1. Limite de Funciones

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1 1. Limite de Funciones 1.1. Introducción. Consideremos la función f() = { 1+ 2 si > si < 0 Se observa que la función no está definida en 0 = 0. Sin embargo, se observa que cuando se consideran valores de no nulos pero cercanos a cero, los valores de f() se aproiman a l = 1. Nos gustaría decir que cuando tiende a 0 = 0 los valores de f() tienden a l = 1. Para formalizar el concepto de aproimarse a se hace uso de sucesiones. Sin embargo como en el caso general 0 no pertenece al dominio de la función considerada, no siempre es posible encontrar sucesiones que converjan a 0 con valores en el dominio de la función.para encontrar estas sucesiones necesitamos la siguiente definición. Definición (Punto Adherente) Sea A R un conjunto cualquiera. 0 R se llama punto adherente de A, o bien, que 0 pertenece a la adherencia de A sí y sólo sí eiste alguna sucesión ( n ) con valores en A, convergente a 0. Luego, la condición necesaria y suficiente para encontrar sucesiones que converjan a 0, es que el punto 0 se encuentre en la adherencia del dominio de la función considerada. Definición Sea f : A R R y sea 0 Adh(A). Diremos que f tiende a l R cuando tiende a 0 ( f() l si 0 ), o bién que l es el ite de f() cuando 0 (l = f())

2 2 ssi dada cualquier sucesión ( n ) con valores en A y convergente a 0 se cumple que la sucesión ( f( n )) es convergente a l. Observaciones 1. Si 0 Adh(A) entonces no eisten sucesiones ( n ) convergentes a 0 con valores en A, luego no puede estudiarse el ite de la función cuando 0. En consecuencia en este caso se dice que tal ite no eiste. 2. Si 0 Adh(A) entonces está definido el concepto de ite de f() cuando 0, sin embargo, este ite puede o no eistir. Ejemplos = no eiste, ya que 1 Adh(R + {0}) no eiste ya que n = 1 n 0 pero 1 n = n no converge. Proposición Si una función f tiene ite cuando 0 entonces dicho ite es único. Demostración La demostración se hará por contradicción. Sean l 1 y l 2 ites de f() cuando 0.

3 3 Sea entonces ( n ) alguna sucesión con valores en el dominio de la función f y convergente a 0. Entonces por definición de ite se tiene que la sucesión ( f( n )) es convergente a l 1 y a l 2 simultaneamente. Sin embargo en virtud de la unicidad del ite de sucesiones se tiene que l 1 = l 2. Observación Si 0 Dom( f) y f() eiste entonces f() = f( 0 ) ya que basta considerar la sucesión n = 0 con lo cual f( n ) = f( 0 ) y luego l = f( 0 ) **este teo no deberia ir**teorema Si f : A R R y 0 A entonces: f es continua en 0 f() = f( 0 ) Demostración Por un lado: f continua en 0 Dada cualquier sucesión ( n ) en A convergente a 0 se tiene que ( f( n )) converge a f( 0 ) y por otro 0 f() = l = f( 0 ) Dada cualquier sucesión ( n ) en A convergente a 0 se tiene que ( f( n )) converge a l = f( 0 ) con lo cual se ve la equivalencia.

4 Teorema (Álgebra de ites) Sean f y g dos funciones y 0 R tales que f() = l 1 y g() = l 2. Entonces: 4 1. si 0 Adh(Dom( f) Dom(g)) se tiene que: 0 ( f + g)() = l 1 +l 2 0 ( f g)() = l 1 l 2 0 ( f g)() = l 1 l 2 2. si 0 Adh(Dom( f/g)) y l 2 0 entonces: 0 ( f/g)() = l 1 /l 2 3. (α f)() = αl 1 α R Teorema (Sandwich de funciones) Sean f,g y h tres funciones y sea 0 Adh(Dom(g)). Si ( δ>0) tal que ( Dom(g) V δ ( 0 )) f() g() h() y además f() = entonces g() = l Este último teorema nos será muy útil para el cálculo de ites. Ejemplo sin f() = 0 h()

5 Solución El dominio de f() es Dom( f) = R \ {0}. Como 0 Adh(Dom( f)), pero f(0) no eiste, sin se puede calcular a través del siguiente ite: 0. Para esto sea ( n ) 0, con ( n ) R \ {0}. Por una desigualdad vista en el capítulo de trigonometría para n < π 2, tendremos los siguiente sin n n sin n cos n, invirtiendo la última desigualdad y luego multiplicando por sin n obtendremos cos n sin n n como cos n 1. Y obviamente 1 tiende a 1. Por el teorema del Sandwich tendremos sin n sin que = 1, con lo cual = 1. 0 n 0 Lo último motiva una reparación de la función f() en 0 de la siguiente manera { sin f() = si 0 1 si = 0. Teorema (Límite de la composición de funciones o cambio de variable) Sean f y g dos funciones y 0 Adh(Dom(go f)). 1 5

