Profr. Efraín Soto Apolinar. Números reales

Transcripción

1 úmeros reales En esta sección vamos a estudiar primero los distintos conjuntos de números que se definen en matemáticas. Después, al conocerlos mejor, podremos resolver distintos problemas aritméticos. Para simplificar el estudio de los números, los matemáticos los han clasificado de la siguiente manera: úmeros naturales Son los números que utilizamos para contar. El conjunto de los números naturales se denota por. = {,, 3, 4, 5, } ótese que el cero no es un número natural, porque cuando alguien no posee nada, no tiene necesidad de contar. En el lenguaje matemático, escribimos: para indicar que el número está dentro del conjunto de los números naturales, es decir, el número es un elemento de ese conjunto. El símbolo: se lee: «...es un elemento del conjunto...» Para indicar que un número dado O es un numero natural escribimos, por ejemplo: π /. Esto nos está diciendo en palabras: «El número π O es un número natural». De manera semejante, el símbolo / se lee: «...no es un elemento del conjunto...» Es una buena idea notar que cuando sumamos dos números naturales, el resultado es otro número natural. unca obtendremos un número con decimales. úmeros enteros Es el conjunto formado por todos los números naturales, el cero y los números naturales dotados del signo negativo. El conjunto de los números enteros se denota por Z. Z = {, 3,,, 0,,, 3, } Es importante notar que todos los números naturales son también números enteros, pero no todos los números enteros son números naturales. Por ejemplo, el número 5 es un número entero que no es un número natural. De nuevo, cuando sumamos dos números enteros, el resultado es otro número entero. úmeros racionales Es el conjunto formado por todos los números que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, siendo el denominador distinto de cero. El conjunto de los números racionales se denota por. = {x x = pq } ; p, q Z, q = 0 3 Algunos ejemplos de números racionales son los siguientes: Pero no todas las fracciones se consideran números racionales. Para que un número sea considerado número racional, se requiere que tanto en el numerador como en el denominador tengamos /5

2 un número entero, aunque sea negativo. Por ejemplo, los siguientes números no son racionales, a pesar de que son fracciones: 5 Otra cosa importante consiste en que en el denominador no aparezca el cero. Por qué? Ya debes saber que no es posible dividir por cero. Por ejemplo, cuando queremos dividir 0 entre cero, no podemos encontrar una solución. Cuando dividimos cero entre diez, sí podemos encontrar una solución. Piensa en términos de manzanas: «si tengo cero manzanas y las voy a repartir entre diez niños, cuántas manzanas les daré a cada niño?» La respuesta es obvia, como tengo cero manzanas, a cada niño le corresponden cero manzanas. Pero el otro caso: «si tengo diez manzanas y las voy a repartir entre cero niños, cuántas manzanas les daré a cada niño?», tenemos un problema: cómo vamos a repartir las manzanas, si para empezar, tenemos cero niños? Observa que cuando dividimos 0 entre, buscamos un número que multiplicado por, nos dé como resultado 5. Cuando dividimos diez entre cero, tenemos que encontrar un número que multiplicado por cero nos dé como resultado diez. Pero ya sabemos que cualquier número multiplicado por cero es igual a cero. Esto significa que no podemos encontrar algún número que multiplicado por cero dé diez. Por eso no podemos realizar la división. Otro caso aparte es la división cero entre cero. Si buscamos un número que multiplicado por cero nos dé como resultado cero, vemos que no hay solamente una solución, sino un número infinito de soluciones, todas distintas. Por ejemplo el número cero, bien sirve como solución de nuestra división, porque 0 0 = 0, pero igual sirve el número como solución, porque 0 = 0, y así como cualquier número que se te ocurra. El problema aquí consiste en que cuando dividimos un número entre otro, siempre obtenemos una única solución, pero en este único caso, al dividir cero sobre cero, no obtenemos una única solución, sino muchas. Es importante mencionar que no es que la solución de esta división sea infinito, porque cuando dividimos dos números siempre obtenemos como resultado un único número. Infinito no es un número, sino una expresión que nos dice que algo no tiene fin. Por esta razón, no es correcto decir que al dividir entre cero obtenemos infinito como respuesta. Observa que todos los números enteros son números racionales, porque podemos escribirlos con el denominador igual a. Por ejemplo, el número 0, puede representarse como: 0 0 π 4 La palabra «fracción» viene del latín: frangere que significa romper, o fractio acto de romper. 0 = 0 y cumple con la definición de número racional, porque el denominador es distinto de cero. Igual que con los conjuntos de números naturales y enteros, en el conjunto de los números racionales, cuando sumamos dos de sus elementos, obtenemos otro elemento de. /5

