Polinomios y fracciones algebraicas

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1 Polinomios y fracciones algebraicas POLINOMIOS SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN POTENCIAS DIVISIÓN REGLA DE RUFFINI DIVISORES DE UN POLINOMIO FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO TEOREMA DEL RESTO RAÍCES DE UN POLINOMIO FRACCIONES ALGEBRAICAS SIMPLIFICACIÓN OPERACIONES 80

2 Un hombre de principios Días negros y noches largas, estas últimas semanas habían sido especialmente difíciles para Paolo Ruffini. Mientras caminaba en dirección a su casa, pensaba en lo duro que le había sido tomar la decisión de no jurar fidelidad a la bandera de los invasores franceses. Un golpecito en el hombro y la voz amiga de Luigi lo devolvieron a la realidad: Paolo! Qué has hecho? En la universidad no se comenta otra cosa. El responsable político ha asegurado que nunca volverás a sentarte en tu cátedra y que has marcado tu destino; se le veía terriblemente enfadado. Lo pensé durante mucho tiempo y cuando comuniqué mi decisión me he sentido aliviado argumentó Ruffini, plenamente convencido. Pero no has pensado en tu familia o en tu posición? Luigi mostró la preocupación que parecía haber abandonado a Ruffini. Luigi, cuánto darías por un puesto de funcionario? Estaban llegando al mercado y Ruffini se paró en seco. Yo no estoy dispuesto a pagar tanto por la cátedra; si hiciera el juramento, habría traicionado mis principios y mutilado mi alma, mantendría mi cátedra pero el Paolo Ruffini que conoces habría muerto. Ruffini se dedicó por entero a su oficio de médico en los años en que estuvo alejado de la docencia. En la división de polinomios P() : (, calcula el grado del cociente y del resto. El grado del cociente es un grado menor que el grado del polinomio P(), y el grado del resto es cero, pues es siempre un número (un número es un polinomio de grado cero).

3 Polinomios y fracciones algebraicas EJERCICIOS 00 Efectúa la siguiente operación. ( + + ( + ( + + ( Multiplica estos polinomios. P() + Q() P() Q() Si P() + y Q() +, calcula: P( + P( P(0) + Q( P( + P( ( + ) + ( + + ) + 6 P(0) + Q( + ( + + 8) + 00 Cuánto tiene que valer a para que P( 0 si P() +? Son las soluciones de la ecuación + 0 y Realiza las siguientes divisiones de polinomios. Comprueba, en cada una de ellas, el resultado que obtienes. ( 5 5) : ( ( + ) : ( ( + : ( + d) ( 5 + : ( ) ( 5 5) : ( ( + ) : ( ( + : ( + d) ( 5 + : ( ) Cociente + Resto Cociente Resto 6 6 Cociente Resto Cociente + 5 Resto 5 El divisor de una división de polinomios es Q() 7, el cociente es C() y el resto es R(). Calcula el dividendo. P() Q() C() + R() ( 7) ( ) + ( ) ( 5 + ) + ( )

4 SOLUCIONARIO 007 El dividendo de una división de polinomios es P() 5, el cociente es C() y el resto es R(). Cuál es el divisor? P() Q() C() + R() 5 Q() ( ) 5 + Q() ( ) Q() ( 5 + ) : ( ) 008 Determina el cociente y el resto, aplicando la regla de Ruffini. ( + ) : ( ( + 9) : ( ) ( + 0) : ( 5) d) ( 5 + 7) : ( + ) e) ( ) : ( + ) 0 0 C() + ; R() C() + + +; R() 5 d) e) C() ; R() C() ; R() C() ; R() Si dividimos entre +, cuáles serán el resto y el cociente? Podemos aplicar la regla de Ruffini? Cociente: ; Resto: 9 8

5 Polinomios y fracciones algebraicas 00 Calcula el valor de m para que la división sea eacta. ( m + ) : ( ) 0 8 m m m 0 + m 0 + m0 m 0 0 Considerando el polinomio: P() calcula, mediante el teorema del resto, su valor numérico para: e) 5 d) 7 f) Como el resto es, entonces P( Como el resto es 5, entonces P(5) Como el resto es 6, entonces P( 6. d) Como el resto es 0, entonces P(7) 0. e) Como el resto es 0, entonces P() 0. f) Como el resto es, entonces P( 5). 0 Comprueba que se verifica el teorema del resto para P() + si: P() + P( ( ( + 6 8

