Tema 4: Problemas Aritméticos

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1 Tema 4: Problemas Aritméticos 4.1 Proporcionalidad simple. Vamos a en primer lugar a responder a dos preguntas: Cuándo se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales? Se dice que son directamente proporcionales si al aumentar una, la otra también aumenta en la misma proporción. Esto también es cierto para las disminuciones. Cuándo se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales? Se dice que son inversamente proporcionales si al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción. Esto tambíen es cierto a la inversa, es decir, si al disminuir una, la otra aumenta en la misma proporción. Ejemplo Actividades de la página 6 Un hortelano tiene agua almacenada para regar un campo de dos hectáreas durante tres días. Cuántos le duraría el agua si decidiera regar solamente 1. 2 hectáreas? Las magnitudes relacionadas son tiempo y superficie. La relacion es inversamente proporcional pues la cantidad de agua es fija: si regamos más días podremos cubrir menos superficie y viceversa. Tenemos la siguiente tabla: superficie días 2 hectáreas 1. 2 hectáreas x x días nos durará el agua. 5 Ricardo compra en la pescadería tres cuartos de kilo de calamares a euros/kg y una pescadilla de 650 gramos a euros/kg. Cuánto le devolverán si paga con un billete de 20 euros? El gasto es euros de gasto. Le devuelven euros Tareas : 1,2,4 de la página Proporcionalidad compuesta Actividades de la página 64 Una pieza de tela de m por m cuesta 42 euros. Cuál será la longitud de otra pieza de la misma tela que mide m de ancho y cuesta euros? Tenemos la siguiente tabla con datos y magnitudes. longitud m ancho m precio (euros) x Cuanto más ancho más precioproporcionalidad directa Cuanto más largo más precioproporcionalidad directa Precio del metro cuadrado en ambos casos ha de ser el mismo: x m x Un taller de reprografía trabajando 8 horas al día, ha obtenido un beneficio de 1120 euros en 12 días. Qué beneficio obtendrá en los próximos 10 días si aumenta la jornada laboral en una hora diaria? Tenemos la siguiente tabla de datos y magnitudes. 1

2 horas al día tiempo en días beneficio (euros) x Lo que no varía es el beneficio por hora x x euros de beneficio Tareas : ejercicios1,2,4,6 de la página Repartos proporcionales Actividades de la página 65 4 Tres amigos que comparten piso reciben una factura de la compañía eléctrica por un importe de euros. Amelia llegó al piso hace 60 días; Laura, 20 días después, y Cristina sólo lleva en la casa 20 días. Cuánto debe pagar cada uno? La participación de cada uno de ellos va en función de los días de estancia: Amelia 60 días Laura 40 días Cristina 20 días. El consumo de electricidad ha durado "días", hemos supuesto que cada día que ha estado cada persona ha sido un "día" de consumo. Calculamos cuánto ha sido el gasto "diario" Amelia 60 días euros Laura 40 días euros Cristina 20 días euros. Sorprendentemente: Tareas : ejercicios1,2, de la página Problemas de mezclas euros/día Actividades de la página 66 2 Si mezclamos un lingote de 500 g con un 80% de oro con otro lingote de 1500 g con un 95% de oro, Qué proporción de oro habrá en el lingote resultante? Tenemos la tabla siguiente: peso g % de oro peso orog lingote lingote lingote mezcla La proporción de oro es 84.5% Tareas : ejercicios1,,4,5 de la página Probllemas de móviles Actividades de la página 67 Dos manantiales vierten sus aguas en un depósito de 45 litros de capacidad. Si el caudal del primero es de 50 l / min, y el del segundo de 40 l / min, Cuánto tiempo tardarán en llenar el depósito? Suponiendo que los dos grifos se abren a la vez, el caudal es l / min Realizamos la división de la capacidad entre el caudal: 45 l 90 min l l l min Tardará 4 minutos.. 8 min 2

