Polinomios y fracciones

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1 BLOQUE II Álgebra 3. Polinomios y fracciones algebraicas 4. Resolución de ecuaciones 5. Sistemas de ecuaciones 6. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

2 3 Polinomios y fracciones algebraicas. Binomio de Newton Desarrolla mentalmente: a) ( + ) b)( ) c) ( + )( ) P I E N S A Y C A L C U L A a) + + b) + c) Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( + ) 3 A P L I C A L A T E O R Í A y 5 4 y 5 3 y 3 5 y y 5 + y Halla el término séptimo en el desarrollo de: ( y) 0 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( ) Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( + y) y y + 0 y 3 + 5y 4 + y 5 4 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( y) 6 Como se pide el término 7, r = 6 0 T 7 = T 6 + = ( ) 6 ( ) ()4 y 6 = y Calcula el término en el que el grado de es en el desarrollo de ( ) + T r+ = ( ) r ( ) r = r ( r ) Luego r = ò r = 5 El término que se pide es: T 6 = T 5+ = ( ) = 79 5 r 4 SOLUCIONARIO

3 . Teorema del resto y del factor Calcula mentalmente el valor del polinomio P() = para los valores siguientes: a) = 0 b) = a) P(0) = 9 b) P() = P I E N S A Y C A L C U L A 7 Calcula P() : Q(), siendo: P() = Q() = C() = R() = Halla P() : Q() por Ruffini, siendo: P() = Q() = + 3 C() = 3 R() = 8 9 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P() = a) Para = b) Para = a) P() = b) P( ) = 6 0 Cuál de estos números: o es raíz del polinomio P() = ? P() = 0 ò = es raíz de P() P( ) = 96 π 0 ò = no es raíz de P() Halla, sin hacer la división, el resto de dividir: P() = entre 3 Resto = P(3) = 3 3 Comprueba mentalmente, y sin hacer la división, que el polinomio P() = es divisible entre Resto = P() = 0 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5 ( 4 + k 6 + ) : ( + ) Por el teorema del resto: P( ) = 5 ò k + 9 = 5 ò k = 4 4 Halla el valor de k para que el polinomio P() = k + 8 sea divisible entre Por el teorema del factor: P() = 0 ò k 4 = 0 ò k = A P L I C A L A T E O R Í A TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 5

4 3. Factorización de polinomios Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) + b) c) d) 4 P I E N S A Y C A L C U L A a) ( + ) b) ( + 3) c) ( ) d) ( + )( ) Raíces: Raíces: Raíces: Raíces: = 0, = = 3 = =, = 5 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios: a) + 5 b) 9 c) + + d) a) ( + 5) b) ( + 3)( 3) c) ( + ) d) ( 3) 6 7 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) 3 4 b) 3 + c) 4 5 d) a) ( + )( ) = 0, =, 3 = b) ( ) = 0, = 3 = c) ( + 5)( 5) = = 0, 3 = 5, 4 = 5 d) ( + 3) = 0, = 3 = 3 Factoriza los siguientes polinomios y calcula sus raíces: a) b) c) d) a) ( )( + )( 3) =, =, 3 = 3 b) ( ) ( 3) = =, 3 = 3 c) ( + )( ) ( + 3) =, = 3 =, 4 = 3 d) ( + )( )( 3)( 5) =, =, 3 = 3, 4 = 5 8 Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces: a) =, = 3 b) =, = 0 c) =, =, 3 = 3 d) = 0, = 3 =, 4 = 3 a) ( + )( 3) = 3 b) ( ) = c) ( + )( )( 3) = d) ( ) ( + 3) = A P L I C A L A T E O R Í A Halla el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a) P() = Q() = b) P() = 4 Q() = c) P() = 4 3 Q() = SOLUCIONARIO

5 d) P() = Q() = a) P() = ( ) ( ) Q() = ( ) M.C.D.(P(), Q()) = m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( ) b) P() = ( )( + ) Q() = ( + ) ( 3) M.C.D.(P(), Q()) = + m.c.m. (P(), Q()) = ( )( + ) ( 3) c) P() = ( + )( ) Q() = ( + ) ( 3) M.C.D.(P(), Q()) = ( + ) m.c.m. (P(), Q()) = ( + ) ( )( 3) d) P() = ( ) ( + 3) Q() = ( ) ( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( ) m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( )( + 3) 4. Fracciones algebraicas Factoriza mentalmente el numerador y el denominador, y simplifica la siguiente fracción: ( + ) ( + ) = = ( + )( ) P I E N S A Y C A L C U L A 0 Descompón mentalmente en factores el numerador y el denominador, y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) b) a) 0 + b) + A P L I C A L A T E O R Í A ( ) a) = 3( ) 3 ( ) b) = ( + )( ) + Calcula: a) b) 4 Completa para que se verifique la igualdad: + 4 a) = 3 b) = a) ( ) + 3 b) 4 TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 7

