LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

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1 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e)

2 f) f() g) f() h) 8 f() +@ 8 + i) 8 4 f() f() j) f()

3 UNIDAD Página 9. Si u () 8 y v () 8 cuando, calcula el ite cuando de: a) u() + v () b) v ()/u () c) u () d) v () e) u () v () f) u () v () a) [u() + v()] + ( ) b) u() c) u() d) v () no eiste e) [u() v ()] ( ) 6 f) u (). Si u () 8 y v () 8 0 cuando, calcula el ite cuando de: a) u() v () b) v () u () c) v ()/u () d)log v () e) u () v () f) a) [u() v ()] 0 b) [v () u()] 0 ( ) c) v () 0 0 u() u () d) log v si v () no eiste si v () 8 0 e) [u() v ()] 0 0 f) u () Página 0. Indica cuáles de las siguientes epresiones son infinitos (±@) cuando : a) + b) 0, c), d) log e) /( + ) f ) g) 4 h)4 i) 4 a) ( + ) +@ 8 Sí

4 b) 0, 0 8 No c) (, 8 Sí d) log +@ 8 Sí e) 0 8 No + f) +@ 8 Sí g) 4 +@ 8 Sí h) No i) 8 Sí 4. a) Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos: log, 4 b) Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula: a) log, 4 log b) 0 log, +@ 0, Página. Si, cuando, f () 8 +@, g () 8 4, h () u () 8 0, asigna, siempre que puedas, ite cuando a las epresiones siguientes: a) f () h() b)f () f () c) f () + h() d) f () e) f () h() f) u () u () g) f ()/h() h)[ h()] h() i) g () h() j) u ()/h() k) f ()/u () l) h ()/u () m) g ()/u () n) + f () ñ) f () h() o) + h() p) h () h() q) a) ( f () h ()) +@ +@ +@ b) f () f () (+@) +@ +@ 4

5 UNIDAD c) ( f () + h ()) (+@) + 8 Indeterminado d) f () +@ +@ +@ e) ( f () h ()) f) u () u() (0) (0) 8 Indeterminado g) f () (+@) 8 Indeterminado h () h) [ h ()] h() 0 i) g () h() 0 j) u() 0 0 h k) f () +@ u() (0) ±@ l) u() (0) ±@ m) g() 4 ±@ u() (0) n) ( + f ()) +@ +(+@) +@ ñ) f () h() 0 o) ( + h ()) (+@) 8 Indeterminado p) h () h 8 No eiste q) 0 Página 6. Las funciones f, g, h y u son las del ejercicio propuesto (página anterior). Di cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones. En cada caso, si es indeterminación, di de qué tipo, y, si no lo es, di cuál es el ite: a) f () + h() b) f ()/h() c) f () h() d) f () h() e) f () u () f) u() h() g) [g ()/4] f () h) g () f ()

6 a) ( f () + h ()) (+@) Indeterminado. b) f () (+@). Indeterminado. h() c) f () h() (+@) +@ +@ d) f () h() 0 e) f () u() (+@) (0). Indeterminado. f) u() h() ±@ g) [ ] f () () (+@). Indeterminado. h) g () f () 4 +@ +@ g() 4 Página. Calcula los siguientes ites: a) b) + 6 c) d) a) b) c) 6 0 d) Calcula: ( + ) ( ) a) b) ( + ) c) + d) ( + ) 0 8 a) ( +) ( ) 9 4 ( + ) ( )

7 UNIDAD b) ( +) c) + +@ 8 8 d) Página 4. Sin operar, di el ite, cuando, de las siguientes epresiones: a) ( + ) b) ( ) c) + d) e) 8 f) log 4 a) ( + ) +@ b) ( c) ( ) +@ d) ( ) +@ 8 e) ( ) +@ f) ( log 4 ) +@ + 4. Calcula el ite, cuando, de las siguientes epresiones: + 4 a) b) c) d) ( + ) + e) ( + + f) + a) ( ) ( + ) ( + ) b) ( ) ) ( ) ( + )( ) (4 )( + ) ( + )( ) 4 + 7

