Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES. ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

Transcripción

1 Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS (Solucionario)

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3 Í N D I C E CAPÍTULO : MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA CAPÍTULO 3: FUNCIONES Y APLICACIONES LINEALES CAPÍTULO 4: DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Y FORMAS CUADRÁTICAS 3

4 CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Se dice que una matriz es ortogonal si su inversa es igual a su transpuesta. Sean y dos matrices de orden n invertibles. es simétrica y ortogonal. Simplificar: Se simplifica teniendo en cuenta que usando por ser simétrica y por ser ortogonal: Resp.: 2. Sean y dos matrices tales que (matriz nula). Si es invertible, demostrar que tiene que ser la matriz nula. 0, premultiplicando por : 0, como, y 0 0, entonces 0, como queríamos demostrar. 3. Hallar la inversa de Con el método de Gauss Permutando F (Fila ) con F 2, y haciendo después F 4 F F 2 F 3 : La inversa es: Resp.: Hallar la matriz que verifica la identidad siendo, y 4

5 Sacando factor común:, premultiplicando por, supuesto que exista la inversa:, y teniendo en cuenta que, entonces : : Resp: Calcular el determinante de Vandermonde Y generalizar el resultado hasta el exponente natural. El determinante de Vandermonde de orden se expresa con la siguiente fórmula general: y su solución es: Se observa que para un determinante de orden 2 el resultado es correcto: Procedamos por inducción: Supongamos que la solución es cierta para y veamos lo que sucede para : Efectuemos la siguiente operación con las filas: 5

6 es decir extrayendo factores comunes: luego como por tanto O sea, se ha obtenido la expresión del determinante de orden, que se corresponde con el de sin más que sustituir por. En el determinante del enunciado la solución es: Resp.: 6. Resolver la ecuación siendo e identidad Resolviendo el determinante resulta una ecuación de segundo grado. 6

7 7 Resp. : 2 7. Hallar el rango de la siguiente matriz en función de los valores de sus parámetros: F 2 F 3 : O sea: (b- 2), por tanto: Resp.: Para 2, : rango 3. Para b=2, : rango 2 8. En el dominio de las matrices cuadradas de orden 5, demostrar: 2 2 = A ; A+A= 2 2 Al calcular det se puede sacar factor común al 2 de cada fila: det det 9. Si en el dominio de las matrices cuadradas de orden se satisface que, demostrar que es invertible y que ha de ser par. Si entonces det det. Como det det det det det y det, entonces det ; es decir det 0, luego A es invertible; además det 0, luego es par. 0. Calcular el rango de Buscamos el mayor de los menores complementarios no nulos ; para ello permutamos la primera fila con la segunda y hacemos ceros por debajo de la diagonal principal. Con ello deducimos que el rango es 2.. Discutir y resolver según los valores de, el sistema: El determinante de la matriz de coeficientes es: 2 Discusión: Si 0,, 2 es sistema es compatible y determinado. La solución es:

8 , Si 0 el sistema es incompatible para cualquier valor de. Si el sistema se reduce a: Si el sistema es incompatible. Si el sistema es compatible indeterminado con,, Si 2 el sistema se reduce a: Si 2 el sistema es incompatible. Si 2 el sistema es compatible indeterminado con 0,, 2. Hallar la potencia n-sima de la matriz y en general: Resp.: 3 3. Sea, descomponer en una suma de una matriz simétrica y una antisimétrica Sumando miembro a miembro: Por tanto: Resp.: Demostrar que: 8

9 Sea el valor del determinante. A la ª fila le sumamos las tres restantes y sacamos factor común a : A 2ª columna le restamos la ª y la 3ª y le sumamos la 4ª y sacamos factor común a : 0 0 A la 2º fila le restamos la 3ª y sumamos 3ª con 4ªy desarrollamos: A la ª columna restamos la 2ª y a la 2ª la 3ª y desarrollamos: A det 0 2 det Restamos la 2ª columna de 4ª, sacamos factor común a en la 2º columna y multiplicamos la ª columna por esa: det det

10 Sumamos la 2ª columna con la 4ª: 2 0 det Restamos la 3ª columna de la ª: det Sacamos factor común en la ª columna y después sumamos la columna 3ª y la ª para obtener la solución del enunciado. det, sacamos factor común a en la ª columna, a en la 2ª y a en la 3ª: / det / / Sacamos factor común a en la ª fila, a en la segunda y a en la tercera: / / det / / / / Multiplicando la ª columna por, la 2ª por y la 3ª por : det 0

11 CAPÍTULO 2 ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA E.. En el conjunto de los números enteros se define de la siguiente manera:. Comprobar si, tiene estructura de grupo abeliano. a) La operación es una ley de composición interna, b) Se cumple la propiedad asociativa c) Existe el elemento neutro 3 3 d) Existe el elemento inverso 3 3; 6 Como los elementos de, además, cumplen la propiedad conmutativa: Por lo tanto, Resp.: es un grupo abeliano. E.2. En el conjunto de los números naturales se define de la siguiente manera:. Comprobar si, tiene estructura de grupo abeliano. Se comprueba enseguida que no existe elemento neutro 3 3 Por tanto, Resp.: no es grupo. E.3. Es,, cuerpo? ( y son la suma y el producto conocidos). Los únicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son y. Por tanto: Resp.:,, no es cuerpo E.4 Es,, cuerpo? ( el conjunto de los números racionales con y la suma y el producto conocidos). a), es un grupo abeliano b) 0,es un grupo abeliano, donde 0 es el elemento neutro de,. c) La operación es distributiva respecto a la operación +:,,

