APLICACIONES DE LA DERIVADA

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1 APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. MONOTONÍA (CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO) Si una función es derivable en un punto = a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de la derivada. Si f '(a) > 0 f es estrictamente creciente en = a Si f '(a) < 0 f es estrictamente decreciente en = a Para determinar los intervalos de monotonía de una función, seguimos los siguientes pasos: Determinamos el dominio de la función f(). Resolvemos la ecuación f '() = 0. Las soluciones serán los posibles máimos o mínimos. Estudiamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos determinados por las soluciones de la ecuación anterior en el dominio de la función. Ejemplo.-Determina los intervalos de monotonía (crecimiento o decrecimiento) de la función f() = El dominio es R por ser polinómica. - f '() = 8 y resolvemos la ecuación f () = = 0 = y = - Se consideran los intervalos el signo de la derivada: 4,, 4, y,+. En ellos estudiamos 4 4 Intervalos,, (,+ ) Signo de f Monotonía Creciente Decreciente Creciente Ejercicio.- Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones: 1.- f() = g() = h() = i() = + 1 María de la Rosa Sánchez Página 1

2 . MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si una función f() presenta un máimo o un mínimo en = a, entonces f (a) = 0. Los máimos y mínimos de una función se llaman etremos relativos. Para hallar los máimos y mínimos de una función seguiremos los siguientes pasos: 1.- Hallamos f ()..- Resolvemos la ecuación f () = 0. Las soluciones de esta ecuación son los posibles máimos o mínimos. Si la función presenta máimos o mínimos los alcanzará en los valores obtenidos en la resolución de la ecuación anterior..- Determinamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 4.- Analizamos la monotonía de la función a la izquierda y derecha de los posibles máimos y mínimos. Ejemplo.- Determina los máimos y mínimos de la función Resolvemos la ecuación f () = 0: = 0 =, = -. Determinamos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento: Intervalos (, ) (,) (,+ ) Signo de f Monotonía Creciente Decreciente Creciente f() = + 6. A la izquierda de = - la función crece y a la derecha decrece, por lo que en = - presenta un máimo. A la izquierda de = decrece y a la derecha crece, por lo que en = presenta un mínimo. Por tanto, P(-, 81) es un punto máimo y Q(, -44) es un mínimo. La primera coordenada del punto P indica dónde se alcanza el máimo y la segunda coordenada, f(-), el valor de dicho máimo. Ejercicio.- Determina los máimos y mínimos de las siguientes funciones: a) 1 f() = + 1 b) g() = + 1 María de la Rosa Sánchez Página

3 *Observación.- Para decidir si un punto crítico es máimo o mínimo, podemos utilizar la segunda derivada: - Si f (a) = 0 y f (a) > 0, entonces f presenta un mínimo en = a. - Si f (a) = 0 y f (a) < 0, entonces f presenta un máimo en = a. Ejemplo.- Determina los máimos y mínimos de f() = con la derivada segunda. + 4 Primero, hallamos la derivada de f. f '() = Segundo, resolvemos la ecuación f () = 0 para hallar los posibles máimos o mínimos de la función: + 4 f '() = 0 = 0 = 4 Tercero, calculamos la derivada segunda de f(): ( 6) f ''() = 4 Cuarto, estudiamos el signo de la derivada en los puntos hallados: 1 f ''(4) = f ''(4) < 0 = 4 es máimo 64 Ejercicio.-Determina los máimos y mínimos de estas funciones utilizando la segunda derivada: a) b) f() 1 = Sol: En = presenta un mínimo y en = un máimo. f() = f() = + 6 c) Sol: En = 0 presenta un mínimo, en = -1 un máimo y en = 1 un máimo. Sol: En = 1 un máimo.. CURVATURA: CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Una función f() es cóncava en = a ( ) si la recta tangente a la curva en = a está por encima de la gráfica de la función. Una función f() es convea en = a ( ) si la recta tangente a la curva en = a está por debajo de la gráfica de la función. María de la Rosa Sánchez Página

4 Si una función es dos veces derivable en = a, podemos determinar su curvatura (concavidad o conveidad) a partir del signo de la segunda derivada: - Si f ''(a) > 0 f() es convea en = a - Si f ''(a) < 0 f() es cóncava en = a Para determinar la concavidad y conveidad de una función seguiremos los siguientes pasos: 1.- Determinamos el dominio de la función..- Calculamos f ()..- Estudiamos el signo de f en los intervalos determinados en el dominio de la función por las soluciones de la ecuación f () =0. Ejemplo.- Determina la curvatura de la función f() = El dominio de la función es R. Por tanto, trabajaremos sobre todo el conjunto de los números reales. Calculamos f ''() = 6 6 y resolvemos la ecuación f ''() = = 0 = 1. Intervalos (,1) ( 1,+ ) Signo de f - + Curvatura Cóncava Convea Ejercicio.- Determina los intervalos de curvatura de la función Sol: Intervalos (,0) ( 0,1 ) ( 1,+ ) Signo de f Monotonía Convea Cóncava Convea 4 f() = Ejercicios.- 1. Determina los intervalos de concavidad y conveidad de las siguientes funciones: a) b) f() = 7 + Sol: En f() = PUNTOS DE INFLEXIÓN 1, 1 Cóncava y en 1, + 1 convea. Sol: En (, ) y ( 0, ) convea. En (,0) y (,+ ) Cóncava Una función f() presenta un punto de infleión en = a si en ese punto hay un cambio de curvatura (la función pasa de cóncava a convea o viceversa) María de la Rosa Sánchez Página 4

5 - Si una función presenta un punto de infleión en = a, se cumple que f (a) = 0. Ejemplo.- Determina los puntos de infleión de la función f() = + 6. Determinamos los intervalos de concavidad y conveidad, teniéndose que: 1 En, es cóncava y en 1, + convea. Por tanto, en 1 = hay un punto de infleión. Ejercicio.- Determina los puntos de infleión de las siguientes funciones: a) f() = + Sol: En = -1 hay un punto de infleión. 1 b) g() = + 7 c) d) Sol: En = 7 hay un punto de infleión. h() = Sol: En = 0 hay un punto de infleión. i() + = Sol: No hay puntos de infleión REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Para la representación gráfica de funciones, seguiremos los siguientes pasos: 1. Determinamos el dominio.. Puntos de corte con los ejes.. Regiones. 4. Asíntotas y ramas infinitas. En la gráfica de una función loos tramos en los que toma valores muy grandes o muy pequeños se llaman ramas infinitas de la función. Cuando una rama infinita se acerca indefinidamente a una recta, esa recta se llama asíntota, y la rama infinita, rama asintótica. - Asíntotas verticales: la recta = a es una asíntota vertical de la función f() si lím f() =. a Las funciones polinómicas no tienen asíntotas y las funciones racionales tienen asíntotas verticales en los valores para los que se anula el denominador. - Asíntotas horizontales: la recta y = b es una asíntota horizontal de la función f() si lím f() = b. - Asíntotas oblicuas: la recta y = m + n es una asíntota oblicua de la función f() f() lím = m 0 si. lím f() m = n [ ] María de la Rosa Sánchez Página 5

