M a t e m á t i c a s I I 1

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1 Matemáticas II

2 Matemáticas II

3 ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la diferencia de fracciones en una sola fracción: ln (*) ln ln ( ) Este límite produce ahora la indeterminación 0/0. Aplicamos la regla de L Hôpital para resolverla: (*) ln ( ) De nuevo se produce la indeterminación 0/0; por tanto, aplicamos una vez más L Hôpital: ( ) ln () ln ( ) ln ln (4) Ejercicio a) Para esbozar la función f() descomponemos previamente el valor absoluto de la siguiente manera: si si Si multiplicamos por la epresión, obtenemos la descomposición de la función: f() si si Se trata, por consiguiente, de dos parábolas con las siguientes características: f () Parábola cóncava Corte con los ejes: Eje : y 0 (fuera de dominio) Eje : punto (0, 0) (fuera de dominio) Vértice: (/, /4) (fuera de dominio) f () Parábola convea Corte con los ejes: Eje : y 0 Eje : punto (0, 0) Vértice: (/, /4) Con estos datos y sabiendo que la función es continua en, la representación de la gráfica de f() tiene el siguiente aspecto: b) Calculamos la función derivada, aunque tan solo nos interesa para la segunda función (cuando ): f () f (0) y f(0) 0 La recta tangente en 0 es y. c) Calculamos los puntos de corte de la función f() con la recta tangente y igualando entre sí las epresiones de las dos subfunciones de f() con la epresión : 0 0, 0 0 La función f() cambia de epresión en el punto de abscisa, por lo que hay que descomponer el área solicitada en dos según muestra la figura: f() A A f() y ford University Press España, S. A. Matemáticas II

4 ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 El cálculo del área se realiza con integrales definidas de la siguiente manera: A ( ) d ( ) d 0 Hemos prescindido de valores absolutos en cada integral, pues sabemos que, según la representación, la función y va siempre por encima de la función f() en el intervalo (0, ) y, por lo tanto, la hemos escrito la primera al restar en ambas integrales. Arreglando los integrandos, se obtiene: d d 0 0 u Ejercicio a) Eiste una propiedad que garantiza que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes. Si las matrices multiplicadas son inversas entre sí, se cumple: B B I B B I B B Si despejamos en esta igualdad, obtenemos: B B En este caso se cumple: B b) En álgebra se cumplen las siguientes propiedades: El determinante de la potencia de una matriz coincide con la potencia del determinante de la matriz: B n B n El determinante de una matriz y de su traspuesta coinciden: B t B Si aplicamos estas propiedades a nuestro apartado, tenemos lo siguiente: (B t ) 4 B t 4 B 4 () 4 6 c) Epresamos el determinante formado por 5, y con la siguiente notación: Mediante las propiedades que poseen los determinantes vamos a transformar este determinante en el determinante cuyas filas son, y. Al permutar las filas, cambia de signo: Sacamos factor común a la tercera fila: Si a una fila se le suma o resta otra, el determinante no cambia: Sacamos factor común en la primera fila: Sustituimos el determinante por su valor: Ejercicio () 0 Por tanto, el determinante pedido vale: Calculamos previamente la posición relativa de las rectas. Los vectores directores de las rectas son v " r (0, 0, ) y v " s (,, 0). Un punto de r es P r (,, ) y un punto de s es P s (0,, ). Construimos el vector P $ r P sp s P r (0,, )(,, ) (,, ) Con estos tres vectores construimos el determinante: Como el determinante es distinto de cero, se concluye que las rectas se cruzan. Para calcular la perpendicular común a dos rectas que se cruzan seguimos los siguientes pasos: i) Calculamos el vector n " perpendicular a v " r y v " s con el producto vectorial: " n " i " " j k (,, 0) ii) Calculamos el plano que contiene a la recta r y al vector n " usando un punto de la recta (,, ), el vector v " r y el vector n " : ford University Press España, S. A. Matemáticas II 4

5 ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI : y 0 0 y 0 z iii) Calculamos el plano que contiene a la recta s y al vector n " usando un punto de la recta (0,, ), el vector v s y el vector n " : 0 : y 0 z + 0 z 0 iv) La perpendicular común a las rectas r y s es la intersección de los planos y que podemos epresar de forma general, así: t: y 0 z 0 btenemos un punto de la recta: Damos, por ejemplo, a el valor cero. Así, un punto de la recta es P t (0,, ). El vector director de la recta es n ". Por lo tanto, otra forma de epresar la recta perpendicular común a r y s en forma vectorial puede ser: (, y, z) (0,, ) (,, 0) pción B Ejercicio a) La primera función, f () es discontinua en, pero este punto no se toma porque no está en el dominio. La segunda función, f () se trata de un polinomio y, por lo tanto, es siempre continua en su dominio de definición. En consecuencia, el único punto donde hay que estudiar la continuidad de la función f() es en 0: i) f(0) 0 0 ii) 0 0 ( ) Como los límites laterales coinciden, se cumple que f() 0 iii) Como f(0) 0 f() la función es continua en 0. Calculamos la función derivada de f(): f () ( ) si 0 si 0 En la segunda función no hemos incluido 0 en su dominio porque esta derivada hemos de calcularla aparte. Para estudiar la derivabilidad de f() en 0 hallamos las derivadas laterales en dicho punto: f (0) 0 ( ) f (0) 0 ( ) Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en 0 y, por tanto, no eiste la derivada en este punto. Luego f() es continua para todo número real y es derivable para todo número real menos el cero. b) Asíntotas verticales No eiste ningún punto en el dominio de f() en el cual el límite sea o ; por tanto, esta función no tiene asíntotas verticales. Asíntotas horizontales Calculamos los límites de f() en y. f() ( ) Por consiguiente, no hay asíntota horizontal en. f() 0 En hay asíntota horizontal, y 0. Asíntotas oblicuas a que en no hay asíntota horizontal, podría haber asíntota oblicua: La pendiente de la asíntota se calcula como: m f() Puesto que no eiste la pendiente, se concluye que tampoco hay asíntota oblicua en. Etremos relativos La función derivada de f() es: si 0 f () ( ) si 0 f () 0 0 Para saber si es máimo o mínimo, calculamos la segunda derivada de f en /. f (/) 0, por tanto, en hay un mínimo relativo. ford University Press España, S. A. Matemáticas II 5

