HOJA 5 SUCESIONES Y PROGRESIONES

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1 HOJA 5 SUCESIONES Y PROGRESIONES Sucesión: Término general 1.- Calcula el término general de las sucesiones: a) -1, 2, 5, 8, 11, b) 3, 3/2, ¾, 3/8, c) 1, 4, 9, 16, 25, 2.- Halla el término general de cada una de estas sucesiones: a) -4, -6, -8, -10, b) 24, 12, 6, 3, c) 2/3, ¾, 4/5, 5/6, 3.- Halla los cinco primeros términos de la sucesión de término general: b n = n-3 / 2n Escribir los cinco primeros términos de las sucesiones cuyo término general es: a) a n = 2/n b) b n = 5-n / 2 c) c n = n-4 / n-1 d) d n = 3 (-1) n. n 5.- Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones: a) a 1 = 7, a 2 = 5, a n = a n-1 a n-2 b) b n = 3 n-1 c) a n = 2 n+1 d) a 1 = 5, a n = 3 a n-1-8 Progresiones aritméticas: Término general 6.- En un edificio, el primer piso se encuentra a 7,40 m de altura y la distancia entre so pisos consecutivos es de 3,80 m. A qué altura está el noveno piso? Obtén una fórmula que nos indique la altura a la que se encuentra el piso n. 7.- En una urbanización realizaron la instalación de gas natural en 1999, haciendo entonces la primera revisión. Sabiendo que las revisiones sucesivas se realizan cada 3 años, en qué año se realizará la décima revisión? Cuál es el número de revisión que se realizará en el año 2035? 8.- El alquiler de una bicicleta cuesta 5 la primera hora y 2 más cada nueva hora. Cuál es el precio total del alquiler por 7 horas? Halla una fórmula que nos dé el precio total de alquiler de n horas. 9.- Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primer término es 4 y la diferencia es 5. 61

2 10.- El décimo término de una PA es 45 y la diferencia es 4. Halla el primer término Sabiendo que el primer término de una PA es 4, la diferencia 7 y el término n- ésimo 88, halla el número de términos Halla el primer término de una PA y la diferencia, sabiendo que a 3 = 24, a 10 = El sexto término de una PA es 4 y la diferencia ½. Halla el término vigésimo Interpola cuatro medios aritméticos entre los números 7 y Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus longitudes en metros, están en PA de diferencia En una PA el undécimo término excede en 2 unidades al octavo, y el primero y el noveno suman 6. Calcula la diferencia y los términos mencionados Sabiendo que las medidas de los tres ángulos de un triángulo están en PA y que uno de ellos mide 100º, calcula los otros dos Un padre de familia, al acabar el primer día de vacaciones, hace las siguientes cuentas: nos quedan y cada día de vacaciones gastamos 290. Cuánto dinero le va quedando según pasan 2, 3,..., n días de vacaciones? Para cuántos días de vacaciones tienen dinero? 19.- Se consideran 16 términos consecutivos de una PA. La diferencia de los dos extremos es 16 y la suma del cuarto y el decimotercero es 18. Calcula los extremos Calcula tres números sabiendo que están en progresión aritmética, que su suma es 18 y que la suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades Por el alquiler de una casa se acuerda pagar 480 euros al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en 36 euros mensuales. Cuánto se pagará mensualmente al cabo de 12 años? 22.- En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta 134 dm. En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm? Progresiones aritméticas: Suma de elementos 23.- En una PA sabemos que a 2 = 1 y a 5 = 7. Halla el término general y calcula la suma de los 15 primeros términos En una PA, el sexto término vale 10,5 y la diferencia es 1,5. Calcula el primer término y la suma de los 9 primeros términos. 62