6 3 Efectúa: + a) + b) a) b) a) ( )( ) b) 5 Opera y simplifica: 4 4 a) ( ) + b) ( + ) : ( ) Calcula: + 3 a) : + b) + : ( + ) a) b) ( + ) 8 SOLUCIONARIO

7 Ejercicios y problemas. Binomio de Newton 6 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( y) y + 6y y 3 7 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( + ) Teorema del resto y del factor 3 Calcula P() : Q(), siendo: P() = Q() = C() = + R() = Calcula P() : Q(), siendo: P() = Q() = 3 + C() = R() = Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( + y) y y y y y y 6 9 Halla el término octavo en el desarrollo de: ( ) y Como se pide el término 8, r = 7 y 99 T 8 = T 7 + = ( ) 7 ( ) 5 ( ) 7 = 5 y Halla el coeficiente de 5 en el desarrollo de: ( 3 ) T r+ = ( ) r ( ) (3)7 r = ( ) r ( ) 37 r 7 r r r r Luego 7 r = 5 ò r = El término que se pide es: 7 T = T + = ( ) (3)6 = Calcula P() : Q() por Ruffini, siendo: P() = Q() = 3 C() = R() = 8 Halla P() : Q() por Ruffini, siendo: P() = Q() = + C() = R() = 4 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio, para los valores que se indican: P() = a) Para = b) Para = a) P() = 9 b) P( ) = 3 Halla si los valores 5 y 3 son raíces del siguiente polinomio: P() = P(5) = 0 ò = 5 es raíz de P() P(3) = 4? 0 ò = 3 no es raíz de P() TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 9

8 Ejercicios y problemas 37 Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P() = entre + 3 Por el teorema del resto: Resto = P( 3) = Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 3 ( 4 + k 3 k + 5) : ( ) Por el teorema del resto: P() = 3 ò 6k + = 3 ò k = 4 a) 4(4 ) = 4( + )( ) = 0, = /, 3 = / b) ( + ) = = 0, 3 = 4 = c) ( + 3)( 3) = = 0, 3 = 3, 4 = 3 d) ( + 3) = 0, = 3 = 3 39 Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P() = es divisible entre + 3 Por el teorema del factor: Resto = P( 3) = 0 40 Halla el valor de k para que el polinomio P() = 3 k + 6 sea divisible entre + Por el teorema del factor: P( ) = 0 ò 4k 4 = 0 ò k = 6 3. Factorización de polinomios 4 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios: a) 5 b) c) 4 + d) a) ( 5)( + 5) b) ( 4) c) ( ) = ( + ) ( ) d) ( + 5) 4 Factoriza mentalmente los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) b) c) 4 8 d) Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces: a) b) 3 3 c) d) a) ( 3)( + ) = 3, = 3 = b) ( + )( 3) = 0, =, 3 = 3 c) ( )( ) ( + 3) =, = 3 =, 4 = 3 d) ( ) ( ) = = 0, 3 = 4 =, 5 = 44 Halla un polinomio que tenga las siguientes raíces: a) =, = 3 b) =, = c) =, =, 3 = 3 d) = 0, =, 3 = 4 = a) ( )( + 3) = + 6 b) ( + )( ) = + 30 SOLUCIONARIO

9 c) ( + )( )( 3) = d) ( )( ) = Halla el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a) P() = 3 4 Q() = b) P() = + 3 Q() = 3 + c) P() = Q() = 3 + d) P() = Q() = a) P() = ( ) Q() = ( + )( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( ) m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( + ) b) P() = ( )( + 3) Q() = ( )( ) M.C.D.(P(), Q()) = m.c.m. (P(), Q()) = ( )( )( + 3) c) P() = ( )( 3) Q() = ( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( ) m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( 3) d) P() = ( ) ( ) Q() = ( )( ) M.C.D.(P(), Q()) = ( )( ) m.c.m. (P(), Q()) = ( ) ( ) 4. Fracciones algebraicas 46 Descompón mentalmente en factores el numerador y el denominador y simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) ( + ) b) 4 c) 4 9 d) 3 ( + ) + a) = ( + )( ) b) = ( ) ( + 3)( 3) c) = (3 + ) d) = Calcula: 8 a) + b) c) d) + 4 ( ) a) b) ( + 3)( 3) c) d) ( ) 48 Efectúa: a) 4 b) 3 a) ( + ) b) Calcula: a) 3 : b) : 3 3 a) 4 ( + 3) b) 4 50 Opera y simplifica: 3 + a) ( + ) b) ( ) + ( ) : a) 3 b) ( ) TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 3