8 c) ( ) +@ d) ( + ) + (+@) +@ +@ e) f) ( ( ) ( ) +@ +@ + ) ( ) +@ Página. Halla el de las siguientes epresiones: a) b) a) b) + No eiste, pues el radicando toma valores negativos cuando.. Halla el de las siguientes epresiones: a) b) c) a) b) + + c) 0 ( ) ( ) 8

9 UNIDAD Página 7. Si f () y g (), di el valor del ite cuando tiende a de las siguientes funciones: a) f () + g () b)f () g () f () c) g () d) f () g () e) g () f ) 4 f () g () a) ( f () + g ()) + b) ( f () g()) 6 f () c) d) f () g() 9 g() e) g() f ) (4f () g()) 0. Si f () l y g () m, entonces [ f () + g ()] l + m. 8 a Enuncia las restantes propiedades de los ites de las operaciones con funciones empleando la notación adecuada. Si f () l y g () m, entonces: 8 a 8 a ) [ f () + g()] l + m 8 a ) [ f () g()] l m 8 a ) [ f () g()] l m 8 a f () 4) l (Si m? 0). 8 a g() m 8 a 8 a ) Si f () > 0, [ f ()g() ] l m 8 a n 6) Si n es impar, o si n es par y f () Ó 0 8 f () 8 a n l 7) Si a > 0 y f () > 0, [log a f ()] log a l 8 a 9

10 . Si p () +@, q () +@, r () y s () 0, di, en los casos en que sea posible, el valor del de las siguientes funciones: [Recuerda que las epresiones (+@)/(+@), (+@) (+@), (0) (+@), () (+@), (0)/(0) son indeterminaciones]. r() p() a) p () + q () b)p () q () c) d) p() p() s() p() e) f ) g) s () p () h) s () q() q() s () i) p () r () j) r () s () r () k) s () l ) m) r () p () n) r () q () r () p () ñ) ( ) o) a) [p() + q()] +@ +(+@) +@ b) [p() q()] (+@) (+@). Indeterminado. c) r () 0 p() +@ p() d) p() e) s() 0 0 q() +@ p() f ) (+@). Indeterminado. q() (+@) g) [s() p()] (0) (+@). Indeterminado. h) s() s() (0) (0). Indeterminado. i) p() r() +@ +@ j) r() s() 0 k) r () (0). Indeterminado. s() (0) (0) r () l) ( ) s() 0 [ ( r () r () ] ) s () p () 0

11 UNIDAD m) r() p() n) r() 0 ñ) ( ) p() () (+@). Indeterminado. r () r () o) ( ) p() () Indeterminado. Página 8 4. Calcula los ites siguientes: a) b) a) + + ( + )( + ) ( + )( 7) b) Calcula: ( ) ( ( +) ( +) ( + )( + ) ( + )( + + ) 8 0 ( + )( + ) ( + )( + ) ( 7 + 0) 8 0 ( + )( + ) 8 0 ( + )( + ) ( + )( + ) ) 8 0 ( )

12 Página 4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Límites cuando 8 ±@ Sabemos que f () +@, g y h (). En cuáles de los siguientes casos hay indeterminación para? En los casos en que no la haya, di el ite: a) f () + g () b) g () + h () f() f() c) d) h() g() e) [h ()] g () f ) [ h ()] f () a) ( f() + g()) ( f() + (g()) (+@) + (+@) (+@) 8 Indeterminación b) (g() + h()) g() + f() +@ c) +@ h() f() (+@) d) 8 Indeterminación g() e) [h()] 0 f) [ h()] f() (0) (+@) 8 Indeterminación Calcula los ites cuando de las siguientes funciones: + 0 a) f () b) g () c) h() d) i () a) + b) @

13 UNIDAD c) d) Calcula los siguientes ites comparando los eponentes del numerador y del denominador: + 6 a) b) c) d) + a) b) 7 + +@ + c) 0 d) Calcula estos ites comparando los órdenes de infinito: a) (e + ) b) e c) ( ) d) a) (e ) +@ Porque e es un infinito de orden superior a. + b) 0 Porque e es un infinito de orden superior a c) ( ) +@ + e +7 Porque + es de mayor grado que +7. ln ( +) ln ( +) d) 0 Porque cualquier polinomio,, es de orden superior a un logaritmo, ln ( + ).

