Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3

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1 APUNTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 3 1-T 3--2ºESO EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Son combinaciones de n os y letras unidos con operaciones matemáticas (aritméticas), que generalmente suelen ser sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Por tanto, una expresión algebraica tiene dos partes: a) Los coeficientes, que son los números que aparecen acompañando a las letras y que suelen ir a la izquierda de ellas multiplicando. b) La parte literal, que son las letras, y suelen aparecer a la derecha. Coeficientes 43 X = 43 X partes literales - 7 a 3 = - 7 a 3 TÉRMINOS: A la unión de un coeficiente (nº) con una o varias partes literales (letras) multiplicando se la denomina término. Por ello, arriba estamos viendo dos términos diferentes: uno es 43X y el otro es -7a 3 (que es lo mismo que -7 a a a). Se diferencian los dos términos en las letras que acompañan a los coeficientes. Las expresiones algebraicas no sólo constan de un único término. Pueden aparecer expresiones algebraicas con varios términos unidos mediante sumas o restas, y por ello encontramos: a) Monomios, que son las ex. alg. que tienen un solo término. (43X,, 8w,, 7a 3 bh,, ) 6 b) Binomios, que son las ex. alg. que tienen dos términos. (x + 3,, 4b 2 + 7x,, 66p 12k) c) Trinomios,... tres términos. (ax 4 + 6c 5,, b + y + 21s,,...) d) Polinomios,... cuatro o más términos. (a 5 + 2w 7z 2 15,, 6m 2 3p 9t 8 + 9y,...) Importante es, como todas las cosas, que si en un término no aparece un coeficiente estamos diciendo que es el nº 1 ya que es el único nº que al multiplicarlo por cualquier letra sale esa misma letra. X = 1 X,, a 3 = 1 a 3,, X = 1 X,, w 5 = 1 w 5 También es importante saber que si un coeficiente no va acompañando a ninguna parte literal (letra) se le llama término independiente. Se puede apreciar uno de estos términos en una de las páginas siguientes, pero aquí va un adelanto: 7x 2 + 9x - 12 (es el que tenéis en negrita y grande). TÉRMINOS SEMEJANTES: Se les llama así a los términos que tienen exactamente la misma parte literal (letras). Pueden parecerse en la letra, pero como no tengan exactamente la misma cantidad no serán semejantes. Ejemplos: a) Semejantes 4X con 5X,, 3a 4 con 9a 4,, 34bw 2 con 5bw 2,, q 6 con 22q 6 b) No semejantes 4X no con 5X 3,, 21ab 2 no con 34ab ni con 9a 5 b 2 ni con 3ab 3 VALOR DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Se entiende por valor lo que vale una expresión algebraica. Por ejemplo, cuánto vale 3d 2 + 2? Supongo que diréis que no sé cuánto vale d, no? Pues efectivamente. Dependiendo de lo que valga esa letra que aparece, así valdrá esa expresión algebraica. Si en el ejemplo la d valiese (- 6) el valor de la exp. alg. sería 3d = 3 (- 6) = = = 110 Si en vez de valer d (- 6) valiera otra cifra distinta, el resultado sería otro. Por lo tanto, cuánto vale una exp. alg.? Pues si la letra d la podemos cambiar por la cifra que queramos, y como los n os son infinitos, la respuesta a la pregunta será que tiene infinitos valores. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Siguen siendo las operaciones del año pasado. Las sumas y las restas sólo se pueden hacer con términos semejantes. Sin embargo, las multiplicaciones se pueden hacer siempre, sean cuales sean las expresiones algebraicas que nos den. Tenemos algunas novedades, como por ejemplo aplicar la propiedad distributiva. Tal y como hacíamos el año pasado, debemos encontrarnos un término multiplicando a un paréntesis, y dentro de este paréntesis una serie de términos sumando o restando. Cómo se hace?