10 Ejercicios y problemas Para ampliar Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( ) + 5 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( ) 4 Halla el término séptimo en el desarrollo de: ( + y) y y y y 3 y 4 y Como se pide el término 7, r = 6 3 T 7 = T 6 + = ( ) ( ) 5 y 6 = 5 y El término que se pide es: 5 T 5 = T 4+ = ( ) ( ) 4 = Halla un polinomio que al ser dividido entre: se obtenga de cociente + 3 y de resto ( )( + 3) = = Observando las gráficas siguientes, halla las raíces de los polinomios: P() = + 4 Q() = Y y = + 4 X Halla el término decimosegundo en el desarrollo de: ( ) 5 Como se pide el término, r = T = T + = ( ) ( ) ()4 ( ) = 8 7 Calcula el coeficiente del término que tiene grado 9 en el desarrollo de: ( ) T r+ = ( ) ( ) r 5 r ( ) r = ( ) ( ) r r 5 + r r r Luego 5 + r = 9 ò r = 4 Y y = Las raíces de P() son: = 4, = 0 Las raíces de Q() son: =, = 5 58 Halla el valor de k para que el polinomio P() = k + 3 sea divisible por + 3 Por el teorema del factor: P( 3) = 0 ò 0 3k = 0 ò k = 34 X 3 SOLUCIONARIO

11 59 Halla el valor de k para que el resto de la división del polinomio P() = 3 + k entre sea 3 Por el teorema del resto: Resto = P() = 3 ò k + 4 = 3 ò k = 60 Di si son eactas las siguientes divisiones sin hacer la división: a) ( 4 ) : ( + ) b) ( 5 3) : ( + ) a) Resto = ( ) 4 = 0 ò Es eacta. b) Resto = ( ) 5 3 = 64 ò No es eacta. Factoriza los siguientes polinomios y halla sus raíces: ( )( )( + + ) Las raíces reales son: =, = ( + ) ( ) = =, 3 = 4 = ( ) ( + )( 3) = =, 3 =, 4 = ( + )( ) 3 =, = 3 = 4 = Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: ( + ) ( )( + 3)( + ) Las raíces reales son: =, = ( )( + )( 4) =, =, 3 = ( + ) TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 33

12 Ejercicios y problemas Efectúa las operaciones siguientes y simplifica los resultados: ( ) ( : ) ( )( + ) : ( + ) 3 ( + ) ( ) : ( + ) ( : + ) ( + ) ( : 3 ) ( ) SOLUCIONARIO

13 Problemas 83 Calcula los valores de m y n para que el polinomio: P() = m 3 + n sea divisible por + y Por el teorema del factor: P( ) = 0 ò m + n + 3 = 0 P() = 0 ò 4m + n + 8 = 0 Resolviendo el sistema: m = 5, n = 84 Calcula los valores de m y n para que el polinomio: P() = 4 + m n 4 sea divisible por + y 3 Por el teorema del factor: P( ) = 0 ò 8m n = 0 P(3) = 0 ò 7m + 3n + 75 = 0 Resolviendo el sistema: m = 5, n = 0 85 Escribe un polinomio cuyas raíces sean los valores,, 5 ( )( + )( 5) = Escribe dos polinomios P() y Q() tales que: M.C.D.(P(), Q()) = P() = Q() = ( ) 87 Escribe dos polinomios P() y Q() tales que: m.c.m.(p(), Q()) = ( )( ) P() = ( ) Q() = Escribe en forma de polinomio en una variable cada uno de los enunciados siguientes: a) El cubo de un número menos el cuadrado del número, más 4 unidades. b) El área de un rectángulo cuya base mide 5 unidades más que la altura c) El área de un triángulo cuya altura mide unidades menos que la base a) P() = b) A() = ( + 5) = + 5 ( ) c) A() = = Dos números suman 8 unidades. Escribe el polinomio que epresa el producto de dichos números en función del número menor P() = (8 ) = 8 Dados dos números enteros consecutivos, escribe el polinomio que epresa en función del número menor : a) la suma de los números. b) el producto de los números. a) S() = + + = + b) P() = ( + ) = + Dado el rombo siguiente, halla su área en función de 4 A() = = + TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 35