14 Calcula los siguientes ites y representa gráficamente los resultados obtenidos: a) (0, + ) b) + a) (0, + ) (0, + ) +@ b) Calcula los ites de las siguientes funciones cuando : a) f () + ( ) b) g () c) h () d) i () + + a) ( ) b) +@ log + c) + d) + + log ( ) +@ 4 Límites en un punto 7 Calcula los siguientes ites: +6 a) b) c) d)

15 UNIDAD +6 (0) a). Indeterminación (0) 8 Simplificamos la fracción dividiendo por + : ( +) ( +) ±@ @ (0) b). Indeterminación. + (0) 8 Simplificamos la fracción: ( + )( +) ( + )( + ) ( + ) 8 4 (0) c). Indeterminación. (0) Simplificamos la fracción: 4 ( + )( ) + 4 ( + ) + (0) d). Indeterminación. (0) 8 0 Simplificamos la fracción para resolver el ite: ( +) ( ) + ( +) ±@ ( ) ( +) ( ) ( +) ( ) ( +) ( )

16 8 Si p () +@, q r (), s () 0, di, en los casos en que sea posible, el valor de los siguientes ites: s () a) b) [s () q ()] p () c) [r ()] q() d) [p () q ()] s() 0 a) 0 p() +@ b) [s() q()] (0) 8 Indeterminado c) [s()] p() 0 +@ 0 d) [p() q()] +@ (+@) + (+@) +@ 9 Calcula: ( + a) ) 8 0 [ b) ( ) ( ) a) ( ). 8 0 Hallamos los ites +@ b) [ ] + ( ) Hallamos los ites laterales: + ( ) + ( ) 8 0 ( ) ] ( ) ( ) +@; + +@. + ( ) 0 (0) + ( ) 6

17 UNIDAD 0 Calcula: ( ) a) b) + c) d) ( ) 0 a) ( 6)( ) b) ( 6) + ( + )( ) + c) ( ) ( ) ( ) 0 d) 0 ( ) Página 46 Continuidad Averigua si las siguientes funciones son continuas en : si < si Ì a) f () b) f () 6 si Ó + si > a) f () ( ) 4 f () (6 ) f () 6 4 f () es continua en, puesto que f () f (). b) f () ( ) f () ( + ) + + f () no es continua en, puesto que no eiste f (). Estudia la continuidad de las dos funciones siguientes: si < a) f () 4 si Ó / si < b) f () si Ó a) Si? 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas. 7

18 En : f () 4 f () f () 4 Por tanto, f () es continua en todo Á. f () es continua en, pues f () f () 4. b) El dominio de la función es Dom Á {0}. Si? 0 y? 8 La función es continua. En 0: es discontinua, puesto que f () no está definida para 0. Además, f y f () +@ Hay una asíntota vertical en 0. En : f () f () ( ) + + f () f () es continua en, pues f () f (). s Estudia la continuidad y representa gráficamente la función f(): + si 0 Ì Ì f() si Ì Ì 0 Dominio [0, 0] Continuidad: Si é [0, ) «(, 0], es continua, pues está formada por funciones continuas. f() ( + ) 0 En 8 f() ( ) 0 Gráfica: f() Es continua. f() f()

19 UNIDAD 4 Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente: si < 0 a) f () + si 0 < < si Ì si Ì b) f () si < < 6 0 si Ó 6 si < 0 a) f () + si 0 < < si Ì Continuidad: Si? 0 y? 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas. f() En 0 8 f() ( + ) No eiste f(0). 8 0 f() Hay una discontinuidad evitable en 0. f() ( + ) En 8 f() ( ) + + f() Discontinuidad de salto finito en. Gráfica: 9

20 si Ì b) f() si < < 6 0 si Ó 6 Continuidad: Si? y? 6 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas. f() ( ) En 8 f() ( ) 0 f() f() f() 0 f() es continua en. f() ( ) En 6 8 f() f(6) 0 Discontinuidad de salto finito en 6. f() 0 0 Gráfica: f() ( 4 6 Calcula el valor que debe tener k para que las siguientes funciones sean continuas: + si Ì + k si Ì 0 a) f () b) f () k si > si > 0 + k si < c) f () k si Ó 0