6 Una función f tiene ramas infinitas si recta. lím f() = y no se aproima a ninguna ± 5. Intervalos de monotonía. Máimos y mínimos. 6. Intervalos de curvatura. Puntos de infleión 7. Representación gráfica. Ejemplo.- Representa gráficamente la función Dominio R, por ser polinómica. Puntos de corte: o Eje 0X: y = 0 f() = = 0 = 1, =. Corta al eje 0X en los puntos (-1,0), (,0). o Eje 0Y: = 0 y =. Corta al eje 0Y en el punto (0,-). Regiones: Estudiamos el signo de f en las regiones determinadas por los cortes con el eje 0X: Intervalos (, 1) -1 ( 1, ) (,+ ) Signo de f Asíntotas: Por tratarse de una función polinómica, no hay asíntotas. Sin embargo, como al tender hacia ±, la gráfica de la función empieza y termina con ramas infinitas. Intervalos de monotonía: f '() = ; f '() = 0 = 0 = ± 1. Como el dominio de la función es todo el conjunto de los números reales, tenemos los siguientes intervalos para estudiar la monotonía: Intervalos (, 1) ( 1,1 ) ( 1,+ ) Signo de f Monotonía Creciente Decreciente Creciente En = -1 la función tiene un máimo relativo de coordenadas (-1,0) y en = 1 un mínimo relativo de coordenadas (1,-4). Intervalos de curvatura: f () = 6; f ''() = 0 6 = 0 = 0 Intervalos (,0) ( 0,+ ) Signo de f - + Curvatura Cóncava Convea María de la Rosa Sánchez Página 6

7 En = 0 hay un punto de infleión, de coordenadas (0,-). La representación gráfica es: y Ejemplo.- Representa gráficamente la función f() = ( + ) + 1 Dominio R { 1} Cortes con los ejes: Corta al eje 0X en (-,0) y al eje 0Y en (0,4). Regiones: Estudiamos el signo de f en las regiones determinadas por los cortes con el eje 0X: Intervalos (, ) - (, 1) -1 ( 1, + ) Signo de f No eiste + Asíntotas y ramas infinitas o o o A.V. La recta = -1 es una asíntota vertical, teniéndose la posición de la curva respecto a la asíntota: lím f() = y lím f() = +. 1 A.H. No tiene ya que lím f() =. A.O. ( + ) f() m = lím = lím = 1 ( + 1) [ ] ( + ) + 1 n = lím f() m = lím = + 1 Intervalos de monotonía: Por tanto, y = + es una asíntota oblícua. f '() = + ; ( + 1) + f '() = 0 = 0 =, = 0. Teniendo en cuenta el ( + 1) dominio de la función, tenemos los siguientes intervalos para estudiar la monotonía: María de la Rosa Sánchez Página 7

8 Intervalos (, ) (, 1) ( 1,0 ) ( 0,+ ) Signo de f Monotonía Creciente Decreciente Decreciente Creciente En = - la función tiene un máimo relativo de coordenadas (-,0) y en = 0 un mínimo relativo de coordenadas (0,4). Intervalos de curvatura: f () = ( + 1 ) ; f ''() = 0 = 0 No tiene solución ( + 1) Intervalos (, 1) ( 1, + ) Signo de f - + Curvatura Cóncava Convea La representación gráfica es: y María de la Rosa Sánchez Página 8

9 EJERCICIOS 1. Identifica los etremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones: a) f() = Sol: f crece en (,) (, + ) y decrece en (, ). Tiene un máimo relativo en el punto A(, f()), es decir, en A(, 8), y un mínimo relativo en el punto B(, f()), es decir, en B(, 7). b) f() = ln(1 + ) Sol: f decrece en ( 1, 0) y crece en ( 0,+ ). Tiene un mínimo relativo en A(0, f(0)) = A(0, 0).. El producto de dos números positivos es 6. Calcúlalos para que su suma sea lo más pequeña posible. Sol: Los números son 6 y 6.. Tiene algún punto de infleión la función f() = ? Sol: No tiene puntos de infleión, ya que la ecuación f () = 0 no tiene solución. 4. Encuentra el máimo y mínimo relativo de f() = Sol: La función tiene mínimos relativos en los puntos A( 1, f( 1)) = A( 1, 1) y B(1, f(1)) = B(1, 1), y un máimo relativo en el punto C(0, f(0)) = C(0, 1). 5. Estudia la monotonía y halla los etremos relativos de las funciones: 1 a) f() = + 1 b) Sol: La función es creciente en su dominio y, por tanto, no tiene etremos relativos ( máimos ni mínimos) 1 f() = Sol: la función es creciente en,, + y decreciente en 1 1,0 0,. Tiene un máimo 1 en el punto A, y un mínimo en 1 B,. 6. Determina los máimos y mínimos relativos de la función f() = 4 6. Sol: La función tiene mínimos relativos, que también son absolutos en los puntos A( 1, ) y B(1, ), y tiene un máimo relativo en el punto C(0, 0). 7. Determina dónde se alcanza el mínimo de la función f() = 6 + a. Calcula el valor de a para que el valor mínimo de la función sea 5. Sol: a = Halla las dimensiones de una ventana rectangular de 6 metros de perímetro para que tenga la máima superficie posible y, así, produzca la máima luminosidad. Sol: la máima luminosidad se consigue si la ventana es un cuadrado de lado 1,5 metros. 9. Halla dos números cuya suma sea 0 sabiendo que su producto es máimo. María de la Rosa Sánchez Página 9

