1.5 Límites infinitos

Transcripción

1 SECCIÓN.5 Límites infinitos 8.5 Límites infinitos Determinar ites infinitos por la izquierda por la derecha. Encontrar dibujar las asíntotas verticales de la gráfica de una función., cuando Límites infinitos Sea f la función dada por f., cuando f() crece decrece sin cota o sin ite cuando tiende a Figura.9 f() = A partir de la figura.9 de la siguiente tabla, se puede observar que f() decrece sin cota o sin ite cuando se aproima a por la izquierda que f() crece sin cota o sin ite cuando se aproima a por la derecha. Este comportamiento se denota f() decrece sin cota o sin ite cuando se aproima a por la izquierda. f() crece sin cota o sin ite cuando se aproima a por la derecha. se aproima a por la izquierda. se aproima a por la derecha. f ? f decrece sin cota o sin ite. f crece sin cota o sin ite. Un ite en el que f() crece o decrece sin cota o sin ite cuando tiende a c se llama ite infinito. DEFINICIÓN DE LÍMITES INFINITOS M Límites infinitos Figura.0 c f() = c Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente, en el propio c). La epresión f c significa que para toda M 0 eiste una 0 tal que f() M, siempre que 0 c (ver la figura.0). Del mismo modo, la epresión f c significa que para todo N 0 eiste un 0 tal que f() N, siempre que 0 c. Para definir el ite infinito por la izquierda, sustituir 0 c por c c. Y para definir el ite infinito por la derecha, reemplazar 0 c por c c. Observar que el signo de igualdad en la epresión f() no significa que el ite eista. Por el contrario, indica la razón de su no eistencia al denotar el comportamiento no acotado o no limitado de f() cuando se aproima a c.

2 8 CAPÍTULO Límites sus propiedades E X P L O R A C I Ó N Representar las siguientes funciones con una herramienta de graficación. En cada una de ellas, determinar analíticamente el único número real c que no pertenece al dominio. A continuación, encontrar de manera gráfica el ite si eiste de f() cuando tiende a c por la izquierda por la derecha. a) f b) f c) f d) f EJEMPLO Determinación de ites infinitos a partir de una gráfica Determinar el ite de cada función que se muestra en la figura. cuando tiende a por la izquierda por la derecha. f() ( ) a) b) Figura. Las dos gráficas tienen una asíntota vertical en Solución a) Cuando se aproima a por la izquierda o por la derecha, ( ) es un número positivo pequeño. Así, el cociente ( ) es un número positivo grande f () tiende a infinito por ambos lados de. De modo que se puede concluir f() El ite por cada lado es infinito. La figura.a confirma este análisis. b) Cuando se aproima a por la izquierda, es un número negativo pequeño. Así, el cociente ( ) es un número positivo grande f () tiende a infinito por la izquierda de. De modo que se puede concluir El ite por la izquierda es infinito. Cuando se aproima a por la derecha, es un número positivo pequeño. Así, el cociente ( ) es un número negativo grande f () tiende a menos infinito por la derecha de. De modo que se puede concluir El ite por la derecha es infinito. La figura.b confirma este análisis. Asíntotas verticales Si fuera posible etender las gráficas de la figura. hacia el infinito, positivo o negativo, se vería que ambas se acercan arbitrariamente a la recta vertical. Esta recta es una asíntota vertical de la gráfica de f. (En las secciones.5. se estudiarán otros tipos de asíntotas.) NOTA Si la gráfica de una función f tiene una asíntota vertical en c, entonces f no es continua en c. DEFINICIÓN DE ASÍNTOTA VERTICAL Si f() tiende a infinito (o menos infinito) cuando tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta c es una asíntota vertical de la gráfica de f.

