Espacios Vectoriales

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1 Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos Motivación Abstracción y Generalización Generalización El concepto de operación Espacio Vectorial Teoremas sobre espacios vectoriales Ejemplos de EV Subespacio Vectorial Objetivos En esta lectura se introduce el concepto de espacio vectorial. Este concepto generaliza los vectores n y las matrices m n. El concepto es abstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural; se le pide al estudiante un esfuerzo extra para pensar las cosas desde un punto de vista general Motivación Veamos un ejemplo para introducir el concepto de las ideas invariantes en la solución a un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo 3. Considere el sistema homogéneo: x + 2 y + w + 2 t = 2 x + 4 y z + w + 5 t = x + 2 y + z + 2 w + t = z + w t = Si utilizamos el orden x y z w t la matriz aumentada reducida queda: De donde la fórmula para las soluciones son: x y z w = y t 2 + w + t 2

2 Si utilizamos el orden x y w z t la matriz aumentada reducida queda: De donde la fórmula para las soluciones son: x y z w = y t 2 + z + t Si utilizamos el orden x y t z w la matriz aumentada reducida queda: De donde la fórmula para las soluciones son: x y z w = y t 2 + z 2 + w Si utilizamos el orden y x z w t la matriz aumentada reducida queda: De donde la fórmula para las soluciones son: x y z w = x /2 t + w / t Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto solución. Necesitamos una teoría que nos dé confianza en los resultados obtenidos; qué nos indique las cosas que permanecen y las cosas que pueden cambiar en las múltiples respuestas válidas en R n que podemos obtener. Además de los conjuntos solución en R n, existen otras áreas de la ingeniería que requieren un apoyo matemático: las matrices tienen su importancia y uso en ingeniería industrial y en control; las series trigonométricas en procesamiento de señales; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para los IFIs, etc.. Cómo desarrollar una teoría comodín que se pueda aplicar a diferentes contextos sin ningún cambio importante? 2

3 3.3. Abstracción y Generalización Si se hace una encuesta entre los matemáticos sobre que palabras describen a las matemáticas se notará que la mayoría responde al menos dos palabras claves: abstracción y generalización. La abstracción tiene que ver con representar cantidades por medio de símbolos,y la generalización tiene que ver con la construcción de estructuras o teorías que engloban ciertas cosas o hechos conocidos. La que nos interesa más para abrir este tema es el aspecto de la generalización. La generalización también tiene que ver con la economia del trabajo realizado para investigar, y con determinar cuáles son los elementos mínimos responsables de que ciertos resultados ocurran Generalización Para entender como ocurre la generalización en nuestra materia recordemos algunos conceptos hemos visto en diferentes cursos de matemáticas:. vectores en el espacio n dimensional (R n ), 2. matrices con entradas reales (M n m ), 3. polinomios reales, 4. series de pontencias, 5. series trigonométricas, y 6. soluciones a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas entre otros elementos. El objetivo que se persigue en el presente tema consiste en introducir aquella estructura abstracta que engloba las anteriores construcciones, y qué resultados se pueden obtener en lo general sin importar a cual de las estructuras específicas se haga referencia El concepto de operación Antes que el concepto de espacio vectorial está el concepto de operación. Veamos algunos ejemplos de operaciones para ir entendiendo que las operaciones de suma o de multiplicación por escalares podrían ser diferentes de las que conocemos. Lo que es importante recordar es el uso de los paréntesis : sirven para indicar un orden en las operaciones. Ejemplo 3.2 Suponga que V = R 2 y que se define la operación: (x, y) (z, w) = (5 x + z, 2 w + 2 y) Si Calcule: a = ( 2, 3), b = (, 3), c = (, ). a b = (5 (x = 2) + (z = ), 2 (w = 3) + 2 (y = 3)) = (, ) 2. b a = (5 ( ) + ( 2), 2 ( 3) + 2 ( )) = ( 7, ) 3

