UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS

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1 UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables de expresiones algebraicas dadas. Conocer el significado de incógnita de una expresión algebraica. Identificar polinomios como expresiones algebraicas singulares. Operar correctamente con expresiones algebraicas, teniendo en cuenta el uso de paréntesis y las prioridades en la operativa. Valorar el lenguaje algebraico como herramienta válida para resolver problemas del entorno. El examen tratará sobre... Simplificar expresiones algenraicas mediante el uso de la operativa adecuada. Operar con polinomios sencillos. Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Identificar expresiones algebraicas equivalentes. Extraer factor común en algunas expresiones algebraicas. - Unidad 6. Página 1/11 -

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3 En Matemáticas se utilizan números para indicar cantidades y signos (+, x,..) para las operaciones. Pero hay veces en las que desconocemos alguna(s) cantidad(es), entonces la(s) representamos con letra(s), que suelen ser las últimas del abecedario. Por ejemplo, si queremos escribir el triple de un número: como no conocemos ese número le llamamos x, y por tanto su triple será 3x. Esta forma de escribir se llama lenguaje algebraico. A las expresiones escritas de esta forma (con números, letras y operaciones de sumar, restar, multiplicar, dividir o potenciación) se les llaman expresiones algebraicas. 1.- Llamando n a un número natural cualquiera, escribe: a) Los dos números naturales que le siguen. b) La suma de los tres. 2.- Completa: n Llamando n a un número natural cualquiera, escribe: a) La mitad de n. b) La mitad de n menos cuatro unidades c) La mitad de restarle cuatro unidades a n. d) El doble del resultado de restarle tres unidades a n. e) El resultado de restarle tres al doble de n. 4.- Utiliza el lenguaje algebraico para expresar: a) Un múltiplo cualquiera de cinco. b) Un múltiplo cualquiera de dos. c) Cualquier número que no sea múltiplo de dos. d) Cualquier número que deje un resto de tres al dividirlo entre cinco. 5.- Completa con una expresión algebraica la casilla que va emparejada a n n ? - Unidad 6. Página 3/11 -

4 En ocasiones es necesario buscar cuánto vale una expresión algebraica. Para ello se sustituye(n) la(s) letra(s) por la(s) cantidad(es) que nos digan. Por ejemplo Una persona ve un anuncio en una tienda en el que dice Rebajas!! Le descontamos 6 al comprar tres prendas iguales Quiere comprarse 3 pantalones, pero los hay a dos precios distintos, a 55 y a 65 euros. Para calcular lo que le costará cada clase hay que multiplicar 3 (que son los pantalones que quiere llevarse) por cada uno de los precios y restar los 6 al resultado. A esto se le llama calcular el valor numérico: De forma algebraica quedaría así: Calcular el valor numérico de 3x 6, para x = 55 y x = 65. 3x 6, para x= 55; = = 159; 3x 6, para x= 65, = = 189. En conclusión, si comprara los tres pantalones de 55 le costarían 159 en total; mientras que si comprara los de 65 le costarían Calcula el valor numérico que toma cada expresión algebraica para los valores que se indican: 3 a) 4 x ; para x = 8 b) 2x + 3y ; para x = 5, y = -4 c) a + a 2 + a 3 ; para a = 2 d) 3ab 1 3 a2 ; para a = -3, b = 2 Las expresiones algebraicas pueden ser de distintos tipos: Las más fáciles son las que están formadas por números y/o letras unidos mediante multiplicaciones (o potencias, ya que también son productos de factores iguales); se llaman monomios. Por ejemplo: 3x 5 ; 7 2 x ; 5x3 y 4 z son tres monomios. Si dos monomios están unidos mediante una suma o resta forman un binomio; si son tres los monomios unidos mediante sumas o restas forman un trinomio; en general, si son varios, forman un polinomio. En un monomio, el número que multiplica se denomina coeficiente y lo demás, parte literal. A la suma de todos los exponentes de la parte literal se le llama grado del monomio, o lo que es lo mismo, grado es la cantidad de letras que tiene el monomio. Por ejemplo: En el monomio 3/5 x 2 y, el coeficiente es 3/5; la parte literal es x 2 y; el grado es 3, ya que se suman el 2 de la x con el 1 de la y ( recuerda que cuando no lleva exponente es como si tuviera un 1!). En un polinomio, el grado es el mayor de todos los grados de sus diferentes - Unidad 6. Página 4/11 -