10 Sol: los números son 10 y 10 y su producto máimo Encuentra un número tal que al restarle su cuadrado la diferencia sea máima. Sol: 1/ es el número buscado. 11. Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 8 m. El metro lineal de tramos horizontal cuesta,50 euros, mientras que el metro lineal de tramos vertical cuesta 5 euros. Determina las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo y el precio de dicho marco. Sol: Las dimensiones de la ventana de coste mínimo son 4 metros el tramo horizontal y metros el tramo vertical. El coste mínimo es de 40 euros. 1. Queremos escribir un teto de 96 cm y tal que haya cm de margen en cada lateral de la hoja en la que está escrito, así como cm arriba y abajo. Calcula las dimensiones de la hoja más pequeña posible. Sol: La hoja debe tener 1 cm de ancho y 18 cm de alto. 1. La capacidad de concentración de una saltadora de altura, en una competición de atletismo de tres horas de duración, viene dada por la función: f(t) = 00t( t) Donde t mide el tiempo en horas. Cuál es el mejor momento, en términos de su capacidad de concentración, para que la saltadora pueda batir su propia marca?. Sol: El mejor momento para que la saltadora pueda batir su propia marca es cuando ha transcurrió 1 hora y media 14. Halla dos números reales positivos, sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máimo. Sol: Los números que buscamos son 5 y Entre todos los rectángulos de área m, encuentra las dimensiones del que tiene mínimo el producto de sus diagonales. Sol: Se trata de un cuadrado de lado m. 16. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes, colocando las alambradas de las divisiones paralelas a uno de los lados del rectángulo. Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que el área sea la mayor posible? Sol: 0 m de base y 40 m de altura. 17. Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función punto de abscisa =. Sol: 1/. f() = en el María de la Rosa Sánchez Página 10

11 18. Dada la función f() = + 4 calcula la pendiente de la tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa = -1. Sol: La pendiente es si < 19. Dada la función f() = calcula la pendiente de la si recta tangente a la gráfica de la función en = 1. Sol: La pendiente es - 0. Dada la función f() =, eiste algún punto de la gráfica en el que la recta tangente tenga pendiente positiva? Justifica tu respuesta. Sol: No eiste ningún punto en el que la recta tangente tenga pendiente positiva. ( 1)( ) 1. Dada la función f() =, calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en = -. Sol: 1 11 y = Determina en qué puntos de la gráfica de la función y = + + 1, la recta tangente a la misma es paralela a la recta y = + 8.Sol: (0,1) y (, -1). Halla los valores de a, b y c para que las gráficas de las funciones f() = + a + b y la misma tangente. Sol: a = 1 y b = 0 g() = + c pasen por el punto (1,) y en ese punto tengan 4. Halla el punto de la curva y = en el que la recta tangente es paralela a la 1 recta y =.Sol: El punto es (1,1) 5. Dada la función f() = a) Halla los puntos de la gráfica en los que la recta tangente es paralela a la recta + 4y + 5 = 0. Sol: = y = -. b) Calcula las ecuaciones de dichas tangentes. Sol: = y = = y = Determina los intervalos de monotonía y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f() = ( + 1) Intervalos,,0 ( 0,+ ) Signo de f Monotonía Creciente Decreciente Creciente En = se alcanza un máimo y en = 0 un mínimo. b) 4 f() = + ( 1,+ ) Intervalos ,,,1 Signo de f Monotonía Creciente Decreciente Creciente Decreciente 1 En = y en = 1 se alcanzan dos máimos y en 1+ = un mínimo. María de la Rosa Sánchez Página 11

12 c) + f() = 1 Intervalos (,0) ( 0,1 ) ( 1, ) (,+ ) Signo de f Monotonía Creciente Decreciente Decreciente Creciente En = 0 se alcanza un máimo y en = un mínimo. d) f() = 5 Intervalos (,0) ( 0,5 ) ,, + Signo de f Monotonía Decreciente Decreciente Decreciente Creciente En 15 = se alcanza un máimo 7. Determina los máimos y mínimos de las siguientes funciones: a) b) y = 4 6 Sol: En = 8 se alcanza un mínimo y en = 8 se alcanza un máimo. y = ( 1) + 1 c) y L ( 1) Sol: En = 1 se alcanza un mínimo y en = -1 se alcanza un máimo. = + Sol: En = 0 se alcanza un mínimo. d) y 8 = Sol: En = 16 se alcanza un máimo. 8. Una empresa de compra y venta de automóviles ha realizado un estudio sobre sus beneficios y pérdidas, en miles de euros, a lo largo de los últimos 10 años y ha comprobado que se ajustan a la función: F(t) = t 18t + 81t si 0 t 10 Se pide, justificando la respuesta: a) En qué años se producen los valores máimo y mínimo de dicha función? Sol: El valor máimo de la función se alcanza a los años y el mínimo a los 9 años. b) Determina sus períodos de crecimiento y de decrecimiento. Sol: Los períodos de crecimiento son ( 0,) ( 9,10 ) y período de decrecimiento (,9 ). c) Cuáles son sus beneficios máimos? Sol: El beneficio asciende a d) Qué resultados obtuvo la empresa en el último año del estudio? Sol: Obtuvo un beneficio de Se considera la función tenga un mínimo relativo en =. Sol: a = Halla los valores de a y b para que la función a f() =. Calcula el valor de a para que la función f + máimo en el punto = 1 y un mínimo en el punto =. Sol: f() = a + b tenga un 1 a =,b =. 6 4 María de la Rosa Sánchez Página 1

13 1. La distancia, en millas, entre un barco pesquero que salió a faenar durante un período de 10 días y su puerto base viene dada por la función: 6 t 6 si 0 t 5 M(t) = 4 10 t si 5 < t 10 Donde t es el tiempo transcurrido, en días, desde su salida del puerto base. a) Después de cuántos días es máima la distancia del pesquero a su puerto base? A cuántas millas se encontraba? Sol: La distancia del barco pesquero al puerto base e máima a los días, encontrándose a 6 millas. b) Durante qué períodos aumentaba la distancia a su puerto base? En qué períodos disminuía? Sol: La distancia la puerto base aumentaba en el período (0,) y disminuía en los períodos (,5) y (5,10). c) A partir de qué día, después de alcanzar la distancia máima, se encontraba a menos de 1 millas del puerto base? Sol: A partir del día 7 se encontrará siempre a menos de 1 millas de distancia del puerto base.. Queremos añadir a una casa una nueva habitación rectangular de 1 m de superficie. Qué longitud debemos dar a sus paredes para que el perímetro sea mínimo y sea mínima también la cantidad de ladrillos utilizados? Sol las dimensiones de la habitación son = 6 m y de y = 6 m.. Se desea delimitar una parcela rectangular, que linda con la pared de una nave. Si se dispone de 00 m de tela metálica para cercarla, cuáles son las dimensiones de la parcela que tiene la mayor superficie? Sol: Las dimensiones de la parcela son 50 y 100 m. 4. Una fábrica de televisores vende cada aparato a 00. Los gastos derivados de fabricar televisores son D() = 00 +, donde a) Suponiendo que se venden todos los televisores que se fabrican, halla la función de los beneficios que se obtienen después de fabricar y vender televisores. Sol: B() = 100, con 0 80 b) Determine el número de aparatos que conviene fabricar para obtener el beneficio máimo, así como dicho beneficio máimo. Sol: Para obtener el máimo beneficio se han de fabricar 50 televisores, siendo el beneficio de Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima. Sol: El número buscado en = 5 y el mínimo es De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máima. Sol: Los catetos miden 5 cm cada uno y el área máima de 1,5 cm. 7. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,8 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. Sol: El cilindro tendrá de radio 1 dm y de altura dm. 8. Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = María de la Rosa Sánchez Página 1