4 3. (a b) c = (, ) (, ) = (5 ( ) + ( ), 2 ( ) + 2 ()) = ( 56, 2) 4. a (b c) = ( 2, 3) ( 6, 4) = ( 6, 2) Ejemplo 3.3 Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: (x, y) (z, w) = (2 x, 3 w + y) t (x, y) = (2 t x, 3 t y) a = (, ), c =, c 2 = 4. (c + c 2 ) a = 3 (, ) = (2( 3)(), 3( 3)()) = ( 6, ) 2. (c a) (c 2 a) = (2, ) ( 8, ) = (4, ) 3. (c c 2 ) a = 4 (, ) = ( 8, ) 4. c (c 2 a) = ( 8, ) = ( 6, ) 3.6. Espacio Vectorial Definición 3. Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada mulitplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u v. La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas: (A) Para cualquiera dos vectores u y v en V Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma: u v V () La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto. (A2) Para cualquiera dos vectores u y v en V Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma: El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma. (A3) Para cualquiera tres vectores u, v y w en V Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma: u v = v u (2) u (v w) = (u v) w (3) 4

5 En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo. (A4) Existe un único vector en V que se simbolizará por y que se llamará el vector cero tal que para cualquier vector u V se cumple u = u = u (4) Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro: Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento. (A5) Para cualquier vector u V existe un único vector también en V y simbolizado por u que cumple u ( u) = ( u) u = (5) Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos: Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con él da el neutro aditivo. (M) Para cualquier vector u V y para cualquier escalar c R se cumple c u V (6) Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares: El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto. (M2) Para cualquiera dos vectores u y v en V, y para cualquier escalar c en R se cumple c (u v) = (c u) (c v) (7) Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores): En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados. (M3) Para cualquier vector u V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple (a + b) u = (a u) (b u) (8) Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares. (M4) Para cualquier vector u V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple a (b u) = (a b) u (9) Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalar con vector. Lo llamaremos simplemente como la propiedad asociativa del producto. 5

6 (M5) Para cualquier vector u V se cumple u = u () Cuando se elabora una argumentación en algún cálculo o demostración uno debe hacer referencia a los axiomas. Por ellos es que es conveniente y elegante llamarlos por su descripción. Se le pide al alumno que entienda la lógica de cada uno de ellos y memorice sus descripciones. Ejemplo 3.4 Indique cual opción enuncia la propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto..- (c + k) x = (c x) (k x) Respuesta 2.- x = x = x 3.- x y = y x Conmutatividad 4.- c x es vector Cerradura 5.- x ( x) = ( x) x = 6.- x y es vector Cerradura Ejemplo 3.5 Indique cual opción describe la propiedad:.- Cerradura del producto por escalares. 2.- Existencia del neutro de la suma. Respuesta x = x = x 3.- Distributividad del producto sobre la suma de vectores. 4.- Distributividad de la suma de escalares sobre el producto. 5.- Asociatividad del producto por escalares. 6.- Existencia del inverso aditivo Ejemplo 3.6 Apesar que nuestro interés no es hacer demostraciones matemáticas si es conveniente entender cómo se construyen. El siguiente argumento prueba que el vector cero es único. Es decir, que si hay otro vector que cumple la propiedad que define al neutro debe ser el mismo neutro. Justifique los pasos. Suponga que x + y = x Entonces por (a) existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da Por la propiedad (b) se deduce entonces ( x) + (x + y) = ( x) + x (( x) + x) + y = ( x) + x Por la propiedad (c) se tiene entonces + y = 6

