RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

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1 1. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máimo premio que se pueda obtener en este concurso. Condición: A(, ) (Función Objetivo) Condición: + 1- Función Objetivo: A(, ) A() (1-) - A ()1- A () / m. A () - A (1/) - < 0 (es un máimo) Solución: 5 dm. e 5 dm., siendo Área 5 dm. Cuantía máima a percibir por el premio 5.. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que su área sea la maor posible? A(, ) (Función objetivo) Condición: Condición: Función: A(, ) 80 A() /5.-

2 A () 0- A () 0 0 m. A () -1 < 0 (el punto es un máimo) Para 0 m. resulta m. Solución: 0 m, 0 m.. Se dispone de 00 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. Qué dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la maor área posible? Razonar el proceso. Función: A(, ) Condición: + 00 Condición: Función: A(, ) A() (00-) 00- A () 00- A () m A () - < es un máimo, siendo Solución: 100 e 100, es un cuadrado. Un terreno de forma rectangular tiene 00 m va a ser vallado. El precio del metro lineal de valla es de euros. Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el costo de la valla sea mínimo? 00 m Perímetro del vertedero: P + Coste cerca: P ()+() 8+8 (función objetivo) Condición: 00 Condición: /5.-

3 Coste cerca: C(, ) 8+8 C() C () 8- C () 0 00 ± 0; Solución válida 0 m. C () 00 C (0) 0.8 > 0 Es un mínimo Para 0 m., siendo 00 00/0 0 m. Solución: Las dimensiones del solar son cuadradas con 0m. e 0m. 5. Supongamos que el solar del problema anterior tiene 00 m un lado a lo largo del río requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. Qué dimensiones darán el costo más bajo? Río Condición: Función objetivo: C(, ) () C() C () Función: C(, ) () Condición: 00 C ()0 5 ± 15 (Solución válida: 15 m.) C () C (15) > Luego, en 15 ha un mínimo, siendo 0/. Solución: Las dimensiones del solar serán en este caso 15 m. e 0/ m. -. /5.-

4 6. (El Problema del Cable más Corto) Dos postes con longitudes de 6 8 metros respectivamente se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Calcule aproimadamente la longitud mínima de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes luego hasta la punta del otro poste. Función: L cable Condición: (10-) m. L cable L() (10 ) (10 ) L () (10 ) L () (10 ) (10 ) solucion no validad > 0 L () ( 6 + ) 6 + ( 10 ) L (0/7) > 0 0/7 es un mínimo L(0/7) Solución: Longitud mínima L(0/7) m. -. /5.-

5 7. (El Primer Problema de la Ventana) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana que deja pasar más luz, si su perímetro mide 5 metros. r L circunferencia L πr L semicircunferencia L π r / Perímetro rectángulo + Perímetro total ++πr 5 (condición) π r Función: Área: A(, ) + π 10 ( + π ) Condición: π r π / Función: A(, ) + + A() ( π ) π A () 10 π A () m + π A () π < 0 1. es un máimo 10 ( + π ) 10 / + π 0.7 m Solución: Dimensiones de la ventana: Ancho: 1. m.; Alto: + r m. -. 5/5.-

6 8. Las páginas de un libro deben medir cada una 600 cm de área. Sus márgenes laterales el inferior miden cm. el superior mide cm. Calcular las dimensiones de la página que permitan obtener la maor área impresa posible. Alto de la página impresa: -5 Ancho de la página impresa: - Área impresa (-) (-5) (función objetivo) Área páginas 600 (condición) Condición: / Función: A(, ) (-) ( ) A() A () -5+ A ()0 ± 80 ± 0 (La solución negativa no es válida).800 A ( 0 ) ( ) < 0, es un máimo, siendo Solución: 0 cm. e 5 0 cm. 9. Una hoja de papel debe contener 18 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior han de tener cm. cada uno, los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. 1 Función: A(, ) Condición: (-) (-) /5.-

7 Condición: (-) (-) Función: A(, ) A() A() 16 0 A () A () (solución negativa no es válida). A () Solución: 10 e 5. ( ) ( 16)( ) ( )( 16 0) ( ) A (10) > 0, es un mínimo. 10. Un pastor dispone de 1000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared a eistente. Halla las dimensiones de la cerca para que el área encerrada sea máima. Función: f(, ) Condición: f(, ) f() (1.000-) f()1.000 f () f () 0 50 f () - f (50) < 0. Por lo tanto, 50 es un máimo. Solución: 50 e Un segmento de longitud de 5 cm. apoa sus etremos en los semiejes positivos OX OY, de tal manera que forma con éstos un triángulo. Halla las dimensiones del triángulo de área máima así construido. 5 Función: f(, ) Condición /5.-

