PÁGINA 77 PARA EMPEZAR

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1 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 77 Pág. 1 PARA EMPEZAR El arte cósico Vamos a practicar el arte cósico : Si a 16 veces la cosa le sumamos 5, obtenemos el mismo resultado que si multiplicamos por la cosa y por la cosa. Epresa algebraicamente (al estilo actual) este enunciado y averigua, tanteando, cuánto vale la cosa. A la cosa vamos a llamarla. Entonces: Si a 16 veces la cosa le sumamos 5 equivale a Obtenemos el mismo resultado que equivale a =. Si multiplicamos por la cosa y por la cosa equivale a. Uniendo las tres frases, tenemos que: = = Si utilizamos una calculadora y vamos probando números, podemos llegar a descubrir que las soluciones son 7 y 5. Traducción al lenguaje algebraico Y ahora, sin recurrir a la cosa, asigna a cada enunciado de la izquierda la epresión que le corresponde (a la derecha). I. Un número entero, el anterior y el siguiente. II. Dos números pares consecutivos. III. La suma de tres enteros consecutivos es 90. IV. Las edades de dos hermanos difieren en 5 años. El año próimo, el mayor tendrá el doble de años que el menor. a) n + (n + 1) + (n + ) = 90 b) n, n 1, n + 1 c) y = 5; + 1 = ( y + 1) d) n, n + Cuando hayas acabado, vuelve a poner las epresiones algebraicas correspondientes a los enunciados de la izquierda, pero tapando, previamente, la columna de la derecha. I. 8 b) II. 8 d) III. 8 a) IV. 8 c)

2 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) La mitad de un número. b) El triple de un número. c) La cuarta parte de un número. d) El 5% de una cantidad. e) El triple de un número más dos unidades. f) La mitad del resultado de sumarle al triple de un número dos unidades. Pág. a) b) c) 4 d) 0,5 e) + f) + Epresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos: A B C + 7 A: P = ( ) + ( + ) = 4 A = ( ) ( + ) = 6 B: P = + = 8 A = = C: P = + 7 = + 14 A = 7 = 7

3 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 78 Pág. 1 1 Describe mediante una epresión algebraica los enunciados siguientes: a) El doble de un número menos su tercera parte. b) El doble del resultado de sumarle tres unidades a un número. c) El área de este triángulo es 6 cm. d) Gasté en un traje /5 de lo que tenía y 60 en dos camisas. Me queda la mitad de lo que tenía. a) 1 b) ( + ) c) = 6 d) ( ) = 1

4 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 79 Pág. 1 1 Cuál es el grado de cada uno de los siguientes monomios?: a) 5y z b) 11y c) 1 a) Su grado es 6. b) Su grado es. c) Su grado es 0. Efectúa las siguientes sumas de monomios: a) b) 6 y 1 y + y y c) y + d) yz + y z z y + 5zy a) 9 + b) 5 y c) y d) yz + 6y z Efectúa los siguientes productos de monomios: a) () (5 ) b) ( ) (4 ) c) ( ) ( 6) d) ( 9 ) ( 5 ) e) (7y ) (y) f) (5yz) ( z) a) 15 b) 1 5 c) 4 4 d) 15 5 e) 14y f) 15 yz 4 Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los siguientes: a) 5ab c b) 6 c) d) 7 Respuesta abierta. Ejemplo: a) 10ab c, ab c b), c) 15, 4 d) 4, 10

5 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 80 Pág. 1 1 Di el grado de cada uno de estos polinomios: a) b) c) a) Su grado es 6. b) Su grado es 4. c) +. Su grado es. Sean P = y Q = 4 +. Halla P + Q y P Q Halla los productos siguientes y di de qué grado son: a) ( + 1) b) ( 4 + 6) c) ( ) d) 5( + 1) e) 7 5 ( 1) f) 7( + ) g) 4 ( 5 + ) h) 8 ( + ) i) ( + ) j) 4 [ + () ] a) + 6 b) Su grado es. Su grado es 4. c) 6 + d) Su grado es. Su grado es. e) f) Su grado es 7. Su grado es 4. g) = h) Su grado es 5. Su grado es 4. i) 4 5 = j) = Su grado es 5. Su grado es.