7 Finalmente, por la propiedad (d) se tiene y =. : la propiedad del inverso aditivo, 2: asociativa, 3: del neutro Respuesta: la correspondencia es (a)=,(b)=2,(c)=,(d)= Teoremas sobre espacios vectoriales Resultados generales sobre espacios generales: Sea V es un espacio vectorial, y sean u V y c R, entonces:. u = (El escalar por cualquier vector da el vector cero) 2. c = (Cualquier escalar por el vector cero da el vector cero) 3. c u = implica c = ó u = (Cuando el producto de un escalar por un vector da el vector cero, o el escalar es cero o el vector es el vector cero) 4. ( c) u = (c u) (Multiplicar por un escalar negativo implica obtener el inverso aditivo del producto del escalar sin el signo por el vector) 3.8. Ejemplos de EV Veamos algunos de los espacios vectoriales que utilizaremos. Ejemplo EV Sea V = R + con las operaciones: x y = x y y c x = x c, veamos que V con tal operaciones cumple los axiomas de espacio vectorial: Axioma A: x y V Efectivamente, pues si x, y V entonces x, y > y por tanto x y = x y >, probando que x y V. Axioma A2: x y = y x Efectivamente, pues x y = x y = y x = y x. Esto se tiene por la propiedad conmutativa del producto de números reales. Axioma A3: x (y z) = (x y) z Efectivamente, pues x (y z) = x (y z) = x (y z) = (x y) z = (x y) z = (x y) z. Esto se tiene por la propiedad asociativa del producto de números reales. Axioma A4: Existe en V un neutro para Efectivamente, el número de V = R cumple la propiedad requerida pues x = x = x = x = x. Axioma A5: Todo elemento de V posee un inverso aditivo en V Efectivamente, si x V es número, /x también está en V = R (Pues si x >, también se cumple /x > ) y cumple la propiedad requerida pues x /x = x /x = = /x x = /x x. Axioma M: c x V Efectivamente, pues si x V entonces x > y c x = x c > para cualquier número c. (Recuerde que para x >, x c = e c ln(x) > ) Axioma M2: c (x y) = (c x) (c y) Efectivamente, c (x y) = c (x y) = (x y) c = x c y c = (x c ) (y c ) = (c x) (c y). Y esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M3: (c + c 2 ) x = (c x) (c 2 x) Efectivamente, (c + c 2 ) x = x c +c 2 = x c x c 2 = (x c ) (x c 2 ) = (c x) (c 2 x). Esto vale por la ley de los exponentes con bases positivas. Axioma M4: (c c 2 ) x = c (c 2 x) Efectivamente, (c c 2 ) x = x c c 2 = (x c 2 ) c = c (x c 2 ) = c (c 2 x). Esto vale por la ley de los exponentes 7

8 con bases positivas. Axioma M5: x = x Efectivamente, x = x = x. Habiéndose cumplido los axiomas, concluimos que V con las operaciones x y = x y y c x = x c sí es un espacio vectorial Ejemplo EV 2: R n El conjunto de todas las n-adas con componentes reales R n : operaciones: La suma: La suma de dos vectores con n componentes es un vector también con n componentes cuya componente i-ésima es la suma de las componentes i-ésimas de los vectores que se están sumando: (x i ) + (y i ) = (x i + y i ) El producto por escalares: El producto de un escalar por un vector de n componentes se también un vector de n componetes cuya componente i-ésima es el producto del escalar por la i ésima componente del vector que se multiplica: c (x i ) = (c x i ) Axiomas A y M: x + y R n y c x R n De la misma definición de la suma y producto por escalares. Axioma A2 : x + y = y + x Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componente i se tiene x i + y i = y i + x i Axioma A3: x + (y + z) = (x + y) + z Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componente i se tiene x i + (y i + z i ) = (x i + y i ) + z i Axioma A4: Existe el vector neutro bajo la adición: Este vector es el vector con todas sus componentes cero = () y cumple + x = x + = x pues al comparar las i-ésimas componentes se cumple: + x i = x i + = x i Axioma A5: Cada vector de tiene su inverso aditivo: Para cada vector x = (x i ) el vector x = ( x i ) cumple x+( x) = ( x)+x = pues al comparar las i-ésimas componentes se cumple: x i + x i = = x i + x i Axioma M2: c(x + y) = c x + c y: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene c(x i + y i ) = c x i + c y i 8

9 Axioma M3: (c + c 2 )x = c x + c 2 x: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene (c + c 2 )x i = c x i + c 2 x i Axioma M4: (c c 2 )x = c (c 2 x): Los vectores son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar las componentes i se tiene (c c 2 )x i = c (c 2 x i ) Axioma M5: (x i ) = ( x i ) = (x i ) Habiéndose cumplido los axiomas, concluimos que R n con las operaciones (x i ) + (y i ) = (x i + y i ) y c(x i ) = (c x i ) sí es un espacio vectorial Ejemplo EV 3: M m n El conjunto de todas las matrices m n con componentes reales M m n : operaciones: La suma: La suma de dos matrices m n es una matriz también m n cuyo elemento (i, j) es la suma de los elementos (i, j) de las matrices que se están sumando: (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) El producto por escalares: El producto de un escalar por una matriz m n es también una matriz m n cuyo elemento (i, j) es el producto del escalar por el elemento (i, j) de la matriz que se multiplica: c (a ij ) = (c a ij ) Axiomas A y M: A + B M m n y c A M m n : De la misma definición de la suma de matrices y producto por escalares. Axioma A2 ; A + B = B + A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene a ij + b ij = b ij + a ij Axioma A3: A + (B + C) = (A + B) + C: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene a ij + (b ij + c ij ) = (a ij + b ij ) + c ij Axioma A4, Existe una matriz neutra bajo la adición: Esta matriz es la matriz con todas sus componentes cero = () y cumple + A = A + = A, pues al comparar los elementos (i, j) componentes se cumple: + a ij = a ij + = a ij Axioma A5: Cada matriz de tiene su invero aditivo: Para cada matriz A = (a ij ), la matriz A = ( a ij ) cumple A + ( A) = ( A) + A =, pues al comparar los elementos (i, j) se cumple: a ij + a ij = = a ij + a ij 9