5 monomios. Por ejemplo: El grado del polinomio 2 x 2 + 3xy 3 xy 2 z 2 es 5 (ya que ése es el mayor de los grados de sus tres monomios; el primero es de grado 2, el segundo es de 4º grado y el tercero es de 5º grado) Operaciones con monomios.- Para sumar o restar monomios sólo se podrá hacer si la parte literal de ambos son idénticas (a estos monomios se les denominan semejantes). Entonces se suman sus coeficientes y se deja la misma parte literal. Por ejemplo: Sumemos los monomios 3x 2 ; 5x 2 ; 2x 2. Se hará así: 3x 2 + 5x 2 2x 2 = 6x 2. Pero si queremos sumar 3x y 2x 3 no se puede hacer porque su parte literal son diferentes (no son semejantes). Entonces se deja indicada la suma de ambos monomios formando así un polinomio. 7.- Indica el grado de cada monomio: 2 1 2x -5a 3 3 xy3 5 a2 b 2 Hay algún par de monomios semejantes? 8.- Indica el grado de cada monomio: 5 x x -7 xy 3 4 a5 a 2 b a3 b Indica el grado de cada polinomio: a) x 4 1 b) 3x + 5 c) 1 + x + x Reduce las siguientes expresiones: a) 7a 5a b) 3x + 5x 4x c) 5x 2 + 3x + 7 d) 6x 2 3x 2 + 4x 5x e) 3a (1 + 2a) f) (a + 1) (a 1) g) 3x + 2x + x h) 5x 2 + 2x 2 i) 3x 5 + 2x + 4 j) x 2 + x + x 2 + x k) 3x 2 - x l) 3x + x 2-2x - x El resultado de multiplicar monomios es otro monomio en el que su coeficiente será el producto de los coeficientes anteriores ( cuidado con los signos!) y su parte literal estará formada por todas las letras de los monomios anteriores pero con el exponente de las letras iguales sumados. Veámoslo con un ejemplo: Queremos multiplicar el monomio 3x 2 y con 4x 3 y 2 z; el resultado será: 3x 2 y 4x 3 y 2 z = -12x 5 y 3 z - Unidad 6. Página 5/11 -

6 El 12 sale de multiplicar 3 por 4; x 5 sale de x 3 por x 2, ya que para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes; y 3 viene de multiplicar y por y 2 ; y la z se deja igual porque en el segundo monomio no hay otra letra igual. Para dividir monomios se hace igual, variando tan sólo que se dividen los coeficientes y se restan (en lugar de sumar) los exponentes de las letras iguales. Pero no siempre se pueden dividir dos monomios cualesquiera; el monomio dividendo debe tener por lo menos las mismas letras y con exponentes iguales o mayores que el divisor, ya que si no es así no se podrían restar (en cursos posteriores ya verás como sí se podrán hacer esas operaciones, pero por ahora tan solo haremos operaciones en las que el dividendo sea de mayor grado que el divisor). Un ejemplo: Dividir 3x 4 y : 5x 2 3 Se hará así: 3x 4 y : 5x 2 = 5 x2 y Observa que la x se ha quedado con grado 2 ya que hemos restado 4 2, mientras que la y se ha quedado igual porque no había ninguna y en el divisor Reduce: a) 3x 2x b) 5x x 2 c) (-2x) 4x 2 d) 2ab 3a e) 3ab (-5ab) f) a 2 b b 2 a g) 2x 7x h) 12x 1 4 x2 i) 2x 3x (-x) j) (-5x) 3 5 x2 k) 8a : 4a l) 6x 2 : 3x m) 15 x 3 : 3x n) 8ab : 2ab o) 3a 2 b 3 : 6ab p) 4ab 2 : 4a 2 b q) x 8 : x 6 r) 6x 4 : 3x 3 s) (-6x 5 ) : (2x) t) ( x4 ) : ( 3 x2 ) u) (-x 8 ) : ( 4 x3 ) 12.- Opera y reduce: a) [(2x) (-5x)] (3x) b) (2x) [(-5x) (3x)] c) (x 2 : x) x d) x 2 : (x x) e) [(4x) (3x)] : (6x 2 ) f) (5x) [(6x 2 ) : (3x)] Operaciones con polinomios.- Para sumar polinomios se suman sus monomios semejantes. Por ejemplo, si queremos sumar el polinomio 3x 3-2x 2 + x 2 con el 2x 4 + 5x 2 3x 6, se hará así: - Unidad 6. Página 6/11 -