3 25.- El quinto término de una PA vale -7 y la diferencia es -3. Calcula el primer término y la suma de los 12 primeros términos Calcula la suma de los 15 primeros términos de una PA en la que a 3 = 1 y a 7 = En una PA, la suma de los términos tercero y quinto es 28 y la de los términos segundo y décimo-segundo es 40. Calcular la suma de los veinte primeros términos Calcular la suma de los 40 primeros múltiplos de 8 y la suma de los 50 múltiplos que siguen a Cuántos números pares consecutivos es preciso tomar a partir del primero para que su suma sea ? 30.- Un nadador, durante los seis primeros días de la temporada, se somete al siguiente entrenamiento: 11 largos de piscina el primer día y cada día siguiente aumenta en tres largos su dosis de entrenamiento diario. Cuántos largos hizo en los seis días? Cuántos habría hecho de seguir así durante 40 días? 31.- Se quiere construir un tejado de forma que en la primera fila haya 10 tejas, en la segunda 11, y así sucesivamente, hasta un total de 20 filas de tejas. Cuántas tejas se necesitan? 32.- Cuánto dinero llevaba a sus vacaciones una persona si el primer día gastó 210, fue disminuyendo gastos en 10 por día y el dinero le duró 20 días? 33.- Todos los números naturales que divididos entre 7 dan resto 3 forman una progresión. Hallar la suma de los 100 primeros Calcula la suma de los múltiplos de 59 comprendidos entre 1000 y Cuántos términos hay que sumar de la PA 2, 8, 14, para obtener como resultado 1064? 36.- La suma de n números naturales consecutivos tomados a partir de 11 es Cuántos términos hemos sumado? 37.- Sabiendo que el quinto término de una PA es 18 y la diferencia es 2, halla la suma de los nueve primeros términos de la sucesión La suma de los once primeros términos de una progresión aritmética es 176 y la diferencia de los extremos es 30. Halla los términos de la progresión Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para una exhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc. Cuántas filas tienen que haber? 63

4 40.- Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, y su suma es 32 años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Halla las edades de los cuatro hermanos Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasio durante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. Cuánto tiempo deberá entrenar al cabo de 15 días? Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamiento a lo largo de todo un mes de 30 días? Progresiones geométricas: Término general 42.- Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la razón 1/2, halla el primer término La población de un cierto país aumenta por término medio un 1 % anual. Sabiendo que en la actualidad tiene 3 millones de habitantes cuántos tendrá dentro de 10 años? 44.- Una máquina costó inicialmente Al cabo de unos años se vendió a la mitad de su precio. Pasados unos años volvió a venderse por la mitad de su precio anterior y así sucesivamente. Cuánto le costó la máquina al quinto propietario? 45.- La maquinaria de una fábrica pierde cada año un 20 % de su valor. En el momento de su compra valía Cuánto valía un año después de comprarla? En cuánto se valorará 10 años después de haberla comprado? 46.- Cuánto dinero tendremos al cabo de 3 años colocando al 6 % de interés anual? Y al cabo de 5 años? 47.- El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla los cinco primeros términos de dicha progresión Interpola tres medios geométricos entre los números 8 y En una progresión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a 512 y que el término décimo es igual a 16. Halla el primer término y la razón Determina cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos primeros sumen 0,5 y los dos últimos 0, Tres números están en progresión geométrica; el segundo es 32 unidades mayor que el primero, y el tercero, 96 unidades mayor que el segundo. Halla los números. Progresiones geométricas: Suma de elementos 52.- A Isabel y Andrés les han confiado, a las nueve de la mañana, un secreto. Cada uno de ellos, al cuarto de hora, se lo han contado a tres amigos. Estos a otros tres,...,etc. Cuánta gente lo sabrá a las 12 de la mañana? 53.- En una PG a 1 = 3 y a 4 = 24. Calcula la razón y la suma de los ocho primeros términos. 64

5 54.- Halla la suma de los seis primeros términos de una PG de razón positiva en la que a 2 = 10 y a 4 = El tercer término de una PG vale 80 y la razón es 4. Calcula la suma de los cinco primeros términos En una PG sabemos que a 1 = 2 y a 4 = 54. Halla la razón y la suma de los seis primeros términos Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24, La suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica es 17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que el primer término es 7, el último 448 y su suma 889? 65