3 úmeros irracionales Son todos aquellos números que no se pueden escribir como el cociente de números enteros, siendo el denominador distinto de cero. El conjunto de los números racionales se denota por. = {x x = pq } ; p, q Z, q = 0 4 Observa que ningún número racional es un número irracional y de manera semejante, ningún número irracional es un número racional. Algunos ejemplos de números irracionales son: π,, 3, 6, úmeros reales Es el conjunto que contiene a todos los números racionales y a todos los números irracionales. 5 El siguiente diagrama te ayudará a visualizar mejor cómo se relacionan los distintos conjuntos de números que hemos estudiado: R Z A partir de este diagrama podemos fácilmente darnos cuenta que todos los números naturales pertenecen al conjunto de los números enteros, es decir, todos los números naturales son también números enteros. Pero todos los números enteros son también números racionales, por lo tanto, todos los números naturales también son números racionales. Sin embargo, ningún número racional es un número irracional y viceversa. Esto nos indica que ningún número natural pertenece al conjunto de los números irracionales. Esto mismo ocurre con los números enteros. Y es que si un número es racional no puede ser irracional. Sin embargo, cuando juntamos a todos los números racionales con todos los números irracionales obtenemos el conjunto de los números reales. Es decir, todos los números que enlistamos (naturales, enteros, racionales e irracionales) son también números reales. Verifica si es verdadero o falso lo que se dice de los siguientes números. Ejemplo El número 9 es un número natural. V El número π es un número racional. El número 0 es un número irracional. 3/5

4 El número 5 es un número entero. 3 El número es un número racional. El número π es un número real. V Ejemplo Indica en cada caso a qué conjunto debe pertenecer el número que utilizaremos en cada caso. Evidentemente, todos pertenecen al conjunto de los números reales, así que mejor menciona otro de los conjuntos. Volumen en mililitros de un vaso. Área de un círculo de radio. Peso de una bolsa de frijol con una precisión de gramos. úmero total de refrescos embotellados en un día en una embotelladora. úmero total de hojas impresas en una fotocopiadora. Saldo de una cuenta bancaria, con una precisión de hasta centavos de peso. Saldo de una cuenta bancaria, con una precisión de miles de pesos. Velocidad de un coche. o Z 6 Cuando sumamos dos números reales, cualesquiera que estos sean, el resultado es otro número real. De manera semejante, cuando multiplicamos dos números reales, el resultado es otro número real. Cerradura Cuando a los elementos de un conjunto se les realiza una operación, y el resultado es algún elemento del mismo conjunto, decimos que ese conjunto es cerrado bajo esa operación. Por ejemplo, los números naturales son cerrados bajo la suma, porque cuando sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural. De manera semejante, cuando multiplicamos dos números naturales, el resultado es otro número natural. Entonces el conjunto también es cerrado bajo la multiplicación. Enseguida se da la lista de las propiedades más básicas de los números reales. números reales, entonces: Suma Multiplicación Propiedad a + b R a b R Cerradura a + b = b + a a b = b a Conmutativa (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) Asociativa a + 0 = a a = a eutro a + ( a) = 0 a a = Inverso a (b + c) = a b + a c Distributiva Si a, b, c son 4/5

5 Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 00 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: de agosto de 00. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 00. Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.mx 5/5