7 (3x 3-2x 2 + x 2) + (2x 4 + 3x 3 + 3x 2 2x 8) = (quitamos paréntesis) 3x 3-2x 2 + x 2 +2x 4 + 3x 3 + 3x 2 2x 8 = (juntamos los monomios semejantes y los ordenamos de mayor a menor grado) 2x 4 +3x 3 +3x 3-2x 2 + 3x 2 + x 2x 2-8 = (reduciendo los semejantes) 2x 4 + 6x 3 + x 2 - x 10 También se puede hacer como hacíamos con los números normales, en las que para sumar, por ejemplo , tenemos que colocar las cifras adecuadamente con el objeto de sumar las unidades con las unidades; las decenas, con las decenas, etc.. En el caso de polinomios se colocarán los monomios semejantes entre sí, unos debajo de otros. Veámoslo con el ejemplo anterior: 3x 3-2x 2 + x 2 2x 4 + 3x 3 + 3x 2-2x 8 2x 4 + 6x 3 + x 2 - x 10 Para restar polinomios se hace igual, pero teniendo el cuidado de que al quitar los paréntesis que tienen delante el signo negativo hay que cambiar cada uno de los signos que había dentro de ese paréntesis. Por ejemplo, vamos a restar los dos polinomios de antes: (3x 3-2x 2 + x 2) - (2x 4 + 3x 3 + 3x 2 2x 8) =(quitamos paréntesis) 3x 3-2x 2 + x 2-2x 4-3x 3-3x 2 + 2x + 8 = (juntamos los monomios semejantes y los ordenamos de mayor a menor grado) -2x 4 +3x 3-3x 3-2x 2-3x 2 + x + 2x = (reduciendo los semejantes) - 2x 4-5x 2 + 3x + 6 Si lo hacemos colocándolos, tendremos que hacer lo mismo que en la suma, con la única salvedad de que al polinomio que está restando hay que cambiarle los signos. En nuestro caso sería así: Restar los monomios 3x 3-2x 2 + x 2 y el 2x 4 + 3x 3 + 3x 2 2x 8 3x 3-2x 2 + x 2-2x 4-3x 3-3x 2 + 2x + 8-2x 4-5x 2 + 3x Quita paréntesis y reduce: a) (x 1) (x 5) b) 2x + (1 + x) c) 5x (3x 2) d) (3x 4) + (3x + 4) e) (1- x) (1 2x) f) (2 5x) (3 7x) - Unidad 6. Página 7/11 -