21 UNIDAD a) Si?, la función es continua. En : f () ( + ) f () (k ) k Para que sea continua, ha de ser: + + k 8 k f () + b) Si? 0, la función es continua. En 0: f () ( + k) k f () ( ) Para que sea continua, ha de ser: k f (0) 0 + k k c) Si?, la función es continua. En : f() 8 8 ( + k) + k f() ( k ) k f( ) k La función es continua para cualquier valor de k. Para que sea continua ha de ser: + k k. Esto se cumple para cualquier valor de k. PARA RESOLVER 6 a) Calcula el ite de la función f () cuando 8 0,, 8,, : f () + 6 b) Representa gráficamente los resultados. a) f () + 6 ( )( ) f () f (). (0)

22 Hallamos los ites laterales: f + f () +@ f () 8 8 f () 0; f () 0 b) 9 7 a) Calcula el ite de la función y en aquellos puntos en los que no está definida. b) Halla su ite cuando y cuando. c) Representa la función con la información que has obtenido. d) Cuáles son los puntos de discontinuidad de la función? a) El dominio de la función es: Dom Á {0, }, pues el denominador se anula en: 0 8 ( ) 0 y Hallamos los ites laterales: @ ( + )( ) ( ) 6 0

23 UNIDAD + + b) ; c) d) La función es discontinua en 0 (tiene una asíntota vertical) y en (no está definida; tiene una discontinuidad evitable). 8 Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua: 4 si? si < a) f () b) f () k si k si Ó a) Si?, la función es continua. Si : f () 4 ( )( ) ( ) ( ) 4 f () k Para que sea continua, ha de ser k 4. b) Para?, f () es continua. Para que f () sea continua en, ha de ser f () f (): ( + ) ( ) f () ( + ) ( ) + f () + f () k Ha de ser k. k k

24 s9 Estudia la continuidad de estas funciones para los distintos valores del parámetro a: + a si Ì e a si Ì 0 a) f () b) f () a si > + a si > 0 a) En?, la función es continua. En : f () ( + a) 4 + a f () (a ) a f () 4 + a Por tanto, la función es continua si a 8, y es discontinua (en ) si a? 8. Para que sea continua, ha de ser: 4 + a a 4 8 a 8 b) En? 0, la función es continua. En 0: f () e a f () f (0) ( + a) a Para que sea continua, ha de ser: a 8 a Por tanto, la función es continua si a, y es discontinua (en 0) si a? Sea la función f (). a) Calcula: f (); f (); f (); f () b) Cuál es la función que coincide con f () ecepto en 0 y en? c) En qué puntos no es continua f ()? 4 + ( )( ) f() ( ) a) f() [ ( )] f() [ ( )] f() +@ f() +@ 4

25 UNIDAD b) g() ( ) c) En 0 y en la función no está definida (hay discontinuidades evitables). Página 47 Calcula los ites de las siguientes funciones cuando : a) f () ( + ) b) g () c) h (), + d) i () a) ( ) ( ) b) ( 0 c) (, ) +@ d) ( ) ( ) +@ +@ ( ( ( ) ) + ) ( + ) ( + ) s Dada la función: f () calcula el valor de b para que f () sea continua en. Es continua en? Para que f() sea continua en, ha de tenerse que: f() f( ) 8 + b si Ì + 4 si < < + 8 si

26 8 f() ( 8 ) + b + b 8 + f() ( + 4) 7 Ha de ser + b 7; es decir, b f( ) + b Veamos que la función también es continua en : + f() ( + 4) 7 f() ( + 8) 7 f() f () + f() 7 Por tanto, f() es continua en. s Estudia la continuidad, representa y halla los ites para y de la función: si < f () si Ì Ì + 4 si > Continuidad: Si? y? 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas. f() En 8 f() + f() + f() f(). f() es continua en. f() En 8 f() ( + 4) 4 f() Discontinuidad de salto finito en. f() ( f() no tiene ite en, por lo tanto no es continua en ese punto. 6