12 Por lo tanto, Resp.:,, es cuerpo. E.5. Sean y. Sea la adición definida en por,,,. Sea el producto de números reales por elementos de definido mediante la expresión,,. Demostrar que,,, es un espacio vectorial. a), es un grupo abeliano. b) ;,, c), ;,,,,,, d), ;,,,,,,, e) ;,,,,,,,,,, f),, Por lo tanto, Resp.:,,, es un espacio vectorial. E.6. El mismo enunciado anterior, pero modificando la definición del producto:,,. Es (,,, un espacio vectorial? No, pues no se cumple que la unidad del cuerpo sea el elemento neutro del producto, ya que:,,,. Aunque con demostrar esto sería suficiente, tampoco se cumplen las propiedades c) d) y e). Resp.: No es un espacio vectorial E.7. El mismo enunciado, pero modificando la definición de la suma:,,,. Es(,,, un espacio vectorial? No, ya que no existe neutro para la suma. Resp.: No es un espacio vectorial E.8. Demostrar que debe pertenecer a para afirmar que es subespacio de. Si 0 no perteneciese a, no sería grupo abeliano pues no tendría elemento neutro. E.9. En el espacio vectorial,,, con las operaciones conocidas y, determinar si los subconjuntos y son subespacios:,, 2

13 En, se ha de cumplir que:, ;, ;. En efecto:, 2, 2, 2, 2, 2 Resp.: es subespacio Pero, en, :,,,,, Resp.: no es subespacio E.0. En el espacio vectorial,,, con las operaciones conocidas y, determinar si los subconjuntos siguientes,, y son subespacios:,,,,,,,, En,, se ha de cumplir que:, ;, ;. En efecto:,,,,,,. Resp.: es subespacio En,,,,,,,,. Resp.: es subespacio En,,,,,,,,, pues no siempre. Resp.: no es subespacio En,,,, 2,, 2,, 2 2. Resp.: no es subespacio E.. Comprobar si los vectores,, y,, son combinación lineal de los vectores,, y,,. Sea:,, 3, 0, 2, 2, 4. Existe solución para 2. Resp.:,, 3 es CL Sea:, 2, 2, 0, 2, 2, 4. No existe solución que satisfaga las tres coordenadas. Resp.:, 2, 2 no es CL E.2. En el espacio vectorial,,, se consideran las matrices, y. Determinar todas las combinaciones lineales de,, que permiten obtener la matriz nula

14 0 0 La única solución del sistema de ecuaciones anterior, es la trivial: Resp.: 0 E. 3. En el espacio vectorial,,,, determinar si los siguientes vectores son LI: a),,,,,,,, ; b),,,,,,,,. a), 0, 0, 0,, 0,, 0, 0; son LD ya que el º es igual al 3º. b),, 0,,, 2,, 0,. 0 Como 2 0; por lo tanto, los vectores de son LD 0 E.4. Demostrar que las matrices,, son vectores LI Luego 0, es decir las matrices son LI. E.5. Demostrar que el espacio vectorial de los polinomios reales sobre el cuerpo definido por ; son LI. Calculemos 0, siendo 0 el polinomio nulo: 0 0. Entonces: 2 0 que debe cumplirse para cualquier valor de. La única manera de que suceda es para 0, lo que asegura la independencia de y. E.6. Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores y en el espacio vectorial,,, y en el espacio vectorial,,,. lo tanto: Sea entonces 2/3 pertenece al conjunto, pero no al. Por Resp.: y son LD, pero LI en. E.7. Determinar para que sean LD los vectores,,,,, y,, Resp.: E. 8. Determinar si los vectores,,,,,,,, son un SG de. 0 0, luego son LI y SG

15 E. 9. Proponer una base en cada caso: a),,, b),,, c),,, d),,,. es el conjunto de los números complejos. a) Cualquier número real no nulo b) la base canónica c) la base canónica d) Ejercicios. Sean y. Sea la adición definida en por,,,. Sea el producto de números reales por elementos de definido mediante la expresión,,. Es,,, un espacio vectorial?,,,,,, como Resp.: No es espacio vectorial 2. Demostrar que los vectores,,,,,,,,,,,,,,, son ligados e indicar su relación de dependencia. Empleando el método de Gauss: ~ ~ se aprecia que el cuarto vector es CL de los otros tres. De manera que:,2,, 2 2,3,0,,2,,3,3,,0 cuyas soluciones son: 2,,. Por tanto: Resp.: 2,2,, 2 2,3,0,,2,,3,3,,0 3. Determinar los valores de y para que sea 3 el rango del siguiente sistema de vectores:,,,,,,,,,,, ~ 3 3 ~ Si 2 0 y 3 6 0, entonces 2 y Discusión: Si 2, sistema LD. Si 2 ó, sistema LI, Demostrar que los vectores,,,,,,,, forman una base de. Hallar las coordenadas del vector,, respecto de esta base. 5