6 SOLUCIONES Sucesión: Término general 1) a) a n = (-1) + 3 (n-1) ; b) b n = 3 / 2 n-1 ; c) c n = n 2 2) a) a n = (-4) 2 (n-1) ; b) b n = 24 / 2 n-1 ; c) c n = n+1 / n+2 3) -2/3 ; -1/5 ; 0 ; 1/9 ; 2/11 4) a) 2, 1, 2/3, ½, 2/5 ; b) 2, 3/2, 1, ½, 0, c), -2, -1/2, 0, ¼ d) 4, 1, 6, -1, 8, 5) a) 7, 5, -2, -7, -5, b) 1, 3, 9, 27, 81, d) 4, 8, 16, 32, 64, d) 5, 7, 13, 31, 85, Progresiones aritméticas: Término general 6) El noveno piso empezará a una altura de h 9 = 7, x 3,80 = 37,80 metros En general, el piso n-ésimo empezará a h n = 7,40 + (n-1) x 3,80 7) La décima revisión será en r 10 = x 3 = 2026, en general r n = 1999+(n-1). 3 de donde (n-1). 3 = 2035 corresponderá a la 13ª revisión. 8) El alquiler, tras 7 horas vendrá dado por a 7 = x 6 = 17 euros, y de forma general, tras n horas a n = (n-1) 9) Como a n = 4 + (n-1) x 5 entonces a 100 = x 5 = )Será a 10 = a x 4 = 45 a 1 = 9 11) a n = 4 + (n-1) x 7 = 88 n = 13 12) a 3 = a d = 24 y a 10 = a d = 66 d = 6 ; a 1 = ) a 6 = a x ½ = 4 a 1 = 3/2 por lo que a 20 = 3/ x ½ = 22/2 = 11 14) La diferencia es 27 7 = 20 de modo que, si intercalamos cuatro medios aritméticos habrá que dividir esta diferencia en cinco partes, siendo el resultado 4. Así, la solución será: 7, 11, 15, 19, 23, ) Si el cateto menor tiene de longitud c, el otro cateto será c + 3 y la hipotenusa c + 6, cumpliéndose por Pitágoras (c+6) 2 = c 2 + (c+3) 2 c c = c 2 + (c+3) 2 de modo que c = c c c 2 6c 27 = 0 c = 9 y el triángulo tendrá por lados 9, 12 y

7 16) Los términos tratados serán a 1 ; a 8 = a 1 + 7d ; a 9 = a 1 + 8d ; a 11 = a d de modo que a 11 a 8 = 3d = 2 de donde d = 2/3. La segunda condición afirma que: a 1 + a 9 = 2 a 1 + 8d = 6 de donde a 1 = 1/3. La progresión es 1/3, 1, 5/3, 7/3, ) Si hay un ángulo de 100º los demás no podrán ser mayores porque juntos suman 180º, de manera que estos ángulos serán 100º + (100º - d) + (100º - 2d) = 180º de donde se concluye que d = 40º y por tanto los ángulos son 20º, 60º, 100º. 18) La cantidad que queda será una PA de término general a n = d de manera que los sucesivos términos serán 4400, 4110, 3820, Tendrá dinero para d días siendo d = 0 d = 15,17 es decir, para 15 días. 19) El primer término es a 1 y el 16º será a 16 = a d de manera que su diferencia será 15d = 16 según el enunciado. Ahora, a 4 = a 1 + 3d, a 13 = a d de manera que su suma es a 4 + a 13 = 2 a d = 18. Sustituyendo: 2 a = 18 a 1 = 1, d = 16/15. Con ello los extremos serán a 1 = 1, a 16 = x 16/15 = ) Los números serán a 1, a 1 + d, a 1 + 2d, de modo que su suma 3 a 1 + 3d = 18 es decir, a 1 + d = 6. Por otra parte, a 1 + (a 1 + d) = (a 1 + 2d) 2 a 1 = d 2 que sustituimos en la primera igualdad: (d 2) + d = 6 d = 4 y a 1 = 2. Los números son 2, 6, ) a 1 = 480 y d = 36, de manera que a 12 = x 36 = ) En el cine será a 1 = 84 dm y a 6 = a 1 + 5d = d = 134, de donde d = 10 dm. Si la distancia a la pantalla es de 234 dm a n = 84 + (n-1) x 10 = 234 n = 16. Progresiones aritméticas: Suma de elementos 23) a 2 = a 1 + d = 1 y a 5 = a 1 + 4d = 7 de donde a 1 = -1 y d = 2. De ahí que el término a 15 = x 2 = 27 así que la suma de los 15 primeros términos será en total S 15 = ½ ( ) x 15 = ) a 6 = a x 1,5 = 10,5 a 1 = 3. El término noveno será a 9 = x 1,5 = 15 de donde S 9 = ½ (3 + 15) x 9 = 81 25) a 5 = a x (-3) = -7 a 1 = 5 El término doce será a 12 = x (-3) = -28 así que S 12 = ½ (5 + (-28)) x 12 = ) a 3 = a d = 1 ; a 7 = a d = -7 a 1 = 5 ; d = -2 a 15 = x (-2) = -23 y la suma será S 15 = ½ (5 + (-23)) x 15 = ) a 3 = a 1 + 2d ; a 5 = a 1 + 4d a 3 + a 5 = 2 a 1 + 6d = 28 a 2 = a 1 + d ; a 12 = a d a 2 + a 12 = 2 a d = 40 de donde 6d = 12 y d = 2, en cuyo caso a 1 = 8 a 20 = x 2 = 46 con lo que la suma es S 20 = ½ (8 + 46) x 20 =