27 UNIDAD Gráfica: s4 Considera la siguiente función: + + si < f () + si Ì Ì + 8 si > Estudia su continuidad y represéntala gráficamente. Continuidad: Si? y? 8 Es continua, pues está formada por funciones continuas. f() ( + + ) 0 f() f( ) En 8 f() ( + ) 0 f() es continua en. f( ) 0 f() ( + ) 6 En 8 f() ( + 8) f() 6 Discontinuidad de salto finito en. Gráfica: + + f no tiene ite en, luego no es continua en ese punto

28 Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas: + si < / a) f () si Ó / 4 si Ì b) f () si < < 4 si Ó si < 0 c) f () si Ó 0 + si < / a) f() si Ó / Si?, la función es continua, pues está formada por funciones polinómicas (continuas). En : 8 (/) 8 (/) + f() ( + ) 0 f() ( ) 0 f(/) 0 Como f() f, f() es continua en. Gráfica: 8 / Y 8 (/) 8 (/) + ( ) 4 X 4 si Ì b) f() si < < 4 si Ó Si? y?, f es continua, por estar formada por funciones polinómicas (continuas). 8

29 UNIDAD En : f() ( 4) f() ( + 4) f( ) 0 Como f() f( ), f es continua en. En : 8 f() ( + 4) 0 f() ( 4) f() 0 Como f() f(), f es continua en. Gráfica: Y 4 X c) f () si < 0 si Ó 0 Si? 0, f es continua pues está formada por funciones polinómicas (continuas). En 0: 8 0 f() ( ) f() ( ) f(0) 0 Como f() f(0), f es continua en

30 Gráfica: Y 4 X 4 s6 Una empresa ha establecido para sus empleados un incentivo (en cientos de euros) en relación con el valor (en cientos de euros) de lo vendido por cada uno. Dicho incentivo sigue la función: 0,0 si 0 Ì Ì 00 f () 0 si > a) Estudia la continuidad de f (). Indica si el incentivo recibido por un empleado es sensiblemente distinto si el valor de las ventas es ligeramente superior o inferior a b) Cuál es la cantidad máima que un empleado podría recibir como incentivo si sus ventas fueran muy grandes? Justifica tu respuesta. a) Dom [0, +@) Si? 00 8 La función es continua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos definidos. f() 0,0 (00 ) En 00 8 f(), (0 ) f(00) (00 ) Hay una discontinuidad de salto finito en 00. Como f()? f(), el incentivo recibido por un empleado sí es sensiblemente distinto si el valor de sus ventas es ligeramente superior o inferior a ( 00). 0 b) f()

31 UNIDAD s7 Las conclusiones de un estudio establecen que el número de individuos de una determinada población de una especie protegida vendrá dado, durante 000t los próimos años, por la función f (t), siendo t el t + número de años transcurridos. Se pide: a) Tamaño actual de la población. b) Si esta función fuese válida indefinidamente, se estabilizaría el tamaño de la población? Justifica la respuesta. a) f(0) 000 individuos. 000t b) f(t) 7 00 t + t 8 +@ t 8 +@ Se estabilizaría en 7 00 individuos. s8 La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectada por la construcción de un dique. En una zona de la playa, esa profundidad vendrá dada por la siguiente función: + t si 0 Ì t Ì P(t) 8t t si t > t P es la profundidad en metros y t el tiempo en años desde el inicio de la construcción. Si la profundidad llegara a superar los 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo. a) Es P(t) una función continua? b) Será necesario elevar la altura del paseo con el paso del tiempo, por causa de la profundidad de la arena? c) Haz una gráfica aproimada de P(t). a) Las funciones que definen P(t) son continuas en el intervalo en que están definidas. Estudiamos la continuidad en : t 8 t 8 + P(t) ( + t ) t 8 8t t P(t) t t 8 + t 8 P(t) P() Por tanto, P(t) es continua. 8t t b) Calculamos P(t) 4 t t 8 +@ t 8 +@ 8t t Observamos que < 4 para cualquier valor de t mayor que. t Por tanto, la profundidad nunca llega a superar los 4 metros y no será necesario elevar la altura del paseo.