16 Se comprueba que el determinante de los vectores de S es distinto de cero, por tanto forman una base. Las coordenadas del vector,, 2 respecto de dicha base son los coeficientes,, que satisfacen: 2,,,3, 2,,3,,2 Resp: /87, 2,7 5. Demostrar que si,, son base de un espacio vectorial de dimensión 3, el conjunto,, también es una base de dicho espacio. 0 es decir: 0 Como,, son LI, entonces 0, por tanto,, también es una base 6. Sea,, la base canónica de. En el mismo espacio vectorial tenemos el conjunto,, donde ; ;. Se pide: a) Demostrar que,, es una base. b) Hallar la expresión del cambio de la base canónica a la base,,. c) Calcular las coordenadas del vector,, expresado en la base canónica, en términos de la base,,. a) El determinante formado por los vectores 3,2,, 4,,, 2,, es distinto de cero. Por tanto, son una base b) 2 con,, en la base canónica y,, en la base,, c) Sean,,, y,,, dos bases de. Hallar las expresiones matriciales de los cambios de base de a y de a.,, 2 2,,, 2 0, sistema de ecuaciones cuyas soluciones son: 5 3, 3, 3, 3. De manera que un vector en la base como el, se expresa en la base mediante la expresión,, tal que: Resp.: /3 5 y es decir: /3 5 Resp.: /2 5 6

17 8. Demostrar que el conjunto,, ; es un subespacio vectorial de. Obtener una base y determinar la dimensión y las ecuaciones paramétricas e implícitas del subespacio. Sea, 2, 0; y y dos vectores cualesquiera de. La condición necesaria y suficiente para que sea un subespacio es que ; es decir:, 2, 0, 2, 0, 2, 0 que, en efecto, pertenece a. Resp.:, 2, 0; es subespacio Una base del subespacio es: Resp.:, 2, 0 cuya dimensión es: Resp.: dimensión de la base del subespacio: Las ecuaciones paramétricas son: Resp.: ; 2; 0 y eliminando el parámetro, la ecuaciones implícitas son: Resp.: 2; 0 9. Obtener una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden y del espacio vectorial de las matrices de orden. Resp.: 0 0 0, 0 0 0, 0 0 0, Resp.: , , , , , Sean,, ;,, y,,. Sea,, el subespacio engendrado por estos tres vectores. Calcular: a) una base de y las ecuaciones implícitas. b) el vector,,, pertenece a? c) el vector,,, pertenece a? d) Para qué valores de el vector,, pertenece a? a) Como ~ entonces: Resp.: una base de es, 3, 7, 2,5,6 Sea vector de :,,, entonces:,,, 3, 7 2,5,6. Eliminando y, deducimos que: Resp.: Ecuación implícita de : b) Resp: el vector 3, 2, pertenece a c) Resp.: el vector,, 3 no pertenece a d) Resp: /7 7

18 . Hallar una base del subespacio engendrado por los vectores,,, y,,, y ampliar dicha base a una del espacio vectorial de. Como los vectores del enunciado son LI, constituyen una base del subespacio engendrado por ellos. Cualquier vector,,, será combinación lineal:,,, 2, 2, 3,, 4, 6, es decir, los vectores del subespacio engendrado son de la forma: Los vectores canónicos 0, 0,,0 y 0, 0,0, no satisfacen las dos ecuaciones anteriores, por tanto no pertenecen al subespacio y una base ampliada de es: Resp.: 2, 2,3,,,4, 6, 2, 0,0,0,, 0,0,,0 2. Sea el subespacio vectorial de engendrado por el vector,, y sea,,,. a) Demostrar que es subespacio de. b) Obtener una base y la dimensión de. c) Hallar una base, dimensión y las ecuaciones paramétricas e implícitas de los subespacios y. a) En efecto,,, ; es subespacio porque dos vectores cualesquiera y cumplen la condición necesaria y suficiente. Una base del subespacio es,, cuya dimensión es. En,, 3 0, 2 0, se observa que 2, 3, por tanto cualquier vector de es de la forma, 3, 2 y se satisface la condición y, :, 3, 2, 3, 2, 3, 2 b) Como, 3, 2,3, 2, entonces: Resp.: una base de es:,3, 2 cuya dimensión es: Resp.: dim : c) Como,, y,3, 2 son LI, entonces 0: Resp.: No existe base de y dim 0 Los vectores,3, 2 y,, constituyen una base de la unión, cuya dimensión es 2. Como, entonces: Resp.:,3, 2 y,, son una base de y dim 2 las ecuaciones paramétricas de son: Resp.:, 3, 2 y eliminando los parámetros se obtiene la ecuación implícita de : Resp.: Sean los subespacios de :,,, ;,, y,, ;,,. a) Son y subespacios suplementarios, es decir, y,,. b) Hallar una base y la dimensión de. 8

