DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

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1 DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada al estudio cualitativo de una función (crecimiento, decrecimiento, etremos locales, puntos de infleión, concavidad). Representación gráfica de funciones. Idea intuitiva del concepto de derivada. El cálculo de derivadas y diferenciales se comienza en el siglo XVII con el propósito de dar respuesta a tres problemas que en aquellos tiempos tenían en jaque a los más eminentes matemáticos y físicos europeos: - La definición de velocidad. - La determinación de la recta tangente a una curva en un punto dado. - El cálculo de máimos y mínimos de una función. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto a al siguiente límite, si es que eiste: lim h0 f(a + h) - h f(a) Si el límite eiste se dice que la función es derivable en el punto a. La derivada de una función en un punto es un número real. Por tanto conviene tener presente que el cálculo de derivadas se reduce al cálculo de límites. Para de signar este límite, o lo que es lo mismo la derivada de la función f en el punto a, se emplean diversas notaciones: y (a), f (a), df d dy, d Las dos primeras son debidas a Lagrange y las dos últimas a Leibniz. Otra forma de escribir la derivada en un punto es la siguiente: si hacemos a+h, entonces h-a, con lo que ->a cuando h->0. Sustituyendo estos valores en la fórmula anterior se obtiene una segunda forma de epresar la derivada: f (a) lim a f() - f(a) - a * Interpretación geométrica de la derivada. La recta tangente es el límite de la secante, y su pendiente coincide con el límite de las pendientes de las secantes. La pendiente de la tangente en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto: mf'(a) La ecuación de la recta tangente en el punto P(a,f(a)) es y - f(a) f (a)( - a)

2 mf (a) f t f(a) α a La ecuación de la recta normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Viene dada por: y - f(a) f ( - a) (a) Función derivada. sucesivas. Si una función f es derivable en un subconjunto D' de su dominio D, es posible definir una nueva función que asocie a cada número real de D' su derivada en ese punto. Esta función así definida se llama función derivada o, simplemente derivada. Si f' es derivable, se llama segunda derivada de f, y se simboliza por f'', a la derivada de f'. TABLA DE DERIVADAS. y k 0 y n - y u n u u n y n u y y log a ln u u u n u n n- u loga u u u e u u y a a u lna y senu u cosu y cosu u senu y tagu u u [+tag u] cos u y

3 - ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. Para dibujar la curva (C) de la función f:->yf() se estudiará sucesivamente los siguientes puntos: * Dominio (D) de la función o campo de eistencia. * Simetrías. a) Función par: f(-)f() Eje de simetría OY. b) Función impar: f(-)-f() Centro de simetría el origen. Para comprobar que una curva no tiene simetrías (la función no es par ni impar ) basta ver que, siendo a un punto cualquiera del dominio d, se tiene que f(-a) f(a) y f(-a) -f(a). * Puntos de corte con los ejes. a) Corte con el eje OX f()0 Las abscisas de los puntos de corte son las raíces de esta ecuación. b) Corte con el eje OY f(0)y * Asíntotas. Se dice que una curva tiene ramas infinitas si eisten puntos de la curva cuya distancia al origen de coordenadas es mayor que cualquier número prefijado. Si una curva tiene ramas infinitas, la recta (si eiste) a la cual se aproima la curva cada vez más sin llegar a tocarla, se llama asíntota. Si la curva no tiene asíntotas, se dice que la curva tiene rama parabólica. a) Asíntota vertical o paralelas al eje OY. Son de la forma u siendo u los valores finitos de que hacen el + - siguiente límite lim f() ± (u a,a,a ) u b) Asíntota horizontal o paralela al eje OX. Son de la forma yk siendo k lim f() k ± c) Asíntota oblicua m Son de la forma ym+n n lim ± lim ± f() [f() - m] m,n R m 0 * Monotonía. Para hallar los máimos y los mínimos se obtienen las raíces de la ecuación f'()0, y los puntos en los que no eiste f'(). Tendremos así los posibles puntos donde la función puede tener máimos y mínimos. Dichos puntos son también los posibles etremos de los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.

