CONCEPTOS PREVIOS TEMA 2

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1 1.PROPORCIONALIDAD 1.1 REPARTOS PROPORCIONALES CONCEPTOS PREVIOS TEMA 2 Cuando queremos repartir una cantidad entre varias personas, siempre dividimos el total por el número de personas que forman parte del reparto? (A) Repartos equitativos Si tenemos que repartir euros entre 3 obreros que han realizado una obra, cómo procederías? 10200/3 = 3400 euros Daría 3400 euros a cada uno (B) Pero si uno de ellos trabajó 15 días, otro 3 días y otro 1 día, seguirías haciendo el reparto de igual forma? Sería justo? (C) Y si trabajasen los mismos días, pero uno hace un descanso de 8 horas diarias, otro de 2 horas y otro de 1 hora, seguirías haciendo el reparto de igual forma?. Sería justo? Estos son casos claros en el que tenemos que aplicar la idea de repartos proporcionales: (B) Repartos directamente proporcionales: "a más días de trabajo, más dinero" (C) Repartos inversamente proporcionales: "a más horas de descanso, menos dinero" Veamos a continuación diversos problemas y observemos la metodología de resolución en cada uno de los casos. REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Un décimo de lotería cuesta 18. Tres personas compran una participación: Marta pone 10, María 5 y Cristina 3. Si les tocan 23000, cuánto crees que recibirá cada una? 1

2 Sean x, y, z son las cantidades que han de percibir Marta, María y Cristina, respectivamente. Calculamos la cantidad que le correspondería a 1 : 23000/18 Multiplicamos esta cantidad por los euros que ha puesto cada uno: Al ser repartos directamente proporcionales (cuanto más hayan puesto, más recibirán), haremos los cálculos de la siguiente forma: x = ( )/18 = y = ( )/18 = z = ( )/18 = Marta, María y Cristina recibirán, respectivamente, , y REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES Se trata de repartir 1000 entre 3 personas de forma inversamente proporcional a los días que han asistido a un curso. Sabiendo que el primero ha asistido 4 días, el segundo 8 y el tercero 2, cuánto crees que recibirá cada uno? Se trata de hacer un reparto proporcional a los inversos de cada elemento: Repartimos de forma proporcional a 1/4, a 1/ 8 y a 1/2 : 1000/(1/4+1/8+1/2) = 1000/(7/8) Sean x, y, z son las cantidades que han de percibir cada uno. (x+y+z)/(1/4+1/8+1/2) = 8000/7 Multiplicamos la cantidad correspondiente por cada inverso (1/4, 1/ 8 y 1/2): x = 8000/(7 4) =

3 y = 8000/(7 8) = z =8000/(7 2) = La primera, 2ª y 3ª personas recibirán, respectivamente, , y PROCENTAJES Los porcentajes constituyen uno de los lenguajes matemáticos de uso más extendido en la vida real. Es muy frecuente que los utilicemos para indicar qué representa una cantidad respecto otra pues es un método homogéneo que permite comparar fácilmente unas proporciones con otras, al contrario de lo que sucede con las fracciones. También los medios de comunicación social están repletos de porcentajes que indican el peso relativo de una cantidad respecto otra y, en otras ocasiones, las variaciones relativas que han sufrido distintas magnitudes o índices económicos, demográficos, sociales, científicos, etc. Quizás el lenguaje de los porcentajes es el lenguaje matemático más presente en las noticias, por lo que su comprensión y dominio es fundamental para entender la realidad que nos rodea. Un porcentaje es una expresión del tipo a% ( de b), donde a es un número decimal y b una cantidad absoluta llamada cantidad de referencia. Un porcentaje indica una cantidad relativa (respecto a la de referencia) de forma que es a partes de cien partes iguales en que se considera dividida la cantidad b. Por tanto a% equivale a la "fracción" a/100. El valor de un porcentaje es siempre relativo a la cantidad de referencia dependiendo su valor absoluto correspondiente del valor de ella. Por ello los porcentajes se usan para: Expresión de relaciones parte-todo: El 75% de los alumnos de 3º de ESO aprueban matemáticas Expresión de proporciones entre cantidades. 3

4 La proporción de azúcar en un bizcocho es del 25% Indicación de las variaciones relativas sufridas por una cantidad. El precio de la gasolina subió un 18% en el último año Representación del peso relativo de una magnitud en distintas poblaciones para realizar comparaciones de la incidencia de un fenómeno en ellas. El uso del móvil en España es del 50% mientras que en Suecia es del 75% En resumen, los porcentajes son un lenguaje uniforme para representar el peso relativo (proporción) de una cantidad respecto a otra. El Indice de Variación de una cantidad que cambia es el número por el que se multiplica para obtener la cantidad final tras su variación. Ejemplos: 1. Si un libro aumenta un 12 % respecto de su precio original, el índice de variación es: 100% + 12% = 112% = 1,12 2. Si un jersey disminuye un 18 % respecto de su precio original, el índice de variación es: 100% - 18% = 82% = 0,82 4