6 SOLUCIONARIO 0 Cuánto vale a si el valor numérico de P() + a, para, es 0? a a 6 a 6 0 a6 0 Calcula las raíces de estos polinomios. P() + R() 5 6 Q() + d) S() es raíz, + y también raíces. son 0 es raíz doble. No tiene raíces racionales, al probar con los divisores del denominador nunca da cero. d) es raíz. Son las dos raíces del polinomio. 7 es raíz. 05 Cuánto vale a para que sea una raíz del polinomio + a? a a 8 a 8 0 a8 06 Determina a y b para que el polinomio P() a + b tenga como raíces y. a 0 b a a a a b+a a 0 b a a a a b+a Como b a, cualquier par de números que lo cumpla formará un polinomio con esas raíces; por ejemplo, a, y b. 85

7 Polinomios y fracciones algebraicas 07 Obtén, utilizando el triángulo de Tartaglia, el desarrollo de estas potencias. ( + y) 5 ( ) e) ( y) g) ( y ) 5 ( + d) ( ) f) ( y) 5 h) ( + y) Los coeficientes son, 5, 0, 0, 5 y. (+y) y+0 y + 0 y + 5y + y 5 Los coeficientes son,, 6, y. ( Los coeficientes son,, y. ( ) 8 y+ 8 d) Los coeficientes son,, 6, y. ( ) e) Los coeficientes son,, 6, y. ( y) ( ) + ( ) ( y) + 6 ( ) ( y) + ( ) ( y) + + ( y) y+5 y y + y f) Los coeficientes son, 5, 0, 0, 5 y. ( y) 5 ( ) ( ) ( y) + 0 ( ) ( y) + 0 ( ) ( y) ( ) ( y) + ( y) y+0 6 y 0 y y y 5 g) Los coeficientes son, 5, 0, 0, 5 y. ( y ) 5 ( ) ( ) ( y ) + 0 ( ) ( y ) ( ) ( y ) + 5 ( ) ( y ) + ( y ) y y 0 y y 8 y 0 h) Los coeficientes son,, y. ( +y) ( ) + ( ) y+ ( ) (y) + (y) 9 y 7y + 9y 08 Completa el triángulo de Tartaglia hasta la décima fila Cuál es el volumen de este cubo? Volumen: (a+ a + a b+ab + b a + b 86

8 SOLUCIONARIO 00 Halla un divisor de estos polinomios. P() + 6 Q() + R() ( ) es divisor de P(). 0 0 (+ es divisor de Q() ( es divisor de R(). 0 Calcula a para que sea divisor de + +a. a a+ a+ 0 a 0 Son correctos los cálculos? Así, tenemos que: ( (+) Los cálculos no son correctos (+ ( + ) 0 Descompón en factores estos polinomios. P() 8 d) P() P() + + e) P() 5 P() + + f) P() 5 9 P() 8 ( + +) ( ) P() ( + +) (+) P() (+ ( ) d) P() ( + 9 +) (+ ( ) (+) e) P() (+ (+) ( 7) f) P() ( 9) (+) ( ) 87

9 Polinomios y fracciones algebraicas 0 Factoriza los siguientes polinomios y eplica cómo lo haces ( ( ( ( ( ( ( ( (+ ( + 6 ( ( + + (+ ( + 05 Razona si son ciertas estas igualdades. + 9 ( + ) ( + ) ( + [ ( + ] Es falsa, porque (+) (+) Es falsa, porque [ (+] ( Simplifica estas fracciones algebraicas. e) d) f) d) e) f) 6 ( ) ( ) + ( + ) ( ) + ( ( ) + ( ( ( ( ) ( ) ( + ( ( + ) ( + ) 5+ ( ) ( + ( ) ( + ) + (

10 SOLUCIONARIO 07 Encuentra dos fracciones equivalentes y eplica cómo lo haces. Multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador por el mismo factor Pon dos ejemplos de fracciones que tengan polinomios, pero que no sean algebraicas. Dos fracciones con polinomios no son algebraicas cuando el denominador es cero o es de grado cero. + ( ( + ( 7 ( Realiza las siguientes operaciones d) + + : ( ) ( ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + ( + ( + ( ( + ) ( + + d) : ( ( ) ( ) ( + ( ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + 89