3 Tareas : ejercicios1,2,4 de la página Cálculos con porcentajes Actividades de la página Calcula: f El 400% de Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 2 Calcula el tanto por ciento que representa: a. 192 respecto de % Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 5 Alejandro quiere comprar una bicicleta que cuesta 60 euros. Su padre se compromete a pagar el 50%, y su abuela el 0%. Cuánto pagará Alejandro? La parte de la bicicleta que ha de pagar Alejandro es % pagará Alejandro El 20% de Alejandro paga 72 euros Tareas : ejercicios,4 de la página 68 Actividades página 69 6 En una tienda de informática han subido todos los productos un 7%. Un ordenador valía 840 euros; una impresora, 80 euros, y un escáner, 60 euros. Cuánto valen ahora? ordenador El nuevo precio es el 7 107% del antiguo. El 107% de euros impresora El 107% de euros escáner El 7% de euros sube el precio El precio final es euros. Tareas : ejercicios 7,9 de la página 69 8 Hace un año compré un coche que me costó 8000 euros. Si los vendiera ahora, me darían un 5% menos de su valor inicial. Cuál es el precio actual del coche? 5 65% del valor inicial que es el precio actual del coche. El 65% de euros vale el coche ahora. Actividades página Un pueblo tenía habitantes. Su población aumentó un 18% y, después, un 25%. Cuántos habitantes tiene ahora? En un primer momento, la población es el % de la inicial. En un segundo momento, la población vuelve a aumentar con respecto a la situación anterior; % La población será habitantes. Tareas : ejercicios 10,11 de la página Depósitos y préstamos Actividades página 71 4 Cuánto producen 0 euros durante 8 meses al 6% anual? Calculamos el 6% de euros en un año

4 Tenemos la tabla siguiente: capital rendimiento (meses) x 8 Se trata de dos magnitudes directamente proporcionales, así: 60 x 12 8 x euros me darán en 8 meses. Tareas : ejercicios 1,2, de la página 71 Actividades página 72 7 En cuánto se transforman euros durante 5 años al 4.8% anual, si los períodos de capitalización son trimestral? C F C i 1 r k nk donde n son los años y k el número de veces que se aplica cada año. Lo hacemos cada cuatro veces la capitalización: 4 12 meses 1 año C F euros nos darán. Y si la capitalización es diaria? C F euros obtendremos. Tareas : ejercicios 5,6 de la página 72 EJERCICIOS FINALES DEL TEMA 1. Calcula x en cada caso. a x x Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 2 Calcula mentalmente: f 0% de Tareas : todos los ejercicios que faltan del 2 Tareas :,4 5 Calcula el tanto por ciento que representa. h 75 respecto de % Tareas : todos los ejercicios que faltan del 5 6 Qué índice de variación corresponde a estos aumentos porcentuales? e 110% Es decir, la cantidad dada ha aumentado un 110% % es el aumento porcentual 2. 1 es el índice de variación Tareas : todos los ejercicios que faltan del 6 7 Qué índice de variación corresponde a estas disminuciones porcentuales? e 6% Es decir, la cantidad dada ha disminuido un 6%. 6 7% 0. 7 es el índice de variación. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 7 Tareas : 8 9 Calcula el valor de x en cada caso. d el 1% de x es Tareas : todos los ejercicios que faltan del 9 10 Expresa en un sólo porcentaje. d el 120% del 10% 4

5 Tareas : todos los ejercicios que faltan del Un coche consume 6. 4 l de combustible cada km. Cuánto consume en 00 km? Y en 75 km? Tenemos la siguiente tabla de magnitudes: consumo (l) recorrido (km) 6. 4 x 00 y 75 Se trata de magnitudes directamente proporcionales, pues a mayor recorrido, mayor consumo x x l 6. 4 y x l 12 Tres operarios pintan una casa en 20 h. a. Cuánto tardarían 4 operarios? Tenemos la siguiente tabla de magnitudes: operarios tiempo (h) 20 4 x y 5 Se trata de magnitudes inversamente proporcionales pues a mayor número de operarios se tardará menos tiempo x x h b Cuántos pintores se necesitarían para pintar la casa en 5 h? 20 y 5 y operarios Tareas :1,14,15,16 17 Un taller fabrica en 10 días 1600 chaquetas, trabajando 8 horas diarias. Cuánto tardará en hacer 2000 chaquetas trabajando 10 horas al día? Tenemos la siguiente tabla de magnitudes tiempo (días) chaquetas trabajo cada día (h) x Que se puede transformar en esta otra. tiempo (h) chaquetas x 2000 Son directamente proporcionales pues si trabajas más tiempo, harás más chaquetas x 1600 x días Un sastre ha cobrado 98 euros por un traje en el que ha invertido 4 metros de tela y 10 horas de trabajo. Si valora su trabajo a razón de 19 euros la hora, cuánto cobrará por otro traje para el que ha necesitado. 5 metros de tela y 12 horas de trabajo? Tenemos la siguiente tabla de magnitudes: euros tela (m) trabajo (h) precio de la hora de trabajo x Da lugar a la tabla siguiente: 5