10 Axioma M2: c(a + B) = c A + c B: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene c(a ij + b ij ) = c a ij + c b ij Axioma M3: (c +c 2 )A = c A+c 2 A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene (c + c 2 )a ij = c a ij + c 2 a ij Axioma M4: (c c 2 )A = c (c 2 A): Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene (c c 2 )a ij = c (c 2 a ij ) Axioma M5: (a ij ) = ( a ij ) = (a ij ) Habiéndose cumplido los axiomas, concluimos que M m n con las operaciones (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) y c(b ij ) = (c a ij ) sí es un espacio vectorial Ejemplo EV 4: P De todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x con las operaciones: Suma: Cuando son dos polinomios, esta operación se lleva a cabo sumando los coeficientes de las mismas potencias de x de los polinomios. a + a x + + a m x m + b + b x + + b m x m = (a + b ) + (a + b ) x + + (a m + b m ) x m Alguno de los polinomios se completa hasta el grado mayor de los dos con coeficientes cero Por ejemplo, si p(x) = x 2 + x 4 y q(x) = 2 3 x + x 2 x 3 + x x 5 escribimos a los polinomios como p(x) = 2 + x + 3 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 q(x) = 2 3 x + x 2 x 3 + x x 5 así p(x) + q(x) = (2 + 2) + ( 3) x + (3 + ) x 2 + ( ) x 3 + ( + ) x 4 + ( + 2) x 5 = 4 3 x + 4 x 2 x x x 5 Multiplicación: La multiplicación por escalar es la multiplicación de todo el polinomio por una constante: c(a + a x + a 2 x a m x m ) = c a + c a x + + c a m x m

11 En lo siguiente supondremos que cada polinomio se escribe en la forma p(x) = p + p x + p 2 x 2 + Es decir, que usaremos el nombre del polinomio para nombrar a sus coeficientes y usaremos subíndices para indicar la potencia de x a la cual acompañan. Axiomas A y M: p(x) + q(x) P y c p(x) P: De la misma definición de la suma de polinomios y producto por escalares. Axioma A2 ; p(x) + q(x) = q(x) + q(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: p i + q i = p i + q i Axioma A3: p(x) + (q(x) + r(x)) = (p(x) + q(x)) + r(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: p i + (q i + r i ) = (p i + q i ) + r i Axioma A4, Existe un polinomio neutro bajo la adición: Este polinomio es el polinomio con todos sus coeficientes cero: = = + x y cumple + p(x) = p(x) + = p(x), pues al comparar los coeficientes de x i se tiene: + p i = p i + = p i Axioma A5: Cada polinomio de tiene su invero aditivo: Para cada plinomio p(x) = p +p x+, el polinomio p(x) = ( p ) + ( p ) x + ( p 2 )x 2 + cumple p(x) + ( p(x)) = ( p(x)) + p(x) =, pues al comparar los coeficientes de x i se tiene: ( p i ) + p i = Axioma M2: c(p(x) + q(x)) = c p(x) + c q(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: c(p i + q i ) = c p i + c q i Axioma M3: (c + c 2 )p(x) = c p(x) + c 2 p(x): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: (c + c 2 )p i = c p i + c 2 p i Axioma M4: (c c 2 )p(x) = c (c 2 p(x)): Los polinomios son iguales pues están en la misma variable y comparando los coeficientes de x i se tiene: (c c 2 )p i = c (c 2 p i ) Axioma M5: p(x) = p(x) Habiéndose cumplido los axiomas, concluimos que P con las operaciones suma de polinomios y producto de un escalar por un polinomio conocidas sí es un espacio vectorial Ejemplo EV 5: P n Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayor o igual que cero): operaciones:sea x la variable independiente de los polinomios.