14 y b) y = y c) y = y d) y = 1 y María de la Rosa Sánchez Página 14

15 e) 8 y = y f) 9 y = 4 y g) y = 1 y h) y = 1 María de la Rosa Sánchez Página 15

16 y i) y = 1 + y Se desea fabricar una papelera cilíndrica, sin tapa, de 10 dm de capacidad. Qué dimensiones deberá tener para que en su fabricación se utilice la menor cantidad de material?. Al disparar una flecha hacia arriba su altura sobre el suelo, medida en metros, cuando han transcurrido t segundos desde el disparo, viene dada por la fórmula: h(t) = 40t 5t. Calcular: a) La altura máima que alcanzará la flecha. b) El tiempo que tardará en caer al suelo.. Calcular la longitud de las dos partes en que habrá que cortar un trozo de alambre de 16 metros, si con cada una de ellas se va a construir un cuadrado y se desea que la suma de las áreas de esos dos cuadrados sea mínima. 4. Se calcula que entre las 000 y 5000 revoluciones por minuto el consumo de gasolina de un motor viene dado por la función: f = 1 +, donde f () indica los litros consumidos en una hora y viene epresada en miles de revoluciones por minuto. Hallar de forma razonada: a) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mínimo. María de la Rosa Sánchez Página 16

17 b) Las revoluciones con las que el consumo del motor es máimo. c) Dichos consumos. 5. Encontrar dos números cuya suma sea 100 y el producto sea máimo. 6. De todos los rectángulos de 100 m de área, hallar las dimensiones del que tiene perímetro mínimo. 7. De la función: f() = + a + b + c se sabe que tiene un mínimo en = 1, un máimo en = - 1 y que pasa por el punto (0,1). Hallar a, b y c. 8. Hallar los valores de a, b y c, de forma que la función: f() = + a + b + c pase por el origen de coordenadas y tenga etremos relativos en = -4 y =. Qué tipo de etremos resultan?. 9. Hallar un número positivo tal que la suma de dicho número y el inverso de su cuadrado sea mínima. 10. Se desea construir el marco para una ventana de 6 m de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 1 euros y el metro de tramo horizontal 18 euros. Calcular las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínima. 11. Con una lámina rectangular de m se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcular el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máimo. 1. La evolución de la población de un país viene dada por la función siguiente: 18( t - 1) P(t) = + t 0 + t - 1 Calcular cuándo se alcanzará la población máima. 1. La cotización en euros de las acciones de una empresa a lo largo del año 010 siguió la función siguiente: C(t) =,5 + 0,4 t - 0,0 t donde t es el tiempo en meses. Calcular cuándo se produjeron las cotizaciones máima y mínima del año. 14. Hallar a y b para la función: f() = + a + b tenga un mínimo en (, -1). 15. Hallar a, b, c y d para que la función: f() = a + b + c + d tenga un máimo relativo en (-, 4) y un mínimo en (-1, 6). 16. Representa gráficamente las siguientes funciones, analizando previamente su dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía, curvatura, máimos y mínimos: a) f() = María de la Rosa Sánchez Página 17

18 b) c) d) g() = h() = + 4 i() = e) j() = f) g) h) k() = l() = m() = + 1 EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dada la función f() = + b + a 5, determina los valores de a y b para que f tenga un máimo en = 1 y un mínimo en =. Representa gráficamente la función. Para que la función tenga un máimo en = 1 y un mínimo en =, ha de verificarse que f '(1) = f '() = 0. f '() = 6 + b + a b + a = 6 b = 9 f '(1) = 6 + b + a = 0 4b + a = 4 a = 1 f '() = 4 + 4b + a = 0 La función queda gráficamente. Dominio: R Cortes con los ejes: f() = Estudiamos la función para representarla o Eje : y = = 0 = y = 1 o Eje y: = 0 y = 5. Asíntotas: No tiene por ser polinómica. Monotonía: 5 f '() = Igualando a 0 y resolviendo la ecuación: = 0 = y = 1. Tenemos, por tanto, los siguientes intervalos de monotonía:,1 f '() > 0 f() es creciente 1, f '() < 0 f() es decreciente P 1,0 MÁXIMO y Q, 1 MÍNIMO, + f '() > 0 f() es creciente La representación gráfica es: María de la Rosa Sánchez Página 18

19 6 y Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y = + + en su punto de infleión. Calculamos la segunda derivada y la igualamos a 0 para hallar los posibles puntos de infleión. y '' = 6, por lo que en = 0 hay un punto de infleión, ya que en dicho punto la función tiene un cambio de curvatura de cóncava a convea. La ecuación de la recta tangente en = 0 es y = +.. Estudia la monotonía y los etremos relativos de la función f() = Derivamos e igualamos a 0: f '() = = 0 = 4 y =. Tenemos los siguientes intervalos de monotonía:, f '() > 0 f() es creciente, 4 f '() < 0 f() es decreciente P,0 MÁXIMO y Q 4, 4 MÍNIMO 4, + f '() > 0 f() es creciente 4. Se quiere construir el marco para una ventana rectangular de 8 m. El metro del tramo horizontal cuesta a,5 y el de tramo vertical a 5 euros. Determina: a) Las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo. b) Cuánto cuesta el marco? María de la Rosa Sánchez Página 19