5 Aumentos porcentuales En el caso de que la variación porcentual sea de aumento se tiene que el Índice de Variación, es igual a uno más el aumento porcentual en forma decimal. Si llamamos f a dicho aumento porcentual se justifica la anterior propiedad así: CF = CI + CI x f = CI x ( 1 + f ) por lo que IV = 1 + f. Ejemplo: Un producto que valía 1000 euros subió un 15%. Cuál es su precio actual? 5

6 Disminuciones porcentuales En el caso de que la variación porcentual sea de disminución se tiene que el Índice de Variación, es igual a uno menos la disminución porcentual en forma decimal. Si llamamos f a dicha disminución porcentual se justifica la anterior propiedad así: CF = CI - CI x f = CI x ( 1 - f ) por lo que IV = 1 - f. Ejemplo: Un producto que valía 1000 euros bajó un 15%. Cuál es su precio actual? Composiciones de variaciones porcentuales Como la realidad que nos rodea está en continua evolución, en los contextos reales suelen aparecer variaciones sucesivas que sufre una cantidad, dando lugar a la composición de variaciones. Esta situación al llevarla a nuestro instrumento de representación se traduce en la composición de máquinas multiplicativas. En el caso de la composición de variaciones porcentuales se tiene que el Índice de Variación Global es igual al producto de los Índices de Variación Local. Ejemplo: Un producto que valía 1000 euros bajó un 15% y luego subió un 10%. Cuál es su precio actual? 6

7 Una anécdota ( caso real): Un comerciante vende los artículos de su tienda aumentando un 40% el precio de coste. A sus familiares y amigos quiere vendérselos al precio de coste. Para esto les da a los dependientes la orden de que les rebajen un 40% el precio de venta al público. Error!! 40% Precio coste: ,4=140 40% 140 0,60= =16, así que pierde el 16% en cada venta. Qué debería hacer? 1 Precio inical= Precio final:1,4= Precio final =Precio final 0,714 1, 4 Debería ordenar que se dividiese el precio final entre 1,4 o bien, que se les rebajase un 28,6% del precio de venta, pues 1/1,4=0,714=1-0,286. Conclusión: Si la subida es del 40% el precio inicial se calcula dividiendo por 1,4 Si la subida es del r%, el precio inicial se calcula dividiendo por 1+(r/100). Veamos en cuanto queda un artículo que aumenta su valor un r% y, a continuación, se le rebaja un r%, para distintos valores de r: 7

8 r PRECIO INICIAL PRECIO DESPUÉS DE LA SUBIDA PRECIO DESPUÉS DE LA BAJADA PÉRDIDA RESPECTO AL PRECIO INICIAL 10% % % 110 0,9=99 1% de pérdida 20% % % 120 0,8=96 4% de pérdida 50% % % 150 0,5=75 25% de pérdida 80% % % 180 0,2=36 64% de pérdida 100% % % 200 0=0 100% pérdida!! 2. SUCESIONES INTRODUCCIÓN Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de infinitos números reales a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,..., a n,... Cada uno de los números reales se llama término (a n ) y ocupa un determinado lugar (n) en la sucesión: Se dice sucesión regular si sigue una ley de formación. Se pueden definir: Conociendo algunos términos: (2,4, 6, 8 ) Con una característica común que verifiquen dichos términos: los números pares, los números primos, los cuadrados perfectos, etc Término general: a n =2n, a n =n 3, a n =5 n +1, a n =1/n, Algunas sucesiones importantes: Sucesión de números primos ( no tiene término general): 1,2,3,5,7, Sucesión de Fibonacci: 8

9 (dada por recurrencia: cada término viene dado en función de los dos anteriores) 1,1,2,3,5, Sucesiones alternadas u oscilantes: 1,-2,3,-4 Progresiones aritméticas y geométricas PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Observemos las potencias de 10 que resultan de la sucesión: (1, 10, 10 2, 10 3, 10 4, 10 5,...) Cada término de esta sucesión es igual al anterior multiplicado por 10. Esta sucesión es una progresión geométrica. Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que se representa por r. Término general. Según la definición anterior, en la progresión geométrica a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,..., a n, se verifica: a 2 = a 1 r a 3 = a 2 r = a 1 r r = a 1 r 2 a 4 = a 3 r = a 1 r 2 r = a 1 r 3 Generalizando este proceso se obtiene el término general: a n =a 1 r n-1 a n = a 1 r n - 1 9