8 Condición: + 5 Función: f(, ) 5 f() 5 f () 5 10 f () 5 Solución: 5; 10 5 f () 0 ± 5 (La solución negativa no es válida). f ( 5< 0). Por lo tanto, es un máimo. 1. Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior se ha sustituido por un triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es 6,6 m, hallar sus dimensiones para que la superficie sea máima. Función: A total A triángulo + A rectángulo Condición: Condición: A total f(, ) + + f() + ( ) f() f ( ) f ( ) 1 f (1.5) < 0. Luego, 1.5 es máimo. Solución: 1.5; /5.-

9 1. Dividir un segmento de 6 cm. de longitud en dos partes, con la propiedad de que la suma de las áreas del cuadrado del triángulo equilátero construidos sobre ellos sea máima. A total A triángulo + A cuadrado Condición: + 6 Condición: Función: A total Sustituimos obtenemos: f() + (6 ) f (, ) + f() f ( ) 86 f ( ) f ( ) f (0.7) < 0 Luego, en 0.7 es máimo. Solución: 5.; Se considera una ventana como la que se indica en la figura (la parte inferior es rectangular la superior una semicircunferencia). El perímetro de la ventana mide 6 m. Halla las dimensiones e del rectángulo para que la superficie de la ventana sea máima (Epresa el resultado en función de π). / / π Condición: + + 6, luego π Funcion : f(, ) /5.- 1 π

10 1 π π f( ) + 8 π f( ) 8 1 f ( ) ( 8 π ) 8 1 f ( ) 0 + π π f ''( ) 1 1 π 1 f ( ) 1 < 0 es un máimo + π + π Solución: ; + π π Entre todos los rectángulos de perímetro 1 m. cuál es el que tiene la diagonal menor? Razonar el proceso seguido. Condición: Función: f(, ) + ( ) 6 ( ) f + f + ( ) 1 6 f ( ) Para f () 0 tenemos que f ( ) 6 ( ) 1+ 6 sustituimos, f () > 0, por lo tanto es mínimo. Solución: e -. 10/5.-

11 16. Calcula el área máima que puede tiene un triángulo rectángulo tal que la suma de la longitudes de sus dos catetos vale cm. Condición: + ; - Función: Área f(,) / f(, ) f( ) f( ) f ( ) ( ) f ( ) 0 f ( ) 1 f () < 0 de donde tenemos que es máimo. Solución: e. 17. Halla las dimensiones del rectángulo de área máima inscrito en una circunferencia de 10 cm. de radio. Razonar el proceso seguido. Condición: + (0) cm Función Área f(, ) f( ) 00 f ( ) f ( ) 0 ± 10 La solución negativa no es válida /5.-

12 00 00 f ( ) ( ) ( ) 00 f (10 ) < 0 es un mínimo Solución: 10 ; En un jardín con forma semicírculo de radio 10 m se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuos lados está sobre el diámetro el opuesto a él tiene sus etremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máima. Condición: P(,) pertenece a la Circunferencia Función:f(,) ( ) f, ( ) f f ( ) f ( ) 0 ± 5 (La solución negativa no es válida) 100 f (5 ) < 0 (máimo) Solución: Dimensión del parterre será de base 10 m ; altura 5 m. Siendo el área máima de 100 m. -. 1/5.-

13 19. Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el perímetro de uno de ellos sea triple del perímetro de otro, se necesiten eactamente 18 metros de valla para vallar los tres la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible. z Llamamos,, z, a los lados de las tres parcelas. Condiciones: i) z ii) ++z 18 de donde z, entonces 1 Función: S(,,z) + + z S() + (1-) +9 S() S () 5-96 para S () 0 tenemos que 8 S () 5 S (8) > 0, por tanto, es mínimo. Solución: 8 m 10 m z 1 m. 0. Una arquitecta quiere construir un jardín rectangular en un terreno circular de 100 metros de radio. Halla las dimensiones de dicho jardín para que el área sea máima. Condición: + 100, luego tenemos que Función: Área del jardín rectangular /5.-

14 A (, ) A ( ) 100 El valor que haga máima el área, también hará máima a A () los cálculos se simplifican haciendo: ( ) ( ) B ( ) A Se descarta B ( ) 0000 B ( ) m B ( ) B (70.71) < 0 máimo ( ) Solución: Para resulta m 1. Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máima. Calcular dicha suma. Condición: + e, de donde tenemos que e- Función: S(,) ln() + ln() S() ln() + ln(e-) 1 1 e S'( ) S'( ) 0 e 1 1 e 8 S''( ) S''( ) < 0 e ( e ) luego, tenemos que es máimo. e e La suma pedida será: suma ln + ln e ln. Solución: e/ la suma S -ln. Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede epresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maimizar su seguridad? -. 1/5.-