4 Si a es una raíz de f'()0, en el punto (a,f(a)) la curva tendrá un máimo o mínimo, o un punto de infleión con tangente horizontal según sea par o impar la primera derivada no nula de orden mayor o igual que dos. a) Intervalos de crecimiento f'>0 b) Intervalos de decrecimiento f'<0 c) Puntos críticos MÍNIMO f'(a)0 y f''(a)>0 MÁXIMO f'(a)0 y f''(a)<0 * Curvatura. Un punto del dominio de definición de una función es punto de infleión si la tangente a de la función en este punto atraviesa a la curva. a) Intervalo de conveidad f''<0 b) Intervalo de concavidad f''>0 c) Puntos de infleión CC-CV f''(a)0 y f'''(a)<0 CV-CC f''(a)0 y f'''(a)>0 Ejemplo Si en un punto de infleión se anulan simultáneamente la primera y la segunda derivada diremos que en ese punto eiste un punto de infleión con tangente horizontal. Haz la gráfica de la siguiente función: f ( ) Dominio R {} Simetrías: f + respecto al origen. Asíntotas verticales: lím f ( ) lím f ( ) ( ). No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni es asíntota vertical + Asíntota oblicua: y + + y + es asíntota oblicua Posición de la curva respecto a la asíntota: f () ( +) < 0 si (curva por debajo). f () ( +) > 0 si + (curva por encima). Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ( + )( ) ( + ) + + f '( ) ( ) ( ) ( ) f ' ( ) 0 0 Puntos (0, ) y (, 6). Signo de f ' (): ( ) 0 0

5 f () es creciente en (, 0) (, + ); es decreciente en (0, ) ) (, ). Tiene un máimo en (0, ) y un mínimo en (, 6). Corte con los ejes: - Con el eje Y 0 y Punto (0, ) - Con el eje X y 0 Puntos: (,7; 0); (0,7; 0) Gráfica: + 0 ± + 8,7 0,7 Pasos a seguir: PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. - Mediante los datos del problema se construye la función que hay que maimizar o minimizar. - Si la función tiene más de una variable hay que relacionar las variables mediante ecuaciones a fin de conseguir epresar la función inicial utilizando una sola variable. - Se hallan los etremos de esta función. - Se interpretan los resultados obtenidos rechazando aquellos que por la naturaleza del problema no sean posibles. EJERCICIOS.. Calcular las siguientes derivadas. a) y b) e) y + f) y sen( + ) g) i) y ln(tg( +)) j) y c) y ln(sen ) d) y ln( +) y cos h) y tg cos y tg. Utilizando eclusivamente la definición de derivada, encontrar la derivada en de la función y + Cuál es la pendiente de la recta tangente en ese punto?. Dada la función f()-+, mediante límites, calcula f (). Deduce el punto de corte de la recta tangente a la curva en, con el eje OX.. Eplicar por qué la función f() no tiene derivada en el origen. Calcular previamente las derivadas laterales.. Hallar los puntos en los que y -+6 no tiene derivada. Justificar las respuestas. 6. Hallar la ecuación de la tangente a la función y en el origen de coordenadas.

6 7. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y ++ paralela a la bisectriz del primer cuadrante. 8. Hallar los puntos de la curva y -+ en los que su tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. 9. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y -+6 paralela a la recta de ecuación +y-0 0. Determinar los valores del parámetro k para que las tangentes a la curva yk -k +7-8 en los puntos de abscisas y sean paralelas.. Estudiar la continuidad y la derivabilidad da la función 0 f() > 0. Estudiar el crecimiento y decrecimiento y los máimos y los mínimos de la función f() Estudiar los intervalos de crecimiento, decrecimiento y etremos de la función y +. Dada la función y se pide: dominio de definición, máimos y mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento.. Determinar los máimos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y e 6. Determinar el parámetro c para que el mínimo de la función y ++c sea igual a Calcular los valores de a, b y c sabiendo que la función f()a +b+c pasa por los puntos (,0) y (0,-) y presenta un máimo en /. 8. Dada la función f() - +- se pide: máimos y mínimos; intervalos de crecimiento y decrecimiento; intervalos de concavidad y conveidad. 9. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva f() en su punto de infleión. 0. Dada la función ya +b +c+d, hallar los coeficientes a, b, c y d para que se cumpla que la gráfica de la función tenga un punto de infleión en (0,0) siendo la tangente en este punto paralela a la recta -y y además pase por el punto (,).. Dada la función ya +b +c+d, hallar los coeficientes a, b, c y d para que se cumpla que su tangente en el punto (,) es la recta y-+ y que se tiene un etremo en el punto (0,). Dada la función: f ( ) < < 6 6