2 Pues claramente, el término que tenemos fuera debe multiplicar a todos y cada uno de los términos interiores. Veamos el ejemplo: 2c (3 ac 9 c b 3 cz) = 2c 3ac 2c 9c 2 + 2c 8b 3 cz = 6 ac 2 18 c b 3 c 2 z (como se aprecia las letras se colocan en orden alfabético) 2-T 3--2ºESO Os acordáis cómo se llamaba hacer lo contrario? Era. Para sacar factor común (s.f.c.), en estos casos, se hace de forma parecida ya que tenemos en los términos dos elementos bien diferentes: los coeficientes y la parte literal. Para sacar el coeficiente correcto debo hacer el MCD de todos los coeficientes que aparecen, y para sacar la parte literal correcta debo escoger la/s letra/s que estén en todos los términos y con el menor de los exponentes con el que aparezca. Veamos este ejemplo: 8 a 3 b a 2 c 28 a 4 d 4 z= 4 a 2 (2 ab c 7 a 2 d 4 z) El MCD de (8, 12 y 28) es 4 En ocasiones no es posible sacar factor común al coeficiente o a la parte literal, y puede hasta que no se pueda sacar nada. Todo dependerá de los términos que nos encontremos. Veámoslo: 3d 2 7d 3 = d 2 (3 7d),, 8e e 4 f 4f 2 = 4 (2e e 4 f f 2 ),, 6cd 4 8cf + 9fg 17h = XXXX También nos podremos encontrar con una multiplicación de dos expresiones algebraicas distintas, como por ejemplo (2a 2 + 3) (5a b). Cómo se hace? Pues prácticamente como si fuera una multiplicación de dos factores con dos cifras cada uno (23 56, por ejemplo). Tendríamos que empezar multiplicando b por + 3, y luego por 2a 2. Lo mismo tendríamos que hacer luego con 5a. El resultado, pues, sería 10 a a 2 a 2 b 3 b. EJERCICIOS 1.- Indica el coeficiente y la parte literal de cada uno de los términos de estas expresiones algebraicas: a) 5xy b) 5x + y c) 1 2a + 3a 2 b d) 3b 2ab + a 2 2 3bk b e) x De los siguientes términos, indica los que son semejantes: xy, 2x 2, 2x 2 y, 7xy, 7x 2 xy, 2xy,, xx Calcula, en cada caso, los valores de estas expresiones algebraicas: 1 3b a) 2a + ab + c si a = 4, b =, c = 2 b) 2ab si a = 1, b = Invéntate una expresión algebraica de 4 términos que valga 8, y en la que aparezcan, al menos, 2 letras distintas. 5.- De la página 59 del libro, los n os 4, 5 y 6. A este último ejercicio, le metéis tres apartados más: c) 9x x 4 6x d) 2x 3 z + 40xyz 2 10xy e) 24b 2 m 3 36bm bm 2 x PRODUCTOS NOTABLES: Viene perfectamente explicado en el libro. De todas formas, te indico que son 3 tipos de multiplicaciones especiales donde el resultado sigue siempre un mismo patrón. Estos productos son a.- Cuadrado de una suma. Se reconoce porque dentro de un paréntesis hay dos términos del mismo signo (los 2 positivos o los 2 negativos) y dicho paréntesis está elevado al cuadrado. Para hacerlo o desarrollarlo, se pone el cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Valgan estos ejemplos: (2x + 9) 2 = 4x 2 5b + 36x + 81,, ( + x 3 ) 2 25b 2 = + 5bx 3 + x 6,, ( c 2 7 ) 2 = c 4 7c b.- Cuadrado de una diferencia. Es lo mismo de arriba, pero los dos términos son de diferente signo. Para desarrollarlo, se hace el cuadrado del primer término, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Mirad estos ejemplos: (2x 9) 2 = 4x 2 5b 36x + 81,, ( + x 3 ) 2 25b 2 = 5bx 3 + x 6,, ( c ) 2 = c 4 7c