6 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 81 Pág. 1 4 Siendo P = 4 +, Q = y R = 5 8, calcula: a) P Q b) P R c) Q R a) b) c) Opera y simplifica la epresión resultante: a) (5 + 1) ( ) + 1 b) 5( ) + ( y + 4) 7 ( y + ) 8 c) 15 [ ( ) 4( y ) ] d) ( + 7)(5 + ) ( 5 + 1) a) = + 19 b) y y = 9 1 y c) 10( ) 1(y ) + ( + ) 105 = y = = 1y 1 d) = =

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe 6 Etrae factor común en cada epresión: Pág. a) b) c) y 5 y y + 7 y d) y 5 y (y ) e) ( ) + ( ) 5( ) f) y 6 y + 4 y g) ( ) ( y 1) 7 ( y 1) a) 5 (1 + 5 ) b) 1 ( 4 1 5) c) y (y y y) d) y( 10y + 15) e) ( )( + 5) = ( ) 0 = 0 f) y (1 y + y) g) (y 1) ( 7 ) = (y 1) ( 5 )

8 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 8 Pág. 1 1 Desarrolla los siguientes cuadrados: a) ( + 4) b) ( 5) c) (1 6) d) ( + 4) e) ( 1 ) f) (a + b ) a) b) c) d) = 1 16 ( ) e) = 1 4 ( ) f) a + b + ab Efectúa los siguientes productos: a) ( + 1)( 1) b) ( + )( ) c) ( d) (a + b )(a b ) 1 ) ( + 1 ) a) 1 b) 4 9 c) d) a b

9 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 8 Pág. 1 Epresa en forma de producto. a) 4 5 b) c) d) e) f) a) ( + 5)( 5) b) ( + 4) c) ( + 1) d) ( + 1) e) ( 5) f) ( + 1 ) 4 Simplifica las epresiones siguientes: a) ( )( + ) ( + 4) b) ( 1) ( + 1) c) ( 5) ( ) d) (5 4)( + ) 5 e) ( + 5) ( + 40) f) ( + ) [ + ( ) ] a) 4 4 = 8 b) ( ) ( ) = = 1 c) ( ) ( ) = = d) = e) = 5 f) ( ) [ + ( 6 + 9)] = = Multiplica y simplifica el resultado: a) por 8 b) + 9 c) ( 4) ( + 1) 5 por 8 a) = por 9 b) ( 1) (1 + 4) = = 10 c) ( 4) 4( + 1) 40 = ( ) = = = 0 4

10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 85 Pág. 1 1 Simplifica las fracciones siguientes. Para ello, saca factor común cuando convenga: a) 15 5 ( ) d) 9( + 1) ( + 1) ( + 1) a) b) 1 b) ( 1) 9( 1) e) 5 ( ) ( + ) 15 ( ) c) f) ( ) ( 1) c) (1 ) (5 ) = 1 (5 ) = d) ( + 1)(9 ) ( + 1) = 6( + 1) ( + 1) = e) ( )( + ) = ( 9) = 9 f) ( 1) ( 1) = ( 1) ( 1) = 1 Opera y simplifica. a) + + c) b) d) a) ( ) = = + b) ( + 1) 4 = ( + 1) ( + 1) = ( + 1) ( + 1) = ( + 1) = ( + 1) = c) = ( ) ( + 1) = ( + )( ) 7 + = ( + )( ) 7( + ) + ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) = = ( + )( ) = ( + )( ) d) 5 ( + ) + 5 ( + ) 5 + = 5 ( + ) + = 5 + = 5