11 Polinomios y fracciones algebraicas 00 Opera y simplifica : ( + 6 5) ( + ( + 5 : ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) 5 ( + ) ( ) : ( + ) ( 5 + ) ( + ) ( ) [( ) 5 ] ( + ) ( + ) ( ) 0 Por qué fracción algebraica hay que multiplicar + 7 para que dé? ( 7) ( + ) Hay que multiplicar por ACTIVIDADES 0 Halla el valor numérico del polinomio P() para: 0 e) d) f),5 P(0) P P() () + 5 () 7 () + 8 () 8 d) P( ) ( ) + 5 ( ) 7 ( ) + 8 ( ) 0 e) P( ) ( ) + 5 ( ) 7 ( ) + 8 ( ) 07 f) P(,5) (,5) + 5 (,5) 7 (,5) + 8 (,5),5 90

12 SOLUCIONARIO 0 Razona si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. ( + ) ( ) d) e) + 5 f) 5 5 g) h) ( ) 6 Falsa, ya que +. Verdadera. ( ) Verdadera, pues se verifica que 6. d) Falsa, porque ( ) +. e) Falsa, ya que en la suma de potencias no se suman los eponentes. f) Falsa, pues 6 5. g) Falsa. h) Verdadera. 0 Dados los polinomios: calcula. P() + Q() + R() P() Q() P() Q() d) [P() Q()] R() e) [P() R()] Q() P() Q() 5 + R() P() + Q() + R() P() Q() P() Q() d) [P() Q()] R() ( ) ( ) e) [P() R()] Q() ( ) ( 5 + )

13 Polinomios y fracciones algebraicas 05 Opera y agrupa los términos de igual grado d) d) ( ) + ( ) ( ) Realiza las operaciones que se indican con los siguientes polinomios. P() + Q() R() P() + 6 Q() + R() 5 + P() [Q() R()] [P() [Q() + R()]] P() + Q() R() P() [Q() R()] ( + 6) ( 5 + ) ( [P() [Q() + R()]] [( + 6) ( )] Calcula. ( 7 ) (6 + 7 ) d) 7 ( 5 ) ( + 5) ( 7) e) (5 6 : ) ( ) + (6 5 5 ) : ( ) f) (0 0 ) : (5 ) ( 7 ) (6 + 7 ) 6 ( + 5) ( 7) 9 ( 5) 5 (6 5 5 ) : ( ) 5 : 5 d) 7 ( 5 ) e) (5 6 : ) ( ) f) (0 0 ) : (5 ) 0 : 5 9

14 SOLUCIONARIO Determina el valor de a, b, c y d para que los polinomios P() y Q() sean iguales. P() (a + ) + (9 + Q( ) b d d + d P( ) ( 9 + ( a + ) + Q( ) ( 9 + d + 8 c b + ( a + ) a 5 b + b Efectúa estas operaciones. ( + 5) ( + ) + ( ) ( + 5) [( ) ( )] (8 + 7) d) + 5 e) [ + 6 ( )] (5 0) ( (8 7) d) e) ( Realiza las siguientes divisiones. Cociente: d) Cociente: + + Resto: 6 Resto: Cociente: + Resto: Cociente: Resto: e) Cociente: Resto: 9

15 Polinomios y fracciones algebraicas 0 Halla el polinomio Q() por el que hay que dividir a P() +, para que el cociente sea C() + y el resto sea R() 6 +. Q() [P() R()] : C() ( + 7 ) : ( + ) + 0 Si en una división de polinomios el grado del dividendo es 6 y el del divisor es, cuál es el grado del cociente y del resto? Razona la respuesta. El grado del cociente es la diferencia que hay entre el grado del dividendo y el grado del divisor, y el grado del resto es siempre menor que el grado del divisor. Cociente: grado Resto: grado menor que 0 Realiza, aplicando la regla de Ruffini. ( ) : ( ) ( + ) : ( + ( + + ) : ( ) d) ( 8 + 7) : ( + ) e) ( + 6 9) : ( + ) Cociente: Resto: 0 Cociente: + Resto: Cociente: Resto: d) Cociente: 6 Resto: 5 e) Cociente: Resto: 6 9