3 c.- Suma por diferencia. 3-T 3--2ºESO En este caso, nos encontramos con dos paréntesis multiplicando, y dentro de ellos los mismos términos, pero en el primer paréntesis el segundo término es positivo y en el segundo paréntesis es negativo (o viceversa). Para realizarlo, se coloca el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo. Aquí vienen los ejemplos: (3x + 8) (3x 8) = 9x 2 5b 7 5b 7 25b ,, ( + ) ( ) =,, (a 10 m) (a 10 + m) = a 20 m NOTA: Lo de las multiplicaciones que he dicho arriba es cierto. Ten en cuenta que si tenemos (2x + 9) 2 eso es lo mismo que (2x + 9) (2x + 9), lo cual se convierte en la multiplicación que os decía. EJERCICIOS 6.- Haz el doble a los siguientes términos: 4, x, 3x, t 2 7,, 5ab 4 5b w,, 3 x, , 12m 3 p 5, Haz el cuadrado a los mismos términos del ejercicios anterior. 8.- Realiza estas multiplicaciones: 4 5x,, 2 5 6y,, 5b3 ( 3),, g,, 8c 6ac,, 9m6 2 m,, 3 (- 8b 2 ) (- b),, t 2 5t 2 (-8),, 3x (5x 4 + 7mx x 9 ),, (3a 4 5) (a + 8) 9.- De la página 60 del libro, los n os 7, 8, 9, 10 y Desarrolla los siguientes productos notables: (2x 9) 2,, (7x 5 y + 6a) 2 3x,, ( + 2x 5 ) 2 2x 2x,, ( + 5) ( 5),, (x + 20) 2,, (a 2 1 ) 2,, (3x a) r ( x) 2 t,, ( + 3t 2 ) 2 6x 4,, ( x 3 6x 4 ) ( + x 3 ),, (8ab 2 + 3c) (8ab 2 3c),, (3 x 2) (3 x + 2) 5 IGUALDAD Y ECUACIÓN: Las igualdades son dos expresiones algebraicas idénticas aunque expresadas de forma diferente y están separadas por un igual. Como por ejemplo: 3a + a = 4a,, x x 4 = 5x + 2,, 4d (7 8m) = 28d 32 dm Las ecuaciones son una igualdad entre dos expresiones algebraicas diferentes. Como por ejemplo: 3a + a = 8,, x 9 = 7x + 1,, 5t + ( 6 + 7t) = 19 t Las ecuaciones que vamos a ver este año, al menos en este tema, son de 1 er grado, y es porque las incógnitas (letras) están elevadas a exponente 1. La novedad será que van a aparecer fracciones, por lo que la forma de solucionarlas cambia un poco el comienzo. MÉTODO PARA SOLUCIONAR ECUACIONES: Como recordatorio, se sabe que la solución de una ecuación es aquel valor (nº) que cuando cambiamos a la parte literal por él y hacemos los cálculos correspondientes, sale el mismo nº en los dos miembros. Para llegar a estas solución se siguen una serie de pasos, como son: 1º.- Pasar la ecuación completa, tanto el miembro de la izquierda como el de la derecha (todo junto), a común denominador, tal y como lo hacemos cuando tenemos operaciones simples de fracciones. En el caso de las ecuaciones, al calcular e MCM y dividirlo por los denominadores antiguos, el resultado de estas divisiones no se multiplicará directamente por el numerador sino que lo dejaremos indicado. El motivo es que se puede cometer un fallo de un signo si no lo hacemos así, y como queramos hacerlo de otra manera y cometamos ese error, sintiéndolo mucho, no os puntuaré nada la ecuación. 2º.- Se tacharían los denominadores y las rayas de las fracciones, para copiar todo exactamente igual debajo.