20 Se ha de hacer mínimo el coste: y,5 + 5y +,5 + 5y = y Como la superficie de la ventana es de 8 m, se tiene que: 8 y = 8 y =. Esta relación nos permite epresar la función a minimizar mediante una sola variable, teniéndose que: f() = 5 + = es la función coste en la que hay que buscar un mínimo f '() = = = 0 = 4. Se puede comprobar que para ese valor se alcanza un mínimo de la función. Por tanto, la ventana debe medir su tramo horizontal 4 metros y el vertical metros, siendo el coste del marco Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R() = 0, ,8 5, donde R() representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad? b) Cuánto dinero debemos invertir para obtener la máima rentabilidad posible? c) Cuál será el valor de dicha rentabilidad? a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece. La derivada es R'() = 0, ,8. Igualando a 0 y resolviendo la ecuación se tiene que = 00. Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso =00). La derivada es positiva en el intervalo (0, 00), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (00, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada, por lo que en 00 hay un máimo local. b) Teniendo en cuenta el apartado anterior debemos invertir 00 euros. María de la Rosa Sánchez Página 0

21 c) La máima rentabilidad es R(00)= -0,00.(00) +0,8.00-5=75 euros 6. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene epresada por la función V(t) = t - 9t + t, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t = 0). Indicar los instantes de máima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece. Para que la función tenga un máimo o un mínimo la derivada debe ser cero. V '(t) = t 18t Igualando a 0 y resolviendo la ecuación se tiene como soluciones t = 5 y t = 1. Se comprueba que la máima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas. Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V '(t) = t 18t [ ) ( ] 0, 1 V '(t) > 0 V(t) es creciente 1, 5 V '(t) < 0 V(t) es decreciente 5, 6 V '(t) > 0 V(t) es creciente 7. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y horas, viene dada por la epresión v() = ( - ).e, donde es el tiempo en horas y v() es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en qué momento 0, circula a la velocidad máima y calcular dicha velocidad. del intervalo [ ] En qué periodos gano velocidad y en cuales redujo? Se detuvo alguna vez? Nos piden que estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máimo de la función velocidad v. Utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece. También sabemos que la función tiene un máimo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia la monotonía (es decir pasa de crecer a decrecer) La derivada es: v '() = (1 ) e. Al igualar a 0 y resolviendo la ecuación (se debe tener en cuenta que e no se anula nunca), se tiene = 1. Estudiamos v en los alrededores de 1. v V Creciente Decreciente María de la Rosa Sánchez Página 1

22 Por lo tanto en = 1 hay máimo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el etremo: v() = ( - ).e v(1) = (-1) e = e (aquí el máimo como justificamos antes) v(0) = (-0) 1 = v() = (-) 1 = 0, que como da la velocidad 0 aquí se detuvo. 8. La cantidad de agua recogida en 009 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la epresión: 10 f(t) = 0 t 1 (t 6) + 1 Se pide: a) En qué periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida? b) En qué instante se obtuvo la cantidad máima de agua? c) Cual fue esa cantidad máima? a) Derivamos: 10 t (t 6) f '(t) = = 0(t 6) ( t 6) + 1 Resolviendo la ecuación f (t) = 0 se tiene que t = 6. Estudiamos el signo de la derivada: t f f Creciente Decreciente Se tiene que la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6 (primer semestre) b) En t =6 (en Junio) c) f(6)=10/1=10 millones de litros 9. La suma de dos números no negativos es 6. Halla dichos números para que: a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo mas grande posible. María de la Rosa Sánchez Página

23 Sean e y dichos números. a) Se pretende minimizar la epresión + y. Buscamos alguna relación en el enunciado para epresar dicha epresión mediante una sola variable. Como + y = 6, despejando y = 6. Sustituimos en nuestra epresión y definimos la función f() ( 6 ) de f(). = +. Por tanto, el problema se traduce en buscar un mínimo f '() = + (6 ) ( 1) = 4 7. Igualando a 0 y resolviendo la ecuación, tenemos que = 18. Comprobamos si para este valor se alcanza el mínimo: f f decreciente Creciente Los números buscados son = 18 e y = 18. b) En este caso se quiere que la epresión + y sea lo máimo posible. Como + y = 6, despejando y = 6. Sustituimos en nuestra epresión y definimos la función f() = + 6. Por tanto, el problema se traduce en buscar un máimo de f(). 1 1 f '() =. Igualando a 0 y resolviendo la ecuación, tenemos que = Comprobamos si para este valor se alcanza el máimo: f f Creciente Decreciente Los números buscados son = 18 e y = El coste de fabricación, en euros, de unidades de un artículo viene dado por la función f() = + 0. a) Cuál es la función que determina el coste de fabricación unitario?. b) Para qué producción resulta mínimo el coste unitario? Cuánto vale éste? Justifica tu respuesta. María de la Rosa Sánchez Página

24 a) Si f() = + 0 es el coste de fabricación de unidades, para hallar el coste de fabricación unitario dividimos entre : f() 0 0 g() = 1 1 = + = + es la función que determina el coste de fabricación por unidad. b) Para hallar el mínimo coste unitario derivamos e igualamos a 0: Elevando al cuadrado: g'() = = 0 = = = 0 = = 0 ( 400) = 0 = 400 Para determinar el mínimo estudiamos los intervalos de monotonía: g g Decreciente Creciente En = 400 se alcanza un mínimo. El coste mínimo por unidad se obtiene produciendo 400 unidades y asciende a 19 euros por unidad El número de plazas ocupadas de un aparcamiento a lo largo de las 4 horas de un día, viene epresado por la función: t si 0 t < 8 N(t) = 10t + 60t si 8 t < t 60t 100 si 16 t 4 a) A qué hora del día presenta el aparcamiento una ocupación máima? Cuántos coches hay a esa hora? b) Entre qué horas la ocupación del aparcamiento es igual o superior a 000 plazas? a) N(t) es una función continua, porque: Derivando: lím N(t) = 1840 = lím N(t) y lím N(t) = 000 = lím N(t) + + t 8 t 8 t 16 t 16 María de la Rosa Sánchez Página 4

