimos una tabla donde las columnas serán dichos intervalos y los puntos que los separan. Añadimos una fila para los signos de f y otra para la monotonía de f. d) En los puntos que separan los intervalos, si no son puntos de discontinuidad de f, observamos la monotonía de f a la izquierda y a la derecha. Si hay cambio de estrictamente decreciente a estrictamente creciente, o de estrictamente creciente a estrictamente decreciente, tendremos un máimo o un mínimo relativo, respectivamente, en dicho punto. Ejemplo : Estudiar la monotonía y los etremos relativos de la función f ) El dominio de f es R {, } y anulan el denominador). La derivada de f es f ) ) ) 4 ) Es claro que los puntos de discontinuidad de f son los mismos que los de f y son otra vez los números que anulan el denominador de f ). Veamos los puntos que anulan la derivada: 4 ) ) 0 { ó Así pues los puntos obtenidos para dividir la recta real son y que no pertenecían al dominio) y estos últimos: 0,. Por tanto:, ), ), 0) 0 0, ), ), + ) f f máimo? mínimo

8 Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas 8 Los signos se han obtenido dando un valor cualquiera a f dentro del intervalo. Por ejemplo, para, ), tomamos, por ejemplo, y evaluamos la derivada en este punto: f ) )4 ) ) ) > 0 Obsérvese que el signo del denominador, al ser un cuadrado, será siempre positivo. Por tanto bastaría con estudiar, en este caso, el signo del numerador. Hay que destacar que lo importante no es resultado en sí, sino su signo. Por tanto f es estrictamente creciente en en ),, 0) 0, )., ) ), +, y es estrictamente decreciente En 0 la función cambia de ser estrictamente creciente a ser estrictamente decreciente, por lo que 0 es un máimo relativo. Como f ) ) ), las coordenadas del máimo relativo son ),. En 0 la función cambia de ser estrictamente decreciente a ser estrictamente creciente, por ) lo que 0 ) es un mínimo relativo. Como f ), las coordenadas, ) del mínimo relativo son. Obsérvese que, ecluyendo los puntos de discontinuidad de la función, queda un punto 0 0, en el que no cambia la monotonía de la función. En estos casos lo que ocurre es que 0 es un punto de infleión de la función.. Curvatura y puntos de infleión El estudio de la curvatura y de los puntos de infleión de una función f es similar al de la monotonía y los etremos relativos. Dividimos la recta real R en intervalos. En este caso los puntos que se ecluyen, y que separarán cada uno de los intervalos, son los puntos de discontinuidad de f, f y f, así como los puntos que anulan la segunda derivada. Es posible demostrar que en estos intervalos el signo de f no cambia. A continuación, como en el caso de la monotonía, se construye una tabla donde las columnas serán dichos intervalos y los puntos que los separan. Añadimos una fila para los signos de f y otra para la curvatura de f. Finalmente, en los puntos que separan los intervalos, si no son puntos de discontinuidad de f, observamos la curvatura de f a la izquierda y a la derecha. Si ha cambio de convea a cóncava o de cóncava a convea, tendremos un punto de infleión en dicho punto. Ejemplo : Estudiar la curvatura de la función del Ejemplo, f ) Usando los resultados obtenidos en el Ejemplo, tenemos:. f ) 4 6 ) ) 4 ) ) ) 4

9 Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas 9 ) [ 4 6 ) ) 4 4 )] ) ) + 6 ) + ) ) Los puntos de discontinuidad vuelven a ser y. Veamos dónde se anula la segunda derivada: f ) 0 + ) { ) ) , que no tiene solución La tabla que resulta ahora es la siguiente:, ), 0) 0 0, ), + ) f f cóncava convea punto de infleión cóncava convea Por tanto f es convea en, 0), + ) y cóncava en, ) 0, ) En 0 0 la función pasa de ser convea a cóncava, luego 0 0 es un punto de infleión. Como f 0) 0, las coordenadas del punto de infleión son 0, 0). Con el estudio realizado en los ejemplos anteriores y teniendo en cuenta que y son sendas asíntotas verticales, podemos realizar las representación gráfica de la función: Figura 4: Gráfica de la función

10 Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas 0 Ejercicios. Calcula las derivadas de las siguientes funciones y simplifica el resultado todo lo posible. ) y + ) y + ) ) y 5 4) y + + 5) y + ) 6) y ) y ) y ) y + ) y 9) y + 9 ) y 4 + ) y 4 4) y + 5) y 6) y 7) y ) y ln 7 + 9) y + 0) y ) ) y 6) ) y + ) y + 5) y + 8) y + ) ) 9) y + ) y 4) y + 6) y + ) e 7) y e ) y e 4) y sen + 4 5) y sen 0) y + ) y e + e 6) y + 7) y e + e 8) y sen 9) y + 40) y e 4) y ln 46) y + 47) y 49) y sen 5) y 5) y 4) y e + 4) y ln sen ) 44) y 5 ) 45) y + + ) + + 5) 48) y ) y sen 5) y cos 54) y + 55) y 4 + ) 56) y ) y 58) y sen 59) y sen ) ) y cos

11 Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas. Realiza un estudio completo de las funciones que se dan a continuación: dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, continuidad, monotonía, etremos relativos, curvatura, puntos de infleión y representación gráfica: a) f ) b) f ) c) f ) 9 d) f ) + + e) f ) + g) f ) + i) f ) + ) 4 k) f ) + m) f ) 4 + ñ) f ) + f ) f ) h) f ) + j) f ) l) f ) n) f ) o) f ) +. Suponiendo que el rendimiento R) en % de un estudiante en una hora de eamen viene dado por Rt) 00t t) siendo 0 t tiempo en horas), se pide: a) Representar gráficamente la función Rt). b) Indicar cuándo aumenta y disminuye el rendimiento. Cuándo se hace cero? c) Cuándo es máimo el rendimiento y cuál es? 4. El coeficiente de elasticidad de un producto, en función de la temperatura t) en grados centígrados, viene definido por la función: Et) t 9 t + 0. a) A qué temperatura o temperaturas se obtiene una elasticidad de? b) Calcular el valor de la temperatura para la que la elasticidad es mínima. c) Calcular ese mínimo. 5. La cotización de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 0 días, responde a la siguiente ley: C , siendo el número de días. a) Cuál ha sido la cotización en Bolsa el día? b) Determina los días en que alcanza las cotizaciones máima y mínima. c) Calcula esas cotizaciones máima y mínima.