16 SOLUCIONARIO 0 Completa estas divisiones y escribe los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto Dividendo: + + Dividendo: + Divisor: + Divisor: Cociente: + Cociente: + + Resto: Resto: 8 d) Dividendo: Dividendo: Divisor: + Divisor: + Cociente: + Cociente: + 8 Resto: Resto: 5 05 Halla el valor de m para que las divisiones sean eactas. ( + m) : ( + ) d) ( (m + + m) : ( + ( m) : ( ) e) ( + m + 0) : ( 5) ( + m : ( 6) m 6 6 m + 6 m m 6 8 m 8 6 m + m + 0 m m m m + 0 m + 68 m m d) (m + 0 m m + m m m + m m 0 m e) m m + 5 5m + 5 m + 5 5m + 7 5m + 5 5m m

17 Polinomios y fracciones algebraicas 06 Obtén el valor de m para que las divisiones tengan el resto indicado. ( m + 7) : ( + Resto (m m + 8m) : ( ) Resto m m m + 7 m + 0 m + 0 m 8 m m 0 8m m m m m m m m m m m 07 HAZLO ASÍ CÓMO SE APLICA LA REGLA DE RUFFINI CUANDO EL DIVISOR ES DEL TIPO (a? Efectúa esta división por la regla de Ruffini. ( + ) : ( 6) PRIMERO. Se divide el polinomio divisor, a b, entre a. ( ( 6) : + ) : ( 6) ( + ) : ( ) SEGUNDO. Se aplica la regla de Ruffini con el nuevo divisor. C() + 5 TERCERO. El cociente de la división inicial será el cociente de esta división dividido entre el número por el que se ha dividido el divisor inicial. Cociente: 5 El resto no varía. Resto:. : Calcula, utilizando la regla de Ruffini, las siguientes divisiones. ( 5 + : ( + ) ( 5 + ) : (5 0) ( 5 ( + ) : + : ( + ) ( 5 + : ( + ) Cociente: + : Resto: ( 5 (5 0) : 5 + ) : (5 0) ( 5 + ) : ( ) Cociente: + Resto: :

18 SOLUCIONARIO 09 Utiliza el teorema del resto para calcular estos valores numéricos. P() + 7, para P() , para P(), para d) P() +, para 7 P( P( ) P( d) P() HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA EL RESTO DE LAS DIVISIONES CON DIVISOR ( a )? Calcula, sin realizar la división, el resto de: ( + : ( ) PRIMERO. Se calcula el valor numérico del dividendo cuando toma el valor del término independiente del divisor, cambiado de signo. P() + + SEGUNDO. Según el teorema del resto, este es el resto de la división. El resto que obtenemos al efectuar la división es R. 05 Calcula el resto sin hacer las divisiones. ( ) : ( ) ( ) : ( + ( + 7 9) : ( ) d) ( ) : ( + ) P() Resto: 6 P( ( ( + 6 ( + Resto: P() Resto: 57 d) P( ) 5 ( ) + 7 ( ) ( ) + Resto: 97

19 Polinomios y fracciones algebraicas 05 Halla el resto de esta división. ( 00 + : ( + P( ( 00 + Resto: 05 Responde razonadamente si es verdadero o falso. Si P( ) 0, entonces P() 0. Si el resto de P() : ( + ) es, resulta que P() 0. Falso, por ejemplo, en P() +, P( ) 0 y P(). Falso. Al ser el resto, sabemos que P( ), pero no nos aporta más información. 05 Comprueba si y son raíces del polinomio P() Como P() 60, no es raíz. Como P() 0, es raíz del polinomio. 055 Comprueba que una raíz de P() es. Como P( 0, es raíz del polinomio. 056 Calcula las raíces de estos polinomios e) f) + + g) d) h) + Raíces:,, e) Raíces:, Raíces: 0,, f) Raíces:, 0 Raíz: g) Raíces: 0, d) Raíces:,, h) Raíz doble: 057 Observando el dividendo y el divisor, señala cuáles de estas divisiones no son eactas. ( + 7 8) : ( + ) ( 9) : ( 5) ( + 5) : ( 7) d) ( : ( + ) Puedes asegurar que las otras divisiones son eactas? No son eactas las divisiones de los apartados, y d). Sin hacer más operaciones no es posible asegurar si la división del apartado es eacta o no. 98