4 4-T 3--2ºESO 3º.- Se queda convertida la ecuación como las de 1º de ESO, por lo que seguiremos con los paréntesis, luego pasaremos cada término a su lugar correspondiente, sumaremos los términos de cada miembro, despejamos la incógnita y por último dividiremos la fracción resultante, o la simplificamos, si se pudiera. Aquí va un ejemplo: Qué pasaría si no la solucionamos así? Fijaos 12x x = 15 4x 4 2 x +1 = (4x 4) 5 (2x + 1) = (4x 4) 5 (2x + 1) = x 12 10x 5 = x 10x = x = x = = 44 Sol. x = x 12 10x + 5 = 105 Veis ya el fallo? 2x 4 4 También nos podemos encontrar ecuaciones de este tipo =. x Cómo se solucionan si uno de los denominadores es x + 1? Parece complicado pero qué es lo que veis en esa ecuación? Miradla bien. Qué veis? A qué se parece? No son dos fracciones que están separadas por un igual? Y eso qué significa? Qué son equivalentes? Y qué pasa cuando dos fracciones son equivalentes? Pues sí, eso pasa, que al multiplicarlas en cruz sale el mismo resultado. Entonces, lo único que habrá que hacer es 2x 4 4 = x (2x 4) = 4 (x + 1) 10x 20 = 4x x 4x = x = 24 x = = 4 Sol. x = 4 6 NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE 1 er GRADO: Por lo general, una ecuación de primer grado suele tener una sola solución, es decir, un solo valor para la letra que hace que se obtenga al final el mismo resultado en los dos miembros. Pero veamos algunas cosas que nos puede llegar a ocurrir. Partimos del paso cunado tenemos a x = b, donde a y b son dos n os determinados: a.- Si a y b son dos n os distintos de 0 : Tendría una única solución que sería la división de b b entre a, como las ecuaciones que hemos visto siempre. Sol. x = a b.- Si a no es 0 pero b sí es 0 : Tendría también una única solución, pero al dividir b entre a, como b es 0, la solución en estos casos siempre saldrá 0. Sol. x = a b = a 0 = 0 c.- Si a es 0 pero b no es 0 : Tendríamos que dividir b (un nº) entre a (0), y habría que buscar un nº que multiplicado por 0 saliera un nº distinto de 0. Es eso posible? No, no es posible, ya que cualquier nº multiplicado por 0 siempre nos saldrá 0. Esto significa, entonces, que este tipo de ecuaciones no tienen solución. Sol. x = a b = 0 b = b : 0 = No es posible, Sin solución d.- Si a y b son 0 : Tendríamos que dividir 0 entre 0, y entonces cualquier nº valdría ya que al multiplicar cualquier nº por 0 el resultado siempre saldrá 0. Por lo tanto, este tipo de ecuaciones tienen infinitas soluciones. Sol. x = a b = 0 0 = 0 : 0 = Infinitas soluciones

5 EJERCICIOS 5-T 3--2ºESO 11.- De la página 66 del libro, los n os 20 y 21. También de la página siguiente, los n os 22 y 23. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: Sin duda, una de las cosas más entretenidas de hacer con las ecuaciones es resolver problemas. Ya se sabe que el fin último de las ecuaciones es precisamente eso, resolver problemas. Cuando tenemos el problema por delante, muchas veces suspiramos y nos negamos ante él porque nos creemos que no vamos a ser capaces de resolverlo. Al principio nos puede pasar, pero cuando hagamos varios será pan comido. Si queremos resolver los problemas sin muchas dificultades, lo primero que tenemos que saber es transcribir lo que me está diciendo el problema en lenguaje ordinario a un lenguaje matemático o algebraico. Por lo tanto, es conveniente empezar por ahí. Hagamos este ejercicio: EJERCICIO 12.- Transcribe al lenguaje matemático/algebraico: el doble de un nº, la tercera parte de un nº, las dos quintas partes de un nº, el nº siguiente de a, tres n os pares consecutivos, la suma de la cuarta parte de un nº con su cuádruple, dinero que me queda después de gastarme 100, años que tendrá Eva dentro de 6 años, tres múltiplos de 5 consecutivos, 4 n os consecutivos, el doble de la suma del cuadrado de x más y, la suma del doble del cubo de a y la mitad de b, resta de los cuadrados de p y q, canicas que tengo ahora si tenía 45 y me dan unas pocas, melones y sandías que tengo si entre las dos frutas tengo 15 frutas, perímetro de un cuadrado de lado m, resultado de dividir un nº entre 7, edad que tenemos mi hijo y yo si entre los dos tenemos 50, el anterior del doble de un nº, lo que me queda por pagar de una lavadora si ya he desembolsado 1/5 y 2/7 de su valor, litros que quedan en una garrafa después de sacar 19 litros. Retomando el tema, diremos que para resolver los problemas con ecuaciones hay que tener serenidad y paciencia y seguir una serie de pasos supernecesarios para poder obtener el resultado que se desea. Dichos pasos son (vienen muy bien en la página 68 del libro): a.