3 SECCIÓN.5 Límites infinitos 85 En el ejemplo, se observa que todas las funciones son cocientes la asíntota vertical aparece en el número en el cual el denominador es 0 ( el numerador no es 0). El siguiente teorema generaliza esta observación. (En el apéndice A se encuentra la demostración de este teorema.) TEOREMA. ASÍNTOTAS VERTICALES Sean f g funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a c. Si f(c) 0, g(c) 0, eiste un intervalo abierto que contiene a c tal que g() 0 para todo c en el intervalo, entonces la gráfica de la función está dada por h f g tiene una asíntota vertical en c. EJEMPLO Cálculo de las asíntotas verticales f() ( ) a) f() b) Funciones con asíntotas verticales Figura. c) f() = cot Determinar todas las asíntotas verticales de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. a) f Solución a) Cuando, el denominador de f b) f c) f cot es igual a 0 el numerador no lo es. Por tanto, mediante el teorema., se puede concluir que es una asíntota vertical, como se observa en la figura.a. b) Al factorizar el denominador como f puede verse que el denominador se anula en en. Además, dado que el numerador no es 0 en ninguno de estos puntos, se puede aplicar el teorema. concluir que la gráfica de f tiene dos asíntotas verticales, como ilustra la figura.b. c) Escribiendo la función cotangente de la forma f cot cos sen se puede aplicar el teorema. para concluir que las asíntotas verticales tienen lugar en todos los valores de tales que sen 0 cos 0, como muestra la figura.c. Por consiguiente, la gráfica de esta función tiene infinitas asíntotas verticales. Estas asíntotas aparecen cuando n, donde n es un número entero. El teorema. eige que el valor del numerador en c no sea 0. Si tanto el numerador como el denominador son 0 en c, se obtiene la forma indeterminada 00, no es posible establecer el comportamiento ite en c sin realizar una investigación complementaria, como se ilustra en el ejemplo.

4 8 CAPÍTULO Límites sus propiedades EJEMPLO Una función racional con factores comunes Determinar todas las asíntotas verticales de la gráfica de f() 8 No definido en Asíntota vertical en = f() crece decrece sin cota o sin ite cuando tiende a Figura. f 8. Solución Comenzar por simplificar la epresión como sigue f 8, En todos los valores de distintos de, la gráfica de f coincide con la de g() ( )( ). De manera que se puede aplicar a g el teorema. concluir que eiste una asíntota vertical en, como se muestra en la figura.. A partir de la gráfica, se ve que 8 8. Observar que no es una asíntota vertical. EJEMPLO Cálculo de ites infinitos f() f tiene una asíntota vertical en Figura. Determinar los siguientes ites: Solución Puesto que el denominador es 0 cuando ( el numerador no se anula), se sabe que la gráfica de f tiene una asíntota vertical en. Esto significa que cada uno de los ites dados es o. Se puede determinar el resultado al analizar f en los valores de cercanos a, o al utilizar una herramienta de graficación. En la gráfica de f que se muestra en la figura., se observa que la gráfica tiende a por la izquierda de a por la derecha de. De tal modo, se puede concluir que. El ite por la izquierda es infinito. El ite por la derecha es menos infinito. CONFUSIÓN TECNOLÓGICA Cuando se utiliza una herramienta de graficación, ha que tener cuidado para interpretar correctamente la gráfica de una función con una asíntota vertical, a que las herramientas de graficación suelen tener dificultades para representar este tipo de gráficas.

5 SECCIÓN.5 Límites infinitos 87 TEOREMA.5 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES INFINITOS Sean c L números reales, f g funciones tales que f c g L. c. Suma o diferencia:. Producto:. Cociente: f g c fg, c c c fg, g f 0 L > 0 L < 0 Propiedades análogas son válidas para ites laterales para funciones cuo ite de f() cuando tiende a c es. DEMOSTRACIÓN Para probar que el ite de f() g() es infinito, elegir un M 0. Se necesita entonces encontrar un 0 tal que [f() g()] M siempre que 0 c. Para simplificar, suponer que L es positiva sea M M. Puesto que el ite de f() es infinito, eiste un tal que f() M siempre que 0 c. Como además el ite de g() es L, eiste un tal que g() L siempre que 0 c. Haciendo que sea el menor de, concluir que 0 c implica que f() M g() L. La segunda de estas desigualdades implica que g() L, sumando esto a la primera desigualdad, se obtiene f() g() (M ) (L ) M L M. Por tanto, también se conclue que f g. c Las demostraciones de las demás propiedades se dejan como ejercicios (ver el ejercicio 78). EJEMPLO 5 Cálculo de ites a) Puesto que 0 0, se puede escribir 0. Propiedad, teorema.5. b) Puesto que cot, se deduce que 0. Propiedad, teorema.5. cot c) Al ser 0 0 cot, se tiene 0 cot. Propiedad, teorema.5.