20 SOLUCIONARIO 058 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA UN POLINOMIO, CONOCIDAS SUS RAÍCES Y EL COEFICIENTE DEL TÉRMINO DE MAYOR GRADO? Escribe el polinomio cuyas raíces son,, y, y el coeficiente del término de mayor grado es 5. PRIMERO. Los divisores del polinomio buscado serán de la forma (, donde a es cada una de las raíces. Los divisores del polinomio serán: (, ( ) y ( + ) SEGUNDO. Se efectúa el producto de los monomios, multiplicando cada uno tantas veces como aparece la raíz. ( ( ( ) ( + ) TERCERO. Se multiplica por el coeficiente del término de mayor grado. P() 5 ( ( ( ) ( + ) P() Qué polinomios tienen estas raíces y coeficientes de mayor grado?,, y coeficiente. (raíz doble) y coeficiente., y coeficiente. P() ( ( + ) ( ) P() ( ) P() ( + ) ( + ) 5 6 Efectúa. ( + ) ( ) d) ( ) d) Desarrolla las siguientes potencias. ( + + ) ( ( + ) d) d)

21 Polinomios y fracciones algebraicas 06 Efectúa y reduce términos semejantes. ( + ) + ( ) (5 6) + ( ( ) ( + ) d) ( + 5) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) Indica si las igualdades son verdaderas o falsas. Razona la respuesta. (6 + 5) (6 + 5) (6 + 5) (6 + 5) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (6 ( 5) d) ( ) 8 ( e) (8 + ) ( + (6 + 5) [(6 + 5) ] (6 + 5) (6 + 5) Falsa ( + ) [( + ) ] ( + ) ( + ) Verdadera Verdadera d) ( ) ( Verdadera e) () ( + ( + Falsa 06 Señala cuáles de los siguientes polinomios son el cuadrado de un binomio, e indícalo d) e) f) (5 7) d) ( ) ( ) e) No es el cuadrado de un binomio. ( + ) f) No es el cuadrado de un binomio. 065 Añade los términos necesarios a cada polinomio para que sea el cuadrado de un binomio. 5 + d) e) f) ± 0 + d) ± e) f)

22 SOLUCIONARIO 066 Descompón en factores los siguientes polinomios, sacando factor común. 8 d) e) f) ( d) ( ) (9 + 7) e) ( + 7) ( + ) f) ( 067 Factoriza estos polinomios, aplicando las igualdades notables. + + d) e) f) ( + d) ( + ) ( ) ( + 5) e) ( + ) ( ) ( ) f) ( ) 068 Factoriza los siguientes polinomios e) + + f) g) + 0 d) + h) ( + ) ( + ) e) ( ) ( ( + ) ( ) ( + ) f) ( 5) ( ( + ( + ) ( + 8) g) ( + ) ( ) ( + 5) d) ( + 6) ( ) h) No es posible 069 Descompón factorialmente. + 6 e) + f) g) d) + + h) No es posible ( + ( ( ) d) ( + ) e) ( + ) ( ( ) f) ( + ) ( 5 + g) ( + ) h) ( + 0

23 Polinomios y fracciones algebraicas 070 Escribe como producto de factores ( + ( ) d) ( ) [( + + ( )] [( + ( )] (6 ) ( + ) ( ( + ) d) [( ) + ] [( ) ] ( + ) ( 6) 07 Escribe tres polinomios de grado y otros tres de grado, que sean divisores de: P() + 0 P() 6 7 P() ( + 6)( 5) Grado : Grado : P() ( + ( 7) Grado : Grado : Indica cuáles de las siguientes epresiones son fracciones algebraicas. Son fracciones algebraicas las epresiones de:,, d), f) e i). 0

24 SOLUCIONARIO 07 Escribe tres fracciones algebraicas equivalentes a: + e) + 6 d) f) d) e) f) ( ) ( ( + ) ( ) ( ) ( + 0) ( + ) Averigua si los siguientes pares de fracciones algebraicas son equivalentes y y y d) y Solo es equivalente el par de fracciones del apartado. 075 Halla el valor de P() para que las fracciones sean equivalentes. + P( ) P( ) d) + P( ) P( ) ( + ( ) P( ) ( + ( ) ( ) ( + ) P( ) ( ) ( + + ( ) P( ) 6 + d) P( ) ( 0) ( + + 0)

25 Polinomios y fracciones algebraicas 076 Cuánto debe valer a para que las fracciones algebraicas sean equivalentes? 5 5 a a a d) + a a0 a7 Sin solución d) a Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. 8 6 yz 8y z ( ) ( y ) d) ( ) ( y ) 6 8 yz 8y z y ( ) ( y ) d) 6 ( ) ( y ) y Simplifica estas fracciones algebraicas. + + e) f) g) d) h) e) f) g) d) h) 0 + ( )( + ) ( ) 0