11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Efectúa las siguientes operaciones y simplifica. Ten en cuenta las identidades notables: a) 1 c) + 1 e) : ( 1) b) : 1 ( + 1) 1 ( ) : 4 + d) 6 f) 1 : 4 g) ( + 5) h) 6 4 i) j) 18( 1) Pág. a) ( + 1)( 1) : ( 1) = ( + 1)( 1) 1 1 = + 1 b) ( ) : ( + )( ) ( + ) = ( ) + ( + )( ) = 1 c) ( 1) : 1 = ( 1) 1 = 1 d) 6 ( ) = 6( ) = 6 18 e) ( 1) ( + 1) ( + 1)( 1) = f) g) 1 : () ( 1) = ( 1) 1 () = = 1 5( + 5) 10( + 5) = 1 ( + 5) h) = 1 i) 4 () (4 ) = = j) ( 1) 18( 1) = 9 18 = 1

12 Soluciones a las actividades de cada epígrafe 4 Opera y simplifica. a) : ( b) ) ( + 1)(5 5) Pág. a) b) 6 : 5( + ) + 5( ) ( + )( ) ( + )( ) = 6 ( + )( ) ( + )( ) 5( + + ) = = 6 0 = 10 5( + 1) 5( + 1)(5 5) ( + 1)(5 5) 5( + 1)(5 5) 5( + ) 5( + 1)(5 5) = = 5 ( + 1) ( + 1)(5 5) 5 ( + 1) 5( + 1)(5 5) = (5 5) = 1 5 = = (5 5) =

13 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 86 Pág. 1 Epresa y calcula Traducción a lenguaje algebraico 1 Asocia a cada enunciado una de las epresiones algebraicas que aparecen debajo: a) El cuadrado de un número menos su doble. b) El 80% de un número. c) Un número impar. d) Los dos tercios de un número más cinco unidades. + 5; ; 0,8 ; + 1 a) El cuadrado de un número menos su doble 8 b) El 80% de un número 8 0,8 c) Un número impar d) Los de un número más 5 unidades Epresa en lenguaje algebraico empleando una sola incógnita. a) El triple de un número menos dos. b) El producto de dos números consecutivos. c) El cuadrado de un número más su mitad. d) La suma de un número con otro diez unidades mayor. a) El triple de un número menos dos:. b) El producto de dos números consecutivos: ( + 1). c) El cuadrado de un número más su mitad: +. d) La suma de un número con otro diez unidades mayor: + ( + 10). Epresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos: A B C + A Perímetro = ( + ) = + 6 Área = B Perímetro = ( + ) = 6 Área = = C Perímetro = ( + + ) = Área = ( + ) = +

14 Soluciones a Ejercicios y problemas 4 Traduce a lenguaje algebraico utilizando dos incógnitas. a) La suma de los cuadrados de dos números. b) El cuadrado de la diferencia de dos números. c) La mitad del producto de dos números. d) La semisuma de dos números. Pág. a) La suma de los cuadrados de dos números: + y. b) El cuadrado de la diferencia de dos números: ( y). y c) La mitad del producto de dos números:. d) La semisuma de dos números: + y. 5 Si e y son las edades actuales de dos hermanos, epresa los siguientes enunciados utilizando ambas incógnitas: a) La suma de las edades que tenían hace 5 años. b) El producto de las edades que tendrán dentro de 6 años. c) La diferencia entre la edad del mayor y la mitad de la del menor. a) La suma de las edades que tenían hace 5 años: ( 5) + (y 5) = + y 10 b) El producto de las edades que tendrán dentro de 6 años: ( + 6)(y + 6) = y y + 6 c) La diferencia entre la edad del mayor y la mitad del menor: y y si la edad del mayor es si la edad del mayor es y Monomios 6 Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios y di cuáles son semejantes: a) 5y b) ( 7) c) 8 d) (y) e) y f) 4 5 g) y 5 h) 1 a) Grado. b) Grado. c) Grado 1. d) Grado 4. e) Grado 4. f) Grado. g) Grado. h) Grado. Son semejantes: a) y g); b) y f); d) y e).