8 14.- Reduce las siguientes expresiones: a) 2-5x 2 + 7x 2 2x + 6 b) (x + 1) (x 1) + x c) (2x 2 3x 8) + (x 2 5x + 10) d) (2x 2 3x 8) - (x 2 5x + 10) e) (5x 2 6x + 7) - (4x 2 5x + 6) f) (x 2 4x 5) + (x 2 + 3x 1) g) (2x 2 5x + 3) + (3x 2 + 5x) + (x 2 + x 3) h) (x 2 4) + (x + 5) - (x 2 x) i) (2x 2 5x + 6) 2(x 2 3x + 3) j) 2(5x 2 4x + 2) - (8x 2 7x + 4) k) 3(x 2) 2(x 1) (x + 1) l) 2(x 2 1) + 4(2x 1) - 11x 15.- Dados los polinomios A = 2x 3-3x y B = x 3-4x 2 + 3x + 2, calcula: a) A + B b) A B 16.- Dados los polinomios M = 3x 3-5x 2 6x + 9 y N = 4x 2-7x - 5, calcula: a) M + N b) M N c) 2M N 17.- Considera los polinomios A = x 3 5x + 4; B = 3x 2 + 2x + 6, y C = x 3 4x 8. Calcula: a) A + B b) A B c) A C d) B + C e) A + B + C f) A B C Para multiplicar polinomios se multiplica cada uno de los monomios del primero por cada uno de los monomios del segundo y después se reducen los monomios semejantes. Ejemplo: Vamos a multiplicar el polinomio 3x 2 2 por el x 2 + 2x 4. Se hace así: (Fíjate como los separamos con paréntesis para saber que son dos polinomios) (3x 2 2) ( x 2 + 2x 4) = (multiplicamos 3x 2 por cada uno de los monomios del segundo polinomio) 3x 4 + 6x 3 12x 2 (y seguimos escribiendo el resultado de multiplicar 2 por el segundo polinomio) + 2x 2-4x + 8 = (ahora reducimos los monomios con igual parte literal) 3x 4 + 6x 3-10x 2 4x + 8 Todo seguido sería así: (3x 2 2) ( x 2 + 2x 4)= 3x 4 + 6x 3 12x 2 + 2x 2 4x + 8 = 3x 4 + 6x 3 10x 2 4x + 8 Si los colocamos quedaría así: - x 2 + 2x - 4 3x 2-2 2x 2-4x + 8-3x 4 + 6x 3-12x x 4 + 6x 3-10x 2-4x + 8 Para dividir un polinomio por un monomio se hace igual que con el producto, pero ahora se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales. - Unidad 6. Página 8/11 -

9 18.- Calcula: a) 3 (x + 4) b) 5x (x 1) c) 3x 2 (x + 2) d) 5 (3x 2 5x 7) e) 2x 2 (x 4-2x 3-5x 2 + 6x + 1) 19.- Efectúa: a) (x + 1) (2x 3) b) (3x 1) (2x + 2) c) 3 (x + 2) (x 1) d) (x + 3) (x 2 x + 1) e) 3x (x 2 2x + 5) f) (x +2) (x 5) g) (x 2 2) (x 2 3x + 1) h) x (5x 4) 2 (x 2 x) i) (2x + 1) x 2 - (x 1) x 2 j) (3x 1) ( x + 1) (x + 1) (2x 1) k) (2x 3) (x + 1) - (x 2 x 4) l) (2x 2 + 3) (x 1) (2 + 2x) m) (x 2 + 5x + 3) (x 4-2x 2 + 6x 1) 20.- Calcula: a) (15x 10) : 5 b) (12x 2 18x + 6) : 6 c) (x 4 + 5x 2 6x) : x d) (2x 4 + 5x 3 ) : x 2 e) (2x 3-6x 2 + 8x) : 2x f) (5x 3-10x x) : 5x g) 12x 2 : (6x 2x) h) (12x 2 : 6x) 2x i) (24x 3 ) : [(4x 2 ) : (2x)] j) [(24x 3 ) : (4x 2 )] : (2x) k) [x 3 - (x 3 - x 2 )] : x 2 l) (18x 2 ) : [6 3(3x + 2)] Al igual que en las sumas o restas de números, también podemos sacar factor común ya que los polinomios no son más que sumas de monomios. Sacar factor común de una suma es extraer de cada uno de los sumandos el factor (cantidad que está multiplicada) que es común (que está repe ), dejando dentro de un paréntesis todo aquello que no es común. Veamos un ejemplo: Sacar factor común de: 12x 3 + 6xy 2xy 2. = 2x (6x 2 + 3y y 2 ) (Fíjate que hemos escrito fuera del paréntesis, que es el factor común, un 2 y una x porque todos los coeficientes son múltiplos de 2 y porque en todos los monomios hay una x. Dentro del paréntesis hemos escrito lo que queda de cada monomio al dividirlos por ese factor común, o sea, 2x) 21.- Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones: a) 5a + 5b b) 5a + 10 c) 4a 2 +12a d) 2ab + a 2 b e) 2x + 4x 2 f) 4x 2 + 2x 3 g) 3xy + 6xz + 3x h) xy + x 2 y + xy 2 i) 5a + 5b 5c j) 3a -4ab + 2ac k) x 2 + 2x l) 2x 4y m)3x + 6y + 9 n) 6x - 3x 2 + 9x 3 o) 3x - 6x 2 +9x 3 p) x 2-10x 4 + 2x 8 q) 6a 2 b + 4ab 2 r) x 2 y - y 2 x s) 15x 2 + 5x x 2 t) 10x 3 y 2-2x 2 y + 4y 4 x - Unidad 6. Página 9/11 -