26 SOLUCIONARIO 079 HAZLO ASÍ CÓMO SE REDUCEN FRACCIONES ALGEBRAICAS A COMÚN DENOMINADOR? Reduce a común denominador estas fracciones algebraicas. PRIMERO. Se factorizan los denominadores. ( + ) ( ) + + ( + ) SEGUNDO. Se calcula el mínimo común múltiplo, que estará formado por los factores comunes y no comunes elevados al mayor eponente. m.c.m. (,, + + ) ( + ) ( ) TERCERO. Se divide el denominador entre el m.c.m., y el resultado se multiplica por el numerador. 8 8 ( + ) + + ( + ) ( ) ( + ) ( ) 6 ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) Las tres fracciones algebraicas tienen el mismo denominador: ( + ) ( ). 080 Calcula el mínimo común múltiplo de estos polinomios., 0 y, y 9 + 5, + 5 y d) +, y + e), y + f) + +, y ( + ) ( ) ( + 5) d) ( + ( e) ( + ( f) ( + ( ( ) ( ) 05

27 Polinomios y fracciones algebraicas 08 Opera y simplifica ( + 5 ( + ) ( ) ( + ) ( + ) + ( 5+ ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) + 6+ ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 08 Realiza estas operaciones y simplifica d) d) ( ( + ( + ( ) ( ) ( + ( + ( ( + ( 5 ( ( ) ( + ( ) ( ) ( + ( ( + ( ( + ) 6 ( ) ( ) 6 ( + ) 6 ( + ) ( ) + ( + ) + + ( ) ( ) ( ) ( + ( ( + ( 06

28 SOLUCIONARIO Efectúa las operaciones d) ( + ) ( ) + 9 ( ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + 5) ( + 5) ( 5) ( + 5) d) ( 5) ( + 5) + 5 Realiza los productos de fracciones algebraicas y simplifica el resultado ( ) ( ) ( 7) ( + ) ( ) ( 7) ( + ) ( + 8) ( + 5) ( ) ( + 8) ( + 5) ( ) ( + 5) ( + ( ) ( + ( + ) ( + ) ( + 5) ( 8) ( + ) ( + ) ( 8) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ( ) ( Efectúa estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica el resultado. + + : : : + + ( ( + ( + ( ( + ) : ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ( + ) + + : ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) : ( + ) 07

29 Polinomios y fracciones algebraicas Efectúa las siguientes operaciones : : + + d) ( + ) ( ) + ( ) : ( ) ( ) + + ( + ( ( ) ( ) ( + ( ( + ( + + : ( + + ( + ( d) ( + ( ( + ( La torre de una iglesia es un prisma de base cuadrada y de altura 5 m mayor que la arista de la base. Epresa, en lenguaje algebraico, cuánto miden su superficie lateral y su volumen. Calcula los valores numéricos de la superficie y del volumen para una arista de la base de 5, 6 y 7 m, respectivamente. Arista: Altura: +5 A lateral (+5) + 60 V (+5) ( ) 0 + ( ) ( ) ( ( ( ( ( + + ( ( + + ( + + ( + ( 5 m 6 m 7 m A lateral m 50 m 66 m V m 756 m.078 m ( + ( 08

30 SOLUCIONARIO 088 La página de un libro mide el doble de alto que de ancho, y los márgenes laterales miden cm, y los márgenes superior e inferior, cm. Epresa la superficie total de la página en lenguaje algebraico. Haz lo mismo con la superficie útil de papel (lo que queda dentro de los márgenes). Ancho: Ancho: Alto: Alto: 6 A A ( ) ( 6) Mandamos construir un depósito de agua con forma cilíndrica, siendo el área de la base la quinta parte del cubo de la altura. Epresa el volumen del depósito. Cuántos metros cúbicos de agua caben si la altura mide m? Altura: A base V ( 0, m 5 5 V El diámetro de la base de un silo cilíndrico mide de la longitud de la altura. Epresa la capacidad del silo en función del diámetro de su base. Queremos pintar el silo y empleamos kg de pintura por cada metro cuadrado. Calcula cuántos kilogramos de pintura necesitamos si el diámetro de la base mide m. Diámetro: Altura: Diámetro: Altura: Alateral π π Necesitamos 6,75 kg de pintura. V π π A lateral π 6, 75 m 09