- Lectura comprensiva del problema. Léelo cuantas veces sea necesario, punto por punto, si no lo entiendes, léelo más despacito. No te des por vencido. Un enunciado largo no es sinónimo de difícil. Al ir leyendo, debes poner a la izquierda los datos del problema, que te servirán de gran ayuda. b.- Endiñar la x al dato que pregunta el problema. Una vez leído el problema, se le debe poner la x a algún dato. Generalmente me lo indica la pregunta del problema. Después, al resto de los datos le traducimos lo que nos diga el propio enunciado. c.- Plantear la ecuación. Puede ser lo más complicado, pero es lo que nos llevará a tener bien o mal el ejercicio. Para plantearla, debemos utilizar un RAZONAMIENTO el cual va a ser obligatorio. Muchas veces, el planteamiento es si sumo esto, con esto y esto me sale esto otro. d.- Resolver la ecuación para llegar a la solución. Este paso debe ser el más fácil ya que resolver una ecuación, a estas alturas, no debe suponer ningún problema. Y máxime cuando la ecuación que debáis plantear y resolver es bastante sencillita. e.- Indicar perfectamente cuál es la solución. Finalmente, al concluir un problema debéis poner bien clara la solución que os ha salido, respondiendo en todo a la pregunta que os hace el problema. Muchos de vosotros lo que hacéis es poner la solución por ahí perdida para que yo la encuentre y así no se debe dejar. f.- Comprobar la solución. Este paso no es estrictamente necesario pero os puede ayudar a saber si tenéis bien el problema. A veces os sale una solución casi imposible o extraña. Debéis cambiar un resultado de este tipo. Por ejemplo, en un problema que a lo mejor hacéis, se os pregunta por el peso de una persona. Si os sale 834 kg, creo que no estará muy bien que digamos. Para practicar un poco en este aspecto, valen los ejemplos de las páginas 68 y 69 del libro. EJERCICIOS 13.- De la página 68 del libro, los n os 24 y 25. De la página siguiente, los n os 26, 27, 28 y 29.

6 14.- La suma de 3 múltiplos del nº 7 es igual a Cuáles son esos múltiplos? 6-T 3--2ºESO 15.- En el hotel que estuve de vacaciones en el verano pasado me permitieron contar los tenedores que tenían en el restaurante principal (la ilusión de toda mi vida). Si no me equivoqué, fueron Si los había de 3 y de 4 puntas, cuántos había de cada clase si conté 5792 puntas en total? 16.- De la lista de 82 problemas de ecuaciones que os propongo en un documento aparte, elegiremos 15 para hacerlos también en clase. Los elegirán, sin mirarlos y de forma aleatoria, 15 de vosotros/as. EJERCICIOS DEL TRABAJO: 32, 33, 35, 36, 37, 40, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 59, 62, 63 y 66. Debes explicarlos todo lo que puedas y sea necesario. EJERCICOS CAMBIADOS O MODIFICADOS: 37.- Es ese mismo, pero le metéis estos 2 apartados más: e) 2xy (x + 3x x 2 ) f) x 2 (1 2x y) 42.- También es ese mismo, pero le vais a meter estos otros apartados (lo que falte debéis ponerlo de un color diferente al resto): d) 3xy 9x 2 y + 6xy 2 = ( ) e) y 2 6yx 3 + 9x 6 = ( ) 2 5 f) (5x ) 2 = 25x ? Desarrolla los siguientes cuadrados: a) (2 + 3x) 2 b) (2ab + 3a) 2 c) ( 5b 3 b + ) d) (9x ) Un cable telefónico tiene 2 1 de su longitud al aire libre, los 5 2 del resto están subterráneos y, por último, los 12 km restantes van por debajo del agua. Qué extensión tiene el cable? Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez Profesor de matemáticas de 2º de ESO