6 ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 c) Para esbozar la gráfica de f() debemos tener en cuenta lo siguiente: La función f () es una hipérbola con asíntota horizontal y 0 y asíntota vertical en, que no pertenece a su dominio de definición. Además, la única rama que posee es negativa y corta al eje de ordenadas en y. La función f () es una parábola cóncava que corta al eje de abscisas en, y (este último fuera de su dominio de definición), corta al eje de ordenadas en y y su vértice es el punto (/, /4). La gráfica de f() es la siguiente: y 0 Ejercicio a) La ecuación de la recta tangente a la f() en se calcula con la fórmula: y f() f ()[ ()] La imagen de la función en es f(). f () f () 0 Según estos cálculos la recta tangente es: y 0[ ()] y b) Para determinar el área del recinto itado por la curva y y la recta y, hemos de calcular los puntos de corte entre ellas. Igualamos ambas epresiones: 0 Por ser un polinomio de grado, aplicamos la regla de Ruffini: 0 0 Las raíces del polinomio cociente, 0, son y. Por consiguiente, las soluciones de 0 son y. f(), V(/, /4) La representación del recinto es la siguiente: y Calculamos el área solicitada con la integral: A u ( ) d u u 4 6 u u u u Ejercicio n.º de cajas compradas en el. er mercado. y n.º de cajas compradas en el. º mercado. z n.º de cajas compradas en el. er mercado. La empresa ha comprado 500 cajas: y z 500 El precio de las cajas en cada mercado es de 0, 0 y 40 por unidad, por tanto: 0 0y 40z En el primer mercado se ha comprado el 0 % de las cajas y, dado que se han adquirido 500 en total, en el primer mercado se compraron 0, cajas, es decir, 450. Sustituimos el valor de en las otras dos ecuaciones: 450 y z 500 y z y 40z y 40z Dividimos entre 0 y obtenemos y z 50. El sistema que hay que resolver es: y z 050 y z 50 Restamos a la segunda ecuación la primera: z 00. Sustituimos el valor de z en la primera ecuación: y 750. Según el precio de una caja en cada mercado y el número de cajas adquiridas, obtenemos el distinto gasto efectuado en cada mercado:. er mercado: º mercado: er mercado: y 4 ford University Press España, S. A. Matemáticas II 6

7 ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 Ejercicio 4 a) Vamos a obtener de cada recta su vector director y un punto por el que pase: Recta r El vector director es el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: " v " i " " j k r 0 (,, ) 0 Para obtener un punto de r, tomamos, por ejemplo, y 0 y obtenemos:, z 0 Por tanto, un punto de r es P r (, 0, 0). Recta s v " s A B (,, ) Elegimos como punto representativo de s, por ejemplo, P s (,, 0). Luego P $ r P s (,, 0) (, 0, 0) (0,, 0). Con los tres vectores construimos el determinante Como el determinante vale cero, se concluye que las rectas r y s se cortan en un punto. b) Llamamos a, b y c a las coordenadas del punto C. CA $ A C (,, 0) (a, b, c) ( a, b, c) CB $ B C (, 0, ) (a, b, c) ( a, b, c) Para que CA $ y CB $ sean perpendiculares, su producto escalar ha de valer cero: CA $ CB $ ( a, b, c) ( a, b, c) ( a) ( a) ( b) (b) (c) ( c) a a a b b c c a a b b c c 0 Por otro lado, como el punto C pertenece a la recta r, debe cumplir sus ecuaciones, es decir: a b b c 0 Despejamos a en la primera ecuación: a b Despejamos c en la segunda: c b Sustituimos estas relaciones en la anterior ecuación y obtenemos: ( b) ( b) b b (b) (b) 0 4 4b b 6 b b b b b 0 b b 0 Sacamos factor común y obtenemos: b (b ) 0 b 0 y b Si b 0 a 0 c 0 Si b a c Luego eisten dos puntos de la recta r que satisfacen las condiciones del enunciado: C (, 0, 0) y C (,, ) El siguiente dibujo muestra gráficamente la eistencia de estos dos puntos. A C C B r ford University Press España, S. A. Matemáticas II 7