19 a) En :, 2,,0,0,2, y una base es,0,0,,2,. En 0 0 : 2,, 2,, una base es 2,,. Como det 2 0, entonces 2 los tres vectores son LI y constituyen una base de y 0, 0, 0. Por tanto: Resp.: y son suplementarios: b) Como y en : 2 0, entonces todo vector de es de la forma,, 2,0,2 0,,. O sea, una base de y, por tanto, de es:,0,2, 0,,. Resp.: una base de es:,0,2, 0,, Resp.: dim 2 4. Consideremos el espacio de y la base,,. Si el conjunto,, es tal que: ; ; : a) Demostrar que,, forman una base. b) Hallar la matriz de cambio de a. c) Calcular las coordenadas de un vector en la base sabiendo que en la base sus coordenadas son,,. a) Evaluemos la expresión: 0 es decir: o sea: como,, son LI por ser base, entonces: sistema cuya única solución es la trivial 0. Por tanto: Resp.:,, forman una base b) La matriz de cambio de a es: 2 Resp.: 2 2 c) 2 Como 2, entonces: /4,, 2 2 Resp.: /4,, 9

20 CAPÍTULO 3 FUNCIONES Y APLICACIONES LINEALES E.. Sean,, y,. Clasificar : tal que,.,2,3 2,2 2,3 3,2 3,3, Resp.: Es inyectiva porque toso elemento de tiene imagen en. No es sobreyectiva porque existen elementos de sin antecedente en. E.2. Las funciones : y : son: Determinar, y calcular y. Resp.: 2 Resp.: 2 Resp.: Si consideramos que la parte entera de 2es, entonces: Resp.: 2 /2 3/2 E.3. Demostrar que la función : definida por,,, es una aplicación lineal. Se comprueba fácilmente que E.4. Demostrar que : tal que,,, no es una aplicación lineal. Debido al sumando de la segunda coordenada de, se comprueba fácilmente que E.5. Demostrar que la función : definida por,,,, es un automorfismo. Debemos probar que se trata de una transformación lineal biyectiva: a) es una transformación lineal pues se satisface que ; b) es inyectiva porque cada elemento del dominio tiene un y sólo un elemento en el codominio; y c) es sobreyectiva porque para todo elemento del codominio existe un elemento en el dominio. Por tanto, la aplicación es biyectiva. E.6. Determinar el núcleo de : :,,,. El núcleo es tal que,, 0,0, o sea, 0,0 que exige. Resp.:,,; E.7. Determinar el núcleo y la imagen de tal que, 20

21 El núcleo es tal que Resp.:,; La imagen ;,. Sea, entonces existen vectores, tales que,, o sea: 0 0 es decir:, 0. Luego: Resp.: 0 ; 0 E.8. Determinar el núcleo y la imagen de: tal que,,,. El núcleo es tal que,,, 0,0, es decir: 0,. Resp.: 0,,; Los vectores de la imagen son de la forma: Resp.:,;, E. 9. Determinar el núcleo y la imagen de : :,. El núcleo es tal que,, es decir: 2 Resp.: 2,; Los vectores de la imagen son: Resp.: Ejercicios. Consideremos la aplicación lineal : dada por:,,,, a) Determinar los valores de para los que es biyectiva. b) Para, hallar una base, la dimensión y las ecuaciones implícitas del núcleo y la imagen. c) Para, hallar la matriz asociada a cuando se considera en ambos espacios la base,,,,,,,,. d) Para, hallar,,. a) Si 3 entonces la aplicación es biyectiva. La matriz de 3 la aplicación lineal es: 2 0 cuyo determinante es 2 2 que se 2 anula para. Por tanto: Resp.: Biyectiva b) El núcleo es tal que:,,3,22,20,0,0 es decir:

22 sistema cuya solución es 0. Luego Resp.: 0,0,0, dim 0 Resp.: Ecuaciones implícitas del núcleo: 0 Como dim, entonces: Resp.: dim 3 Los vectores de la imagen son la de forma: 3, 2 2, 2,2, 3,2, 2,0, como los vectores,2,, 3,2, 2,,0, son LI, constituyen una base. Resp.: Una base de :,2,, 3,2, 2,,0, Sea,, un vector de la imagen, entonces:,2, 3,2, 2,0,,, como la dimensión de la imagen coincide con la de, todos los vectores de pertenecen a la imagen, entonces: Resp.:. Ecuaciones paramétricas de la imagen:,, 2. Sea : la aplicación lineal definida por:,,,, a) Calcular la matriz asociada a respecto de la base canónica. b) Hallar una base y las ecuaciones cartesianas del núcleo. c) Sea,,. Hallar una base de los subespacios, y. d) Hallar la matriz asociada a respecto de la base:,,,,,,,,. a) Mediante obtenemos las imágenes de los vectores de la base canónica:,0,0,,, 0,,0 2,,, 0,0, 3,0,2 Por tanto: 2 3 Resp.: la matriz asociada es 0 2 b) Para calcular el núcleo : 0 0 como det 0 y los 2 0 vectores,2,3 y,,0 son LI, entonces sea, por tanto 2 3 0, 0, es decir,. Resp.:,, Resp.: Una base de es,, Resp.: Ecuaciones cartesianas de : 0, 0 c) Como los vectores de son de la forma,,,0, 0,, entonces: Resp.: Una base de :,0,, 0,, Las imágenes por de los vectores de las base de son: , Resp.: Una base de : 4,,3,,, Como dim dim dim dim y dim dim 2, y, por ejemplo, los vectores,0,, 0,,, 4,,3 son LI pues su determinante es distinto de cero, al estar en, entonces 22