32 c) Y 4 4 X Página 48 s9 Un equipo de investigación ha estimado que el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas (, en días), es: T() a) Justifica que la función T es continua en todo su dominio. b) Por mucho que se entrene un deportista, será capaz de hacer la prueba en menos de minuto? Y en menos de? T() 00, 0 Ì Ì , > 0 ( )( ) 00 a) La función y es continua, salvo en 0; pero, como solo la + 0 consideramos en 0 Ì Ì 0, será continua en el intervalo (0, 0). La función y + es continua, salvo en y en ; ( )( ) pero como la estamos considerando para > 0, es continua en el intervalo (0, +@). Por tanto, si? 0 ( é [0, 0) «(0, +@)), la función T() es continua. Si 0, tenemos que: 00 T() T() es continua en 0. T() ( + ) ( )( ) T(0) 00, 0 Ì Ì , > 0 ( )( ) Por tanto, T() es continua en su dominio.

33 UNIDAD b) T(0) 0 minutos; y, a mayor tiempo de entrenamiento, menos tardan en realizar la prueba. Además: T() + ( )( ) ( Por tanto, ningún deportista sería capaz de realizar la prueba en menos de minuto, ni en menos de minutos. 0 El grupo de estudios de una empresa ha comprobado que las pérdidas o ganancias de esta se ajustan a la función: 4 y + donde son los años de vida de la empresa ( Ó 0) e y viene epresada en cientos de miles de euros. a) Representa la función. b) En qué año deja de tener pérdidas? c) Están limitados sus beneficios? Si lo están, cuál es su ite? ) a) b) 0 ò 4 0 ò (y la función es creciente). + Deja de tener pérdidas en el. año ( ). 4 c) El beneficio está limitado a Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra. No obstante, si se le encargan más de 0 unidades, disminuye el precio por unidad, y por cada unidades cobra: si 0 < Ì 0 C () a + 00 si > 0 a) Halla a de modo que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran. b) A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran muchísimas unidades? El precio de una unidad es C ()/.

34 a) C() () C() a a C(0) 0 Para que sea continua, ha de ser: 00a a a a 0 C() a b) 0 4,47 CUESTIONES TEÓRICAS 4 Sea la función f (). El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando. Cómo elegir el valor de f() para que la función f sea continua en ese punto? 4 ( )( + ) f() ( + ) 4 ( ) Para que f sea continua en, debemos elegir f() 4. Epresa simbólicamente cada una de estas frases y haz una representación gráfica de cada caso: a) Podemos conseguir que f () sea mayor que cualquier número K, por grande que sea, dando a valores tan grandes como sea necesario. b) Si pretendemos que los valores de g () estén tan próimos a como queramos, tendremos que dar a valores suficientemente grandes. c) Podemos conseguir que h() sea mayor que un número K, por grande que sea, dando a valores suficientemente próimos a. a) f() +@ b) g() c) h() +@ 4

35 UNIDAD 4 De una función g se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0, ] y que para 0 < Ì es: + g () Cuánto vale g (0)? Si g es continua en 0, debe verificar que ite: g() g(0). Hallamos el Por tanto, g(0). + ( + ) g() ( + ) Escribe una definición para cada una de estas epresiones y haz una representación de f: a) f () b) f c) f () +@ d) f a) Podemos conseguir que f() esté tan próimo a como queramos sin más que darle a valores suficientemente grandes y negativos. b) Podemos conseguir que f() sea tan negativo como queramos sin más que tomar tan grande como sea necesario. c) Podemos conseguir que f() tome valores tan grandes como queramos sin más que darle a valores tan próimos a (pero menores que ) como sea necesario. d) Podemos conseguir que f() tome valores tan grandes y negativos como queramos sin más que darle a valores tan próimos a (pero mayores que ) como sea necesario. 6 Si una función no está definida en, puede ocurrir que f ()? Puede ser continua la función en? 8 Sí, puede ser que 8 f(), por ejemplo: ( )( + ) ( )( + ) f() es tal que ; y f() no está definida 8 en. Sin embargo, f() no puede ser continua en (pues no eiste f()).