6 euros de la tela tela (m) x Estas magnitudes son directamene proporcionales, pues a más tela más precio. 208 x x x x euros cuesta el otro traje. Tareas : 19,20,21,22 2 Un fabricante de churros usa una mezcla de aceite que contiene dos partes de aceite de oliva por cada parte de aceite de girasol. Sabiendo que compra el de aceite de oliva a.40 euros/litro, y el de girasol a 1.60 euros/litro, a qué precio le sale el litro de la mezcla? Tenemos la siguiente tabla: aceite precio (euros/litro) cantidad (litro) oliva.40 2 girasol mezla euros/litro es el precio de la mezcla. Tareas : 24,25,26 0 En un depósito de litros de agua se abren por error, simultáneamente, un grifo con un caudal de 185 litros/minuto y el desagüe, con 5 litros/minuto de caudal. Cuánto tarda el depósito en vaciarse? Se vacía pues sale más agua por minuto de la que entra. Si hacemos la diferencia entre lo que se vacia y lo que entra, tenemos el caudal de salida por minuto: l / min l 150 min l l l min 112 min Tareas : 27,28,29 4 Un especulador compra 6000 m 2 de terreno a 80 euros/ m 2. Un año después, vende 2000 m 2 un 20% más caro, y el resto por un 25% más de lo que le costó. Cuál ha sido su ganancia? Para el primer trozo de terreno vendido, el precio del metro cuadrado ha sido: Como el aumento de precio ha sido del 20%, el precio final es euros/ m 2 La venta total ha ascendido a euros para los 2000 m 2. Para el segundo trozo de terreno vendido, el precio del metro cuadrado ha sido: Como el aumento de precio ha sido del 25%, el precio final es euros/ m 2 La venta total ha ascendido a euros para los 4000 m 2. Las ventas han generado unos ingresos de euros. Mientras que la compra fue de Finalmente la ganancia serán gastos menos ingresos: euros. OTRA FORMA MÁS RÁPIDA En la venta de la primera parte por cada metro cuadrado gana: 20% de euros euros/ m 2 En total gana vendiendo los 2000 m euros En la venta de la segunda parte por cada metro cuadrado gana: 25% de euros euros/ m 2 6

7 En total gana vendiendo los 4000 m euros La ganancia total asciende a Paula ha pagado euros por un jersey que costaba 85 euros. Qué tanto por ciento le han rebajado? La parte del precio que Paula ha pagado en % es % Entonces la rebaja ha sido de 90 10% 9 En una carrera ciclista, la primera semana abandonan el 20% de los corredores, y en la segunda, el 40% de los que quedaban. Qué porcentaje de los que empezaron permanece en carrera? Si en la primera semana abandona el 20%, nos queda el 80%. Si en la segunda semana abandona el 40% de los que quedaban, nos queda el 60% de los que quedaban Por lo tanto me quedan el 60% del 80% de Nos queda el 48% del número de corredores inicial. 40 Calcula el interés que produce un capital de euros, colocados al. 25% anual durante: a. Un año euros en un año b. Un mes euros 12 c. Cinco meses euros Se depositan euros al 2. 5% anual. Al acabar el año se saca todo el dinero, se añaden 00 euros y se deposita todo en otro banco al 4%. Cuánto dinero habrá al acabar el segundo año? Transcurrido el primer año, la cantidad aumentó un 2. 5%, por lo que tenemos: euros La cantidad que ingresamos en el nuevo banco es: Esta última cantidad aumentará un 4% al finalizar el segundo año: euros obtendremos. 42 Un comerciante pide una prórroga de dos meses por una letra de 2000 euros, con unos intereses del 16% anual. Cuánto le cuesta la prórroga? La letra que habrá de pagar después de los dos meses habrá aumentado dos doceavos del 16% euros págara. La prórroga le ha costado 5. euros. 48 Juan adquirió 210 libros por cierta cantidad de dinero. Cuántos libros adquirirá ahora, con el mismo gasto, si han subido un 5%? Ahora, debido a la subida, tendrá menos libros. Como el precio ha subido un 5%, con la misma cantidad, sólo podrá comprar un 5 95% de los libros que había comprado inicialmente. 95% de libros Puede ser también, que el librero diga nones, y sólo sean 199 libros. 49 Reparte 720 euros entre tres socios de un negocio, sabiendo que el primero puso el triple que el segundo, y este, el doble que el tercero. Teniendo en cuenta que por orden de reparto, el que más se lleva es el primero, luego el segundo y por último, el tercero, decimos: El tercero se lleva x El segundo se lleva 2x El primero se lleva 2x 6x 7

8 Por lo tanto, x 2x 6x 9x sería el dinero total. 9x 720 x Así, el reparto queda: El tercero se lleva 80 euros El segundo se lleva euros El primero se lleva euros Fijate como Un automóvil ha ido a 90 km / h durante 20 min y a 120 km / h durante los 10 min siguientes. Cuál a sido la velocidad media en ese tiempo? 8