7 a) Representar la función b) Estudiar razonadamente la continuidad. c) Estudiar la derivabilidad. d) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.. Representar la función f() Estudiar la continuidad y la derivabilidad da la función. Representar las siguientes funciones: f ( ) < < a) d) f ( ) + b) f ( ) e) f ( ) c) f ( ) f) + f ( ) f ( ) 6. Descomponer 8 como suma de dos números positivos, de manera que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máimo. 7. Un número más el cuadrado de otro número suman 8 Cómo deben elegirse dichos números para que su producto sea máimo?. 8. Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. S la valla del lado del camino cuesta 800 pesetas/m y la de los otros 00 pesetas/m, hallar el área del mayor campo que puede cercarse con 88000pesetas. 9. Una hoja de papel debe contener 8 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener cm cada uno y los laterales cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. 0. Un depósito abierto de chapa y de base cuadrada, debe tener capacidad para 00 litro. Cuáles han de ser sus dimensiones para que se precise la menor cantidad de chapa?. Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. Encontrar las dimensiones de la ventana de área máima si su perímetro es de 0 m.. El índice de inflación de cierto país fue variando, durante el año 987, según la epresión t 8t i( t) t + donde t es el tiempo en meses desde principios del año. Se pide: 0 a) Durante qué meses el índice de inflación fue creciendo? b) A partir de qué mes se supera la inflación inicial del mes de Enero? c) Si el gobierno tiene previsto devaluar la moneda del país cuando el índice de inflación alcance el valor de 6, en qué mes tomará la decisión?. Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un eamen de una hora viene dado por: r00t(-t) donde 0<t< es el tiempo en horas. Se pide: a) En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento? b) En qué momentos el rendimiento es nulo? c) Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es? 7

8 . Realizar las siguientes derivadas. y y y + +. y. - π. +. y sen - cos 6. y y π 8. y. cos - 9. y cos() 0. y cos ( ). y sen ( -). y cos( ). y sen ( ). y cos ( ). y sen (-) 6. y cos ( ) 7. y cos (sen) 8. y cos (sen()) 9. y cos 0. y cos ( ). y -. y ( - ). y ( - ). y sen. y sen() 6. y - sen 7. ( - - ) y sen y 8. ( - ) y sen + ( - 0. y cos ( - ) 9. ). y. -. y. ( - ). y y y 0. y. y - y ( - ) y y y - sen. y l n ( -) l n ( - ) y l n -. y.. y log ( ) 6. y e e sen 9. y 0. y tg ( - 7. y 8. y ) - cos y. y e. y ( -).( -). y tg. e 8

9 . y. l n 6. y e. cos 7. y. e 8. y -. sen e SOLUCIONES Todas las soluciones se dan sin simplificar y y. - π. cos + sen 6. y y - sen sen() 0. y - cos( ). sen( ).. cos ( - ). (6 - ). y - sen( ).. y sen ( ). cos( ).. y cos ( ). - sen( ).. 6 sen( - ). cos( - ). 6. y cos ( ). (-sen( )) sen(sen). cos 8. cos(sen). (-sen(sen)). cos. ( ) - cos. sen 9. cos ( - ). -. cos. 6. sen () ( ) cos ( - ). 9. sen cos + ( - ) sen + ( - ) y - cos( ). sen( ) cos ( ) ( - ) ( - ) y y y ( - ) sen cos sen - cos 0. ( ) ( ) - sen y - cos -. sen y y +. 9

10 ( - ). ( - ) ( - ). - ( - ). 6. y ( ). - ( -) y ( - ) y 6 - cos.. y ( - sen ) y y e.. l n l n 8. y e. ( - ) sen 9.. cos. l n 0. y cos ( ) cos. y e - -. ( - ) e sen. y cos e 6 tg.. y ( -) + ( -) cos.. l n + 6. y e cos - e sen 7.. e + e e. ( -6) sen + e cos sen sen 9.. e + l n e cos y (l n ) 0