Colegio Alexander von Humboldt - Lima. Tema: La enseñanza de la matemática está en un proceso de cambio

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1 Refo al 19 de noviembre 2004 Colegio Alexander von Humboldt - Lima Tema: La enseñanza de la matemática está en un proceso de cambio La enseñanza de la matemática debe tener dos objetivos principales: los alumnos 1. tienen que obtener profundos conocimientos básicos a través de sus estudios y a través de nuestras clases. 2. deben llegar a conocer a un repertorio bien variado de métodos para solucionar problemas matemáticos. Con estos métodos esperamos de ellos que sepan aplicarlos independientemente y en forma muy creativa. Si pensamos en un cambio en la enseñanza tradicional tenemos que tomar en cuenta los siguientes tres puntos importantes: 1. Tenemos que preocuparnos más por métodos para solucionar problemas y usar menos tiempo en enseñar cómo solucionar ejercicios de rutina y de estandard. 2. Hasta hoy siempre nos hemos preocupado mucho en el proceso de automatizar los diferentes cálculos matemáticos. A partir de ahora tenemos que tomar mucho más en cuenta la enseñanza de métodos que no sean solo matemáticos para solucionar problemas. 3. No seguiremos ejercitando ni entrenando para encontrar soluciones en ejercicios aislados; en vez de eso integraremos más fases de reflexión y de discusión sobre métodos diferentes y especiales acerca de cómo solucionar problemas Por eso tenemos que preguntarnos, a dónde queremos llegar con nuestra enseñanza? 1. Queremos también en futuro un máximo de seguridad en el manejo de los conocimientos básicos. 2. queremos que nuestros alumnos aprendan y apliquen en cualquier situación una gran variedad de métodos para solucionar problemas de la matemática. Eso significa y tiene como consecuencia: tenemos que enseñar por un lado métodos específicos de la matemática y por otro lado conocimientos matemáticos básicos. Tenemos que buscar ejercicios y problemas para nuestras clases de matemáticas bajo los siguientes criterios: que se solucionan no solo mediante un método, sino a través de una variedad posibilidades. Los mismos problemas deben ser formulados de tal manera que existan diferentes caminos para llegar a la solución y a la meta. los cambios en la enseñanza korrigiert Seite 1/7

2 Tenemos que encontrar muchas posibilidades donde los mismos alumnos puedan presentar frente a toda la clase sus pensamientos, sus ideas y sus métodos encontrados. al tratar y solucionar los problemas se incluye automáticamente y en forma permanente la repetición de los contenidos matemáticos ya conocidos. Esto no quiere decir que a partir de ahora tenemos que cambiar total y completamente nuestros métodos de enseñanza y también nuestra forma de ser. También en las clases donde el profesor es el centro de todo, donde el profesor define cada paso de avance, se habla de un método de enseñanza centrada cien porciento en él, podemos usar temas más abiertos y trabajarlos con problemas de la forma ya descrita. Preguntas abiertas, problemas en los cuales hay más de una manera de encontrar sus soluciones - y muchas veces el profesor mismo propone este camino y los alumnos no lo encuentran si ese tipo de preguntas y problemas se dan en nuestras clases de matemática, entonces vamos a lograr que nuestros alumnos adopten una nueva forma de pensar, vamos a obtener más flexibilidad por parte de ellos, más métodos para solucionar cualquier problema. Toda la teoría que he expresado hasta este momento, la voy a explicar ahora mostrándoles tres ejemplos concretos y especialmente elegidos de las clases de matemática, uno de los ejemplos es del 5 grado, los otros dos son de primero de secundaria. Cada vez encontramos con más frecuencia este tipo de ejercicios en los nuevos libros de matemática. Aqui se trata ahora de lo siguiente: Ejemplo 1: Comparar números en el conjunto de los números naturales, la relación de orden en los números naturales. Ejemplo 2: Los números enteros, especialmente los números negativos (ese tema es según la nueva planificación un tema del 5 grado, antes era del primer grado de secundaria) Ejemplo 3: La suma de los ángulos internos en un triángulo Ejemplo 1: El problema ha sido extraído de un libro para el 5 grado María pesa más que Peter, Carlos pesa más que Julia, María pesa menos que Julia, Peter pesa menos que María. Ordena las cuatro personas según sus pesos! los cambios en la enseñanza korrigiert Seite 2/7