15 Soluciones a Ejercicios y problemas 7 Calcula el valor numérico de los monomios del ejercicio anterior para = 1 e y =. a) 5 ( 1) = 15 b) [ 7 ( 1)] = 4 c) 8( 1) = 8 Pág. d) [( 1) ] = 9 e) ( 1) = 6 f) 4 5 ( 1) = 4 5 g) ( 1) 5 = 9 5 h) 1 ( 1) = 1 8 Efectúa. a) b) + 7y + y c) y y 5y + y + y a) = b) + 7y + y = + 8y c) y y 5y + y + y = y y 4y 9 Efectúa los siguientes productos de monomios: a) (6 )( ) b) (y )(4 y ) c) ( 4 )( 1 ) d) ( 1 4 y )( z ) a) 6 ( ) = 18 b) (y )(4 y) = 8 y c) ( 4 ) ( 1 ) = 8 6 d) ( 1 4 y ) ( z ) = 8 yz Polinomios 10 Simplifica las siguientes epresiones: a) ( 5 + ) ( + 1) b) 5 ( + 8) ( ) Cuál es el grado de cada polinomio? a) = Grado. b) = Grado. 11 Considera estos polinomios: A = B = C = + 7 Halla: A + B; A C; A B + C A + B = = A C = ( 5 + 1) ( + 7) = = =

16 Soluciones a Ejercicios y problemas A B + C = ( 5 + 1) ( ) + ( + 7) = = = = Pág. 4 1 Efectúa, reduce y di cuál es el grado del polinomio resultante. a) ( 5) ( + ) 7( + 1) b) 5 ( + 1) ( ) c) 1 ( ) a) ( 5) ( + ) 7( + 1) = = = Grado. b) 5 ( + 1) ( ) = = = Grado. c) 1 ( ) = Grado 4.

17 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 87 Pág. 1 1 Opera y simplifica. a) ( + )( 1) ( ) b) ( 5 + )( ) ( ) c) ( ) (6 1) a) ( + )( 1) ( ) = + + = + 5 b) ( 5 + )( ) ( ) = = = c) ( ) (6 1) = = 14 Etrae factor común. a) b) + c) y 4 y + y d) a) = 4( 1) b) + = ( + 1 ) c) y 4 y + y = y(y 4 + y) d) = 1 ( + 5) = Identidades notables 15 Desarrolla estas epresiones: a) ( + 6) b) (7 ) c) ( ) d) ( + 1 ) e) ( y ) f) ( 5 1 y ) a) ( + 6) = b) (7 ) = c) ( ) = d) ( + 1 ) = e) ( y) = + 4y 4y f) ( 5 1 y ) = y 4 15 y

18 Soluciones a Ejercicios y problemas 16 Efectúa estos productos: a) ( + 7)( 7) b) ( + )( ) c) ( + 4)( 4) d) ( + 1)( 1) e) ( 1 1 )( ) f) ( )( 1 1 ) Pág. a) ( + 7)( 7) = 49 b) ( + )( ) = 9 c) ( + 4)( 4) = 9 16 d) ( + 1)( 1) = 4 1 e) ( 1 1 )( ) = f) ( )( 1 1 ) = Simplifica todo lo posible estas epresiones: a) ( + )( ) ( + ) b) ( + ) ( ) 9 c) ( + 1) ( + 1)( 1) d) ( + )( ) ( 1) a) ( + )( ) ( + ) = 9 ( + 9 6) = 6 18 b) ( + ) ( ) 9 = ( ) 9 = = = 9 c) ( + 1) ( + 1)( 1) = ( ) (4 1) = = = d) ( + )( ) ( 1) = 4 4 ( ) = = = 5 18 Transforma en diferencia de cuadrados. a) ( + 7)( 7) b) (4 1)(4 + 1) c) ( + )( ) d) (1 5)(1 + 5) a) ( + 7)( 7) = 4 49 b) (4 1)(4 + 1) = 16 1 c) ( + )( ) = 4 d) (1 5)(1 + 5) = Completa con el término que falta para que cada epresión sea el cuadrado de una suma o el de una diferencia: a) b) + 10 c) d) + 16 a) b) c) d)