23 d) Resp.: Cualquier base de es base de 0 0 Empleando la expresión:, con 2 0 entonces: Resp.: Sea : tal que,,,, ;,,,, y,,,,. Determinar una base y las ecuaciones del núcleo y la imagen. Como siendo la base canónica de, entonces: ; 0 ; expresiones que se pueden sintetizar en la siguiente: por lo tanto: es decir, la matriz de la aplicación lineal es: El núcleo es tal que como det 0: Resp.: 0,0,0 Resp.: Ecuaciones cartesianas de : 0 Resp.: 4. Sea : la aplicación lineal definida por:,,,,, Calcular: a) La matriz asociada a respecto a las bases canónicas. b) La matriz asociada a respecto a las bases,,,,,,,, y,,,,,,,,,,,,,,, a),0,0,,0,,0,0,0 0,,0,0 0,0,,0 0,0,0, 0,,0,2,0,0,0,0,0 0,,0,0 0,0,,0 0,0,0, 0,0, 0,3,0,,0,0,0 0,,0,0 0,0,,0 0,0,0, ; ; 0; ; 2; 0; 0 0; 3; 0; 23

24 Luego la matriz asociada a respecto de la bases canónicas es: Resp.: b),2,,8,0,2 2,,,0, 0,2,0,0 0,0,,0 0,0,0,3 0,,2,8,0,2 2,,0, 0,2,0,0 0,0,,0 0,0,0,3 0,0, 0,3,0, 2,,0, 0,2,0,0 0,0,,0 0,0,0,3 /2; 7/4; 0; 5/6 /2; 7/4; 0; 5/6 0; 3/2; 0; /3 Luego la matriz asociada a respecto de la bases de apartado b) es: /2 /2 0 7/4 7/4 3/2 Resp.: /6 5/6 /3 5. Sea : la aplicación lineal definida por:,, y,,. Hallar una base de los subespacios, y. Como los vectores de son de la forma,,,0, 0,, entonces: Resp.: Una base de :,0,, 0,, Las imágenes por de los vectores de las base de son: , Resp.: Una base de : 3,2,3, 0,, Como dim dim dim dim y dim dim 2, y, por ejemplo, los vectores,0,, 0,,, 3,2,3 son LI pues su determinante es distinto de cero, al estar en, entonces Resp.: Cualquier base de es base de 6. Sea : la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es: a) Hallar la imagen del vector,,. b) Hallar la base, dimensión y ecuaciones implícitas del núcleo y la imagen. c) Sea,,. Probar que es un subespacio y hallar una base del dicho subespacio. d) Sea,,,,,,,, una base. Hallar la matriz asociada a respecto a dicha base. a) 24

25 0,3, Resp.:,3,0 3,,2 b) 0 0 Para calcular el núcleo : 0 0 como el determinante 0 0 de la matriz asociada a es distinto de cero entonces: Resp.: 0,0,0 Resp.: Ecuaciones cartesianas de : 0 Como dim, entonces: Resp.: Resp.: Ecuaciones de la imagen:,, c) En,, 0 se ha de cumplir que:, ;, ;. En efecto:,, 0,, 0,, 0. Resp.: es subespacio Resp.: Una base de :,0,0, 0,,0 d) 2 0 Empleando la expresión:, con entonces: Resp: Sea : la aplicación lineal definida por,,,,, ;,,,,, y,,,,,. Calcular: a) La expresión matricial de la aplicación respecto a las bases canónicas. b) Sea,,,,,,,, una base de. Hallar las coordenadas del vector,, respecto a. Hallar una matriz tal que, donde son las coordenadas del vector respecto la base y respecto a la base canónica. a) Como siendo la base canónica de y la base canónica de, entonces: ; ; expresiones que se pueden sintetizar en la siguiente: por lo tanto:

26 Resp.: b) 3,5, 2,, 0,, 3 0, 0, α 5 0 β 2 3 γ Resp.: 3,2,5 3,2, Como cualquier vector: entonces por tanto Resp.:

27 CAPÍTULO 4 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Y FORMAS CUADRÁTICAS E.. Dados dos vectores,, y,, calcular si: a) Coinciden en dirección y sentido. b) Forman un ángulo de 60º. c) Son perpendiculares entre sí. d) Forman un ángulo de 20º. e) Son de la misma dirección y sentido contrario. cos a) Si 0 entonces cos : Resp.: b) Si 60 entonces cos /2: c) d) Si 90 entonces cos 0: Si 80 entonces cos Resp.: Resp.: 0 Resp.: E.2. Cuál es la proyección del vector,, sobre el,,.,2,3; 3,4, cos cos Resp.: E.3. Sea,,, y la matriz. Se define,. Demostrar que es un producto interior. En efecto: a),, pues es un escalar., b),,, c),, d),, e), á E.4. Determinar para que,, e,, sean ortogonales con el producto interior usual. 3, 4,,, 3 4 0, es decir: 27

28 Resp.:, /3 E.5. Comprobar que la base de formada por los vectores, y, es ortonormal con el producto interior usual. Con cos, sea 3, ;, 3; es ortonormal pues y 0 E.6. Demostrar que,, donde y son polinomios en, es un producto interior. Sea la base,,. Ortonormalizarla. a),, b),,, c),, d) 0 e), Resp.:, ; y polinomios en, es un producto interior Para ortonormalizar: ; ;, 0, 2 0 Por tanto,, 0, 2 0 /3, 0, 2/3 0 0 Por tanto, /3 Luego, la base ; ; /3 está formada por vectores ortogonales, para normalizarla dividimos por el módulo de cada uno de ellos:, 2; 2, 2/3; 3 2, /3 /3 8/45; 45 8 /3 Resp.: Base ortonormalizada:,, /3 28

29 E.7. Demostrar: a) el producto de toda matriz por su traspuesta es una matriz simétrica. b) la suma de toda matriz cuadrada y su traspuesta es una matriz simétrica. a) Como, luego es simétrica por ser igual a su transpuesta. b) Como, es decir es simétrica E.8. Sea el operador : :,, que representa una rotación plana de ángulo y centro en el origen (0,0). Demostrar que es ortogonal con el producto interior usual.,,,,,, cos sen, sen cos cos sen, sen cos E.9. Determinar una matriz ortogonal que diagonalice a. λ 2 2 0; 0 y λ 3 son los valores propios. 2 λ Vectores propios: 0 Para 0: y Como, entonces ; Para 3: y 0 0 Con el mismo procedimiento: ; Resulta: tal que Resp.: E.0. Efectuar una transformación de coordenadas que diagonalice la forma cuadrática. La matriz de la forma cuadrática es En λ 0 se deduce λ 3 que 8 y λ 2 son los valores propios. Resolviendo 0 y normalizando los correspondientes vectores propios, se obtiene la matriz ortogonal: 29

30 2 2 La transformación ortogonal de coordenadas está dada por: O sea 2 2 de manera que se convierte en: Resp.:, 8 2 donde los coeficientes son los valores propios de la matriz Ejercicios. Sea una matriz cuadrada de orden 3 que verifica: ; ; Hallar: a) La matriz. b) Por qué es diagonalizable? Hallar la matriz diagonal semejante a y la matriz de paso correspondiente. c) Consideremos la forma cuadrática de :,,. Hallar la matriz asociada. a) Resp.: 0 b) 0 Los valores propios de se calculan anulando el polinomio característico: det cuyas raíces son dichos valores propios: λ, λ 2, λ. Como son todos distintos, entonces es diagonalizable. A continuación se hallan los vectores propios con 0: Para λ Se observa que la 3ª fila es CL y que la ª y la 2ª son LI. Por tanto, 0 y 0 ; es decir. Un vector propio es 0,,. Para λ 2: 30

31 Análogamente y un vector propio es,, Para λ : es decir, 2 2 y un vector propio es 2,,. Por lo tanto, una matriz de paso que diagonaliza es: 0 2 Resp.: Comprobación: matriz diagonal, con los valores propios en la diagonal principal. 0 c) La matriz asociada a,, 2 2 es precisamente : 0 Resp.: Sea : la aplicación lineal definida por:,,,, Hallar, si existe, una base en respecto a la cual la matriz asociada a sea diagonal. 2 3 Como,, 2 3,, 2 0, entonces 0 es su matriz asociada. 2 Los valores propios de se calculan anulando el polinomio característico: 2 3 det cuyas raíces son dichos valores propios: λ λ 2, λ 0. Hay dos valores propios iguales λ λ 2. A continuación se hallan los vectores propios con 0: Para λ λ Se observa que la 3ª fila es igual a la 2ª cambiada de signo y que la ª y la 2ª son LI. Por tanto, y 0. La solución a este sistema de ecuaciones es de la forma,,,,. Como el orden de multiplicidad de λ λ es 2 y la dimensión del subespacio solución es, entonces no es diagonalizable. Resp.: No existe ninguna base 3