12 a) Suma: Misma que en P. b) Multiplicación por escalares: Misma que en P. 2 el cero: El polinomio, es áquel cuya totalidad de coeficientes es cero. 3 inversos aditivos: El inverso de p de un polinomio p tiene por coeficientes los opuestos de los coeficientes de p Ejemplo EV 6: F (R) El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R: operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar. a) Suma: Se define la suma de f + g de f y g como la función cuyos valores están expresados por: (f + g)(x) = f(x) + g(x) para toda x R b) producto por escalares: Igualmente, el producto por escalar cf se define como sigue: (c f)(x) = c f(x) para toda x A 2 el cero: La función cero, es aquella cuyos valores son todos ceros: (x)= para toda x R. 3 inversos aditivos: La inversa de f de f es la función (-)f. 4 axiomas: La comprobación de los axiomas se deja como ejercicio. Ejemplo EV 7: F (A) De manera más general que en el ejemplo de espacio vectorial 6, si A es un conjunto cualquiera definimos el conjunto F (A) de todas las funciones de valor real que tienen como dominio A; entonces F (A) es un espacio vectorial. Ejemplo EV 8: F (A, V ) De manera más general que en el ejemplo de espacio vectorial 7, si A es un conjunto cualquiera y V es un espacio vectorial (con una operación suma y producto por escalares ) definimos el conjunto F (A, V ) de todas las funciones que tienen como dominio X y como codominio V. Definimos en F (A, V ) la suma de la siguiente manera: f g : A V a f(a) g(a) y definimos el producto por escalares de la siguiente manera: c f : A V a c f(a) entonces F (A, V ) es un espacio vectorial. Normalmente, el símbolo usando para la suma de funciones es el mismo que el usando para la suma de V y el usado para el producto de un escalar por una función es el mismo que el símbolo del producto por escalares. 2

13 3.9. Subespacio Vectorial Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Cuando el conjunto está contenido en un conjunto mayor que ya es un espacio vectorial. En este caso, como todas las propiedades de los axiomas hacen referencia a elementos del conjunto y por tanto a elementos al conjunto mayor que ya es espacio vectorial y por consiguiente se verifican. Salvo posiblemente los axiomas A y M que hacen referencia a la cerradura. Definición 3.2 Sea V = (V, +, ) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalares que están definidas en V, pero restringidas a vectores de U, es un espacio vectorial. Apesar que en la definción de subespacio está implicita la verificación de los axiomas, el siguiente resultado da la clave para la verificación de que un conjunto se subespacio. Teorema Un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial V es con operaciones y es un subespacio de V si cumple las siguientes condiciones: El conjunto U es cerrado bajo la suma; Cualquiera dos elementos de U sumados dan como resultado un elemento que también está en U. El conjunto U es cerrado bajo la multiplicación por escalares; Cualquier elemento de U multiplicado por cualquier escalar da como resultado un elemento que también está en U. Demostración Debemos probar que si se cumplen las condiciones marcadas, entonces U con la suma, que ya tenía V, y el producto por escalares, que ya tenía V, satisface los axiomas para ser él mismo un espacio vectorial. newline A Sean x y y dos elementos cualquiera de U. Al cumplirse que U es cerrado bajo la suma, x y está en U. A2 A3 A4 Sean x y y dos elementos cualquiera de U, como x y y son elementos de V y V es espacio vectorial cumple A2: x y = y x Sean x, y y z elementos cualquiera de U; por tanto, son elementos de V y como V es espacio vectorial se cumple A3: x (y z) = (x y) z Como U no es vacío, U tiene al menos un elemento, digamos x. Como U es cerrado bajo el producto por escalares: c R, c x U En particular, se debe cumplir para c =. Así, x U. Pero nosotros probamos que x =. Por tanto, el neutro de V, está también en U. 3