10 Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6, 12,...? La razón se obtiene dividiendo un término por el anterior: r = 6 : 3 = 2. Suma de n términos consecutivos. Si queremos calcular la suma de los términos de la progresión geométrica limitada a 1, a 2, a 3,..., a n -1, a n, escribimos la suma S n de los n términos y después multiplicamos por la razón. S n = a 1 + a a n -1 + a n S n r = a 1 r + a 2 r a n -1 r + a n r Ahora restamos S n r - S n teniendo en cuenta que a 1 r = a 2, a 2 r = a 3, etc. S n r - S n = a n r - a 1 S n (r - 1) = a n r - a 1, de donde: Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente. La progresión a n = n : ( 2, 2/10, 2/100, 2/1000,... )=(2, 0.2, 0.02, 0.002, ) es una progresión geométrica de razón positiva y menor que 1 (r = 1/10), es decir, es una progresión geométrica decreciente e ilimitada y sus términos se hacen cada vez menores, pudiendo llegar a ser más pequeños que cualquier número dado. Para obtener la fórmula de la suma de estas progresiones multiplicamos por -1 el numerador y el denominador de la fórmula anterior: 10

11 Si r es positivo y menor que la unidad, por ejemplo r = 1/100, qué ocurre con la suma anterior al crecer n? La primera fracción permanece constante, pues no depende de n, pero r n se hace tan pequeño como queramos. Por esta razón, para hallar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente se utiliza esta fórmula: s n a 1 1 r APLICACIÓN AL CÁLCULO DE INTERESES Una aplicación clara de las progresiones geométricas es el interés compuesto. Vamos a verlo con un ejemplo y recordando previamente el interés simple. Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco paga intereses. Dependiendo de que se retiren o no los intereses periódicamente, el interés se llama simple o compuesto. En cuánto se convierte un capital de 1600 euros al 10 % en dos años a interés simple? Y a interés compuesto? Veamos cada caso por separado: Interés simple. Como el interés que produce 1 euro en 1 año es de 10/100 euros = 0,1 euros, el interés total es: ,1 = 160 euros. Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo: 1600 euros. En el segundo año, el capital vuelve a producir otros 160 euros. En los dos años el interés producido es: 11

12 = 320 euros Por tanto, el capital se convierte en los dos años en: = 1920 euros Se puede obtener directamente el interés en los dos años: i = ,1 2 = 320 euros. En general, si C es el capital, r es el tanto por ciento anual y t es el tiempo en años, entonces el interés simple es: I=C r t Si el tiempo viene dado en meses la fórmula es: C r t I 12 Si el tiempo viene expresado en días la fórmula es: C r t I 360 Interés compuesto. En el primer año la ganancia del capital es la misma estando depositado a interés simple o a interés compuesto: 160 euros. Al final del primer año los 160 euros ganados no se retiran, por lo que el capital, al empezar el segundo año, es de = 1760 euros. En el segundo año el interés que 1760 euros producen es: ,1 = 176 euros. En los dos años el interés producido es: = 336 euros. Por tanto, el capital de 1600 euros se convierte en los dos años en: 12

13 = 1936 euros. Se puede obtener el capital final al cabo de los dos años: C = 1600 (1 + 0,1) 2 = 1936 euros. En general, el capital final (C t ) que se obtiene a partir de un capital C en t años, al tanto por ciento anual r es: AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS Ejemplo: Recibimos un préstamo de al 15% anual, que hemos de amortizar en 5 pagos anuales idénticos. Comprobamos que la anualidad correspondiente es de 5966,31 : ANUALIDA D DEUDA ANTES DEL PAGO INTERESES PENDIENTES PAGO CANDIDAD AMORTIZADA DEUDA PENDIENTE , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,09 778, , ,10-0,01 En este caso, cada pago ( anualidad) sirve para saldar los intereses ( 15% de la deuda pendiente) y para amortizar parte de la deuda. Con cada pago de 5966,31 se abonan los intereses que se deben por el capital pendiente y se amortiza parte de la deuda. Como cada vez la deuda es menor, los intereses son menores y la cantidad amortizada es, pues, mayor. CÁLCULO DE ANUALIDADES Ejemplo: Recibimos un préstamo de 20000, con un tipo de interés del 12% anual y tenemos que devolverlo en cuatro años mediante cuatro pagos iguales. Cual será el valor de la anualidad? 13

14 Calculamos el valor que tendrá dentro de 4 años el capital recibido: en 4 años al 12% anual ,12 4 =31470,39 en a a 1,12 3 años 3 en a a 1,12 a a 2 años 2 en 1 año a 1,12 cantidad total pagada El total pagado consta de cuatro sumandos en progresión geométrica de razón 1,12: a (1+1,12+1, , ,12 1 )=a 4,779 a 1,12 1 Por tanto, para que el dinero recibido sea igual al pagado, debe ser: 4,779 a=31470,39 a=6585,14 Para completar el tema y ver las demostraciones de las siguientes fórmulas, consulta el libro de texto ( Matemáticas aplicadas a las CCSS 1º Bachillerato) en el tema 2, páginas Fórmula para el cálculo de anualidades: t D(1 r) r a t (1 r) 1 Fórmula para el capital final : razón 1+r) a(1 r)[(1 r) t 1] C ( suma de una PG de r 14