8 28) Los múltiplos de 8 tienen de término general a n = 8n de modo que a 1 = 8, a 40 = 320 así que S 40 = ½ ( ) x 40 = El primer múltiplo que sigue a 60, será el octavo término a 8 = 8 x 8 = múltiplos más nos llevaría a a 57 = 8 x 57 = 456, de modo que la suma será S = ½ ( ) x 50 = ) Los pares tienen como término general a n = 2 (n-1) así que su suma empezando en el 2 inicial debe ser: S n = ½ (2 + 2(n-1)) n = n 2 = n = ) Los largos hechos vienen dados por a n = (n-1) de manera que a 1 = 11, y el sexto día hace: a 6 = x 5 = 26 de modo que en total S 6 = ½ ( ) x 6 = 111, y en 40 días a 40 = x 39 = 128 S 40 = ½ ( ) x 40 = ) El primer término es a 1 = 10 y el general a n = 10 + (n-1) así que a 20 = = 29 y entonces S 20 = ½ ( ) x 20 = 390 tejas. 32) El gasto viene dado por a 1 = 210 y a n = (d-1) En el día 20º el gasto será de a 20 = = 20 euros. Así pues S 20 = ½ ( ) x 20 = ) Si dividimos ese número por 7 da de cociente n y resto 3, de manera que estos números tendrán la forma general a n = 7n + 3. Será a 1 = 10, a 100 = 703, S 100 = ½ ( ) x 100 = ) Primero, tenemos que determinar el primer y último múltiplo de 59 entre 1000 y Dividiendo 1000:59 resulta de cociente algo menos de 17, luego el 17º estará por encima 59 x 17 = Algo similar indica que 59 x 33 = 1947,es decir, el 33º múltiplo de 59, es el último antes de Por tanto hay = 17 múltiplos en total. Por tanto, S = ½ ( ) x 17 = es la suma de esos múltiplos. 35) La progresión 2, 8, 14 tiene de término general a n = (n-1) por lo que resultará una suma S n = ½ ( (n-1)). n = 1064 ½ (6n 2) n = 1064 de donde queda 3 n 2 n = 0 n = 19 36) La progresión tiene a n = 11 + (n-1) de modo que S n = ½ ( (n-1)) n = 1715 es decir, ½ (21 + n) n = 1715 n n 3430 = 0 n = 49 37) El quinto término será a 5 = a x 2 = 18 a 1 = 10, y además a 9 = x 2 = 26 luego S 9 = ½ ( ) x 9 = ) La diferencia de los extremos será a 11 a 1 = 10d = 30 d = 3. Por otra parte, la suma será S 11 = ½ (a 1 + a ) x 11 = (a ) x 11 = 176 a 1 = 1. De modo que la progresión es 1, 4, 7, 10, 13, 39) En la formación a 1 = 1 y d = 1. La suma será S n = ½ ( (n -1)) x n = 5050 de donde n 2 + n = 0 n =