14 A5 M Sea x un elemento cualquiera de U. Debemos ver que tiene inverso aditivo en U. Como U es cerrado bajo el producto por escalares: c R, c x U En particular, debe cumplirse para c = ; es decir, x U. Pero nosotros hemos probado que x = x (el inverso aditivo de x). Por tanto x U. Sean x un elemento cualquiera de U y c un escalar cualquiera. Al cumplirse que U es cerrado bajo el producto por escalares, c x está en U. De forma similar a la prueba de que los axiomas A2 y A3 se cumplen al cumplirse para V (los elementos de U son elementos de V ), los axiomas M2 a M5 se pueden verificar fácilmente. La prueba de que U con las operaciones y de V cumple los axiomas nos dice que es espacio vectorial; y como U V, U es subespacio vectorial de V Observe que realmente el resultado anterior hace referencia a tres condiciones: La que está en el enunciado: que el conjunto no sea vacío, y las dos explícitamente citadas. Ejemplo 3.7 El subconjuto W de P 2 formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + 3 a x 2 donde a es un número real, es un subespacio vectorial? Solución Requisito : Se debe probar que el conjunto posee al menos un elemento: Debemos dar un ejemplo concreto de un polinomio que corresponde a este formato: Por ejemplo p(x) = 2 x + 6 x 2 el coeficiente de x 2, 6, es justo el doble del coeficiente de x, que es 2. Por tanto, W. Requisito : Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sean p(x) = a x + 3 a x 2 y q(x) = a 2 x + 3 a 2 x 2 dos elementos de W, veamos si p(x) + q(x) W : p(x) + q(x) = a x + 3 a x 2 + a 2 x + 3 a 2 x 2 = (a + a 2 ) x + 3 (a + a 2 ) x 2 de donde vemos que el coeficiente de x 2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, p(x) + q(x) W. Por tanto, W es cerrado bajo la suma. Requisito 2: Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sea p(x) = a x + 3 a x 2 un elemento cualquiera de W y c un escalar cualquiera, veamos si c p(x) W : c p(x) = c (a x + 3 a x 2 ) = (c a ) x + 3 (c a ) x 2 de donde vemos que el coeficiente de x 2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, c p(x) W. Por tanto, W es cerrado bajo el producto por escalares. Como hemos probado los tres requisitos, W es un subespacio vectorial de P 2. 4

15 Ejemplo 3.8 El conjunto W de todas las matrices 2 2 de la forma: [ a b donde a y b son números reales que cumplen a b, es un subespacio vectorial de M 2 2? Solución Requisto : Como la matriz [ ] A = tiene el patrón de las matrices de W para a = y b = y se cumple a b =, A W. Por tanto, W. Requisito : Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar valores numéricos; debemos utilizar letras. Sean [ ] [ ] a a2 A = y B = b b 2 dos elementos de W, que cumplan a b y a 2 b 2 veamos si A + B W : [ ] a + a A + B = 2 b + b 2 Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W (a + a 2 ) (b + b 2 )) = a b + a 2 b + a b + a 2 b 2? Observe que lo que es cierto es que a b y que a 2 b 2. Pero el término a 2 b + a b 2 puede cambiar la desigualdad. De hecho los valores a =, b = 5, a 2 = 3, y b 2 = cumplen Pero Estos números nos dan las matrices a b = ()( 5) = 5 y a 2 b 2 = ( 3)() = 3 (a + a 2 )(b + b 2 ) = ( + 3)( 5 + ) = ( 2)( 4) = 8 > A o = [ 5 ] ] y B o = [ 3 que sí están en W, pero cuya suma no está en W. A estos ejemplos concretos que prueban que una cierta afirmación del tipo para cualquiera no se cumpla se llaman contra ejemplos. El anterior contra ejemplo hace que W no sea cerrado bajo la suma. Fallando un requisito como ahora, W no es un subespacio. Sin embargo, como nos interesa ver la opción que se ajusta a W deberemos revisar el otro requisito. Requisito 2: Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera del conjunto, el resultado también está en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numérico de a; debemos utilizar letras. Sea [ ] a A = b un elemento cualquiera de W (y por tanto a b ) y c un escalar cualquiera, veamos si c A W : [ ] c a c A = c b 5 ]