32 3. Sea : la aplicación lineal definida por:,, Hallar una base en respecto a la cual la matriz asociada a sea diagonal. Los valores propios se calculan con cuyas raíces son dichos autovalores: λ λ, λ 4. Hay dos valores propios iguales λ λ. Calculemos los vectores propios con 0: Para λ λ : Como las tres filas son iguales entonces 0. Es decir, cualquier vector asociado a λ λ es de la forma,,,0, 0,,. Los vectores,0, y 0,, son LI y constituyen una base del subespacio solución λ λ. Como la dimensión de esta base es 2 y coincide con el grado de multiplicidad de λ λ, la matriz de es diagonalizable. Los vectores,0, y 0,, son autovectores asociados. Para λ 4: Como det 2 0 y det 2 0 el rango es 2; es decir la tercera 2 2 ecuación es CL. Por tanto, 2 0, 2 0, o sea, el vector propio asociado a λ 4 es de la forma,,. Sea el vector,,. Por lo tanto, una base que diagonaliza es: Resp.:,0,, 0,,,,, Comprobación: Sea : la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es: Hallar una base ortonormal respecto a la cual la matriz asociada a sea diagonal. Los valores propios se calculan con 0 cuyas raíces son dichos autovalores: λ λ, λ 2. Hay dos iguales λ λ. Calculemos los vectores propios con 0: 32

33 Para λ λ : Como las tres filas son iguales, entonces 0. Es decir, cualquier vector asociado a λ λ es de la forma,,,0, 0,,. Los vectores,0, y 0,, son LI y constituyen una base del subespacio solución λ λ. Como la dimensión de esta base es 2 y coincide con el grado de multiplicidad de λ λ, la matriz de es diagonalizable. Los vectores,0, y 0,, son autovectores asociados. Para λ 2: Como det 2 0 y det 2 0 el rango es 2; es decir la tercera 2 2 ecuación es CL. Por tanto, 2 0, 2 0, o sea, el vector propio asociado a λ 4 es de la forma,,. Sea el vector,,. La base,0,, 0,,,,, diagonaliza la matriz, pero no es ortonormal. Para ello, como,0, es perpendicular a,,, pero no lo es a 0,,, elegimos otro vector,, que sea normal a,0, y a,, y que cumpla la condición 0 impuesta por el autovalor λ λ. Es decir:,,,0, 0 y,,,, 0. Vemos que la condición 0 se reitera. De estas ecuaciones se deduce que un vector es, por ejemplo,, 2,. Una base ortogonal que diagonaliza la matriz es,0,,, 2,,,,. Para normalizarla basta dividir por el módulo de cada vector: Resp.:,0, / 2,, 2,/ 6,,,/ 3 Comprobación: / 2 / 6 / 3 0 2/ 6 / 3 / 2 / 6 / / 2 / 6 / / 6 / 3 0 / 2 / 6 / 3 5. Sea,,,,, hallar una base ortonormal respecto a la cual la matriz de la aplicación lineal admita una expresión diagonal. Como,, 0,,,0,,,0 entonces: 0,, 0 0 con Por tanto, la solución es la misma que la del ejercicio Sea : la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es: 33

34 Hallar: a) los autovalores y autovectores. b) Una base de respecto a la cual admite una expresión diagonal. c) La forma cuadrática que tiene a como matriz asociada. a) Los valores propios se calculan con cuyas raíces son dichos autovalores: λ λ 3, λ 0. Resp.: autovalores λ λ 3, λ 0 Hay dos iguales λ λ 3. Calculemos los vectores propios con 0: Para λ λ 3: Como la ª y la 3ª filas son iguales y la 2ª es igual a la ª cambiada de signo, entonces 0. Es decir, cualquier vector asociado a λ λ 3 es de la forma,,,,0 0,,. Los vectores,,0 y 0,, son LI y constituyen una base del subespacio solución λ λ 3. Como la dimensión de esta base es 2 y coincide con el grado de multiplicidad de λ λ 3, es diagonalizable. Los vectores,,0 y 0,, son autovectores asociados. Para λ 0: Como det 2 0 y det 2 0 el rango es 2; es decir la tercera 2 2 ecuación es CL. Por tanto, 2 0, 2 0, o sea, el vector propio asociado a λ 0 es de la forma,,. Sea el vector,,. Resp.: Vectores propios:,, 0, 0,,,,, b) Una base respecto a la cual admite una expresión diagonal es: Resp.:,,0, 0,,,,, Comprobación: c) 2,, 2 2 Resp.:,, Consideremos la forma cuadrática de,,. Hallar: a) La matriz asociada respecto de la base canónica. b) Una base ortonormal de respecto de la cual la matriz anterior adopta una forma diagonal. 34

35 a) La matriz asociada es 0 /2 Resp.: /2 0 Comprobación: 0 / /2 0 b) Los valores propios se calculan con 0 /2 det /2 0 cuyas raíces son dichos autovalores: λ 2, λ /2, λ 3/2. Calculemos los vectores propios con 0: Para λ 2: 0 / /2 0 0 Es decir, 0 y 0 con cualquier valor de. Estas condiciones se satisfacen con el vector 0,, 0. Para λ /2: /2 0 / /2 0 0 /2 0 /2 0 O sea, 0, 0, 0. Estas ecuaciones se satisfacen con el vector, 0,. Para λ 3/2: /2 0 /2 0 0 /2 0 0 /2 0 /2 0 O sea, 0, 0. Estas ecuaciones se satisfacen con el vector, 0,. Por tanto, una base ortogonal es 0,,0,,0,,,0,. Para normalizarla, dividimos por sus módulos: Resp: 0,,0, / 2,0,, / 2,0, Comprobación: 0 / 2 / 2 0 /2 0 / 2 / / 2 / 2 /2 0 0 / 2 / / /2 8. Sea y sea : la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es. Hallar: a),,. b) Una base de respecto de la cual la matriz asociada a sea diagonal. c) La forma cuadrática asociada a la matriz de. 35