25 0 si 0 < t < 8 N'(t) = -0t + 60 si 8 < t < 16-0t + 60 si 16 < t < 4 Para hallar los máimos relativos de N(t), igualamos a 0 la primera derivada: 0t + 60 = 0 t = 1 Como N''(1) = N''(18) = 0 < 0, los dos son máimos 0t + 60 = 0 t = 18 relativos. Veamos cuál es mayor: N(1) = 090; N(18) = 040 La ocupación máima se logra a las del aparcamiento es igual o superior a 000 plazas entre las 10 y 0 horas. b) t = 16 10t + 60t = 0 t + 6t 160 = 0 t = 10 t = 0 10t + 60t 100 = 000 t + 6t 0 = 0 t = 16 La ocupación del aparcamiento es igual o superior a 000 plazas entre las 10 y 0 horas. 1. De todos los rectángulos de perímetro 48 m, calcula las dimensiones del que tiene la diagonal más pequeña. y d Se ha de hacer mínima la diagonal: + y Como el perímetro es 48, se tiene que: + y = 48 + y = 4 y = 4. Esta relación nos permite epresar la función a minimizar mediante una sola variable, teniéndose que: f() = + (4 ) = es la función en la que hay que buscar un mínimo f '() = = = 0 4 = 0 = Se puede comprobar que para ese valor se alcanza un mínimo de la función. María de la Rosa Sánchez Página 5

26 f f Decreciente Creciente Para = 1 e y = 1, la función f presenta un mínimo. Por tanto, de todos los rectángulos de perímetro 48 m, el que tiene diagonal más pequeña es un cuadrado de lado 1 m Dada la función f() = a + b +, calcula a y b de manera que la gráfica de f pase por el punto (,10) y tenga tangente horizontal en ese punto. Que la gráfica de f pase por el punto (, 10), quiere decir que: f() = 10 6a + b + 1 = 10 6a + b + = 0 Para que en dicho punto tenga tangente horizontal, la pendiente de la recta tangente ha de ser 0. Es decir, f () = 0. 6 f '() = a 6 f '() = a = 0 a = 4 a = 9 Sustituyendo este valor en la ecuación anterior se tiene que: b + = 0 b = 14 f() = Un artículo de consumo estuvo a la venta durante 8 años, y su precio P(t) (en miles de euros) varió con el tiempo t (en años) que llevaba en el mercado, según la función: 4t + 4 si 0 t P(t) = 5 t + 5 si < t 8 Averigua en qué momentos se alcanzaron los precios máimo y mínimo y cuáles fueron esos precios. P(t) no es una función continua en t =. Sin embargo, cada trozo es creciente, ya que la derivada en cada uno de ellos es positiva. 4t + 4 si 0 t 8t si 0 < t < P(t) = 5 P'(t) = 5 t + 5 si < t 8 si < t < 8 María de la Rosa Sánchez Página 6

27 P(0) = 4; P() = 0; P(8) = 45 Por tanto, el máimo se alcanza en t = 8 y su precio es de El mínimo se alcanza en t = 0, siendo el valor de éste En la construcción de un túnel, el porcentaje de roca fragmentada o de mala calidad viene dado por el siguiente modelo matemático. R() representa dicho porcentaje cuando la distancia a la boca del túnel es (en kilómetros). Si en algún tramo de la perforación el porcentaje supera el 40 %, se deberían reforzar las medidas de sostenimiento y seguridad de la estructura. R() = 4, a) Indica en qué tramos de la perforación el porcentaje crece y en cuáles decrece. b) Dibuja la gráfica de la función. Será necesario reforzar las medidas mencionadas? c) Señala los máimos y mínimos (absolutos y relativos), así como los puntos de infleión de la curva. a) = 6 R'() = = 0 = R R Creciente Decreciente Creciente En el tramo (0,) (6,7) el porcentaje crece y en el intervalo (,6) el porcentaje decrece. b) y María de la Rosa Sánchez Página 7

28 No será necesario reforzar las medidas ya que el porcentaje máimo que se alcanza es 7,5 % y no supera el 40 %. c) El máimo absoluto se alcanza en (,7.5). El mínimo absoluto se alcanza en (0,15) y el mínimo relativo en (6,). Utilizamos la segunda derivada para calcular los puntos de infleión: Hay un punto de infleión en (4.5, 5.7). 9 R''() = 9 = 0 = = 4,5 16. En una región, un río tiene la forma de la curva por un camino según el eje OX. 1 y = + y es cortada 4 Realiza un esquema de la posición del río y del camino, calculando para la curva el corte con los ejes coordenados, etremos relativos e intervalos de crecimiento. Dominio: R Cortes con los ejes: 1 o Eje : y = 0 + = 0 = 0 y = 4 o Eje y: = 0 y = 0. Asíntotas: No tiene por ser polinómica. Monotonía: f '() = + 1. Igualando a 0 y resolviendo la ecuación: 4 + 1= 0 = y =. Tenemos, por tanto, los siguientes intervalos de 4 monotonía:, f '() > 0 f() es creciente 8, f '() 0 f() es decreciente P, MÁXIMO y Q(,0 ) MÍNIMO < 7, + f '() > 0 f() es creciente La representación gráfica es: María de la Rosa Sánchez Página 8

29 y Dada la curva y =, calcula: + 1 a) Los puntos de corte con los ejes coordenados. b) Las asíntotas. c) Realiza una representación gráfica de la misma. a) Eje : y = 0 = 1 - Eje y : = 0 y = 1 b) Asíntota vertical en = -1 y asíntota horizontal en y = 1. c) y Dada la función f() = 0 a) Determina las asíntotas de la función. b) Calcula los máimos y mínimos relativos y determina sus intervalos de crecimiento. María de la Rosa Sánchez Página 9

30 a) Asíntota vertical en = 0 No tiene asíntotas horizontales ya que lím + + = Asíntotas oblicuas: y = m + n f() m = lím = lím : = lím = n = lím ( f()-m) = lím ( f()-) = lím = lím = 1 Por tanto, hay una asíntota oblicua en y = + 1. b) Para determinar los etremos relativos (máimos y mínimos), derivamos e igualamos a 0:, f '() > 0 f() es creciente f '() = = 0 = 0 = ± -, 0 f '() < 0 f() es decreciente P(,1'8 ) MÁXIMO y Q(,'8 ) MÍNIMO 0, f '() < 0 f() es decreciente, + f '() > 0 f() es creciente t t La función f(t) = representa la concentración de oígeno en un t + 1 estanque contaminado por residuos orgánicos en un tiempo t (medido en semanas). a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(t) para t 0 así como los instantes donde la concentración de oígeno es máima y mínima. b) De forma razonada, y conforme a los datos anteriores, representa gráficamente la función para t 0, estudiando con todo detalle sus asíntotas. a) t 1 f '(t) = = 0 t = ± 1. Tomamos solo la solución t = 1, ya que t (t + 1) ha de ser positivo. f María de la Rosa Sánchez Página 0