6 Si f() = l y g() = L entonces (go f)() = L l Demostración Debemos demostrar que si ( n ) 0, entonces (go f)( n ) L. En efecto si ( n ) 0 con ( n ) Dom(go f),entonces si llamamos (y n ) = f( n ), tendremos que (y n ) l pues sabemos que f() = l. Con esto tendremos: (go f)( n )=g( f( n ))=g(y n )) L. Pues sabíamos que g() = L. l Con lo cual queda terminada la demostración. Observación El resultado del teorema anterior se puede escribir como: 0 (go f)() = Ejemplo 0 1 cos 2 Solución y f() g(y) = L Por propiedades trigonométricas tenemos cos = cos 2 ( 2 ) sin2 ( 2 ) = 1 2sin2 ( 2 ), con lo cual tendremos 1 cos 2 = 1 2 sin 2 ( 2 ( ) ) 2 = ( sin( 2 2 ) ) 2, 6

7 luego el ite que estábamos calculando quedaría 7 Ahora definamos g(y) = siny y ite ya lo habíamos calculado: Luego con el teorema ya visto 0 1 cos = 1 [ ( sin( ( sin( 2 2 ) y f() = 2. Con esto 0 siny g(y) = = 1. l 0 y Con esto el resultado final del ejercicio será: 2 2 ) ) )] 2. f() = 0 2 = 0 (go f)() = L = y 0 g(y) = 1. = 0. Además el otro 1.2. Límites importantes. 1 cos = Funciones Contínuas. Si f es continua en 0 entonces f() = f( 0 ). Luego: 1. c = c

8 2. = 0 3. (a n n + +a 1 +a 0 ) = a n n 0 + +a a a n n + +a 1 +a 0 b m m + +b 1 +b 0 = a n n 0 + +a a 0 b m m 0 + +b b 0 5. = 0 6. sin = sin 0 7. cos = cos 0 8. arcsin = arcsin 0 9. e = e ln = ln Límites Trigonométricos sin = cos 2 = Límites logarítmicos y eponenciales.

9 1. 0 ln 1 = e 1 = 1 Ejercicios propuestos 9 sina 0 sina π 3 Solución e 1. 0 = a sinb = a b 1 cos = 0 sin e a e b = a b 1 2cos sin( π 3 ) = 3 (1 )tan(π 1 2 ) = 2 π

10 ( Sabemos que si a n a, entonces ) e a n e a a n a para todo (a n ) 0 con a n 0, obtendremos Ejemplo (Motivación) Calcular f() donde f() = 0 sin e 1 ( e a n 1 e a, para a = 0 tendremos ( ) e a n 1 a n 1, lo cual implica que si I si Q \ {0} α si = 0 Definición (Límite de una función por un subconjunto de su dominio) 10 ) a n 1,luego e 1. 0 Sea f : A R R y sea 0 Adh(A). Sea B A tal que 0 Adh(B). Diremos que l R es el ite de la función f cuando 0 por el conjunto B ssi dada cualquier sucesión ( n ) convergente a 0 y con valores en B, se tiene que la sucesión ( f( n )) converge a l. Notación l = f() B Ejemplos 1. cos = 1 0 I cos = 1 0 Q

11 2. si f() = { cos si Q sin si I Proposición Si f : A R R es tal que que 0 Adh(B) se tiene que B entonces 0 Q Observación Si B,C A y 0 Adh(B) y 0 Adh(C) entoces: 1. B 2. B f() no eiste f() no eiste. f() = l 1 l 2 = C f() = 1 y 0 I f() = 0 f() = l entonces para cualquier subconjunto B A tal f() = l f() f() no eiste. Teorema Sea f : A R R y 0 Adh(A). Sean B,C A tales que 0 Adh(B) y 0 Adh(C) entonces: f() = l 0 B f() = C f() = l B C Definición (Límites laterales) Sea f : A R R y 0 Adh(A). Sean además: A 1 = { A/ > 0 } = A ( 0,+ ) 11

12 A 2 = { A/ < 0 } = A (, 0 ) 12 i) Si 0 Adh(A 1 ) entonces, si eiste el A 1 f(), se le llama ite lateral por la derecha de la función f en 0. ii) Si 0 Adh(A 2 ) entonces, de eistir, al A 2 f() se le llama ite lateral por la izquierda de la función f en 0. Notación 0 f() se anota f() o bien A 1 > f() se anota f() o bien A 2 < 0 0 Definición (Límites laterales) 0 f() f() Sea f : A R R y 0 Adh(A). L 1 será el ite lateral por la derecha de la función f en 0 y se anotará L 1 = f(), sí y solamente sí, para toda sucesión 0 + ( n ) 0 con ( n ) > 0, se tiene f( n ) L 1. Sea f : A R R y 0 Adh(A). L 2 será el ite lateral por la izquierda de la función f en 0 y se anotará L 2 = f(), sí y solamente sí, para toda sucesión ( n ) 0 con ( n ) < 0, se tiene f( n ) L 2.