19 Soluciones a Ejercicios y problemas Fracciones algebraicas Pág. 0 Simplifica estas fracciones algebraicas: a) 9 1 b) ( + 1) 5( + 1) a) 9 1 = 4 b) ( + 1) 5( + 1) = 5 c) ( + ) c) ( + ) = + 1 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. Para ello, saca factor común: a) 4 b) + c) + ( + 1) d) e) 8 4 ( 1) f) a) 4 = ( 4) = 4 c) + = ( + 1) ( + 1) ( + 1) = + 1 e) 8 4 ( 1) = 4 ( 1) ( 1) = Efectúa. 4 1 a) b) d) 1 + e) a) = b) + = b) + 1 = ( 7) + ( 1) = ( 7) 7 c) = ( 4) + ( + 1) 4 ( 4) ( + ) = + d) + 4 = ( + ) + ( + ) = f) = 5( + 1) ( + 1) = 5 c) f) = = ( 4) d) 1 = ( + ) ( 1)( ) = + 6 ( 4 + ) + ( )( + ) = 9 e) = = 1 + ( 1) + ( 1) 4 4( 1) f) 1 + = ( + 1) 1 + ( + 1) + ( + 1) = = ( 1) = ( + 1) = 8 4 = ( 1) = ( + 1)

20 Soluciones a Ejercicios y problemas Aplica lo aprendido Pág. 4 Epresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos: A y B y C 1 y + 1 A Perímetro = ( + y) = + y Área = y B Perímetro = ( 1 + y) = + y Área = ( 1)y = y y C Perímetro = ( + y + 1) = + y + Área = (y + 1) = y + 4 Epresa como cuadrado de una suma o de una diferencia, como en el ejemplo = = ( + 5) a) b) + 1 c) d) a) = ( 7) b) + 1 = ( 1) c) ( ) = ( + 1) d) = ( + 6) 5 Etrae factor común como en el ejemplo. ( + 1) ( + 1) + ( + 1)( ) = ( + 1)[ + ] = ( + 1)( ) a) ( ) + ( ) ( ) b) ( + 1) ( + ) + ( ) c) ( + ) 6 ( + ) a) ( ) + ( ) ( ) = ( )( + ) b) ( + 1) ( + ) + ( ) = [ + 1 ( + ) + ( )] = ( 7) c) ( + ) 6( + ) = ( + )( 6)

21 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 88 Pág. 1 6 Reduce las siguientes epresiones: a) 6 ( ) b) 1 ( + 6 c) 0 [ ( ) 15 a) 6 ( b) 1 ( + 6 c) 0 [ ( ) ) ( + 1) ] 1 ) = ( ) ( 1) = = = ) = 4( + 6) 6( + 1) + ( 1) = = = ( + 1) ] = ( ) 5( ) + 15 = = = Multiplica cada epresión por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica el resultado. a) b) 4 ( 1) 1 ( + 1) c) ( 5) 9 d) ( ) + a) ( + 1) 6 ( + ) 4 ( + ) = 4 ( ) = ( + ) 4(5 ) ( + 1) = = = 5 1 b) 4 ( 1) 1 ( + 1) = 1 ( 4 ( 1) 1 ( + 1) + 1 6) = = ( 1) 4( + 1) + = = 5 11 c) ( 5) 9 ( + 1) 6 = 18 ( ( 5) 9 ( + 1) 6 ) = ( ) = = ( ) = = =