3 Tarea: Los participantes del curso tratan de solucionar el problema en grupos de tres y después van a presentar cómo actuaron para encontrar una solución al grupo. Ahora reflexionemos juntos lo que pasó en clase: Si tratamos este problema en un 5 grado, vamos a encontrar diferentes formas en el proceso de tratar de solucionar el problema, según la capacidad de abstracción de cada uno de los alumnos. a) Algunos de nuestros alumnos van a tratar de encontrar una solución a través del método de actuar en forma concreta: Dos alumnos y dos alumnas del curso están de pie pero sin tomar en cuenta las exigencias del problema, es decir se ordenan por casualidad, por ejemplo asi: Julia Carlos Peter María Ahora se puede, pero no es obligatorio, examinar si ellos por casualidad, con el orden en que están parados, cumplen con una o con varias o con ninguna de las exigencias del ejemplo. En un segundo paso los cuatro alumnos realizan la primera frase del problema y el orden será de la siguiente manera: María Peter Julia Carlos En el tercer paso ellos cumplirán con la segunda frase, sin variar el orden de las primeras dos personas: María Peter Carlos Julia El cuarto paso significa cumplir con la tercera frase del problema: Carlos Julia María Peter El orden ahora obtenido es la solución del problema. b) otra forma de solución encontrada por parte de los alumnos: ellos trabajaron con la semirrecta numérica, pensando en los mismos cuatro pasos como en la solución (a). El inicio sería asi: / / / / Julia Carlos Peter María los cambios en la enseñanza korrigiert Seite 3/7

4 c) Unos alumnos hicieron operaciones con correspondencias concretas y dieron pesos reales a las personas, por ejemplo: María pesa más que Peter: Carlos pesa más que Julia: María pesa menos que Julia: Peter pesa menos que María. 1. María (45 kg) y Peter (40 kg) 2. Carlos (48 kg) y Julia (42 kg) 3. María (45 kg) y Julia (42 kg) Corrección! María (41 kg) 4. solución: Carlos/Julia/María/Peter La presentación de los resultados: Después de haber trabajado y discutido en pequeños grupos y seguramente haber seguido a veces caminos en los que se presentaron errores, donde tuvieron que corregirlos y empezar nuevamente, es importante que cada grupo de alumnos tenga la posibilidad de presentar su método de solución a toda la clase. Lógicamente también hay que dar tiempo para explicar los caminos que no llegaron a un resultado, explicando donde se dieron cuenta del error. Ejemplo 2: Los números enteros, especialmente los números negativos (ese tema es según la nueva planificación un tema del 5 grado, antes era del primer grado de secundaria) Una primera confrontación con números negativos En dos lugares diferentes se mide diariamente durante una semana a las doce en punto y a las 24 horas de la noche las temperaturas del aire: Lugar A Lugar B 12:00 24:00 12:00 24:00 Domingo + 12 C - 1 C + 14 C - 2 C Lunes + 7 C - 3 C + 5 C - 3 C Martes + 2 C - 11 C - 2 C - 12 C Miercoles - 4 C - 10 C 0 C - 7 C Jueves + 3 C 0 C 0 C - 3 C Viernes + 3 C + 1 C - 2 C - 2 C sabado 0 C - 1 C + 2 C 0 C En cuál de los dos lugares te gustaría más vivir? Explica tus razones. En esta primera confrontación con los números negativos así como también con los números racionales los alumnos tienen las siguientes posibilidades de actuar: a) expresarse espontáneamente los cambios en la enseñanza korrigiert Seite 4/7