9 40) La diferencia vendrá dada por a 4 a 1 = 3d = 6 d = 2. Como nos dan el dato de la suma S 4 = ½ (a 1 + a 1 + 6) x 4 = 32 a 1 = 5 y los demás tendrán, 7, 9 y 11 años. 41) Pasado a minutos a 1 = 60 y d = 10. Entonces a 15 = x 10 = 200 minutos = 3.20 h Como a 30 = x 10 = 350 minutos, S 30 = ½ ( ) x 30 = 6150 min = 102 ½ h. Progresiones geométricas: Término general 42) a 7 = a 1 x (1/2) 6 = 1 a 1 = 2 6 = 64 43) Actualmente a 1 = 3 millones, a 10 = 3 m x (101/100) 10 = 3 m x 1,01 10 = ) El precio inicial es a 1 = y la razón r = ½ de manera que al quinto propietario la máquina valdrá: a 5 = a 1. r 4 = x (1/2) 4 = ) El precio inicial es a 1 = y la razón r = 80/100 = 8/10 de manera que al año siguiente valdrá x 8/10 = y diez años después a 11 = a 1 x (8/10) 9 = x 0,8 9 = 5.368,7 46) Si tenemos la cantidad a 1 = la razón será de r = 106/100 = 1,06 de modo que al cabo de tres años será a 4 = x 1,06 3 = y al cabo de cinco años será a 6 = x 1,06 5 = 4.014,62 47) Si el primer término es 1 y el quinto a 5 = 1 x r 4 = 81 es r = 3, de manera que la progresión será 1, 3, 9, 27, ) a 1 = 8, a 2 = 8 r, a 3 = 8 r 2, a 4 = 8 r 3, a 5 = 8 r 4 = 128 r 4 = 16 r = 2 de donde los términos interpolados son: a 2 = 16, a 3 = 32, a 4 = ) Se sabe que a 15 = a 1 r 14 = 512 y a 10 = a 1 r 9 = 16. Por tanto, se pueden dividir ambos elementos a 15 / a 10 = r 5 = 512/16 = 32 de donde r = 2. En ese caso, el primer término será a 1 = 16 / 2 9 = 2 4 / 2 9 = 1 / 2 5 = 1/32. 50) La PG vendrá dada por a 1, a 1 r, a 1 r 2, a 1 r 3 de forma que a 1 + a 1 r = a 1 (1 + r) = 0,5 y se cumplirá a 1 r 2 + a 1 r 3 = a 1 r 2 (1 + r) = 0,125. Dividiendo una igualdad entre la otra resultará r 2 = 0,125 / 0,5 = 1/4 de donde r = 1/2. En ese caso, a 1 = 0,5 / 1,5 = 1/3 Los términos serán: 1/3, 1/6, 1/12, 1/24. 51) Consideremos tres números como a 1, a 1 r, a 1 r 2. Las condiciones son a 1 r a 1 = a 1 (r-1) = 32 y a 1 r 2 a 1 r = a 1 r (r-1) = 96. Si dividimos las dos diferencias, r = 3 en cuyo caso el primer término es a 1 = 32 / 2 = 16 y los siguientes: 48, 144. Progresiones geométricas: Suma de elementos 52) La cantidad inicial a 1 = 2 y la razón es r = 3. Como la comunicación es cada cuarto de hora de 9 a 12 h, habrá un total de 12 elementos en la progresión. De manera que el total de gente enterada será S 12 = 2 x ( ) / 3-1 =

10 personas. En efecto la progresión será: 2, 6, 18, 54 (10 h), 162, 486, 1.458, (11 h), , , , (12 h) que sumadas nos dan el resultado anterior. 53) a 4 = a 1 r 3 = 3 r 3 = 24 r 3 = 8 r = 2 ; S 8 = 3. (2 8-1)/2-1 = ) a 2 = a 1 r = 10 y a 4 = a 1 r 3 = 250 a 4 / a 2 = r 2 = 25 r = 5 y a 1 = 2, de modo que la progresión es 2, 10, 50, 250, 1250, ) a 3 = a 1 r 2 = 16 a 1 = 80 a 1 = 5, así que es 5, 20, 80, 320, 1280, 56) a 4 = a 1 r 3 = 2 r 3 = 54 r 3 = 27 r = 3 ; S 6 = 2. (3 6 1)/3-1 = ) La progresión 3, 6, 12, 24 tiene a 1 = 3 y r = 2 S 10 = 3. (2 10 1)/2-1 = ) S 8 = a 1. (r 8-1)/r-1 = 17 a 1. (r 4-1)/r-1 r 8 1 / r 4 1 = 17 Llamando r 4 = z tendríamos z 2 1 / z 1 = 17 (z+1)(z-1)/z-1 = z + 1 = 17 r = 17 de donde r 4 = 16 r = 2 59) a 1 = 7 ; a n = a 1 r n-1 = 7 r n-1 = 448 r n-1 = 64 y además S n = 7. (r n -1)r-1 = 7. (64r-1)/r-1 = r 1 / r-1 = r 1 = 127 r r = 126 r = 2. 2 n-1 = 64 n = 7 70