31 f Decreciente Creciente La concentración de oígeno es mínima para t = 1. t t + 1 Como f(0) = 1 y lím = 1, la función alcanza el máimo absoluto t + t + 1 para t = 0. b) Como el denominador nunca se anula, la función no tiene asíntotas verticales. lím f(t) = 1 hay una asíntota horizontal en y = 1. t + y 1 1 t 0. Los gastos de mantenimiento de la maquinaria de una determinada empresa, G() (en miles de euros), vienen dados en función del tiempo, en meses, que dicha maquinaria lleva en funcionamiento. La epresión de G() es: + si G() = 6 60 si > a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. b) Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? c) Alcanza la función algún máimo o mínimo? Razona la respuesta. María de la Rosa Sánchez Página 1

32 a) si 0 < < G'() = 150 si > 15 ( + 15) Para 0 < < 15, la derivada es negativa, luego la función decrece. Para > 15 la derivada es positiva, luego la función es creciente. b) c) 6 60 lím G() = lím = 6. A medida que transcurre el tiempo los gastos de mantenimiento se acercan a lím G() = lím = lím G() = 1= G(15) lím G() = lím = G() es continua en = 15 y en ese punto la función pasa de ser decreciente a ser creciente, por lo tanto, tiene un mínimo relativo en el punto P(15,1). 1. El precio en euros, P, de un producto depende del número de días,, transcurridos desde que dicho producto se puso en venta. La función que relaciona y P es: P() = a) Determina si la función tiene máimo. Razona tu respuesta. b) Si el producto se retira del mercado porque el precio es nulo, cuándo ocurre esto? c) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función. a) P'() = + 0 = 0 = 0 = 0 Para determinar si es un máimo o un mínimo, utilizamos la derivada segunda: P''() = < 0 MÁXIMO La función tiene un máimo en el punto P(0,675). b) Igualando a 0 la función y resolviendo la ecuación resultante, se obtienen como soluciones = -15 (no válida) y = 75. Por tanto, el precio es nulo transcurridos 75 días desde que el producto se puso a la venta. c) El signo de la derivada nos da la monotonía: María de la Rosa Sánchez Página

33 P P Creciente Decreciente La función crece en el intervalo (,0) y decrece en ( 0,+ ).. Un canal privado de televisión ha comprobado que durante los 75 minutos que duró la retransmisión de un partido de tenis, el índice de audiencia fue variando según la función I(t) = At + Bt + C, 0 t 75. Sabiendo que al inicio de la retransmisión el índice de audiencia era de 6 puntos y que a los 0 minutos se alcanzó el índice de audiencia mínimo con puntos: a) Determina las constantes A, B y C. Justifica tu respuesta. b) Representa la función. a) I(0) = C = 6 C = 6 I'(t) = At + B = 0 I'(0) = 0 60A + B = 0 I(0) = 900A + 0B + 6 = Resolviendo el sistema, se tiene que 1 A = y 00 1 B = b) La función es I(t) = t t t y Dada la función f() =, determina: 4 a) Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. María de la Rosa Sánchez Página

34 b) Ecuación de sus asíntotas. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos relativos. e) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente. a) Dominio es {, } R. Cortes: - Eje : y = 0 = 0 = 0 = Eje y: = 0, y = 0 b) Como lím = lím 4 4 =, hay una asíntota vertical en = y otra en = -. Al ser lím 4 = 1, hay una asíntota horizontal en y = -1. c) (4 ) ( ) 8 f '() = = = 0 = 0 ( 4 ) ( 4 ), f '() < 0 f() es decreciente,0 f '() < 0 f() es decreciente 0, f '() > 0 f() es creciente, + f '() > 0 f() es creciente d) Con la información anterior tenemos que la función tiene un mínimo relativo en el punto P(0,0). e) La gráfica es: 5 y María de la Rosa Sánchez Página 4

35 4. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máimos y mínimos, de la función f() = e. f '() = e + e = e ( + ) Igualando a 0 y resolviendo la ecuación, se tienen las soluciones = 0 y = -. Para resolver la ecuación anterior hay que tener en cuenta que la función eponencial nunca se anula. Los intervalos de monotonía son:, f '() > 0 f() es creciente P(,59'1) MÁXIMO,0 f '() < 0 f() es decreciente Q(0,0) MÍNIMO 0, + f '() > 0 f() es creciente 5. Dada la función f() =, se pide hallar: a) El dominio. b) Los puntos de corte con el eje OX. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los valores de para los cuales se alcanza un máimo o un mínimo. d) Curvatura y puntos de infleión. e) Con los datos anteriores, representa gráficamente la función. a) R b) Resolvemos la ecuación: = 0 = 0, = 1 y =. Los puntos de corte tienen de coordenadas (0,0), (1,0) y (-/,0). c) Derivamos e igualamos a 0: f '() = 9 = 0 Aproimadamente = 0,6 y = 0,1, 0'1 f '() > 0 f() es creciente -0'1, 0'6 f '() < 0 f() es decreciente 0'6, + f '() > 0 f() es creciente ( ) P 0'1,0' MÁXIMO y Q 0'6, 0'91 MÍNIMO d) 1 f ''() = 18 = 0 = =. Veamos si es punto de infleión 18 9 estudiando si en él se produce un cambio de curvatura. María de la Rosa Sánchez Página 5

36 1, f ''() 0 CÓNCAVA 9 < 1 56 P, PUNTO DE INFLEXIÓN 1 9 4, + f ''() > 0 CONVEXA 9 e) La gráfica es: y Entre todos los rectángulos de área de m, encuentra las dimensiones del que tiene mínimo el producto de sus diagonales. Si llamamos a la base del rectángulo e y a su altura, se trata de hacer mínima la epresión: Como el área son m, se tiene que: + y + y = + y y = y = Sustituyendo en la epresión anterior, el problema se traduce a buscar el mínimo de la función: Derivamos e igualamos a 0: f() = + = + = f '() = = 0 18 = 0 = 0, = y = 4 María de la Rosa Sánchez Página 6