5 b) comparar las temperaturas en diferentes momentos c) contar las diferencias entre las temperaturas usando los dedos d) usar la escala de un termómetro e) usar operadores para visualizar las diferencias f) interpretaciones usando la semirrecta numérica (ampliación de la semirrecta a una recta numérica a través de los alumnos independientemente del profesor) g) usando la simetría puntual tomando el número 0 como punto de simetría y llegar a la recta numérica. Ejemplo 3: La suma de los ángulos internos en un triángulo En un triángulo medimos un ángulo de 37. Elige los otros dos ángulos de tal forma, que el triángulo a) sea un triángulo acutángulo. b) sea un triángulo rectángulo c) sea un triángulo obtusángulo d) sea un triángulo isósceles (con dos lados de la misma longitud) e) sea un triangulo equilátero (con los tres lados de la misma longitud) En este ejemplo no solo se trata de encontrar las diferentes respuestas, sino que de esta manera exigimos también por parte de los alumnos la repetición de otros temas de la matemática. Este proceso se llama repetición integrativa. Los temas que ellos tienen que recordar son: conocer los diferentes tipos de triángulos con sus respectivas propiedades conocer el teorema de los ángulos internos de un triángulo el cálculo con números decimales. Además de todo esto los alumnos también tienen que reconocer los diferentes casos en donde no se encuentra solución, donde hay varias y hasta donde hay infinitas soluciones. Pero hasta hoy en día el alumno no está acostumbrado a este tipo de problemas con tanta variedad de soluciones. Trabajar con estos tiene como consecuencia que los alumnos adquieran conocimientos más profundos y amplios de la matemática. En consecuencia ellos serán más capaces de reconocer las relaciones dentro de la matemática. Con estas nuevas formas de problemas, que digamos son más abiertos en el sentido que hay muchas veces más de un camino para llegar a la solución, los alumnos automáticamente tienen más opciones para encontrar uno de esos caminos, o quizás de vez en cuando encuentren más de un camino y puedan hablar de las ventajas o desventajas que tiene un camino en comparación con el otro. También es motivador presentar varios caminos de soluciones. Todo este proceso tiene como efecto que los alumnos tengan mucho más flexibilidad y más seguridad al enfrentarse también a problemas todavía desconocidos. los cambios en la enseñanza korrigiert Seite 5/7

6 Las horas de clase serán también más variadas, porque nunca se sabe de antemano qué soluciones presentarán los alumnos. Con este último quiero presentarles otro ejemplo que me pasó en Alemanía en un curso de segundo de secundaria. Se trata del cálculo de porcentajes. El ejercicio que los alumnos tenían que solucionar era el siguiente: Calcula la base (100%) si sabes que el 40 % son $ 720,00! Lo que esperamos como solución depende de como hemos introducido el cálculo de porcentajes, por ejemplo a través de la regla de tres o a través del uso de flechas más o menos asi: 40 % es igual a $ 720,00 1 % es igual a $ 720,00 : 40 = $ 18, % son igual a $ 18, = $ 1800,00 La solución presentada de una alumna fue la siguiente: 40 % es igual a $ 720,00 10 % es igual a $ 720,00 : 4 = $ 180,00 90 % es igual a $ 180,00 9 = $ 1620, % son igual a $ 180,00 + $ 1620,00 = $ 1800,00 Discusión con los participantes sobre la presentación de la alumna. Existen dos posiciones con respecto a esta solución un poco rara : 1. La alumna mostró con su solución que conoce y maneja bien el cálculo de los porcentajes y que conoce varios métodos de solución, aquí por ejemplo usó la regla de tres. 2. Esa forma de solucionar el problema es errónea, porque no es posible solucionar cualquier ejercicio de ese tipo con ese método. Ejemplo: 3,8 % es igual a $ 57,00 Cacula la base. los cambios en la enseñanza korrigiert Seite 6/7

7 Resumen: Estas nuevas formas de enseñanza implica por parte de los alumnos una nueva forma de estudiar, de aprender y de presentar en clase sus métodos. Lo que queremos lograr es que se adopte un nuevo proceso de pensar sobre la matemática: más apertura, más franqueza, más sinceridad, más responsabilidad y más flexibilidad. Todas estas habilidades van a influir no solamente en la enseñanza de las Matemáticas, sino también en la enseñanza completa en un colegio. Si en el futuro nuestros alumnos se atreven romper con los métodos del pasado y buscan más y más sus propios caminos (tal vez no sean siempre caminos totalmente convencionales), depende de nosotros, del grado de nuestra disposición para aceptar las nuevas formas de enseñanza. Lo que queremos para la matemática y para todo el colegio, es: Un aprendizaje más eficaz y duradero en un ambiente más creativo y orientado a un alto nivel de rendimiento! los cambios en la enseñanza korrigiert Seite 7/7