15 Alarmas tipo A Alarmas tipo B Condición: + 9, luego 9- Función: La Seguridad se epresa como: f(, ) 10 ( 9 ) 10 f (, ) f( ) f( ) f ( ) f ( ) 0 10 los valores de la que anulan la primera derivada son f ( ) f (9) > f () < 0 10 luego, 9 es mínimo es máimo. Solución: Será necesario instalar de tipo A alarmas de tipo B 6 alarmas.. Calcula dos números que cumplan que al sumarlos resulte 10 la resta de uno de ellos menos el inverso del otro sea mínima. Condición: + 10, de donde 10- La función: 1 f(, ) 1 9 f( ) f ( ) ( 10 ) Como f () 0 tenemos que /5.-

16 f ( ) 180 ( 10 ) f (19.5) > 0 mínimo f (0.6) < 0 máimo Solución: 19.5 e Si un cultivador valenciano planta 00 naranjos por hectárea, el rendimiento promedio es de 00 naranjas por árbol. Por cada árbol adicional que siembre por hectárea, el cultivador obtendrá 15 naranjas menos por árbol. Cuántos árboles por hectárea darán la mejor cosecha? Nº naranjos / hectárea 00 Rendimiento / árbol 00 naranjas nº árboles a plantar R () Rendimiento() ( ) ( ) R( ) R( ) R ( ) R ( ) Solución absurda. Conclusión: Sin plantar árboles la producción que se obtiene es mejor que si aumentamos el número de frutales de esta variedad. 5. El propietario de un edificio tiene alquilados los 0 pisos del mismo a un precio de 600 cada uno. Por cada 60 que el propietario aumenta el precio observa que pierde un inquilino. a qué precio le convienen alquilar los pisos para obtener la maor ganancia posible?(auda: llamar nº de 60 que aumenta o lo que es lo mismo el nº inquilinos perdidos.) 0 pisos 600 euros / cada uno Si aumenta euros por cada piso cobra 600 +, pero alquila 0 60 pisos. La función es el beneficio obtenido: B ( ) (600 + ) 0 con 0 < < B ( ) /5.-

17 B ( ) 0 B ( ) B ( ) B (900) < 0 Es Máimo. 0 Solución: Aumentará Entre todos los triángulos isósceles (dos lados iguales) de perímetro 0 cm., cuál es el de área máima? 0 Condición: + 0 h Función: A (, ) A ( ) A ( ) A ( ) A (10) < 0 Es un máimo Solución: 10, Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar empleados comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra máquinas contrata empleados, el número de unidades de producto que podía fabricar vendría dado por la función: f (, ) 90 Cada máquina le supone una inversión de 500 cada contrato de un nuevo empleado otro de 1500 Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 500 para este fin, determine el número de obreros que debe contratar el número de máquinas que debe comprar para maimizar la producción. máquinas. empleados /5.-

18 Solución:, Condición: f, 90 Función: ( ) 5 5 f( ) 90 f ( ) f f ( ) 0 1 ; 9 f ( ) f () < 0 Es Máimo. f (9) > 0 Es Mínimo. ( ) Una esmeralda pesa 16 grs. sabemos que su valor es proporcional al cuadrado de su peso. Si partimos en dos trozos la esmeralda, halla el peso que debe tener cada uno de ellos para que su valor sea mínimo. Condición: peso de un trozo. peso del otro trozo. La función que queremos optimizar es la que nos da el valor de la esmeralda después de dividirla, que dependerá del peso de cada trozo. Función: f (, ) k + k k( ) ( + ( 16 ) ) ( + 56) f (, ) + f ( ) k f ( ) k f ( ) k( ) ( ) 0 8 f ( ) k f, consideramos k > 0 f (8) > 0 Es mínimo. Solución: 8 gramos e 8 gramos /5.-

19 Ejercicios de ampliación 9. La base menor de un trapecio isósceles mide 6 metros la longitud de los lados no paralelos es de metros. Calcula cuánto debe medir la base maor para que el área del trapecio sea máima. h 6 Condición (por Pitágoras): h + h Función: A trapecio ( ) ( 6 ) BASE + base h + h Atrapecio ( + ) h f(, h) ( ) f( ) < 0 Se descarta 6 f ( ) f ( ) > f ( ) f ( ) < 0 es máimo ( ) Solución: + 1 e + 1 (el valor 1se descarta) 0. Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitudes Con el de longitud se forma un triángulo equilátero con el otro segmento se forma un cuadrado. Sea f() la suma de las áreas del triángulo del cuadrado. Indicar razonadamente para qué valor de se obtiene que la suma de las áreas del triángulo del cuadrado es mínima /5.-