37 De todas las soluciones que han salido sólo nos interesa =, ya que la base del rectángulo ha de ser positiva. Estudiando el signo de la derivada a la izquierda y derecha, se concluye que en = se alcanza un mínimo y para este valor y = =. 7. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes, colocando las alambradas de las divisiones paralelas a uno de los lados del rectángulo. Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que el área sea la mayor posible? Si llamamos a la base del rectángulo e y a su altura, se trata de hacer máima y. Como se dispone 160 m de alambre, se tiene que + 4y = 160, que simplificada es + y = 80. En este caso despejamos, ya que si despejamos y nos saldrán fracciones: = 80 y Sustituyendo en la epresión que queremos maimizar, se tiene la función f(y) = y (80 y) = 80y y. Derivando e igualando a 0: f '(y) = 80 4y = 0 y = 0 Estudiando el signo de la derivada a la izquierda y derecha de 0 se concluye que para y = 0 se alcanza un máimo y para este valor = Dada la función f() = a + b +, calcula a y b de manera que la gráfica de f pase por el punto (,4) y tenga tangente horizontal en ese punto. Que f pase por el punto (,4) implica que f() = 4. Por otro lado que tenga tangente horizontal en dicho punto implica que f () = 0. f() = a + b + 1= 4 a + b = 1 f '() = a = 0 a = 9 Sustituyendo en la epresión anterior y resolviendo la ecuación b =. 9. Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f() = en =. María de la Rosa Sánchez Página 7

38 La pendiente de la recta tangente a la curva en = es f (). 1 f '() = f '() = = 4 < 16 si 0. Dada la función f() = si de la recta tangente a la gráfica de la función en = 1. calcula la pendiente La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la función en el punto en el que se calcula la tangente. En este caso nos pide f (1) = - 1 = Dada la función f() =, halla la ecuación de la recta tangente en = 0. 1 La ecuación de la recta tangente es: y - f(0) = f'(0)( - 0) Calculamos f(0) y f (0). f(0) = 0 1+ f '() = f '(0) = 1 Por tanto: ( 1 ) - Recta tangente: y =. Determina las ecuaciones de la recta tangente a la gráfica de la función y = L en el punto de abscisa = 1. La ecuación de la recta tangente es: y - f(1) = f'(1)( -1) Calculamos f(1) y f (1). f(1) = 0 1 f '() = f '(1) = 1 Por tanto: - Recta tangente: y = - 1. Determina en qué puntos de la gráfica de la función y = + + 1, la recta tangente a la misma es paralela a la recta y = + 7. María de la Rosa Sánchez Página 8

39 Escribe las ecuaciones de la recta tangente en los puntos obtenidos. Para que sea paralela las pendientes han de ser iguales. Por tanto: f '() = 1 f '() = 6 + 1= 1 6 = 0 = 0 y =. Ecuación de la recta tangente en = 0: y 1 = Ecuación de la recta tangente en = : y + 1 = 4. Calcula el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de la función f() = a + 5 4, en el punto de abscisa, corte al eje X en el punto = 5. Cuál es la ecuación de la recta normal? La ecuación de la recta a tangente en = es: y - f() = f '()( - ) f() = 9a + 11 y ( 9a + 11) = ( 6a + 5)( ) f '() = 6a + 5 Para que corte al eje, y ha de ser 0 y como ha de ser en = 5, sustituyendo: 9a 11 = ( 6a + 5) a = 1 5. Dada la función f() = + b + c, calcula los valores de b y c si esa función pasa por el punto (1,4) y en ese punto la ecuación de la recta tangente es y = 4. Que la función pase por el punto de coordenadas (1,4) implica que f(1) = 4 y que la recta tangente en dicho punto sea una recta horizontal implica que f (1) = 0 (pendiente 0). Por tanto: f(1) = 4 1+ b + c = 4 f '(1) = 0 + b = 0 b = c = 6. Halla los puntos de la gráfica de f() = + en los cuales la recta tangente es paralela a la recta y =. Para que la recta tangente sea paralela ha de tener la misma pendiente. Por tanto, hay que resolver la ecuación f () = = 1 6 = 0 = 0 y = María de la Rosa Sánchez Página 9

40 7. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento así como los máimos y mínimos de las siguientes funciones: a) b) c) f() = ( + 1) 4 g() = + h() = + 1 d) + i() = 1 e) j() = + - a) f() = ( + 1) = + f '() = + = 0 = 0 y =, f '() > 0 f() es creciente 4,0 f '() 0 f() es decreciente P, MÁXIMO y Q( 0,0 ) MÍNIMO < 7 0, + f '() > 0 f() es creciente b) 4 g() = + g'() = = 0 = 1, = -1' 7, = 0,7, 1' 7 f '() > 0 f() es creciente 1' 7,0' 7 f '() < 0 f() es decreciente 0' 7,1 f '() > 0 f() es creciente 1, + f '() < 0 f() es decreciente P(-1 7, 4 85) MÁXIMO; Q(0 7, -0,5) MÍNIMO; R(1, 0) MÁXIMO c) h() = + 1 h'() = + = 0 = 0 y =,0 f '() < 0 f() es decreciente 0, f '() 0 f() es creciente <, + f '() 0 f() es decreciente < P, 0'85 MÁXIMO y Q( 0, 1 ) MÍNIMO d) + i() = i'() = = 0 = 0 y = 1 1 ( ) María de la Rosa Sánchez Página 40

41 ,0 f '() > 0 f() es creciente 0,1 f '() < 0 f() es decreciente P(0, ) MÁXIMO 0, f '() < 0 f() es decreciente Q(,) MÍNIMO, + f '() > 0 f() es creciente e) + j() = j'() = = 0 = ± + +, f '() < 0 f() es decreciente -, f '() > 0 f() es creciente P,0'5 MÁXIMO y Q, 0'5 MÍNIMO, + f '() < 0 f() es decreciente a 8. Dada la función f() = + mínimo relativo en =., calcula el valor de a para que f() tenga un Para que f tenga un mínimo relativo en =, ha de verificarse que f () = a 6 a f '() = = 0 f '() = = 0 a = 18 ( + ) Determina los intervalos de concavidad y conveidad así como los puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y = b) 4 y = + a) y '' = 6 6 = 0 = 1,1 f ''() < 0 CÓNCAVA 1, + f ''() > 0 CONVEXA P 1,4 PUNTO DE INFLEXIÓN b) y'' = = 0 = 0 y = -1, 1 f ''() > 0 CONVEXA 1,0 f ''() < 0 CÓNCAVA P 1, 4 y Q(0, -) PUNTOS DE INFLEXIÓN 0, + f ''() > 0 CONVEXA 40. Halla dos números cuya suma sea 0 sabiendo que su producto es máimo. María de la Rosa Sánchez Página 41

42 Hay que maimizar el producto y. Como + y = 0, de esta relación formamos la función f() = (0 - ). Derivando y resolviendo la ecuación que se obtiene al igualar la derivada a 0, se obtiene que un posible máimo se alcanza para = 10. Se comprueba que efectivamente es un máimo y se concluye diciendo que los números son = 10 e y = 10. María de la Rosa Sánchez Página 4