36 7 De una función continua, f, sabemos que f () <0 si < y f () > 0 si >. Podemos asegurar que no tiene ite en? Pon ejemplos. f() 0 Por ejemplo: f() 4, g(). 8 Sea P un polinomio: P() a + b + c Prueba que P() P(0) tiene ite en 0 y calcula su valor. 8 0 P() P(0) a + b + c c a + b 8 0 (a + b) (a + b) b Página 49 9 Calcula, sobre la gráfica de esta función: a) f () b) f () 8 ±@ 8 4 Y c) f () d) f () X a) f () b) f 8 ±@ c) f () +@ d) f Halla, observando la gráfica de esta función, los siguientes ites: a) f () b) f () c) f () d) f () e) f () f) f () Y a) f () +@ b) f c) f d) f () +@ e) f f) f () +@ X 6

37 UNIDAD PARA PROFUNDIZAR 4 Estudia la continuidad de estas funciones: a) y +. Qué tipo de discontinuidad tiene? si Ì b) y si > a) En 0, la función no está definida, luego es discontinua. Como: y si < 0, entonces: + si > 0 ( ) ; ( + ) Por tanto, hay una discontinuidad de salto finito en 0. si Ì b) y + si < < si Ó En? y? : la función es continua pues está formada por funciones continuas. En : f() 8 8 f() ( + ) f( ) Como f()? f(), f no tiene ite en Es discontinua en. En : f() ( + ) 0 f() ( ) f() 0 Como f() f(), f es continua en. 7

38 4 Dada f (), justifica que f () y f (). + Definimos f() por intervalos: si Ì 0 + f() si > 0 + f() + f() + 4 Calcula los siguientes ites: a) ( + ) Multiplica y divide por + + b) + 4 c) d) 8 0( ( ( a) ( ) + )( + + ) b) ( ) + 9 ) ) + + ( + 4)( + + 4) 4 + ( 4)

39 UNIDAD + 9 ( + 9 )( ) c) 8 0( ) 8 0 ( ) ( ) 8 0 ( ) 8 0 ( ) Hallamos los ites +@ 8 0 ( 8 0 ( ) ) ) d) ( ( ) + (0) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) + + Página 49 AUTOEVALUACIÓN. Calcula los siguientes ites: + a) b) ( + e ) e c) d) ln + a) b) ( + e ) + 0 e ln c) +@ d) 0 9

40 . Halla el ite de la función f() cuando, 8, y 8. Representa gráficamente la información que obtengas. (0). Indeterminación. 8 (0) ( ) ( ) Simplificamos la fracción: 8 ( 4) ( + )( ) ( +) 8 ( +) ±@ 8 8 <, y 8 +@ >, y Y / X e + si Ì 0. Dada la función f () + + si > 0 a) Estudia su continuidad. b) Halla f() y f(). a) Tanto si < 0 como si > 0, f() es continua, por estar definida mediante funciones continuas. Estudiamos la continuidad en e + + f() f() f(0) e 0 + Como 8 0 f() f(0), f es continua en 0. Luego f es continua en Á. 40

41 UNIDAD b) f () e + e (+@) + +@ f() ( a) Calcula a y b para que f sea continua: + a si Ì f() si < < b + si Ì b) Representa la función obtenida. a) f es continua si <, si < < y si <, por estar definida por funciones continuas. Para que f sea continua en, debe cumplirse que f( ) ( ) + a 4 + a 8 8 f() f( ). ( + a) 4 + a f() 8 Por tanto, 4 + a 8 a ( ) Para que f() sea continua en, debe ser f() b + b + f() f(). ( ) 4 f() (b + ) b + Por tanto, b b 7 + si Ì b) f() si < < 7 + si Ì Y X 4

42 . Observa la gráfica de la función y f() y di el valor de los siguientes ites: a) f() b) f() c) f() d) f() 8 Y X a) f() 8 f() 0 b) f() f no tiene ite cuando f() + c) f() +@ d) f() 4