22 Soluciones a Ejercicios y problemas d) ( ) + ( + ) ( + ) = ( ) = = 4( ) + ( + ) ( ) = = = = 0 4 Pág. 8 Epresa como el cuadrado de una suma o una diferencia o como diferencia de cuadrados. a) b) c) 4 9 d) e) 16 1 f) a) = ( ) b) = ( + 1) c) 4 9 = ( + )( ) d) = ( ) e) 16 1 = (4 + 1)(4 1) f) = (4 + 5) 9 Transforma en producto como en el ejemplo. + + = ( + + 1) = ( + 1) a) 4 b) c) 4 d) a) 4 = ( 4) = ( + )( ) b) = ( ) = ( 1) c) 4 = ( 1) = ( + 1)( 1) d) = ( ) = ( 4) 0 Simplifica. Para ello, transforma en producto el numerador y el denominador. a) + 4 b) c) d) 9 a) e) = ( + ) ( + ) = b) = + 1 ( + 1)( 1) = 1 1 c) = ( ) = 1 d) 9 = ( ) ( + )( ) = + e) = ( + )( ) ( + ) = + f) = ( + + 1) ( + 1) = ( + 1) ( + 1) = ( + 1) f) + + +

23 Soluciones a Ejercicios y problemas 1 Opera, y simplifica si es posible. Pág. a) c) a) + 1 b) + 1 : + 1 ( 1) : = ( + 1) = ( + 1) b) + 1 : + 1 = c) ( + ) ( + 1)( 1) = + 1 ( 1) : = ( 1) 1 ( 1) = ( 1) d) ( + 1) : 1 d) ( + 1) : 1 = ( + 1) 1 = ( + 1) ( + 1)( 1) = 1 Resuelve problemas Epresa algebraicamente: / a) El área del triángulo azul. b) El área del trapecio rojo. l c) La longitud l. Quizá te sea útil recordar el teorema de Pitágoras. a) (/) = 1 b) ( + /) = c) l = + ( ) = 1 9 Epresa algebraicamente el área de la parte coloreada. y A = y ( 4)(y 4) = y (y 4 4y + 16) = 4 + 4y 16 4 Epresa algebraicamente el área y la diagonal mayor de este trapecio: y Área = ( + )y = y Diagonal: y + ()

24 Soluciones a Ejercicios y problemas 5 Epresa algebraicamente el área total y el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son tres números consecutivos. Pág Área: [( + 1)( + ) + ( + 1) + ( + )] = ( ) = Volumen: ( + 1)( + ) = ( + + ) = + + = ( ) = Epresa algebraicamente el área total y el volumen de un cilindro cuya altura mide el doble del radio de la base. R R Área: πr + πr R = πr + 4πR = 6πR Volumen: πr R = πr 7 Epresa algebraicamente el área de este trapecio isósceles: cm cm h cm Altura: h = 9 Área: ( + ) 9 = 9

25 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 89 Pág. 1 Problemas + 8 Adivina el número secreto! Piensa un número cualquiera, multiplícalo por, réstale 10, réstale el número pensado, súmale y dime el resultado. Razona por qué obtengo el número secreto sumando 7 al resultado que me des. Llamamos al número pensado. Multiplícalo por : Réstale 10: 10 Réstale el número pensado: 10 = 10 Súmale : Si al resultado le sumo 7, obtengo. 9 Piensa un número, súmale 7, multiplica el resultado por, resta 4, divide por y dime el resultado. Cómo puedo saber el número que has pensado? Llamamos al número pensado. Le sumamos 7: + 7 Multiplicamos por : + 14 Restamos 4: + 10 Dividimos por : + 5 Si restamos 5 al resultado, obtenemos. 40 Utiliza el lenguaje algebraico para demostrar que los siguientes enunciados son verdaderos: a) La suma de tres números enteros consecutivos es igual al triple del segundo. b) Si al cuadrado de un número impar le restas 1, obtienes siempre un múltiplo de 4. c) Si al cuadrado de un número le resto el producto del número anterior por el número posterior, el resultado es siempre igual a 1. a) Tres números consecutivos son, + 1 y +. Sumamos: = + = ( + 1) Obtenemos el triple del segundo. b) Un número impar es + 1. Su cuadrado: ( + 1) = Le restamos 1: = 4( + ). Obtenemos un múltiplo de 4. c) ( + 1)( 1) = ( 1) = + 1 = 1