16 Ahora apliquemos la prueba última para ver si pertenece a W Como y c 2 y a b entonces (c a ) (c b )? (c a ) (c b ) = c 2 (a b ) (c a ) (c b ) = c 2 (a b ) Por tanto, c A W. Por tanto, W es cerrado bajo el producto por escalares. Resumiendo, W no es espacio vectorial: sí es cerrado bajo el producto por escalares pero no es cerrado bajo la suma. Ejemplo 3.9 Sea V = M n n el conjunto de todas las matrices cuadradas. Este conjunto con la suma conocida de matrices y el producto de un escalar por una matriz es un espacio vectorial. Éste es nuestro espacio vectorial de referencia. Definimos un subconjunto de M n n formado por las matrices simétricas: { U = A M n m : A T } = A Es decir, U está formado por todas las matrices cuadradas n n que al tomarle la transpuesta queda la misma matriz. Vea que U es un subespacio de M n n. Demostración Veamos que U cumple los requisitos para ser subespacio:. Que U. Efectivamente, la matriz de ceros n n es una matriz que al tomarle su transpuesta queda ella misma. Por tanto, T =. Como U agrupa a todas las matrices n n que cumplen esta propiedad; es un elemento de V. Por tanto, U no es vacío. 2. Que U es cerrado bajo la suma. Tomemos dos matrices cualquiera n n de U, digamos A y B. Si son elementos de U deben ser simétricas, es decir: A T = A B T = B Veamos ahora que la matriz A + B también está en U, es decir, que A + B es una matriz simétrica: Para ello, tomemos su transpuesta y veamos que queda ella misma. Sabemos que (A + B) T = A T + B T por las propiedades de la transpuesta de una matriz. Siendo A y B simétricas, deducimos que (A + B) T = A + B Es decir, la matriz A + B es tal que cuando se obtiene su transpuesta queda ella misma. Concluimos que A + B es una matriz n n simétrica, es decir, A + B U. 3. Que U es cerrado bajo el producto por escalares. Sea c un escalar cualquiera y A es un elemento de U cualquiera. Así, A es una matriz simétrica n n: A T = A. Por las propiedades de la traza y teniendo la simetría de A: (c A) T = c A T = c A Por tanto, la matriz c A es tal que cuando se calcula su transpuesta se obtiene la misma matriz c A. Por tanto, c A es una matriz n n simétrica. Es decir, c A es un elemento de U. 6

17 De lo anterior, concluimos que el conjunto U es un subespacio de M n n Ejemplo 3. Tomemos como espacio vectorial de referencia R n con la suma y el producto por escalares comúnes. Sea A una matriz m n fija, defina en R n el conjunto formado por todos los vectores que son solución al sistema de ecuaciones homogéneas cuya matriz de coeficientes es A: U = {x R n : A x = } Vea que U es un subespacio de R n. Comente si el correspondiente conjunto de soluciones a un sistema no homogéneo es un subespacio. Demostración Veamos que U satisface los requisitos para ser espacio vectorial.. Que U. Efectivamente, como el producto de cualquier matriz A por el vector cero da como resultado el vector cero (cuando se tienen las dimensiones adecuadas para que el producto sea factible), concluimos que el vector de R n es un elemento de U. 2. Que U es cerrado bajo la suma. Sean x y x 2 dos elementos cualquiera de U. Por tanto, ellos deben ser solución al sistema homogéneo A x =, es decir: A x = y A x 2 = Así, si utilizamos la propiedad distributiva del producto: A (x + x 2 ) = A x + A x 2 = + = Esto nos dice que cuando el vector x + x 2 se sustituye por el vector de incógnitas en la ecuación A x = la ecuación se satisface. Es decir, que x + x 2 es una solución al sistema homogéneo. Como U contiene todas las soluciones a ese sistema, x + x 2 está en U. 3. Que U es cerrado bajo el producto por escalares. Sean c un escalar cualquiera y y un elemento cualquiera de U. utilizamos las propiedades del producto con matrices tenemos Así y satisface A y =. Si ahora A (c y) = c (A y) = c = Esto dice que c y es una solución al sistema A x =. Por tanto, c y es un elemento de U. Por lo anterior, U es un subespacio vectorial de R n. Si el sistema no fuera homogéneo tendría que tener la forma A x = b para b. Afirmamos que el conjunto de soluciones no podría ser subespacio de R n. Efectivamente, hemos visto que el vector cero siempre debe pertencer al cualquier subespacio. En particular, debería pertenecer al conjunto de soluciones. Pero esto es imposible debido a que A = b. Concluimos que si el sistema no es homogéneo, el conjunto de soluciones no forman un subespacio de R n 7