31 Polinomios y fracciones algebraicas Si el resto de la división de un polinomio P() entre ( ) es, y entre (+) es, cuál será el resto de la división de P() entre ( )? Como el resto de P() entre ( ) es : P() ( ) A() + Como el resto de P() entre ( + ) es : P() ( + ) B() + Por el teorema del resto: P() Sustituyendo en la segunda igualdad: P() ( + ) B() + B() Como el resto de B() entre ( ) es B() ( ) C() + Y sustituyendo: P() ( + ) B() + ( + ) [( ) C() + ] + ( + ) ( ) C() + ( + ) + ( ) ( + ) C() + ( + 8) El resto de dividir P() entre ( ) es + 8. Cuál es el resto de la división de entre (+? El resto es P( Demuestra que el triángulo ABC es rectángulo para cualquier valor de C A + 6 ( + ) + (5 + 0) ( + 5 ) ( + ) ( + ) ( + 6) Se cumple el teorema de Pitágoras para cualquier valor de, y el triángulo es equilátero. B 09 Calcula el perímetro y el área de la figura, epresando los resultados mediante polinomios. + 5 m 0 m 50 m + 0 m 5 60 m 5 m 50 m 0

32 SOLUCIONARIO 5 Perímetro m D E C A B 5 5 AA ( ) m A B m A C m A D 0 ( + (0 + 0) m A E ( + 0) (50 5) (0 55) m A A A + A B + A C + A D + A E m 095 Encuentra los valores de A, B y C para que se cumpla la igualdad. (A 7) (5 + B) C 6 (A 7) (5 + B) 5A + (AB 5) 7B (A 7) (5 + B) C 6 7B B B AB 5 6 A 9 A 9 C 5A C Halla un polinomio de segundo grado que sea divisible por ( y que, al dividirlo entre ( + y entre ( ), se obtenga como resto 0 y 5, respectivamente. P() A + B + C P( A + B + C 0 B 5 P( A B + C 0 P() A + B + C 5 A + C 5 B 5 0 A y C P( A B + C 0 A + C P( ) 5 + B 5 5

33 Polinomios y fracciones algebraicas 097 EN LA VIDA COTIDIANA Dentro de los proyectos de conservación de zonas verdes de un municipio, se ha decidido instalar un parque en el solar que ocupaba una antigua fábrica. Disponemos de una superficie cuadrada de 00 metros de lado. Podríamos dividir el parque en tres zonas. El parque tendrá tres áreas delimitadas: la zona de juego, la zona de lectura, que rodeará a la zona de juego, y el resto, que se dedicará a la zona de paseo. Aún no han hecho mediciones, pero los técnicos han determinado que la zona dedicada a los juegos sea cuadrada y su lado medirá 0 metros. Qué epresión nos da el área de la zona para pasear? Y el área de la zona de lectura? Si deciden que la zona de paseo tenga un ancho de 0 metros, cuáles serán las áreas de cada zona? A juego m A lectura (00 ) A paseo 00 (00 ) 00 A juego m A lectura (00 0) m A paseo m

34 SOLUCIONARIO 098 Al recoger el correo, Ana ha recibido la factura de su consumo de luz en los dos últimos meses. Cómo han hecho las cuentas en esta factura? Ana le pide ayuda a su hermano y ambos se disponen a analizar la factura con detalle. Aparecen varias variables: la potencia, p, contratada,, kw cada mes; el consumo, c, 7 kwh. No olvides los precios de cada variable y los impuestos. FACTURACIÓN Potencia... 58,9 cent. Consumo... 8,99 cent. Alquiler cent. Impto. electricidad IVA Con esta información, escriben un polinomio:,6 [,09 (p+cy) + z] siendo el importe de la potencia al mes, y el importe de la energía consumida y z el importe mensual del alquiler. Ahora comprenden por qué la factura ha sido de 9,8. Comprueba el importe. Deciden bajar la potencia a,5 kw y el consumo aumenta a 5 kwh. Cuánto tendrán que pagar en la factura de los dos próimos meses? Importe,6 [,09 (p+cy) + z],6 [,09 (, 58,9 + 8,99 7) + 57].98,8 céntimos 9,8 El importe de la factura de los dos próimos meses es:,6 [,09 (p+cy) + z],6 [,09 (,5 58,9 + 8,99 5) + 57] 5.,9 céntimos 5,