20 h / (100-)/ Condición: Altura del triángulo h 6 6 Área del triángulo 6 a triangulo 6 Área del cuadrado a cuadrado 100 Función: atriángulo + a f() cuadrado 100 f( ) f ( ) f ( ) f ( ) > 0 ( mínimo) 18 Solución: Para 8.86 resulta la suma de áreas mínima, siendo 8.86 h En una carretera a través del desierto un automóvil debe de ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 Km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A B que le permite ir a una velocidad de 100 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A B es de 00 Km, determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible. P La ruta a seguir es AMP A M B 00 Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ABP se obtiene: AB En el triángulo MBP se obtiene MP /5.-

21 Y el tiempo que tarda el automóvil en recorrer la distancia AM + MP es: t( ) 1 Derivando, t () Si hacemos t () 0 obtenemos ± La solución negativa no tiene sentido: AM El automóvil deja la carretera a 175 km de la ciudad A. Podemos comprobar que es un mínimo utilizando la segunda derivada: t () 60( + 00 ) 60 ( ) t () + 00 ( ) Para 5 t () > 0, por lo tanto, es un mínimo. Solución: La ruta a seguir es AMP, de A a M ha 175 Km. de M a P ha Km., con lo que recorrerá en total 550 Km. a una velocidad de 100 Km/h Sea T un triángulo de perímetro 60 cm. Uno de los lados del triángulo T mide cm. los dos lados tienen la misma longitud. a) Deducir razonadamente las epresiones de las funciones A f tales que: A() Área del triángulo T F() {A()} Indicar además entre que valores puede variar. b) Obtener, razonadamente, el valor de para el que f () alcanza el valor máimo. Condición: La altura del triángulo será: h -. 1/5.-

22 a) Solución: 60 A (, ) A triangulo A ( ) 60 F(, ) ( A(, ) ) F( ) b) ( 60 ) F( ) 900 F ( ) ( ) F '( ) Por las condiciones del problema descartamos 0, siendo: F ( ) 90 F (0) < 0. Por lo tanto es máimo. Solución: 0 e 0.. Comprueba que el rectángulo de maor área que puede inscribirse en una circunferencia de ecuación. + r es un cuadrado de lado r r b/ h/ Condición: r r h r b b h + b + h Función Área b h -. /5.-

23 f(, b h) bh f( b) b r b b f ( b) r b f ( b) 0 b r r b ( ) ( ) b b r b + b f ''( b) < 0 r b r b ( ) h r b r r r Solución : El area es maima para: b r; h r. Determine los puntos de la curva que están a distancia mínima del punto P (, 0). Q 1 Condición: de donde Un punto de la curva tiene la forma P(, ± ) 0 1 P(,0) Función: (, ) ( ) ( ) dpq + ± Q ( ) ( ) dpq (, ) + ± d + ( ) 16 d ( ) d ( ) d ( ) d () > 0 ( + 16) El punto es mínimo. Solución: Q1(, ) Q(, ) -. /5.-

24 5. Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas ( 0,0), (a,0), ( 0, b ) ( a, b), de modo que el punto ( a, b) tiene coordenadas positivas está situado en la curva 1 de ecuación: +. De todos estos rectángulos hallar razonadamente el de área mínima. 1 Condición: Si (a, b) pertenece a la curva, verifica: b + a 1 1 Función: El área del rectángulo es Aa ( ) a + a + a a 1 1 A ( a) + A ( a) 0 a± a El valor a -1/ no es valido por que se indica que las coordenadas son positivas. 1 A ( a) A ( ) > 0 (es mínimo) a Solución: Los vértices serán (0,0), (1/,0), (1/,8) (0,8) 6. (Problema del tiempo mínimo).- Un nadador, A, se encuentra a km. De la plaa enfrente de una caseta. Desea ir a B, en la misma plaa, a 6 Km. De la caseta. Sabiendo que nada a km/h que anda por la arena a 5 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible. P 6 - B h 9 + a Km/h Recorre 6 a 5 Km/h Km h Tiempo empleado: t( ) A -. /5.-

25 t ( ) Haciendo t ( ) ; (No valida) t ( 5) > 0 Es mínimo. Solución: Debe dirigirse a un punto que esté a.5 Km de la caseta. Tiempo que tarda en llegar: t t horas Determina el punto de la gráfica de la función f ( ) en el que la pendiente de la recta tangente es máima. Cuál es la ecuación de la recta tangente en ese punto? Condición: f ( ) Pendiente: p ( ) f ( ) p ( ) 6 + 1, p ( ) 0 p ( ) 6, p () < 0 Es Máimo Solución: Punto buscado: P(, f ()) P(, 7) Ecuación Recta Tangente: 7 p() ( ) 7 5 ( ) -. 5/5.-

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