14 Ejercicios y problemas 9 Escribe el polinomio que da el área de un triángulo equilátero en función del lado 3 3 h A() = Escribe el polinomio que epresa la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función de 3 (00 ) A() = ( ) En una cartulina cuadrada de 60 cm de lado se recorta un cuadrado de lado en las esquinas, para construir una caja sin tapa. Escribe el volumen de la caja en función de 60 cm 60 cm Para profundizar Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 96 4 y 6y 3 3y V() = (60 ) = Con una cartulina como la de la figura, se construye un cilindro sin tapas. Escribe: a) el área lateral del cilindro en función de b) el volumen del cilindro en función de 97 ( + y) 98 4y 4 8 y a a + a b b a b (a + ) a) A() = = 3 b) V() = π ( ) = 95 π π Se divide un alambre de 00 m de longitud en dos trozos, y se forman el triángulo equilátero y el cuadrado siguientes. 99 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: y + y y + y y y 36 SOLUCIONARIO

15 ( + y) 0 ( + y ) y 0 y + y y( y) + y 8y 3 y y y y y 4y ( + y)( y) y + y y + y + y y y TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 37

16 Aplica tus competencias 05 Halla el polinomio que define un movimiento uniformemente acelerado en el que: a = 4 m/s, v 0 = 5 m/s y e 0 = m e(t) = 4t + 5t + e(t) = t + 5t + 06 Halla el monomio que define el movimiento de un cuerpo que se deja caer en el vacío en el que: a = 9,8 m/s, v 0 = 0 m/s y e 0 = 0 m e(t) = 9,8t e(t) = 4,9t 38 SOLUCIONARIO

17 Comprueba lo que sabes Enuncia el teorema del resto y pon un ejemplo. El resto que se obtiene al dividir el polinomio P() entre el binomio a es el valor numérico del polinomio para = a R = P(a) Ejemplo Halla el resto de la siguiente división: P() = entre + 3 Resto = P( 3) = ( 3) 3 5 ( 3) + 7 = = = 5 Desarrolla el siguiente binomio aplicando la fórmula de Newton: ( 3) Halla el coeficiente de en el desarrollo de: ( + ) 8 T 8 r + = ( ) ( ) 8 r r r Luego 6 r + r = ò 6 r = ò r = 4 El término que se pide es: T 8 5 = T 4 + = ( ) ( ) = Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: P() = = ( + )( ) Raíces: = ; = 5 Halla el M.C.D. y el m.c.m. de los polinomios siguientes: P() = 3 4, Q() = 3 + P() = 3 4 = ( 4) = ( + )( ) Q() = 3 + = ( + ) M.C.D.(P(), Q()) = ( + ) m.c.m.(p(), Q()) = ( + )( ) Efectúa la operación siguiente y simplifica el resultado: ( 3 ) Calcula el valor de k para que el polinomio P() = = k + 6 sea divisible por ( + ) Por el teorema del factor: P( ) = 0 ( ) 3 3( ) + ( )k + 6 = 0 8 k + 6 = 0 4 k = 0 k = 7 Dado el cilindro inscrito en el cono de la figura siguiente, halla el polinomio que epresa el volumen del cilindro en función del radio Se tiene: 0 0 h = ò h = (5 ) 5 5 El volumen es: V() = π (5 ) = 0π π 3 h h 5 TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 39

18 Linu/Windows Paso a paso 07 Desarrolla: ( + ) 4 Resuelto en el libro del alumnado. 08 Divide P() = entre Q() = Resuelto en el libro del alumnado. 09 Halla el valor numérico del polinomio P() = para = Resuelto en el libro del alumnado. 0 Factoriza: Resuelto en el libro del alumnado. Calcula: Resuelto en el libro del alumnado. Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: + Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 3 ( 3 + k 0) : ( ) Resuelto en el libro del alumnado. 3 Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica 4 Desarrolla el siguiente binomio: ( + y) y y + 0 y 3 + 5y 4 + y 5 6 Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P() = a) Para = b) Para = 5 Calcula P() : Q(), siendo: P() = Q() = C() = R() = a) P() = b) P( ) = 6 7 Factoriza los siguientes polinomios: a) b) SOLUCIONARIO

19 Windows Derive a) ( )( + )( 3) b) ( + )( ) ( + 3) 8 Halla las raíces de los siguientes polinomios: a) b) a) ( ) ( 3) = =, 3 = 3 b) ( + )( )( 3)( 5) =, =, 3 = 3, 4 = 5 9 Calcula: a) + b) + a) b) Calcula: a) + b) + + a) 3 + b) Calcula: : 3 Calcula: + : 3 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris o Derive: 3 4 Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 5 ( 4 + k 6 + ) : ( + ) P( ) = 5 k = 4 Halla el valor de k para que el polinomio P() = k + 8 sea divisible entre P() = 0 k = TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4