26 Soluciones a Ejercicios y problemas 41 Piensa en tres números consecutivos. Resta al cuadrado del mayor el cuadrado del menor. Divide el resultado por el del medio. Obtienes siempre 4! Pág. Justifícalo utilizando el lenguaje algebraico. Tres números consecutivos son ; + 1; + ( + ) = = = 4( + 1) + 1 = 4 4 Observa: 1 + = 4 = = 9 = = 16 = 4 Cuál será el valor de ? Y de n? Epresa con palabras esta propiedad y demuéstrala es la suma de los 10 primeros términos de la progresión 1,, 5, 7 a n = n 1 S 10 = = 100 = n 8 S n = 1 + (n 1) n = n La suma de los n primeros números impares es igual a n. 4 Observa la epresión: (a + b ) = a + a b + ab + b Completa con palabras: El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primero más. Demuéstrala. El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. Demostración: (a + b) = a + ab + b (a + b) = (a + b)(a + b) = (a + b)(a + ab + b ) = = a + a b + ab + ba + ab + b = a + a b + ab + b

27 Soluciones a Ejercicios y problemas Refleiona sobre la teoría Pág. 44 Cuándo se dice que un número es raíz de un polinomio? Comprueba si es raíz de alguno de estos polinomios: P = + 1 Q = 5 7 R = ( )( ) Es 0 raíz de alguno de los polinomios anteriores? Cuando al sustituir por ese número, el valor del polinomio es 0. P = + 1 = = 0 8 es raíz de P. Q = 5 7 = ? 0 8 no es raíz de Q. R = ( ) ( ) = 0 8 es raíz de R. 45 Cuál debe ser el valor de k para que sea raíz del polinomio k? Justifica tu respuesta. Para que sea raíz de ese polinomio, al dar a ese valor el polinomio debe ser igual a 0. Por tanto: ( ) 5 ( ) 7 ( ) + k = k = 0 8 k = Cuál es el resultado de multiplicar una fracción por su inversa? Compruébalo con y su inversa. + El producto de una fracción por su inversa es igual a = ( + ) ( + ) = 1 47 a) Simplifica la epresión (a + 1) (a 1). b) Halla, sin utilizar la calculadora, el valor de: a) (a + 1) (a 1) = (a a) (a + 1 a) = a a a 1 + a = 4a b) = = Averigua cuál debe ser el valor de a, en cada caso, para que las dos epresiones sean idénticas: a) ( + a)( a) + 7 y 9 18 b) ( a) + a 46 y + 18 a) ( + a)( a) + 7 = 9 a + 7 Si 9 a + 7 = a + 7 = 18 8 a = 5 b) ( a) + a 46 = + a a + a 46 = + a 46 Si + a 46 = a 46 = 18 8 a = 64 a = 5 a = 5 a = 8 a = 8

28 Soluciones a Ejercicios y problemas 49 Cuáles de las siguientes epresiones es una identidad? Justifícalo. Pág. 4 a) 9 = b) ( + 1) = + 1 c) ( 5) = 5 a) Es una identidad: 9 = 9 = b) y c) no son identidades. 50 Epresa con palabras cada una de las siguientes relaciones: a) y = y b) ( + 1) = + c) 0 a) La raíz del cociente de dos números es igual al cociente de las raíces de esos números. b) El producto de un número por el que le sigue es igual al cuadrado de ese número más él mismo. c) El cuadrado de un número cualquiera es siempre mayor o igual que 0.