13 Observación Claramente si eiste el ite f() = L, entonces eisten los ites laterales L 1 y L 2 y estos coincides con L. Es decir L 1 = L 2 = L. Ejemplo f() =, 0. Sea ( n ) 0 con ( n ) > 0,esto implicará que f( n ) = n n = 1 1.Por lo tanto f() = Sea ( n ) 0 con ( n ) < 0,esto implicará que f( n ) = n n f() = = 1 1.Por lo tanto Luego no eiste el 0 f(), pues si eistiese debería ser igual a 1 y a 1 a la vez, lo cual no puede ser. Proposición Sea f : A R Ry 0 Adh(A). Si eisten los ites laterales de f en 0 y coinciden, es decir f() = L, entonces eiste f() y vale L. 0 + f() = 0 Teorema (Caracterización de ite sin uso de sucesiones) Sea f : A R R y 0 Adh(A) entoces 0 f() = l ( ε > 0)( δ > 0)( A)[ 0 δ f() l ε]

14 Observación f() = l ( ε > 0)( δ > 0)( A)[0 0 δ f() l ε] f() = l ( ε > 0)( δ > 0)( A)[0 0 δ f() l ε] LÍMITES INFINITOS. Recordemos que ( n )diverge a + y se anota ( n ) + si ( M R + )( n 0 N) tal que n n 0 n M. Análogamente tendremos que ( n ) si ( N R )( n 0 N) tal que n n 0 n N. Definición Se define L = + f() si se cumple que para toda sucesión ( n) +, la sucesión f( n ) L. Análogamente se define L = f() si se cumple que para toda sucesión ( n), la sucesión f( n ) L. Ejemplo 1 + = 0 En efecto, sea ( n ) +, esto implica por *el teorema de sucesiones recíprocas, se tiene ( 1 n ) 0. Por lo tanto f( n ) 0, entonces, + 1 = 0

15 Definición (ites infinitos sin uso de sucesiones) Sea f : A R R donde A es un subconjunto no acotado de R. 15 i) Si A no tiene supremo entonces diremos que f() = L ssi ( ε > 0)( a + R + )( A)[ a f() L ε] ii) Si A no tiene ínfimo entonces diremos que f() = L ssi ( ε > 0)( b R )( A)[ b f() L ε] Definición (Asíntotas horizontales) 1. Si + f() = l 1 entonces la recta y = l 1 se llama asíntota horizontal de f. 2. Si f() = l 2 entonces la recta y = l 2 es otra asíntota horizontal de f. Ejemplo ± a n n + +a 1 +a 0 b m m + +b 1 +b 0 = 0 sin < m a n b n sin = m sin > m Definición (Funciones que crecen o decrecen sin cota) Sea f : A R R y 0 Adh(A) entoces 1. f() = + ( M R + )( δ > 0)( A)[ 0 δ f() M] 2. f() = ( N R )( δ > 0)( A)[ 0 δ f() N]

16 Observación En forma análoga se definen las epresiones f() = +, 0 + f() = +, > 0 + Ejemplo f() = +, + f() =, f() =, > 0 f() =, f() = +, f() = +, < 0 f() = < 0 f() = f() = +, f() = + e = + En efecto sea ( n ) +. Hay que demostrar que e n +.Si ( n ) + ( M R + )( n n 0 n M.También por una desigualdad muy conocida tenemos: 16 e n 1+ n 1+M, definiendo M = 1+M, se cumplirá que ( M R + )( n 0 N) tal que si n n 0 e n M, lo cual implica que e n +, o sea, + e = +. Definición (Asíntotas verticales) Si 0 + de f. f() = ± o 0 Definición (Asíntotas oblicuas) f() = ±, se dice que la recta = 0 es una asíntota vertical

17 La recta y = m+n, será una asíntota oblicua de la función f : A R R en + ssi f() m = y n = ( f() m). + + De manera análoga se define una asíntota de f en. Observación Si m = 0, volvemos al caso de una asíntota horizontal. Ejemplo f() = Solución El dominio de la función es R\[ 1,1]. Como f() es par basta estudiar su comportamiento solamente en el intervalo (1, ). Como 1 + f() =, tenemos que = 1, es una asíntota vertical y como f es par entonces la recta = 1 tambien es una asíntota vertical. Veamos ahora las asíntotas en f() = = = 1 = m Por otro lado tenemos f() = 2 1

18 desarrollemos un poco la última epresión = ( 2 1) ( 2 1) = , (2 1) 18 multipliquemos la última epresión por 1 = = (2 1) = (2 1) ( ) = 1+ 2 (2 1) ( ) = ). (2 1) ( Si tomamos el ite cuando a la última epresión obtendremos ( 1 2) 0. Por lo tanto n = 0. Con esto la asíntota oblícua será y =. Gráficamente tendremos

19 f() 19 $ 1$ $1$