10 22.- Simplifica las siguientes fracciones extrayendo factor común donde se pueda: a) 5a 5b 6x 3 x x 2 b) c) 5a 10 4x 2 12x 3 x 2 x 3 d) 2x 2 4xy 4 6x 5x 2 10x e) 4x 2 2xy 6x 2 9x 3 f) x 2 g) x 3 x 2 3x 3 x a 2 ab a h) i) 2x 3 3x 2 x 3 2x 2 b 2 ab b j) x 3 x 5x 2 5 k) x 2 x 2x 3 2x 2 l) x 2 y x 3 y 2 x 2 y 2 Algunas operaciones con polinomios son muy usuales y por eso hay que saberse de memoria cómo se desarrollan. Estas expresiones reciben el nombre de expresiones notables. Son éstas: - Cuadrado de la suma: El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 - Cuadrado de la diferencia: El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a - b) 2 = a 2-2ab + b 2 - Suma por diferencia: La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. (a + b) (a b) = a 2 - b Calcula: a) (x+1) 2 b) (x 1) 2 c) (x+y) 2 d) (x 3) 2 e) (2x+3) 2 f) (3x 5) 2 g) (2a 1) 2 h) (a+2b) 2 i) ( b+2a) 2 j) (x+6) 2 k) (8+a) 2 l) (3 x) 2 m) (ba 3) 2 n) (x+4) (x 4) o) (y a) (y+a) p) (2x 3) 2 q) (3a 5b) 2 r) (3x 5) 2 s) (2x+1) (2x 1) t) ( 2 3 x)2 u) (x 2 +y) 2 - Unidad 6. Página 10/11 -

11 24.- Transforma cada expresión en un cuadrado: a) x 2 4x + 4 b) x 2 + 8x + 16 c) x x + 36 d) 9 12x + 4x 2 e) x 2 + 6x + 9 f) x 2 10x + 25 g) x 2 + 2x + 1 h) x 2 + x i) 4x 2 4x Utiliza los productos notables y la extracción de factores comunes para descomponer en factores las siguientes expresiones: a) x 2 + 2xy + y 2 b) 4a 2 b 4 4ab c) 4x 2 4x + 1 d) 3x 2 3x e) 6x 2 9x 3 f) 5x x 5 g) 4x 2 25 h) 16x 6 64x 5 64x 4 i) 5x 4 10x 3 + 5x 2 j) x 4 x 2 k) 3x 2 27 l) 3x 3 18x x m) x 4 1 n) x 4 2x Saca factor común en el numerador y en el denominador y después simplifica: a) 4 6x 5x 2 10x 6x 2 9x 3 b) x 2 c) x 3 x 2 3x 3 x 2 d) 2x 3 3x 2 x 3 2x 2 e) a 2 ab a x 3 x f) b 2 ab b 5x 2 5 g) x 2 x x 2 y x 3 y 2 h) 2x 3 2x 2 x 2 y Descompón en factores los numeradores y los denominadores, teniendo en cuenta los productos notables, y después simplifica: x 2 2x 1 x 2 4 a) b) x 2 1 x 2 4x 4 x 2 y 2 2x 2 8 c) d) x 2 2xy y 2 x 2 2x 1 x 4 2x 3 e) 4x 2 f) 4x 1 4x 4 4x 2 g) 3x 4 9x 2 x 2 3 h) 3x 2 3x 3 x 3 x 2 x - Unidad 6. Página 11/11 -