29 Soluciones a Y para terminar PÁGINA 90 Pág. 1 Utiliza tu ingenio De lógica Cinco atletas comentan a su entrenador el resultado de la última carrera: CARMEN: Esta vez he llegado delante de Amaya. AMAYA: Tina ha llegado detrás de Rosa. TINA: ROSA: LUISA: Rosa no ha ganado. Carmen ha llegado la cuarta. Hoy hacía un día estupendo para correr. Cuál ha sido el orden de llegada? Utilizaremos una tabla para ir resumiendo la información: Carmen ha llegado la cuarta. 1.ª.ª.ª 4.ª 5.ª Carmen Esta vez he llegado delante de Amaya. 1.ª.ª.ª 4.ª 5.ª Carmen Amaya Tina ha llegado detrás de Rosa. Rosa no ha ganado. 1.ª.ª.ª 4.ª 5.ª Rosa Tina Carmen Amaya Por tanto: 1.ª.ª.ª 4.ª 5.ª Luisa Rosa Tina Carmen Amaya

30 Soluciones a Y para terminar PÁGINA 91 Pág. 1 Investiga Un triángulo curioso Esta colección de números que se abre indefinidamente hacia abajo tiene multitud de regularidades curiosas, pero, antes que nada, averigua cómo se construye. Podrías completar las casillas vacías? ???? 10??? Suma los números de cada fila y completa la tabla: n n S 1 S 1 S S S 4 S 5 S n S 4 8 S S 4 S 1 S S S 4 S 5 S n S n n Escribe una epresión algebraica para calcular la suma de los términos de la fila enésima, S n. Fíjate en estas tres escaleras de números: n? Observa que: = = =... Cuál es el tercer número de la 6.ª fila? 1 6? Y el de la número 0 (vigésima)? 1 0? Escribe una epresión algebraica para la tercera casilla de la enésima fila: 1 n? Los números de la tercera escalera coinciden con las sucesivas sumas de los primeros números naturales. a 1 = 1 a = 1 + = a = = 6 a 4 = = 10 (1 + 0) 0 Así: a 0 = = = 10 (1 + n) n Y, por fin: a n =

31 Soluciones a la Autoevaluación PÁGINA 91 Pág. 1 Sabes epresar algebraicamente un enunciado? 1 Escribe en lenguaje algebraico: a) Si gasto los 5 de lo que tengo, me quedan 1. b) La mitad del resultado de sumar 5 unidades al triple de un número. a) Tengo 8 5 = 1 b) Número Epresa algebraicamente el área total y el volumen de un prisma de base cuadrada de lado y de 5 cm de altura. 5 Área total = = + 0 Volumen = 5 = 5 Identificas una identidad entre varias epresiones algebraicas? Cuál de las siguientes epresiones es una identidad? Justifícalo. a) ( 1)( + 1) = 4 1 b) ( 1) = 1 c) 8 5 = a) Es una identidad. ( 1)( + 1) = = 4 1 b) No es una identidad. ( 1) = + 1 = 4 + 1? 1 c) No es una identidad. Solo es verdadera si = 1. Operas con polinomios con agilidad y eficacia? 4 Efectúa y reduce: a) ( ) ( )( 1) b) 4 [ ( ) 4 4 ] a) ( ) ( )( 1) = ( 6 + ) = = = + 5 b) 4 [ ( ) 4 4 ] = 4 [ ] = = 16

32 Soluciones a la Autoevaluación 5 Multiplica por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica: 5( 1) ( + 1) Pág. 5( 1) ( + 1) 8 6 [ ] = = 4(5 5) + (7 ) 18( + ) = = Manejas con soltura las identidades notables? 6 Escribe como cuadrado de una suma o de una diferencia: = ( ) 7 Epresa como producto: 9. 9 = (9 1) = ( + 1)( 1) Sabes operar con fracciones algebraicas sencillas? 8 Simplifica: = ( 1) ( 1) = 9 Efectúa: = ( ) + ( + 5) = = 5 + 6