36 a) , por tanto: 2 2 Resp.:,, b) 2 Sea la matriz de la aplicación lineal. Calculemos sus valores 2 propios mediante la expresión det 0: cuyas raíces son los valores propios: λ λ 0, λ 6. Hay dos valores propios iguales λ λ 0. Calculemos los vectores propios con 0: Para λ λ 0: Como la 2ª fila es el doble de la primera y la 3ª es igual a la primera, entonces el rango es y el sistema se reduce a la ª ecuación: 2 0, o sea, cualquier vector asociado a λ λ 0 es de la forma 2,, 2,,0,0,. Los vectores 2,,0 y,0, son LI y constituyen una base del subespacio solución λ λ 0. Como la dimensión de esta base es 2 y coincide con el grado de multiplicidad de λ λ 0, es diagonalizable. Los vectores 2,,0 y,0, son autovectores asociados. Para λ 6: Como det y det el rango es 2; es decir la tercera ecuación es CL. Por tanto, 5 2 0, 0, o sea, el vector propio asociado a λ 6 es de la forma, 2,. Sea el vector,2,. Por lo tanto, una base sería: Comprobación: Resp.: 2,,0,,0,2,,2, c) 2,, Resp.:,, 2 9. Consideremos la aplicación lineal : dada por: 36

37 ,,,, ;,,,, ;,,,, Calcular: a) La matriz asociada respecto de la base canónica. b) Estudiar si es diagonalizable y, en caso afirmativo, hallar una base respecto de la cual la matriz asociada a en dicha base sea diagonal. a) Como siendo la base canónica de, entonces: ; 3 ; 3 expresiones que se pueden sintetizar en la siguiente: por lo tanto: es decir, la matriz de la aplicación lineal es: 0 3 Resp.: 0 2 b) 2 0 Calculamos det 0: cuyas raíces son los valores propios: λ, λ 2, λ 4. Como son distintos: Resp.: es diagonalizable Cálculo de los vectores propios 0: Para λ : Como det 2 0 y det 2 0 el rango es 2; es decir la tercera 2 ecuación es CL. Por tanto, 2 0, 2 0, o sea, el vector propio asociado a λ es de la forma,,. Sea el vector,,. Para λ 2: Como la 2ª y 3ª filas son iguales y det 5 0 el rango es 2. Por tanto, 2 5 0, 2 2 0, o sea, el vector propio asociado a λ 2 es de la forma 0,,. Sea el vector 0,,. Para λ 4: 37

38 Análogamente, llegamos a la conclusión de que el vector propio asociado a λ 4 es de la forma 2,,. Sea el vector 2,,. Por lo tanto, una base sería: Resp.:,,, 0,,, 2,, Comprobación: Obtener una transformación ortonormal que diagonalice la forma cuadrática,. La matriz asociada a esta forma cuadrática es: Entonces λ 6 6 λ 2 0 cuyas raíces son los valores propios: λ, λ 4. Como son distintos, es diagonalizable. Cálculo de los vectores propios 0: Para λ : Como det el rango es. Por tanto 2 6. Un vector propio sería 3 6, 2 cuyo módulo es Por tanto, un vector propio normalizado es,. Para λ 4: Como det el rango es. Por tanto 3 6. Un vector propio 6 2 sería 6, 3 cuyo módulo es Un vector propio normalizado es,. Por lo tanto, la matriz pedida es: Comprobación: Resp.: 38

39 Hallar una transformación ortogonal para reducir la forma cuadrática,, a una suma de cuadrados. La matriz asociada a la forma cuadrática es: Entonces 4 λ λ λ cuyas raíces son los valores propios: λ 0, λ 9, λ 4. Como son distintos, es diagonalizable. Cálculo de los vectores propios 0: Para λ 0: Como det y det el rango es 2; es decir la tercera ecuación es CL. Por tanto, 4 2 0, 4 4 0, o sea, el vector propio asociado a λ 0 es de la forma, 2, 2. Sea el vector,2,2. Para λ 9: Como det y det el rango es 2; es decir la tercera ecuación es CL. Por tanto, 5 2 0, 5 4 0, o sea, el vector propio asociado a λ 9 es de la forma 2, 4, 5. Sea el vector 2, 4,5. Para λ 4: Análogamente, llegamos a la conclusión de que el vector propio asociado a λ 4 es de la forma 2,, 0. Sea el vector 2,,0. Los tres vectores calculados son ortogonales porque se corresponden con valores propios distintos. Por lo tanto, la matriz pedida es: 2 2 Resp.: 2 4 Comprobación:

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